I. Ueber praktische Verfertigung achromatischer Objectiv-Glaͤser. Von Peter Barlow, Esqu., F. R. S., und Prof. an der k. Militaͤr-Akademie zu Woolwich. Aus dem Edinburgh Philosophical Journal. N. 27. S. 1. N. 28. S. 311. Mit Abbildungen auf Tab. I. Barlow, uͤber praktische Verfertigung achromatischer Objectiv-Glaͤser. 1) Die Mathematiker haben eine Menge verschiedener Methode vorgeschlagen, um die Brechnungs- und Zerstreuungs-Kraft des Glases zu bestimmen, und verschiedene Regeln zur Berechnung der Halbmesser der Kruͤmmung der Linsen gegeben, die das Objectiv-Glas unserer achromatischen Fernroͤhre bilden. Die theoretischen Optiker verstehen diesen Gegenstand vielleicht so genau, als man nur immer wuͤnschen kann; allein, dieß ist nicht der Fall bei allen, die sich praktisch mit Objectiv-Glaͤsern beschaͤftigen: fuͤr Leztere ist dieser Aufsaz geschrieben. Er soll nicht neues Licht uͤber diesen hoͤchst interessanten Gegenstand verbreiten, sondern bloß Alles, unter einem Gesichtspuncte zusammenfassen, und auf die einfachste Form zuruͤkfuͤhren, was dem praktischen Optiker wirklich nothwendig ist, naͤmlich: 1. Den Brechungs-Index seiner beiden Glaͤser auf das Genaueste zu bestimmen: 2. die verhaͤltnißmaͤßige Zerstreuungs-Kraft derselben zu bestimmen: 3. die Halbmesser der Kruͤmmung der verschiedenen Flaͤchen so zu bestimmen, daß sie die achromatische Eigenschaft mit der geringsten sphaͤrischen Abweichung erzeugen. In Hinsicht auf die erstere dieser Bestimmungen wurde das von Biot, in seinem Traité de Physique empfohlene und beschriebene Instrument angenommen, so wie die von demselben gegebenen Berechnungs-Regeln: leztere wurden jedoch in eine fuͤr die meisten Leser verstaͤndlichere Sprache eingekleidet. Zur Bestimmung der Zerstreuungs-Kraft wurde das von Dr. Brewster erfundene, und von ihm in seinem „Treatise on New Philosophical Instruments“ beschriebene Instrument als das einfachste, und zu jeder praktischen Anwendung vollkommen hinreichende ausgewaͤhlt; zur Berechnung fuͤr diesen Fall wurden die von Boscovich angegebenen, und in dem lezt erwaͤhnten Werke angefuͤhrten, Formeln nach einiger Vergleichung den uͤbrigen vorgezogen. Zur Berechnung der Kruͤmmungen haben wir die von Hrn. Herschel in den Philosophical Transactions so trefflich erlaͤuterten Regeln, die vor allen anderen entschiedene Vorzuͤge besizen, angenommen, und seine Tabellen noch weiter ausgedehnt, um die Muͤhe der weiteren Berechnung so viel nur immer moͤglich zu ersparen. Fuͤr jeden Fall wurden wirkliche Beobachtungen und Berechnungen hinlaͤnglich im Detail aufgefuͤhrt, um sie jedem verstaͤndlich zu machen, der auch nur die ersten Grundsaͤze der Mathematik inne hat, wenn er in den Fall kommen sollte, aus Flint- und Tafel- oder Kronen-Glas, dessen Eigenschaften er noch nicht kennt, ein Objectiv-Glas von irgend einer gegebenen Brennweite zu verfertigen. 2. Instrument zur Messung der Winkel der Prismen und zur Bestimmung des Refractiv-Index. Das Erste, was der Kuͤnstler zum thun hat, ist, daß er sich zwei kleine Prismen aus dem Flint- und Kronen-Glase verfertigt, welches er zugleich anzuwenden gedenkt, und sie auf einen Winkel von ungefaͤhr 30° bringt: die genauere Messung dieser Winkel muß in der Folge mittelst des unten beschriebenen Instrumentes geschehen. Dieses Instrument zeigen Fig. 1 und 2. Tab. 1. im Aufrisse. s, s, s, sind drei Schrauben, die als Fuͤße des Instrumentes, und zur senkrechten Aufstellung desselben dienen. A, B, ist eine Roͤhre, welche auf den drei Armen, die die Basis des Instrumentes bilden, befestigt ist. T, ist eine innere Roͤhre, die sich in der vorigen schiebt, und wodurch das Instrument in jede beliebige Lage gebracht werden kann. C, ist eine Art Armes, der auf der inneren Roͤhre befestigt ist, und auf welchen der Hauptkreis aufgeschraubt wird, der, wie die Figur zeigt, in Grade getheilt ist. m, m, sind zwei Arme, die sich um einen gemeinschaftlichen Mittelpunct drehen, der zugleich der Mittelpunkt des Kreises ist: an jedem Arme ist an dem Ende desselben eine Scheibe angebracht, welche mit einer stellbaren Diopter mit einem sehr feinen Loche versehen ist. ef, ist eine, durch eine in Fig. 2. gezeichnete Tangenten-Schraube stellbare, Messing-Platte, welche an ihrem oberen Theile einem vierekigen Rahmen fuͤhrt, der unter einem rechten Winkel darauf befestigt ist. Dieser vierekige Rahmen ist innenwendig ausgefalzt, so daß er eine Glasplatte parallel aufnimmt, auf welche das Prisma zur Beobachtung gelegt wird, wie man in beiden Figuren sieht. Den Bau dieses Rahmens wird man aus der perspectivischen Zeichnung in Fig. 3. besser einsehen. Fig. 4. ist eine parallel geschliffene Messingplatte, die sich genau uͤber den Rahmen schiebt, so daß die gerade eingeschnittene Kante, a, b, genau dem Mittelpuncte des in Grade getheilten Kreises gegenuͤber zu stehen kommt, und das Prisma, wenn es auf die Glasplatte gebracht wird, genau mit dieser Kante in Beruͤhrung kommt. Die oben erwaͤhnte Tangenten-Schraube dient, den Rahmen auf- oder abwaͤrts zu stellen, bis die Kante, a, b, der Platte dem Mittelpuncte, wie oben angegeben wurde, gegenuͤber zu stehen kommt. 3. Messung des Winkels des Prisma. Hierzu ist es am besten, sich des parallelen am Ruͤken geschwaͤrzten Glases zu bedienen, oder ein Glas hierzu besonders aufzubewahren. Dieses Glas legt man in Rahmen, und stellt das Instrument mittelst einer kurzen darauf gestellten Weingeist-Wasserwage und der Schrauben, die die Fuͤße desselben bilden, vollkommen horizontal, worauf man die Messingplatte einschiebt, die gleichfalls geschwaͤrzt seyn muß, um alle Verwirrung durch zuruͤkgeworfenes Licht zu vermeiden. Nun bringt man beide Arme uͤber die horizontale Linie, oder 0, und stellt sie beide mittelst des Verniers auf denselben Winkel, z. B. 40° oder 50°. etc. Wenn man nun durch eines der kleinen Loͤcher in den Dioptern sieht, so muß die Zuruͤkwerfung des anderen von der Kante der Messingplatte in der Mitte getheilt werden, und, wo dieß nicht der Fall waͤre, muͤssen die Dioptern so gestellt werden, daß dieß geschieht. Hierauf legt man das Prisma auf, und bringt seine scharfe Kante sanft gegen die oben erwaͤhnte Kante der Platte, und richtet die eine Diopter, waͤhrend die andere unbewegt feststehen bleibt, so lang, bis die Zuruͤkwerfung des kleinen Loches der lezteren durch die gerade Kante, wie vorher, in der Mitte getheilt erscheint, und dann gibt die Differenz in den angezeigten Graden den gesuchten Winkel. Diese hoͤchst einfache Operation kann bei mehreren Winkeln wiederholt, und dann die Mittelzahl fuͤr den Winkel des Prisma genommen werden. 