XXXIII. Ueber die Kraft des unbegraͤnzten Wassers. Von Wilhelm Fickler, koͤniglich preußischer Baumeister in Uerdingen. Mit Abbildungen auf Tab. III. Fickler, uͤber die Kraft des unbegraͤnzten Wassers. Vorwort. Die Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen, namentlich des Wassers und des Windes, gewaͤhrt so betraͤchtlichen Nuzen, daß die Erforschung der Groͤße dieser Kraͤfte und die Vervollkommnung derjenigen Maschinen, wozu diese Kraͤfte benuzt werden, von vielen um Kuͤnste und Wissenschaften verdienten Maͤnnern versucht wurde. Insbesondere wurden mancherlei Versuche und Beobachtungen uͤber die vortheilhafteste Benuzung des Wassers auf Raͤder angestellt, deren Resultate aber auf die befremdendste Weise von einander abweichen. Namentlich zog schon der franzoͤsische Gelehrte de Parcieux in der Mitte des vorigen Jahrhunderts aus seinen Versuchen den Schluß, daß das Wasser durch den Druk wirkend einen groͤßeren Effect auf Raͤder leiste, als durch den Stoß, und die Versuche Banks schienen ebenfalls zu ergeben, daß die Kropfraͤder und oberschlaͤchtigen Raͤder einen groͤßeren Effect leisten als Raͤder im geraden Gerinne. Dahingegen will der neuere Gelehrte Poncelet das ganze Gefaͤlle als Wasserstand benuzt haben, und das Wasser an die tiefsten Schaufeln leiten, also nach den bisherigen Ansichten der Gelehrten nur allein durch den Stoß wirken lassen. So entgegengesezte Resultate muͤssen um so mehr befremden, als dieselben aus Erfahrungen und von Maͤnnern hergeleitet wurden, denen man hinlaͤngliche Umsicht zu dergleichen Beobachtungen zuzutrauen berechtigt ist; es muͤssen dieselben daher zu der Vermuthung Veranlassung geben, daß beide Resultate richtig seyn koͤnnen, und ich habe es in meiner Theorie der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen versucht zu zeigen, aus welchen Gruͤnden diese Erfahrungen so sehr von einander abweichen, und wie man die Anordnung treffen muͤsse, um bei gleichen zur Wirkung kommenden Wassermengen gleiche, so wie die groͤßten Effecte zu erzielen. Obgleich indeß diese Theorie der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen bereits seit ein und einem halben Jahre die Presse verlassen hat, ist mir doch noch keine oͤffentliche Beurtheilung derselben zu Haͤnden gekommen, noch habe ich erfahren, daß man irgendwo Versuche zur Pruͤfung und Berichtigung derselben angestellt hat, und dieß in einer Zeit, wo so bedeutende Summen fuͤr Kunst und Wissenschaft verschwendet werden. Daß dieß in einer voͤlligen Nichtbeachtung jener Theorie seinen Grund haben sollte, laͤßt sich nicht wohl erwarten, denn die darin enthaltenen Wahrheiten muͤssen sich jedem denkenden Geiste zu sehr aufdringen, wenn diese Theorie auch in vielen Theilen noch nicht vollendet ist, ich auch nicht erwartete, bei dem Mangel an Muße und Gelegenheit zu eigenen Beobachtungen, diese Theorie, woran die Bemuͤhungen so vieler Gelehrten bisher scheiterten, so bald zur Vollendung zu bringen und einstweilen das mittheilte, was meiner Ueberzeugung nach fuͤr die Industrie von großem Nuzen seyn konnte. Sogleich nach dem Erscheinen dieser Theorie fuͤhrte mich indeß die umfassendere Untersuchung uͤber die Anwendung derselben auf expansible fluͤssige Massen, auf einen darin fuͤr die Berechnung der Kraft des unbegraͤnzten Wassers enthaltenen Rechenfehler, indem bei Berechnung dieser Kraft nach den Versuchen Bossuts fuͤr die hydrostatische Kraft das ganze Wasserprofil vor der Ebene irrthuͤmlich in Rechnung gebracht war, anstatt