4. Folgende Beispiele werden diese Operation hinlaͤnglich erlaͤutern. Flint-Prisma, N. 1. Feststehende   Diopter. Bewegliche   Diopter. Unterschied. Halber Unterschied    oder Winkel.     40° 0'    89° 38'     49° 38'         24° 49'     30   0    79   36     49   36         24   48     35   0    84   40     49   40         24   50     36   0    85   38     49   38         24   49     25   0    74   38     49   38         24   49 Mittlerer  Winkel         24   49 Tafel-Glas-Prisma, N. 1. Feststehende   Diopter. Bewegliche   Diopter. Unterschied. Halber Unterschied    oder Winkel.     40° 0'    89° 42'     49° 42'         24° 51'     35   0    84   40     49   40         24   50     30   0    79   44     49   44         24   52     25   0    74   44     49   44         24   52     20   0    69   40     49   40         24   50 Mittlerer  Winkel         24   51 Der Grundsaz dieser Ableitung ist zu einleuchtend, als daß er einer weiteren Erlaͤuterung beduͤrfte; man braucht bloß zu bemerken, daß er sich auf das bekannte Gesez gruͤndet, daß der Einfalls-Winkel dem Zuruͤkwerfungs-Winkel gleich ist. 5. Beobachtungen zur Bestimmung des Index der Brechung. Es ist ein bekannter Grundsaz in der Optik, daß, waͤhrend des Durchganges des Lichtes aus einem Mittel in das andere, z.B., aus Glas in die Luft, die Sinus der Einfalls- und Brechungs-Winkel in einem staͤten Verhaͤltnisse sind. Dieses Verhaͤltniß heißt der Index der Brechung. Um die nothwendigen Daten zur Bestimmung dieses Index zu erhalten, muß auf folgende Weise verfahren werden: Nachdem das Instrument, wie oben, gestellt wurde, bringt man die reine parallele Glasplatte, statt der schwarzen, deren man sich in dem vorigen Falle bediente, in den Rahmen, wendet die geschwaͤrzte Messingplatte an, und bringt eben so die Kante des Prisma in Beruͤhrung mit der Kante der Platte, wie oben. Die Dioptern werden nun so gestellt, wie in Fig. 1. Tab. I naͤmlich die eine gegen die Kante des Prisma, uͤber 0 oder uͤber die Horizontale, und die andere gegen die Basis unter derselben, je niedriger desto besser, und auf denselben Grad, z.B. 60 oder 55°. Man legt auf den Tisch, unter die untere Diopter, ein Stuͤk reines weißes Papier, und laͤßt darauf, wenn es nothwendig ist, ein starkes Licht, am besten Sonnenlicht, fallen. Dann bewegt man die obere Diopter so lange, bis das Auge das zuruͤkgeworfene Bild der unteren Diopter durch die gerade Kante in der Mitte getheilt sieht, und merkt den Grad an. Dieß sind alle Daten, die nothwendig sind, um die Rechnung zu beginnen; groͤßerer Sicherheit wegen wird es aber am besten seyn, die Beobachtung unter drei bis vier verschiedenen Einfalls-Winkeln zu wiederholen. Das Bild wird, bei diesem Versuche, gefaͤrbt und lang gezogen erscheinen; es wird aber, bei einiger Uebung, nicht schwer werden, dasselbe in der Mitte zu theilen. Anmerkung. Zur Vermeidung aller Verwirrung in der Rechnung, die durch die Zeichen der Cosinus uͤber und unter 90° entstehen, wird es am besten seyn, die Supplemente der gefundenen Grade, oder das, was zu 180° noch fehlt, statt der Grade selbst zu nehmen. 6. Ein Paar Beobachtungen uͤber obige Prismen. Flint-Prisma, N. 1. No. Supplement zudem Grade desunteren Index.      (Q) Supplement zudem Grade desoberen Index.      (P)   Haͤlfte desUnterschiedes.        (d) Oben gefundenerWinkel des Prisma          (a) 1234    120° 0'   125   0   130   0   135   0    104° 10'   108   45   113     0   117   10      7° 55'     8     7     8   30     8   55     24° 49' Tafelglas-Prisma. N. 1. No. Supplement zudem Grade desunteren Index. Supplement zudem Grade desoberen Index.   Haͤlfte desUnterschiedes. Oben gefundenerWinkel des Prisma 1234     120° 0'    125   0    130   0    135   0     106°   0'    110   38    115     0    119   40      7°   0'     7   11     7   30     7   40     24° 51' Es sey der Winkel in der ersten Spalte = Q; in der zweiten    – = P; in der dritten    – = d, oder der Haͤlfte d. Unterschiedes; in der vierten    – = a, oder dem Winkel des Prisma; so laͤßt sich die Regel zur Berechnung des Index in Worten auf folgende Weise ausdruͤken: 7. Regel zur Berechnung des Index der Brechung. 1. Man addire zu dem Winkel P, den Winkel d, und subtrahire von der Summe 1/2 a: der Rest sey = A. 2. Man addire 1/2 a und d zusammen: die Summe sey = B. 3. Man addire Cotangente 1/2 a,In allen diesen Faͤllen ist der Logarithmus zu verstehen. A. d. O. Tangente A und Tangente B zusammen, ziehe 20 von der Summe ab, und finde den Winkel, dessen Tangente der Rest ist: er sey = D. 4. Von D ziehe man 1/2 a ab; der Rest sey = E.Wenn in irgend einem Falle der Winkel A weniger, dann 90° waͤre, muß man, statt des gefundenen Winkels D, ein Supplement, oder was an 180° noch fehlt, nehmen, wenn man E finden will. A. d. O. 5. Von Cosin. Q ziehe man Cosin. E ab, und finde die natuͤrliche Zahl, die dem Reste als Logarithmus entspricht: diese wird der gesuchte Index seyn.Der algebraische Ausdruk fuͤr diese Regel, der denjenigen, die sich mit Analysis beschaͤftigen, gelaͤufiger seyn wird, kann auf folgende Weise ausgedruͤkt werden:Tang. D = Cotang. 1/2 a Tang. (P + d – 1/2 a) Tang. (d + 1/2 a)Index r = Cosin.Q/Cosin.(D – 1/2 a).Siehe Biot Traité de Physique. A. d. O. Rechnung. Flint-Prisma.     Erste Beobachtung. Zu P = 104° 10'     Zu 1/2 a = 12° 24' 1/2 Addire d =     7   55     Addire d =   7   55 –––––––––– ––––––– Von der Summe = 112     5     Summe B = 20   19 Ziehe ab 1/2 a =   12   24 1/2 –––––––––– A =   99°  41' Cotangente 1/2 a = 12° 24' – 10,6578454 Tang. A = 99   61,oder89   19 10,7679350 Tang. B = 20   19   9,5684856 ––––––––––– Tang. 84° 13' = D 10,9942660 Von D = 84° 13 Ziehe ab 1/2 a = 12   24 –––––– E = 71   49 Von Cosin. Q = 120°, oder  60 9,6989700 Ziehe ab Cos. E =   71° 49 – 9,4942361 Natuͤrliche Zahl = 1,6019 Index 0,2046339. 8. Rechnung. Flint-Prisma.     Zweite Beobachtung. Zu P = 108° 45'     Zu 1/2 a = 12° 24 Addire d =     8    7     Addire d =   8    7 ––––––– –––––– Von Summe 116° 52'     Summe B = 20   31 Subtrahire 1/2 a   12   24 1/2 ––––––– A = 104   27 Contag. 1/2 a =   12° 24' 10,6578454 Tang. A = 104   27     75   31 oder 10,5889079 Tang. B =   20   31   9,5731227 ––––––––– 30,8198760 Subtrahire 20,0000000 ––––––––– Tang. 81° 23' = D . . . . . . . . 10,8198760 Von D = 81° 23' Subtr. 1/2 a = 12   24 –––––––– E = 68   59 Von Cosin. Q = 125° 0' oder   55 0 9,7585913 Ziehe ab Cos. E =    68 59 9,5546581 ––––––––– Natuͤrliche Zahl =    1,5993 Index 0,2039332 Dieser Index ist von dem vorigen um 0,0026 verschieden, und wurde hier als Beispiel einer außerordentlichen Abweichung gegeben: ein groͤßerer Unterschied darf nie gestattet werden; sollte er jemahls diese Groͤße uͤbersteigen, so muß die Beobachtung wiederholt werden. Bei einer großen Zahl solcher Versuche fand ich allgemein vollkommene Uebereinstimmung in den drei ersten Decimalen. Die dritte Reihe von Beobachtungen gibt den Index = 1, 6013 vierte – –       – – – – = 1,5994 erste – –       – – – – = 1,6019 zweite – –       – – – – = 1,5993 ––––– –––––– 4) 6,4019 ––––– –––––– Mittlerer Index 1,6005 Aehnliche Rechnungen geben fuͤr das Tafelglas-Prisma, als mittleren Index r = 1,5279. 9. Instrument zur Messung der Zerstreuung, und zur Bestimmung des Zerstreuungs-Verhaͤltnisses. Es ist eine in der Optik allgemein bekannte Thatsache, daß Licht, wenn es aus einem Mittel in das andere uͤbergeht, nicht bloß gebrochen, sondern auch in verschieden gefaͤrbte Lichtstrahlen zersezt wird, und dadurch das sogenannte Spectrum bildet; daß der aͤußerste Strahl, der rothe, derjenige ist, der an., wenigsten, und der violette, der aͤußerste an dem anderen Ende derjenige, der am meisten gebrochen wurde. Die Brechungs-Index fuͤr diese beiden Strahlen such also verschieden, und der Unterschied zwischen denselben, getheilt durch den mittleren Index Weniger 1, ist das Zerstreuungs-Verhaͤltniß, (Dispersive Ratio), und das Verhaͤltniß zwischen dem Zerstreuungs-Verhaͤltnisse zweier verschiedener Glaͤser ist das Verhaͤltniß der zerstreuenden Kraͤfte, oder Zerstreu-Verhaͤltniß (Ratio of Dispersion). Man nennt lezteres jedoch auch oͤfters Zerstreuungs-Verhaͤltniß zweier Glaͤser. Das Instrument zur Bestimmung dieses Verhaͤltnisses ist folgendes: A, B, Fig. 5. ist eine messingene Saͤule, auf welche oben die Kappe, C, paßt, die mit einem Gewinde, k, versehen ist: oben auf demselben befindet sich eine kurze Roͤhre, l, m, n, o, die an der Seite, a, b, offen ist, und eine Stellschraube, s, hat. In dieser kurzen Roͤhre ist eine andere Roͤhre eingefuͤgt, die doppelt so lang ist, und die, wenn sie in gehoͤrige Stellung gebracht wurde, durch die Stellschraube, s, die die aͤußere Roͤhre darauf sperrt, in dieser Lage festgehalten werden kann. Diese Roͤhre ragt bis zur Linie, c, d, vor, die das Ende derselben zeigt, e, f, h, i, ist eine andere Roͤhre, die sich uͤber c, d, schiebt, und an ihrem Ende, f, i, die kreisfoͤrmige Platte, g, h, fuͤhrt, die an ihrer aͤußeren Kante zu beiden Seiten von 0 bis auf 180° getheilt ist. r, ist ein, an der ersten aͤußersten Roͤhre, l, m, n, o, angebrachter Vernier. Der Durchmesser dieser Roͤhren kann ungefaͤhr 2 1/2 Zoll betragen. Das Ende der Roͤhre, e, f, h, i, hat einen Ansaz oder eine Basis bei e, h, in welcher sich ein kreisfoͤrmiges Loch von ungefaͤhr 1 1/2 Zoll im Durchmesser befindet, und eine Vorrichtung, ein Prisma darauf zu befestigen, wie man in der Figur sieht. Die Roͤhre, c, d, endet sich bei c, d, gleichfalls in eine aͤhnliche Basis zu demselben Zweke, laͤßt sich aber, wie eine gewoͤhnliche Scheidewand, ein- und ausschieden, damit man das Prisma innenwendig anbringen kann, und die beiden inneren Flaͤchen der beiden Prismen parallel zu stehen kommen. Der Bau dieses Instrumentes wird durch die Figuren 6, 7, 8, 9, 10 deutlicher, wo Fig. 6. die Roͤhre darstellt, die das Gehaͤuse auf der Saͤule bildet, sammt ihrem Vernier und der Stellschraube. Fig. 7. ist die Roͤhre, die in dieselbe zunaͤchst eingeschoben wird. Fig. 8. ist die Scheidewand, die das Prisma fuͤhrt, welches in Fig. 7. eingefuͤgt wird. Fig. 9. ist eine kurze Roͤhre mit einem in Grade getheilten Kreise, die uͤber Fig. 7. anschließt, und gleichfalls ein Prisma fuͤhrt, wie man in Fig. 5. sieht, wo alle diese Roͤhren an ihrer Stelle sind. Nachdem dieses Instrument so vorgerichtet wurde, versieht man sich mit einem glatten Brette von ungefaͤhr 2 Fuß im Gevierte, welches mit Lampen-Schwarz gehoͤrig geschwaͤrzt ist, und strekt quer uͤber dasselbe einen gleich breiten Streif von sehr weißem reinen Kartenpapiere. Dieses Brett wird, mit dem Kartenpapiere horizontal, in starkes Licht senkrecht aufgehaͤngt, so daß das Senkloth das Papier in der Mitte durchschneidet, wie in Fig. 10. Dann stellt man das Zerstreuungs-Instrument in einer Entfernung von ungefaͤhr 6 bis 8 Fuß vorne vor demselben auf, und alles ist somit zur Beobachtung vorgerichtet. 10. Verfahren bei der Beobachtung. 