nur das Geringe des Aufstaues in Rechnung zu bringen; so kann es nun geschienen haben, als ob diese Theorie, da die hydraulische Kraft bei großer Belastung und geringer Geschwindigkeit des Rades nur sehr gering wird, doch bei Raͤdern im unbegraͤnzten Wasser nicht richtig, also nicht allgemein anwendbar sey. Ich waͤhle daher diesen Weg, diese Luͤke durch nachfolgende Paar Bogen einstweilen auszufuͤllen, bis es die Umstaͤnde erlauben und wuͤnschenswerth machen sollten, dieß ausfuͤhrlicher in einer Anwendung dieser Theorie auf expansible Fluͤssigkeiten nachzuholen. Die indeß Statt gehabte Umaͤnderung der in der gedachten Theorie naͤher beschriebenen Muͤhle auf der ehemaligen Karthause bei Juͤlich, hat aber ebensowohl von der Richtigkeit des von mir von dieser Muͤhle Gesagten, als davon einen Beweis geliefert, wie wenig eine allgemeine Anwendung jener Theorie noch zu erwarten ist. Es war naͤmlich im April vorigen Jahres diese Muͤhle zugleich fuͤr eine Knochenstampfmuͤhle eingerichtet, worin 15 Stampfen von einer zweihubigen Daumenwelle in Bewegung gesezt wurden. Leztere wurde mittelst einer Kette ohne Ende getrieben, welche uͤber ein Rad auf der Daumenwelle der Oehlmuͤhle von 3 1/2 Fuß Durchmesser und uͤber ein anderes auf der Daumenwelle der Knochenstampfmuͤhle von 2 1/2 F. Durchmesser geleitet war. Dem Wasserrade hatte man anstatt sonst einen Fuß, nunmehr einen und einen halben Fuß Ringtiefe und dabei noch wieder einen Boden gegeben – wahrscheinlich doch wohl um zu sehen, ob bei dieser Ringtiefe saͤmmtliche 15 Stampfen in Betrieb gesezt werden koͤnnten. Es zeigte sich indeß bald, daß hier, wo die Massen immer wieder von Neuem in Bewegung gesezt werden muͤssen, und die Maschine also nicht, wie wenn die Oehlmuͤhle im Betriebe ist, einen stetigen Schnekengang annehmen kann, diese Belastung zu groß war und nicht mehr als die Haͤlfte der Stampfen angehaͤngt werden durfte. Der zweihubigen Welle dieser Knochenstampfmuͤhle hatte man die mangelhafte Einrichtung, die Daumen nach der Schneke zu sezen, gegeben, was hier doppelt nachtheilig war, da nur die Haͤlfte der Stampfen, also ein Mal die vorderen sieben, und dann, wenn das Knochenmehl in diesem Theile des Troges fein genug war, die anderen 8 in Bewegung gesezt werden konnten, so daß immer fast gleichzeitig 4 oder 3 Stampfen von der halben Schneke gehoben wurden und fast gleichzeitig niederfielen, wodurch ein sehr ungleichfoͤrmiger Beharrungsstand Statt fand. Jede Stampfe wurde 16 bis 17 Zoll hoch gehoben und war von Eichenholz 4 1/2 Zoll im Quadrat stark, 11 Fuß lang und mit 30 bis 32 Fuß schweren eisernen Schuhen versehen, so daß jede circa 120 Pfund wog. Das Wasserrad bewegte sich in einer Minute sieben Mal um seine Achse, waͤhrend sich die Daumenwelle funfzehn Mal um ihre Achse bewegte, also jede Stampfe 30 Mal in einer Minute gehoben wurde. Der Effect war daher nach einem einfachen Ueberschlage, wenn man annimmt, daß durchschnittlich immer eine Stampfe ganz auf den Daumen wirkt und jede Stampfe von 120 Pfd. schwer 1 1/3 F. hoch gehoben wird. 120 . 30 . 