1. Man nimmt die Roͤhre und den in Grade getheilten Kreis, Fig. 9. mit seinem Prisma ab, welches immer dasjenige seyn muß, das die groͤßte Zerstreuungs-Kraft besizt, und dreht die Roͤhre Fig. 7. in der Roͤhre Fig. 6. so lang um, bis die Kante des am Ende derselben befestigten Prisma nach aufwaͤrts gekehrt, und vellkommen horizontal ist, was man baran erkennt, daß das Auge die Linie des Senklothes gerade uͤber der Kante des Prisma, und das gebrochene Bild desselben in dem Prisma in Einer senkrechten Linie gewahr wird. Zu diesem Ende ist auch oben uͤber dem Prisma vorne an der Scheidewand ein Raum gelassen. Nachdem dieß geschehen ist, befestigt man es in dieser Lage mittelst einer Stellschraube. Man nimmt nun das Senkloth weg, und sieht auf den Kartenpapier-Streif, dessen oberer Rand stark violett und blau gefaͤrbt seyn wird, waͤhrend der untere roth und gelb ist. Nun stekt man die Roͤhre, Fig. 9. mit dem Prisma an, und bringt die Basis desselben aufwaͤrts und horizontal, und wird dann, wenn man den Streif Kartenpapier wieder betrachtet, (denn dieses leztere Prisma hat immer eine groͤßere Zerstreuungs-Kraft), den oberen Rand roth und gelb, und den unteren violett finden. Wenn nun Fig. 9. allmaͤhlig entweder rechts oder links gedreht wird, waͤhrend das Auge immer auf den Streif Kartenpapier gerichtet bleibt, werden die Farben an beiden Baͤndern desselben immer schwaͤcher werden, und endlich bei einer gewissen Lage gaͤnzlich verschwinden. Nachdem man dieß genau und sorgfaͤltig beobachtet hat, schreibt man den Grad, den der Vernier an dem in Grade getheilten Kreise zeigt, auf. Dann dreht man den Kreis in der anderen Richtung um, bis die Farben wieder verschwinden, und bemerkt, wie vor, den Grad am Vernier. Der halbe eingeschlossene Bogen zwischen den beiden bemerkten Graden ist M. (Dieß ist die Differenz zwischen den Graden, wenn beide auf derselben Seite sind; aber die Summe, wenn sie auf verschiedenen Seiten liegen.) Diese sehr einfache Beobachtung wiederholt man mehrere Mahle, und das Mittel aus allen Resultaten gibt M. 11. Berechnung des Zerstreu-Verhaͤltnisses. 1. Das in Fig. 8. befestigte Prisma, oder das feststehende Prisma, welches wir hier aus Tafelglas annehmen, sey A, welches auch den Winkel desselben andeutet: das Flint-Prisma in Fig. 9., so wie der Winkel desselben, sey B. Nun 2. Addire man zu dem Logarithmus des Sinus A, den Logarithmus seines Brechungs: Index, und ziehe von der Summe den Logarithmus des Brechungs-Index des Winkels B, ab, und finde den Winkel, von welchem der Rest der Logarithmus des Sinus ist: dieser Winkel sey = a. 3. Zu dem Logarithmus der Tangente des Winkels, B, addire man den Logarithmus des Cosinns des Winkels, M, und finde den Winkel, von welchen die Summe der Logarithmus der. Tangente ist. Dieser Winkel sey = b. 4. Von a ziehe man b ab, und nenne den Rest = c. 5. Von dem Logarithmus der Tangente von c, ziehe man den Logarithmus der Tangente von a ab, betrachte den Rest als Logarithmus, und finde die natuͤrliche Zahl desselben, welche man von der Einheit abziehen muß. 6. Multiplicire man diesen Rest mit dem Brechungs-Index des Prisma A, und mit dem Index – 1 (oder dem zehnten Theile des Index) des Prisma B. Man multiplicire auch den Brechungs-Index von B mit dem zehnten Theile des Index von A. Zulezt theile man das erstere Product durch das leztere: der Quotient ist das Zerstreu-Verhaͤltniß der beiden Glaͤser. Oder: man addire die Logarithmen der drei ersten Zahlen zusammen, und die der beiden lezteren: die Differenz, welche man erhaͤlt wenn man leztere von ersterer abzieht, ist der Logarithmus des gesuchten Verhaͤltnisses.Der analytische Ausdruk fuͤr diese Regel ist:Sin. a (r. Sin. A)/R Tang. b Cosin. M Tang. B = Tang. b.Zerstreuungs-Verhaͤltniß = r(R – 1)/R(R – 1) {Tang. (b – a) Cotang. a + 1} wo r der Brechungs-Index von A, und R jener von B ist. A. d. O. Anmerkung. Man hat bei obiger Regel angenommen, daß das Prisma B, seine hoͤhere Zerstreuung seiner hoͤheren Zerstreuungs-Kraft verdankt, da die Winkel beinahe gleich sind; aber bei geringerer Zerstreuungs-Kraft wird, wo ein groͤßerer Winkel vorhanden ist, seine Zerstreuung immer groͤßer seyn, als die des Prisma A. In diesem Falle gilt jedoch dieselbe Regel, nur mit dem Unterschiede, daß man oben (5) die natuͤrliche Zahl zu der Einheit addiren, statt von derselben subtrahiren muß, wovon der Grund aus der algebraischen Formel erhellt. 12. Beispiel. welches die Resultate der Beobachtung und Berechnung an den beiden Prismen aus Tafelglas N. 1, und Flintglas N. 1 darstellt, deren Winkel und Index wir bereits bestimmt haben, naͤmlich: Winkel des Tafelglas-Prisma A = 24°. 51. Index = 1,528.Drei Decimal-Stellen reichen vollkommen hin, und wir haben diese bis zur naͤchsten Zahl genommen: beide aber etwas groͤßer. A. d. O.   – – Flintglas-Prisma B = 24,  49. Index = 1,601. Beobachtung zur Bestimmung des WinkelsM. Grade, wo der Zeigerrechts gedreht wurde,    bis die Farben     verschwanden   5° 10  5   16  5   30  5   10  5   16       Grade, wo der          Zeiger links        gedreht wurde 117° 44' 117   54117   30 117   44117   40 –––––– ––––––– 5) 25   92 5) 558   32 –––––– –––––––           Mittel   5   18             Mittel 117   42     5   18 ––––––– 2) 112   24 –––––––             Winkel M = 56  12 Nun, nach der Regel, zu Sin. A = Sin. 24° 51' = 9,6235016 Zu Tang. B   =  24° 29' = 9,6650346 Addirt Log. 1,528 = 0,1841234 Add. Cos. M = 56° 12' = 9,7453056 ––––––––––– –––––––––––    9,8076250. Tang. 14° 25' = b = 9,4103402. Subtrahirt Log. 1,601    0,2043913    ––––––––– Sin. 23° 39' = a    9,6032337         Von Winkel a = 23° 39'         Subtrahirt Winkel b = 14  25 ––––––––         Winkel c =  9° 14'     Von Tangente c =  9° 14 = 9,2110184     Abgezog. Tangente a = 23  39 = 9,6414036 –––––––––––    1,5696148     Natuͤrliche Zahl = 0,37121     Von 1,00000     Abgezogen 0,37121 ––––––––         Rest 0,62879 Logarithmus des Restes 0,62879 = 1,7985056 Logarith. des Index von A 1,528 = 0,1841234 Logarith. 1/10 Index v. B 0,601 = 1,7788745 ––––––––– Erste Summe 1,7615035 Logarith. des Index  B  = 1,601 = 0,2043913 Logarith. 1/10 Index A  = 0,528 = 1,7226339 ––––––––– Zweite Summe 1,9270252 Von 1,7615035 Abgezogen 1,9270252 –––––––––                             Natuͤrliche Zahl 0,68309 = 1,8344783 Also ist das Verhaͤltniß der Zerstreuungs-Kraͤfte der beiden Glaͤser, wie 1 : 0,68309, oder, wie man sich gewoͤhnlich ausdruͤkt, 0,68309. Auf diese Weise haben wir die nothwendigen Daten zur Bestimmung der Kruͤmmungs-Halbmesser, die den Linsen aus Tafel-, und Flint:Glas gegeben werden muͤssen, um ein achromatisches Objectiv-Glas zu bilden. 