1 1/3 = 4800 Pfd. excl. der Reibung der Maschine und ohne Beruͤksichtigung des Umstandes, daß die Daumen so vertheilt sind, daß immer etwas mehr wie eine Stampfe normal auf den Daumen wirkt. In der mehrgedachten Theorie ist aber der hydraulische Druk unter obigen Umstaͤnden zu 5536 Pfd. berechnet worden. Die Schaufeln des Wasserrades wurden nur zur Haͤlfte mit Wasser gefuͤllt, und also war der Boden des Rades ganz unnuͤz, auch klagte man am 14. Mai 1833 bei etwas trokener Witterung schon sehr uͤber Wassermangel. Sonach hat sich bereits der groͤßte und wesentlichste Theil dessen, was ich uͤber die Anordnung und Umaͤnderung dieser Muͤhle gesagt habe, praktisch bewaͤhrt und manche andere Muͤhle jener industriereichen Gegend koͤnnte mit Sicherheit zu einem hoͤheren Grade der Vollkommenheit gebracht werden. Hat aber jene Theorie noch wenig Beachtung gefunden, so muß man auf der anderen Seite um so mehr erstaunen, wie, obgleich man von der Mangelhaftigkeit der fruͤheren Theorien uͤberzeugt war, man dennoch annahm, die Kraft, welche man als an dem Umfange des Wasserrades wirkend berechnete, sey richtig erforscht, dagegen pflanze das Rad nur gewisse Procente dieser Kraft fort, und es bleibt immer bemerkenswerth, wie ganze Commissionen dergleichen Unterstellungen mit dem groͤßten Ernst machen konnten, anstatt an der Richtigkeit der Berechnung der Kraft zu zweifeln. Wahrlich, wenn Kaͤstner es schon eine Spielerei nennt, daß Physiker den Versuch, daß eine Feder im luftleeren Raume eben so schnell als andere Koͤrper faͤllt, ihren Schuͤlern vormachen, was wuͤrde er erst zu einer solchen Unterstellung sagen, die noch den Nachtheil hatte, daß man nicht fortfuhr mehrere Versuche zu machen, um die Kraft richtig zu erforschen, und so Raͤder nach Mustern baute, von deren Vorzug man sich die Gruͤnde gar nicht anzugeben wußte; zu wie großen Nachtheilen ein solches Verfahren aber Veranlassung geben kann, ist mir nirgends so auffallend vorgekommen, als in einer Tuchfabrik bei Duͤren. – Ich schließe daher dieses Vorwort mit dem aufrichtigen Wunsche, daß man bald der Theorie der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen in meinem Vaterlande Aufmerksamkeit schenken und die Resultate derselben zum Vortheile der Industrie benuzen moͤge. –––––––––– §. 1. Wenn sich eine fluͤssige Masse, sey sie expansibel oder nichtexpansibel, frei im Raume oder in Gerinnen und Flußbetten bewegt, so muß eine Ebene, welche sich mit derselben mit gleicher Geschwindigkeit bewegt, ohne Zweifel die bewegende Kraft dieser fluͤssigen Masse annehmen, und die Groͤße dieser Kraft muß bei gleichartigen Massen offenbar von dem Querschnitte dieser darauf wirkenden fluͤssigen Masse, oder von der Groͤße der Ebene und ihrer Geschwindigkeit abhaͤngen. Ist die Richtung der Bewegung der fluͤssigen Masse normal auf die Ebene, so wird von ihrer Groͤße selbst die Groͤße der fluͤssigen Masse und die Groͤße der Kraft derselben, welche darauf wirkt, abhaͤngen, sonst aber von der Projection der Ebene auf den auf die Richtung der Bewegung der fluͤssigen Masse gedachten normalen Querschnitt derselben, indem sich die Groͤßen der Bewegung wie die Massen multiplicirt mit ihren Geschwindigkeiten verhalten. §. 2. Bewegen sich nicht alle Theile der fluͤssigen Masse mit gleicher Geschwindigkeit, wie z.B. das in Gerinnen sich bewegende Wasser, so muß doch ohne Zweifel die Groͤße der in dem Wasser vorhandenen bewegenden Kraft von der mittleren Geschwindigkeit und der Groͤße des Querschnittes abhaͤngen. Bewegt sich ein Wasserstrahl aus der vertikalen Oeffnung eines Gefaͤßes, wo offenbar die unteren Wasserfaͤden, welche in der Oeffnung einen groͤßeren Druk erleiden, eine groͤßere Geschwindigkeit haben, und die mittlere Geschwindigkeit des Strahles ist der mittleren Geschwindigkeit des in einem Gerinne sich bewegenden Strahles von gleichem Querschnitte gleich, wo die unteren Wasserfaͤden eine geringere Geschwindigkeit haben, so wird doch unfehlbar die bewegende Kraft beider Wasserstrahlen von gleicher mittlerer Geschwindigkeit einander gleich seyn, indem wir die Kraͤfte nur aus ihren Wirkungen kennen, hier aber die in gleichen Zeiten durchlaufenen Raͤume die Wirkung ist, wonach wir die Groͤße der Bewegung der Massen also auch der bewegenden Kraft beurtheilen. Bewegt sich eine Ebene, welche normal auf die Richtungslinie der Bewegung der fluͤssigen Masse steht, mit lezterer mit gleicher Geschwindigkeit fort, so haͤngt die Groͤße der Bewegung oder der bewegenden Kraft von der Groͤße der Ebene, von der Geschwindigkeit derselben und der Art der bewegten fluͤssigen Masse ab: diese Kraft wollen wir die hydraulische Kraft der fluͤssigen Masse nennen. §. 3. Denkt man sich, daß in einem Gerinne Wasser gegen eine vertikale Ebene geleitet wird, welche das Gerinne gleichsam abschließt, indem sie dem Querschnitte des Gerinnes gleich, jedoch ohne Reibung an den Waͤnden des Gerinnes gedacht werden mag, so wird wenn eine Kraft auf die Ebene der Richtung des Wassers entgegenwirkt, diese Ebene dem andringenden Wasser nicht eher ausweichen, als bis der hydrostatische Druk des Wassers vor der Ebene jene Kraft uͤberwindet; alsdann aber wird die Bewegung der Ebene so lange beschleunigt seyn, bis der Beharrungszustand eingetreten, das ist, wenn der Abfluß des Wassers mit der Ebene dem Zuflusse gleich geworden ist, sey es, daß der Wasserzufluß von einem nahen oder entfernten Behaͤlter und dem Abhange des Gerinnes oder Flußbettes oder von dem Abhange des Wasserspiegels herruͤhrt. Denn so lange der Abfluß des Wassers vor der Ebene dem Zuflusse noch nicht gleich geworden ist, muß sich das Wasser vor der Ebene noch zu erheben trachten, und wieder eine noch schnellere Bewegung der Ebene erfolgen. Indem aber das Wasser vor der Ebene und mit ihm der hydrostatische Druk zuerst so lange anwaͤchst, bis die entgegenwirkende Kraft uͤberwunden wird, wuͤrde, wenn das Wasser eben so hoch vor der Ebene bliebe, und sich dasselbe unmittelbar vor der Ebene mit ihr mir gleicher Geschwindigkeit bewegte, das mechanische Moment der auf die Ebene wirkenden Kraft dem mechanischen Momente des jener Kraft gleichen hydrostatischen Drukes gleich seyn. Da aber, sobald Bewegung in der Richtung des Wasserzuflusses erfolgt, auch noch die hydraulische Kraft hinzukoͤmmt, und beider mechanisches Moment dem mechanischen Momente der entgegenwirkenden Kraft gleich seyn muß, sobald ein Gleichgewicht waͤhrend der Bewegung eintritt, so muß der hydrostatische Druk in eben dem Maße abnehmen als die hydraulische Kraft zunimmt, also auch das Wasser wieder so lange vor der Ebene sinken, oder das Wasserprofil wieder so lange kleiner werden, bis Abfluß mit der Ebene dem Zuflusse gleich, aber auch zugleich das mechanische Moment der entgegenwirkenden Kraft dem mechanischen Momente der beiden so eben erwaͤhnten Kraͤfte gleich geworden ist. Der dann noch bleibende hydrostatische Druk des Wasserprofils waͤhrend der Bewegung soll die hydrostatische Kraft heißen, weil sie durch den hydrostatischen Druk des Wasserprofils waͤhrend der Bewegung gebildet oder veranlaßt wird; die bewegende Kraft, welche aber nach Verhaͤltniß der Geschwindigkeit dieses Wasserprofils in derselben vorhanden ist und welche sich der Ebene mittheilt, ist die hydraulische Kraft. Beide Kraͤfte zusammen bilden in diesem Falle den hydraulischen Druk, die Gesammtwirkung des Wassers, welche der entgegenwirkenden Kraft gleich, indem auch waͤhrend der