13. Rechnungs-Tafeln etc. zur Bestimmung der Kruͤmmungs-Halbmesser, wenn der Brechungs-Index eines jeden Glases und das Zerstreuungs-Verhaͤltniß gegeben ist. Wenn es nun bloß noͤthig waͤre, das Objectiv-Glas in Hinsicht auf Farbe oder Zerstreuung der Lichtstrahlen zu verbessern, so brauchte es nichts weiter, als die Brennweiten der beiden Linsen in geradem Verhaͤltnisse ihrer Zerstreuungs-Kraͤfte zu bilden: bei drei (unter gewissen Graͤnzen) nach Belieben gebildeten Oberflaͤchen koͤnnte die vierte immer so eingerichtet werden, daß sie die Farbe verbessert: dieß ist auch das, was einige Optiker noch immer thun. Verbesserung der Farbe ist aber durchaus nicht Alles, was zur Verfertigung eines Objectiv-Glases fuͤr ein gutes Fernrohr gehoͤrt: denn, wenn man nicht auch auf die sphaͤrische Abweichung Ruͤksicht nimmt, wird das Bild, obschon frei von aller Faͤrbung, in einem nebeligen und rauchigen Felde erscheinen, und dadurch sehr unvollkommen und undeutlich werden. In Bezug auf. diese lezte Verbesserung hat Hr. Herschel einen sehr schaͤzbaren und trefflich ausgearbeiteten Aufsaz mit Tabellen in den Philosophical Transactions of the roy. Society Part. II. 1821 geliefert, wodurch die Muͤhe der Berechnung um ein Bedeutendes erspart wird. Indem wir diese Tabellen weiter ausdehnten, glaubten wir unser Scherstein zur Vereinfachung dieser wichtigen, und ohne solche Huͤlfsmittel muͤhevollen und verwikelten Rechnung beigetragen zu haben. Ehe wir zu einer Erklaͤrung dieses Verfahrens uͤbergehen, wollen wir, in deutlichen Worten, einige vorlaͤufige Regeln zur Bestimmung der Brennweiten einfacher Linsen vortragen, deren Brechungs-Kraft und Halbmesser der Kruͤmung gegeben sind, und umgekehrt: denn, obschon diese Regeln, in einer Form oder in der anderen, praktischen Optikern bekannt seyn moͤgen, so wird man uns doch entschuldigen, wenn wir sie in Kuͤrze hier anfuͤhren, indem wir wuͤnschen, daß dieser Aufsaz alle Regeln enthalte, die zur Verfertigung eines guten Objectiv-Glases nothwendig sind. 14. Regeln zur Bestimmung der Brennweite der Linsen von einer gegebenen Kruͤmmung.Die algebraische Formel, die alle diese Regeln umfaßt, ist folgende, naͤmlich:fuͤr parallele Strahlen, f = rR/[a(r + R)], (Siehe Encyclopedia Metropolitana. Art. Optics ) wo f die Brennweite, a ein Zehntel Brechungs-Index, und r und R die Halbmesser, die beide positiv sind, wenn beide Flaͤchen convex, und negativ, wenn beide concav sind. A. d. O. 1) Die Brennweite einer doppelt convexen Linse fuͤr parallele Strahlen zu finden, wenn die Halbmesser der Kruͤmmung und der Brechungs-Index gegeben sind. Regel. Man multiplicire die beiden Halbmesser mit einander; addire hierauf beide und multiplicire die Summe derselben mit einem Zehntel des Brechungs-Index. Das erste Product, getheilt durch das lezte, wird die Brennweite seyn. Beispiel. Die Kruͤmmungs-Halbmesser einer Flint-Linse seyen 4 Zoll und 10 Zoll, und ihr Brechungs-Index 1,601: man finde die Brennweite. Textabbildung Bd. 23, S. 14 2) Wenn die beiden Halbmesser gleich sind, wird die Regel einfacher, wie folgt: Man theile den Halbmesser der Kruͤmmung durch zwei Zehntel des Index, so erhaͤlt man die Brennweite. Beispiel. Der Halbmesser der beiden gleichen Oberflaͤchen der Flint-Linse (deren Index 1600 ist), sey = 10 Zoll: man finde die Brennweite Hier wird 0,600       2 ––––– 1,200) 10,000 (8,33 Brennweite. Beide diese Regeln gelten auch, wenn beide Oberflaͤchen concav sind; nur muß dann das Resultat negativ genommen werden. 3) Die Brennweiten an einer plan-convexen Linse fuͤr parallele Strahlen zu bestimmen, wenn der Halbmesser der convexen Seite und der Index gegeben ist. Regel. Man theile den Halbmesser der Kruͤmmung durch ein Zehntel des Brechungs-Index; der Quotient wird die Brennweite seyn. Beispiel. Man verlangt die Brennweite einer planconvexen Linse aus Kronenglas, deren Kruͤmmungs-Halbmesser 12 1/3 Zoll, und Brechungs-Index 1,520 ist. 12 1/2 = 12,5. 0,52) 12,50 (24,04 Brennweite. 4) Die Brennweiten einer Linse mit einer concaven und einer convexen Flaͤche zu bestimmen, wenn die Halbmesser, und der Brechungs-Index gegeben, und die Strahlen parallel sind. Regel. Man multiplicire die beiden Halbmesser mit einander, man multiplicire auch ihre Differenz mit 1/10 des Brechungs-Index; das erste Product durch das leztere getheilt gibt die Brennweite, die positiv seyn wird, wenn der Halbmesser der concaven Flaͤche der groͤßere von beiden ist, und negativ, wenn er der kleinere ist. Beispiel. Man finde die Brennweite einer Linse aus Flintglas, wo der Halbmesser der convexen Seite 10 Zoll, der der concaven Seite 16 Zoll, der Brechungs-Index 1,600 ist. Hier wird   10 16   16 10 ––– –– Erstes Product 160 Differenz   6   0,600 ––––––– Zweites Product 3,6) 160 (44,44 Brennweite. Das Resultat ist hier positiv; waͤre aber die convexe Seite 16, die concave 10, so wuͤrde die Brennweite dieselbe gewesen seyn, die Strahlen wuͤrden aber divergirt haben, oder das Resultat waͤre negativ. 5) Aus der gegebenen Brennweite einer doppelt convexen oder planconvexen Linse, und der negativen Brennweite einer doppelt concaven Linse oder einer concav-convexen Linse die Brennweite des daraus zusammengesezten Objectiv-Glases zu finden. Regel. Man multiplicire die beiden Brennweiten mit einander; theile das Product durch ihre Differenz: der Quotient wird die Brennweite des zusammengesezten Objectiv-Glases. Anmerkung Wenn die negative Brennweite die kleinere ist, wird die daraus hervorgehende Brennweite immer negativ seyn; wenn sie aber groͤßer ist, wird leztere positiv seyn, und die Strahlen werden convergiren. Beispiel. Die Brennweite einer doppelt convexen Linse ist 6 Zoll, und einer concav-convexen Linse negativ 9 Zoll. Man verlangt die Brennweite des aus diesen beiden zusammengesezten Objectiv-Glases. Von der negativen Brennweite =  9   9 Ziehe man die positive ab =  6   6 –– ––  3  54     3) 54     –––––         18 die verlangte Brennweite. Aus diesen Regeln lassen sich mehrere andere ableiten, die haͤufig angewendet werden: z.B. 6) Wenn der Index der Refraction und einer der Halbmesser einer doppelt convexen Linse gegeben ist, den anderen Halbmesser so zu bestimmen, daß eine gegebene Brennweite zum Vorscheine kommt. Regel. Man multiplicire die gegebene Brennweite, ein Zehntel des Index a und den gegebenen Halbmesser zu einem Dividenden, und subtrahire den ersten Theil dieses Productes von dem gegebenen Halbmesser, und mache den Rest zum Divisor, theile den Dividenden durch den Divisor, und der Quotient ist der andere Halbmesser. Beispiel. Der Index eines Stuͤkes Flintglas ist 1,600, und eine der Kruͤmmungen desselben hat einen Halbmesser von 10 Zoll: welcher andere Halbmesser gibt eine Brennweite von 12 Zoll? a = 0,600. Brennweite =   12   –––   7,2 = erstes Product vonsubtrahire 10  7,2 Gegebener Halbm.   