Bewegung Wirkung der Gegenwirkung stets gleich, ein Gleichgewicht waͤhrend der Bewegung vorhanden seyn muß. Bewegt sich die Ebene im unbegraͤnzten Wasser, d.h. ist der Querschnitt des Wassers gegen die Ebene als sehr groß zu betrachten, so wird sich die Ebene ebenfalls um so langsamer bewegen, je groͤßer die auf die Ebene wirkende Kraft ist, wie die Versuche Bossut's mit Raͤdern im unbegraͤnzten Wasser beweisen, mithin kann nicht so viel Wasser mit der Ebene abfließen, als wenn keine Kraft auf die Ebene wirkt und sie sich mit dem Wasser mit gleicher Geschwindigkeit bewegt. Es muß sich daher das Wasser vor der belasteten Ebene anstauen, dadurch eine groͤßere Geschwindigkeit des Wassers neben der Ebene entstehen, daher sich die Wasserfaͤden vor der Ebene zum Theil von ihrer geraden Richtung ablenken muͤssen. Wie sehr das Wasserprofil zunimmt, wenn eine Ebene der Bewegung entgegentritt, laͤßt sich aus den von Woltmann in seiner Theorie des hydrometrischen Fluͤgels §. 46. mitgetheilten Beobachtungen schließen, wo das Wasserprofil eines Gerinnes von 564 Quadratzoll, dessen Geschwindigkeit 9,66 Fuß, wenn die Stoßflaͤche von 112 Quadratzoll senkrecht darin stand, zu 680 Quadratzoll anwuchs. §. 4. Wirkt nun auf eine solche sich mit der unbegraͤnzten fluͤssigen Masse bewegenden Ebene eine Kraft der Richtung der bewegten fluͤssigen Masse entgegen, so muß sich der davon herruͤhrende Druk nach allen Seiten hin der bewegten fluͤssigen Masse mittheilen und nach allen Seiten hin selbst nach Oben, wo die nicht expansible fluͤssige Masse von einer expansiblen, der Luft, begraͤnzt wird, wirken, und uͤberall Wirkung der Gegenwirkung gleich seyn, da die Theile einer fluͤssigen Masse in einem ununterbrochenen Zusammenhange stehen. Es ist hier nicht meine Absicht, eine Theorie aufzustellen, wie die Wassertheilchen einander den Druk mittheilen und ein Gleichgewicht unter einander wieder herzustellen suchen muͤssen, und wie die Luft mit darauf einwirkt, sondern nur zu versuchen die durch genaue Versuche und Beobachtungen bekannten verbuͤrgten Resultate zusammenzustellen, um daraus fuͤr die Anwendung diejenigen Schluͤsse zu ziehen, die den allgemeinen Naturgesezen, vorzuͤglich dem, daß bei jeder Mittheilung der Bewegung Wirkung und Gegenwirkung gleich seyn muͤsse, gemaͤß, allgemeine Guͤltigkeit haben muͤssen. Es wird insbesondere hiebei einstweilen hinlaͤnglich seyn zu eroͤrtern, auf welche Weise die Ebene den Druk uͤberhaupt empfaͤngt. Ich bemerke nur, daß wenn man annimmt, der Druk einer fluͤssigen Masse theile sich derselben bis an ihre Graͤnzen mit, dieß nur von in feste Graͤnzen eingeschlossenen fluͤssigen Massen in aller Strenge gelten kann, nicht aber in Teichen, Flußbetten und Gerinnen, wo das Wasser an der Oberflaͤche von einer elastischen Fluͤssigkeit begraͤnzt wird, welche dem Druke nachgibt, und so dem Druke auf die Wassertheilchen hier theilweise einen Ausweg verstattet, so daß die Wirkung gegen die entfernteren Wassertheilchen immer mehr und mehr abnimmt, wie die Wellenkreise einer an einem Punkte in Bewegung gesezten Wassermasse, je entfernter von dem Mittelpunkte immer schwacher werden; dieß Phaͤnomen laͤßt sich vielleicht dadurch erklaͤren, daß der nach allen Seiten, also auch nach der Oberflaͤche hin wirkende Druk nur so weil die Oberflaͤche erhebt, als derselbe den Druk der Luft auf die Oberflaͤche uͤberwindet, und endlich ins Gleichgewicht kommt, dann faͤllt das erhobene Wasser wieder und so entsteht, indem sich der Druk weiter