10 ––––– ––––– Divisor    2,8   72 Dividend ––––– 7) Aus dem gegebenen Index eines Stuͤkes Glas die gleichen convexen Oberflaͤchen zur Bildung einer Brennweite von gegebener Laͤnge zu finden. Regel. Man multiplicire die Brennweite mit zwei Zehntel Index: das Product ist der Halbmesser der beiden gleichen convexen Oberflaͤchen. Beispiel. Welche gleiche Halbmesser an einem Stuͤke Glas (wie oben 7) geben zwei gleich gekruͤmmte Oberflaͤchen zu einer Brennweite von 6 Zoll. Hier ist zwei mal a = 1,2 Brennweite = 6 –––––   7,2 Zoll der Halbmesser. Bei einer plan-convexen Linse muß 1/10 Index mit der Lauge der Brennweite multiplicirt werden. 8) Aus dem Brechungs-Index und aus der convexen Oberflaͤche einer concav-convexen Linse den Halbmesser der concaven Oberflaͤche zu finden, so daß diese Linse eine gegebene negative Brennweite erhaͤlt. Regel. Man finde den Dividenden genau, wie in Regel 6. Dann addire man das erste Product zu dem gegebenen Halbmesser, und bilde hieraus den Divisor. Der Quotient ist der gesuchte Halbmesser. Beispiel. Der Halbmesser der convexen Oberflaͤche einer concav-convexen Linse ist 12 Zoll; der Brechungs-Index 1,600; die negative Brennweite 5 Zoll: man will den Halbmesser der concaven Oberflaͤche wissen. Textabbildung Bd. 23, S. 17 Brennweite; Erstes Product; Gegebener Halbmesser; Dividend; Divisor 9) Aus dem gegebenen Brechungs-Index und dem Halbmesser der concaven Oberflaͤche den Halbmesser der convexen Oberflaͤche zu finden, so daß die Linse eine gegebene negative Brennweite erhaͤlt. Regel. Man finde den Dividenden genau, wie in Regel 6. Man subtrahire den gegebenen Halbmesser von dem ersten Producte, und bilde daraus den Divisor: der Quotient ist der verlangte Halbmesser. Beispiel. Die Zahlen stehen wie in dem lezten Beispiele, außer daß der Halbmesser der concaven Flaͤche 2,4 Zoll ist. Man finde den anderen Halbmesser. Erstes Product     = 3,0 Gegebener Halbmesser     = 2,4   ––––––– 3,0 – 2,4 = 0,6) 72   ––––––– Gesuchter Halbmesser =         12 Zoll. Anmerkung. Auf aͤhnliche Weise kann aus den Halbmessern der Kruͤmmung einer Linse, und der durch Versuch gefundenen Brennweite, der Index der Brechung derselben sehr genau berechnet werden. Ueber diesen Gegenstand finden sich einige Bemerkungen am Ende dieser Abhandlung. Wir koͤnnen nun zur Berechnung der Halbmesser eines zusammengesezten achromatischen Objectiv-Glases uͤbergehen, wenn der Brechungs-Index und die Zerstreuungskraͤfte der Glaͤser gegeben ist.Edinb. phil. Journ. N. 28. S. 311. 15. Detail zur Berechnung eines zusammengesezten achromatischen Objectiv-Glases. Es ist am besten in diesem Falle die Rechnung immer fuͤr eine gegebene Brennweite zu fuͤhren, und hierauf die Kruͤmmungen in geradem Verhaͤltnisse der vorgeschlagenen Brennweite zur angenommenen zu veraͤndern. Unsere angenommene zusammengesezte Brennweite ist immer 10 Zoll. Das Beispiel, welches wir hier vortragen, ist die Berechnung der Kruͤmmungen eines zusammengesezten Objectiv-Glases aus zwei Stuͤken Tafel- und Flint-Glas, mit welchen in der Einleitung Versuche angestellt werden. Der Brechungs-Index des Tafel-Glases ist 1,528, des Flint-Glases 1,601; das Zerstreu-Verhaͤltniß beider 0,683: folglich die erforderliche Brennweite 46 Zoll. Die gehoͤrige Brennweite der beiden das Objectiv-Glas bildenden Linsen zu finden, so daß sie im Verhaͤltnisse der Zerstreunngs-Kraͤfte gegen einander stehen, und eine zusammengesezte Brennweite von 10 Zoll haben. Regel 1) Man subtrahire die Zahl, die das Zerstreuungs-Verhaͤltniß ausdruͤkt, von der Einheit, und der Rest multiplicirt mit 10 ist die Brennweite der Tafelglas-Linse. 2) Man theile die auf obige Weise gefundene Brennweite der Tafelglas-Linse durch das Zerstreuungs-Verhaͤltniß; der Quotient wird die Brennweite der Flint-Linse seyn. Beispiel. Fuͤr den angegebenen Fall war das Zerstreuungs-Verhaͤltniß 0,683; folglich von 1,000 abgezogen 0,683 ––––– Rest 0,317 Multiplicirt mit 10 –––––    3,17 Zoll Brennweite der Tafelglas-Linse.     0,683)    3,170 (4,64 Zoll Brennweite der Flintglas-Linse. Die erste oder aͤußere Oberflaͤche der Tafelglas-Linse, und die vierte oder vordere Flaͤche der Flintglas-Linse fuͤr eine zusammengesezte Brennweite von 10 Zoll zu finden. Hier muͤssen wir zu den am Ende beigefuͤgten Tafeln unsere Zuflucht nehmen, und auf folgende Weise verfahren. In der ersten Spalte dieser Tafeln, welche alle Zerstreuungs-Verhaͤltnisse, die jemahls in der Praxis vorkommen koͤnnen, enthaͤlt, sucht man das in Frage stehende, z.B. in unserem Falle, 0,683, und in derselben Linie wird man in der zweiten und fuͤnften Spalte die gehoͤrigen Halbmesser der Kruͤmmung fuͤr die erste und vierte Oberflaͤche finden, unter der Voraussezung, daß der Brechungs-Index des Tafel-Glases 1,524, und des Flint-Glases 1,585 ist; denn fuͤr diese Zahlen ist diese Tafel berechnet. In unserem Falle sind diese Zahlen 6,7956 und 12,7423. Wenn aber die Index nicht, wie in diesem Falle, so, wie an dem vorliegenden Glase, sind, muͤssen die obigen Halbmesser in der Tabelle auf folgende Weise corrigirt werden. Fuͤr die Linse aus Tafel-Glas. Man finde die Differenz zwischen dem Index der Tabelle fuͤr das Tafelglas, und