fortpflanzt, eine entferntere aber schwaͤchere Wirkung in einem groͤßeren Kreise. Wenigstens scheinen die Wellenkreise eine Erhebung an ihren Graͤnzen zu zeigen. Hiedurch erklaͤrt sich auch, warum der Druk auf eine Ebene, welche das Gerinne gleichsam abschließt, sich nur so weit erstrekt, als von demselben eine geringere Geschwindigkeit, bei einem groͤßeren Querschnitte als die urspruͤngliche des Wassers im Gerinne bewirkt wird. Nicht minder erklaͤrt sich hiedurch., warum Fahrzeuge in Gerinnen und engen Canaͤlen einen groͤßeren Widerstand von Wasser erleiden als im unbegraͤnzten Wasser, indem die Seitenwaͤnde des Gerinnes jene Wellenkreise, die, in so fern sich der Druk nach allen Seiten hin ausbreiten will, Druksphaͤren bilden, unterbrechen und Segmente abschneiden, welche von festen Ebenen begraͤnzt werden und wohin der Druk sich nicht weiter verbreiten kann. §. 5. Ist die bewegte fluͤssige Masse nicht expansibel, so bedingt die Groͤße der Ebene in Vergleich mit dem Querschnitte der fluͤssigen Masse die Wirkung der Kraft auf die Ebene, so wie die Aenderung der Bewegung der fluͤssigen Masse. Ist naͤmlich die Ebene dem Querschnitte der fluͤssigen Masse gleich, und schließt dieselbe also des Gerinne gleichsam ab, so wird, wie bereits gedacht, die nichtexpansible fluͤssige Masse, wie das Wasser, den ihm entgegenstehenden Widerstand durch Anwachsen zu einem groͤßeren Querschnitte zu uͤberwinden trachten, bis der groͤßere hydrostatische Druk des Wassers auf die Ebene die demselben entgegenwirkende Kraft uͤberwindet und sich die Ebene mit dem Wasser wieder fortbewegt, wobei aber dasselbe dem groͤßeren Querschnitte gemaͤß vor der Ebene auf eine gewisse Entfernung, und zwar so weit der Aufstau reicht, eine geringere Geschwindigkeit angenommen hat, mithin wird nun die bewegende Kraft des Wassers auf die Ebene unmittelbar von diesem groͤßeren Querschnitte und der geringeren Geschwindigkeit der fluͤssigen Masse abhaͤngen. Ist die Ebene dem Querschnitte des Wassers nicht gleich, und zwar lezterer groͤßer, und wie man sich auszudruͤken pflegt, unbegraͤnzt, so kann zunaͤchst wieder die Ebene, wenn keine Kraft auf dieselbe der Richtung des Wassers entgegen wirkt, sich mit demselben mit gleicher Geschwindigkeit fortbewegen, und es wird die Ebene mit der hydraulischen Kraft des Wassers fortgefuͤhrt, welche von der Groͤße der Ebene, ihrer Geschwindigkeit und der Art der fluͤssigen Masse abhaͤngt. Wirkt aber auf die Ebene eine Kraft der fluͤssigen Masse entgegen, so kann diese Kraft zunaͤchst so groß seyn, daß die Ebene gegen den Andrang der fluͤssigen Masse in Ruhe bleibt. In diesem Falle muͤssen sich die Wasserfaͤden vor der Ebene ablenken und so mittelbar durch das vor der Ebene befindliche ruhende Wasser einen Druk auf die Ebene ausuͤben; auch hat Daniel Bernoulli den Normaldruk der in krummen Linien vor der Ebene abgleitenden Wasserfaͤden zu bestimmen gelehrt. So genau indeß das Resultat der Theorie Bernoulli's mit der Erfahrung, so wie mit dem Resultate der allgemeinen Theorie der Kraft bewegter Massen, wie sie Eytelwein vortraͤgt, hinsichtlich der Wirkung isolirter Strahlen auf hinlaͤnglich große Ebenen uͤbereinstimmt, eben weil bei hinlaͤnglich großen Ebenen die Bedingungen der Theorie Bernoulli's hinsichtlich des Abgleitens der Wasserstrahlen erfuͤllt werden (obwohl die Erfahrung lehrt, daß die Ebene wenigstens vier Mal so groß seyn muß als der Querschnitt des Strahles, und Eytelwein von einem ganz anderen Gesichtspunkte ausgeht, und