jenem des in Frage stehenden Glases, und multiplicire mit dieser Differenz die in der dritten Spalte stehende Zahl. Wenn der gegebene Index großer ist, als jener in der Tafel, so seze man das Zeichen (plus oder minus) wie man es in der Tafel findet, vor das Product; wenn aber der Index in der Tafel großer ist, dann seze man das entgegengesezte Zeichen von demjenigen, welches' sich in der Tafel findet, vor das Product. Hierauf nimmt man die Differenz zwischen dem gegebenen Index des Flintglases und jenem in der Tafel, und verfaͤhrt genau auf dieselbe Weise, naͤmlich, man multiplicirt diese Differenz mit der Zahl in der vierten Spalte, und befolgt, in. Hinsicht auf das Zeichen vor dem Producte, die oben gegebene Regel. Nun addirt man, wenn die beiden Producte dasselbe Zeichen haben, dieselben zu einander; wenn sie aber verschiedene Zeichen haben, so subtrahirt man sie, und sezt das gehoͤrige Zeichen vor: d.h., das Zeichen der Producte selbst, wenn sie gleich sind, oder das des groͤßeren, wenn sie verschieden sind. Endlich, wenn das resultirende Zeichen plus (+) ist, so addire man die Zahl, vor welcher es steht, zu dem oben gefundenen Halbmesser der Tabelle; wenn es minus (–) ist, so ziehe man sie ab: die Summe oder der Rest gibt den verbesserten Halbmesser fuͤr die erste Oberflaͤche des Tafel-Glases. Auf dieselbe Weise verfaͤhrt man mit der Flintglas-Linse, und bedient sich der 5. 6. und 7. Spalte, und erhaͤlt auf diese Weise den verbesserten Halbmesser fuͤr die vierte Oberflaͤche. Diese Regeln sind in folgender Fortsezung des Beispieles erlaͤutert. Da das Zerstreuungs-Verhaͤltniß unseres Flint- und Tafel-Glases, nach Versuchen, 0,683 ist, so werden die Halbmesser nach dem Brechungs-Index der Tafel fuͤr die erste Oberflaͤche = 6,7956 Zoll, und fuͤr die vierte Oberflaͤche 12,7423 Zoll. Diese muͤssen nun fuͤr den gegebenen Index, naͤmlich fuͤr Tafel-Glas =1,528, und fuͤr Flint-Glas = 1,601, verbessert werden. Die Differenz zwischen dem Index der Tafel fuͤr das Tafel-Glas, und dem gegebenen ist 0,004. Daher Zahl in der dritten Spalte = +   0,414 Multiplicirt mit   0,004 –––––– Gibt + 0,01656 Die Differenz zwischen dem Index der Tafel fuͤr das Flint-Glas und dem gegebenen ist 0,016. Daher Zahl in der vierten Spalte = +  2,45 Multiplicirt mit   0,016 ––––––– Gibt + 0,03920 verbesserten Tafel-Glas Index. Addire + 0,01656 verbesserten Flint-Glas Index. ––––––– Summe + 0,05576 verb. Addire Halbmesser der Tafel 6,7956 ––––––– Verbesserter Halbmesser 6,8514 fuͤr die erste Oberflaͤche. Ferner, Zahl in der sechsten Spalte = + 116,14 Multiplicirt mit     0,004 ––––––– Gibt +  0,46456 verb. Tafel-Glas Index. ––––––– Und, Zahl in der siebenten Spalte = – 71,69 Multiplicirt mit 0,016 –––––––– Gibt – 1,14704 verbesserter Flint-Glas Index. + 0,46456 –––––––– Differenz – 0,68248 verbessert Halbmesser der Tafel 12,7422 –––––––– 12,0597 verbesserter Halbmesser fuͤr die vierte Oberflaͤche. Es bleibt nun nur noch die zweite und dritte Oberflaͤche, (d.h. die sich beruͤhrenden Oberflaͤchen) zu bestimmen uͤbrig. Zu dieser Bestimmung haben wir fuͤr jede Linse die Brennweite, den Halbmesser der einen Oberflaͤche, und den Brechungs-Index gegeben; also fuͤr die doppelt convexe, oder Tafelglas-Linse hier Regel 6, Art. 14, und fuͤr die Flintglas-Linse, die concav-convex ist, Regel 8. desselben Artikels. Fuͤr die zweite Oberflaͤche der Tafelglas-Linse siehe Reg. 6. Brennweite = 3,17. Ein Zehntel Index = 0,528; 3,17 × 0,528 = 1,67376 Erstes Product. Halbmesser der ersten Oberflaͤche = 6,85 Erstes Product × Halbmesser d. ersten Oberflaͤche = 11,4627 = Dividend. 6,85 – 1,67376 = 5,17 = Divisor. 5,17) 11,4627 (2,22 = zweite Oberflaͤche. Fuͤr die dritte Oberflaͤche der concaven Flint-Linse, siehe Regel 8, Artikel 14. Brennweite = 4,64. Ein Zehntel Index = 0,601; 4,64 × 0,601 = 2,788 = Erstes Product. 12,06 = gegebener Halbmesser 2,788 × 12,06 = 33,62328 = Dividend. 12,06 + 2,788 = 14,848 = Divisor. 14,848) 33,62328 (2,26 = Halbmesser der dritten Oberflaͤche. Wir haben so die vier folgenden Halbmesser fuͤr die auf einander folgenden Oberflaͤchen zu einer zusammengesezten Brennweite von 10 Zoll, naͤmlich: Tafel-Glas 1ste Oberflaͤche Halbmesser   6,85 Zoll convex,2ste Oberflaͤche Halbmesser   2,22 Zoll convex, Flint-Glas 3ste Oberflaͤche Halbmesser   2,26 Zoll concav.4ste Oberflaͤche Halbmesser 12,060 Zoll convex. Diese sind, wie man bemerken wird, fuͤr eine zusammengesezte Brennweite von 10 Zoll, waͤhrend unser Beispiel eine von 46 Zoll fordert. Wir muͤssen daher diese verschiedenen Halbmesser in dem Verhaͤltnisse von 10 zu 46 vergroͤßern, was folgende Resultate gibt: 10 : 46 : :   6,85   : 31,510 erste Oberflaͤche convex, 10 : 46 : :   2,22   : 10,212 zweite      – convex, 10 : 46 : :   2,26   : 10,396 dritte      – concav, 10 : 46 : : 12,060 : 55,476 vierte      – convex. Wenn der Umstand, daß die zweite beruͤhrende Oberflaͤche, d.i., die convexe, die tiefere von beiden ist, in praktischer Hinsicht unbequem ist, oder wenn man es gut faͤnde, daß diese Oberflaͤchen auf gleichen Werkzeugen gearbeitet wuͤrden, so wird es sehr leicht seyn, die dritte Oberflaͤche zu reduciren, so daß sie der zweiten gleich wird, wenn man eine solche correspondirende Veraͤnderung an der vierten Oberflaͤche anbringt, daß immer dieselbe Brennweite erhalten wird, sowohl einzeln fuͤr die Flint-Linse, als fuͤr die zusammengesezte Brennweite. Wir haben bloß 2,22 Zoll als den gegebenen Halbmesser, 4,64 als die Brennweite unter einem Index von 1,601 zu betrachten, und die vierte correspondirende Oberflaͤche nach der hierzu gegebenen Regel 9, Art. 14, zu finden. Brennweite = 4,64. Ein Zehntel Index = 0,601; 4,64 × 0,601 = 2,78864 = Erstes Product. 2,22 = gegebener Halbmesser. 2,78864 × 2,22 = 6,19047 = Dividend. 2,788 – 2,22 = 0,568 = Divisor. 0,568) 6,19047 (10,396 = Halbmesser der vierten Oberflaͤche. Und dann: 10 : 46 : : 10,898 : 50,13 Zoll. Diese Einrichtung gibt demnach fuͤr die vier Oberflaͤchen, 1ste2te3te4te Oberflaͤche     –     –     – ==== 31,51010,21210,21250,13 zusammengesezte Brennweite 46 Zoll. Man muß jedoch bemerken, daß diese Veraͤnderungen so wenige als moͤglich gemacht werden muͤssen, weil sie leicht Mangel an Genauigkeit oder Mangel an Compensation veranlassen, obschon sie in gewoͤhnlichen Faͤllen ohne einen sehr bedeutenden Fehler angewendet werden koͤnnen. Es ist offenbar, daß wir haͤtten ein Mittel zwischen den beiden sich beruͤhrenden Halbmessern nehmen, und darnach die erste und vierte Oberflaͤche vorrichten koͤnnen. Es gibt noch einen anderen praktischen Kunstgriff, zu welchem man zuweilen seine Zuflucht nehmen kann, und der, inner halb gewisser Graͤnzen, keinen Fehler veranlaßt; dieser ist naͤmlich der, wenn der Arbeiter ein Paar Contact-Werkzeuge hat, die beinahe so sind, wie die Rechnung sie fordert. In diesem Falle kann er, statt seine Werkzeuge zu aͤndern, alle Halbmesser in dem Verhaͤltnisse abaͤndern, in welchem die verlangten Halbmesser zu den erwaͤhnten Werkzeugen stehen. Dieß gibt Ein bis zwei Zoll Differenz in der Brennweite des Objectiv-Glases, was von keiner besonderen Bedeutung ist. Man seze z. B. der Arbeiter haͤtte, fuͤr den lezten Fall, ein Paar Contact-Werkzeuge, die genau 10 Zoll messen; so braucht er bloß zu sagen: 10,212 : 10 : : 31,51 : 30,85 = 1ste Oberflaͤche. 10,212 : 10 : : 50,13 : 49,09 = 4te Oberflaͤche. 10,212 : 10 : : 46,00 : 45,09 = Brennweite. Auf diese Weise erhalten wir folgende Resultate: 1ste2te3te4te Oberflaͤche     –     –     – 30,8510,0010,0049,09 Brennweite 45,09 Zoll. So geht die Rechnung zur Bestimmung der Halbmesser der Kruͤmmung bei Verfertigung eines achromatischen Objectiv-Glases, von welcher wir hier noch ein zweites Beispiel geben wollen. 2tes Beispiel. Man soll die Halbmesser der Kruͤmmung fuͤr ein Objectiv-Glas von 6 Fuß Brennweite aus Newcastle Tafel-Glas, dessen Index 1,515, und aus Schweizer Flint-Glas, dessen Index 1,671, unter Zerstreuungs-Verhaͤltniß von 0,613 ist, bestimmen. 1,000 0,613 ––––– 0,387       10 ––––– 3,87 = Brennweite der Tafelglas-Linse. 0. 613) 3,870 (6,31 = Brennweite der Flintglas-Linse. Halbmesser nach der Tafel unter0,613 Zerstreuungs-Verhaͤltniß 1ste Oberflaͤche =  6,71314ste Oberflaͤche = 14,1052 Index der Tafel fuͤr Tafelglas   1,524 fuͤr  Flintglas 1,585 Gegebener Index fuͤr dasselbe   1,515 –  dasselbe 1,671   ––––– –––––– – 0,009 + 0,086 Verbesserung der ersten Oberflaͤche Verbesserter Index d. Tafel f. Tafelglas = + 6,46 fuͤr Flintglas = + 0,600 – 0,009 + 0,086 –––––––– ––––––– – 0,05814 + 0,0516 + 0,05160 –––––––– – 0,00654 = Verbesserung 6,7131 –––––––– Erste Oberflaͤche 6,70666 = verbesserter Halbmesser. Verbesserung der vierten Oberflaͤche. N. d. Tafel verbess. Tafelglas-Ind. = + 111,90 Flintglas Index = – 58,32 –     0,009 +   0,086 –––––––– ––––––– –   1,00764 0,34992 –   5,01552 4,6656 –––––––– –    6,02316 = Verbesserung. – 5,01552 14,1052 –––––––– vierte Oberflaͤche   8,08204 = verbesserter Halbmesser Die beruͤhrenden Oberflaͤchen zu finden. Brennweite der Tafelglas-Linse = 3,87. Ein Zehntel des Index des Tafelglases = 0,515. 3,87 × 0,515 = 1,993 = Erstes Product. Halbmesser der ersten Oberflaͤche = 6,706. 1,993 × 6,706 = 13,365058 = Dividend. 6,706 – 1,993 = 4,713 = Divisor. 4,713) 13,365058 (2,836 = Halbmesser der zweiten Oberflaͤche. Brennweite der Flintglas-Linse = 6,31. Ein Zehntel des Index des Flintglases = 0,671. 6,31 × 0,671 = 4,234 = Erstes Product,     8,082 = Halbmesser der vierten Oberflaͤche. 4,234 × 8,082 = 34,219188 = Dividend,     8,082 + 4,234 = 12,316 = Divisor.   12,316) 34,219188(2,778 = Halbmesser der dritten Oberflaͤche. Daher fuͤr eine zusammengesezte Brennweite von 10 Zoll folgende Resultate. Tafel-Glas 1ste Oberflaͤche Halbmesser2te          –                – 6,706 convex,2,836 convex, Flint-Glas 3te          –                –4te          –                – 2,778 concav,8,082 convex. Daher endlich fuͤr unsere zusammengesezte Brennweite von 72 Zoll: 10 : 72 :  : 6,706 : 48,28 = 1ste10 : 72 :  : 2,836 : 20,42 = 2te10 : 72 :  : 2,778 : 20,00 = 3te10 : 72 :  : 8,082 : 58,19 = 4te Oberflaͤche   –   –   – Brennweite 72 Zoll. Obige Beispiele werden vollkommen hinreichen, um jeden praktischen Optiker in den Stand zu sezen, die oben gegebenen Operationen, nicht bloß insofern sie zu Berechnung der Halbmesser dienen, sondern auch zur Bestimmung des Brechungs-Index und des Zerstreuungs-Verhaͤltnisses der Glaͤser zu verfolgen. Sie sind fuͤr diejenigen berechnet, denen algebraische Formeln nicht gelaͤufig sind, und wir entschuldigen uns daher nicht vor den Algebraisten wegen der Laͤnge, die einige Berechnungen und Erlaͤuterungen hier einnehmen; sie koͤnnen sie ja nach Belieben abkuͤrzen. Wir muͤssen hier noch bemerken, daß man bei der weiteren Ausdehnung, die der unten folgenden Tabelle gegeben wurde, keinen anderen Grundsaz befolgte, als bloß jenen des einfachen Verhaͤltnisses: sie ist hinlaͤnglich genau fuͤr jeden praktischen Zwek. Tafel der Halbmesser der ersten und vierten Oberflaͤche der Objektiv-Glaͤser fuͤr verschiedene Zerstreuungs-Verhaͤltnisse und fuͤr den Berechnungs-Index von 1,524 fuͤr Tafel- und 1,585 fuͤr Flint-Glas, nebst Spalten fuͤr Verbesserungen bei einem anderen Index. Textabbildung Bd. 23, S. 25 Erste Oberflaͤche; Vierte Oberflaͤche; Zerstreuungs-Verhaͤltniß Halbmesser fuͤr den Index; Verbesserung des Index fuͤr Tafel-Glas; Verbesserung des Index fuͤr Flint-Glas Fortsezung der Tafel. Textabbildung Bd. 23, S. 26 Erste Oberflaͤche; Vierte Oberflaͤche; Zerstreuungs-Verhaͤltniß; Halbmesser fuͤr den Index; Verbesserung des Index fuͤr Tafel-Glas; Verbesserung des Index fuͤr Flint-Glas Fortsezung der Tafel. Textabbildung Bd. 23, S. 27 Erste Oberflaͤche; Vierte Oberflaͤche; Zerstreuungs-Verhaͤltniß Halbmesser fuͤr den Index; Verbesserung des Index fuͤr Tafel-Glas; Verbesserung des Index fuͤr Flint-Glas Fortsezung der Tafel. Textabbildung Bd. 23, S. 28 Erste Oberflaͤche; Vierte Oberflaͤche; Zerstreuungs-Verhaͤltniß Halbmesser fuͤr den Index; Verbesserung des Index fuͤr Tafel-Glas; Verbesserung des Index fuͤr Flint-Glas