die Wirkung des Strahles als einen Stoß betrachtet, oder doch wenigstens annimmt, daß alle Theile zum Stoße gelangen, was streng genommen nicht richtig seyn kann, im dem die bereits angestoßenen Wassertheilchen nicht ploͤzlich verschwinden und den uͤbrigen zum Stoße Plaz machen koͤnnen), so tritt doch bei dem Abgleiten der Strahlen des unbegraͤnzten Wassers vor einer Ebene ein ganz anderes Verhaͤltniß ein, da diese Strahlen, indem sie sich vor der Ebene ablenken, zugleich auf die uͤbrigen neben der Ebene vorbeifließenden wirken muͤssen, mithin die Bedingungen der Theorie Bernoulli's nicht mehr Statt finden. Aus der Uebereinstimmung der Resultate der beiden gedachten Theorien mit der Erfahrung, wonach diese Wirkung eines isolirten Strahles auf eine hinlaͤnglich große Ebene dem Druke einer Wassersaͤule gleich ist, welche doppelt so hoch als die der Geschwindigkeit zugehoͤrige Hoͤhe ist, geht natuͤrlich auch der Saz hervor, daß die Wirkung des Stoßes des Strahles dennoch vollstaͤndig bewirkt wird, obwohl die Wassertheilchen nicht alle unmittelbar auf die Ebene ihren Stoß ausuͤben koͤnnen, und theilweise nur mittelbar auf dieselbe wirken. Wenn man eine Ebene im unbegraͤnzten Wasser dem Strome entgegenfuͤhrt, so folgt das Wasser der Hinteren Ebene, und muß also auch mit einer hydraulischen Kraft auf die Hintere Flaͤche der Ebene wirken. Bei einer dem Strome entgegenstehenden ruhenden Ebene kann eine solche Wirkung des Wassers auf die Hintere Flaͤche der Ebene nicht Statt finden, und es kann dasselbe durch seine Bewegung nur einen Druk auf die vordere Flaͤche ausuͤben, obwohl der hydrostatische Druk auf die Hintere Flaͤche der Ebene dadurch geringer werden kann, daß das Wasser hinter der Ebene dem uͤbrigen folgen will, und daselbst nur durch Widerstroͤme ersezt wird. Mit der eben gedachten Normalkraft der sich vor der Ebene ablenkenden Wassertheilchen, welche eine sich bewegende fluͤssige Masse auf eine ruhende, ihr entgegenstehende Ebene ausuͤbt, wird man die Kraft wohl vergleichen, und man sollte im ersten Augenblike glauben, ihr ganz gleichstellen koͤnnen, wenn man eine Ebene im ruhenden unbegraͤnzten Wasser mit eben der Geschwindigkeit fortbewegt, als womit das Wasser sich gegen die ruhende Ebene bewegte, wie z.B. Bossut Beobachtungen mit Ebenen oder vielmehr mit Fahrzeugen anstellte, welche sich im ruhenden unbegraͤnzten Wasser bewegten, indem in diesem Falle offenbar die Wassertheilchen in aͤhnlicher Art aus ihrer Lage gedraͤngt werden, und sich vor der Ebene ablenken muͤssen, wie sich dieselben vor der ruhenden Ebene im bewegten Wasser ablenken, nur laͤßt es sich erwarten, daß da in dem fließenden Wasser die Wassertheile hinter der Ebene ein Bestreben haben, sich von der Ebene zu entfernen, der Druk auf die Hintere Flaͤche der Ebene nicht ganz so groß seyn kann, als auf die Hintere Flaͤche einer Ebene, die sich im ruhenden Wasser bewegt; mindestens ergeben die Beobachtungen Woltmann's den Druk des sich bewegenden Wassers gegen eine ruhende Ebene ungefaͤhr zu 5/4 des Drukes, welchen nach Bossut's Versuchen die bewegte Ebene in einer ruhigen fluͤssigen Masse erleidet, wenn man bei lezterem die vom Aufstau herruͤhrende hydrostatische Kraft abzieht. Es kann indeß seyn, daß Woltmann seine Beobachtungen ebenfalls mit Ebenen anstellte, welche theilweise aus dem bewegten Wasser hervorstanden, in welchem Falle dann von dem beobachteten Druk = 5/4 des der Geschwindigkeitshoͤhe angemessenen noch die hydrostatische Kraft abzuziehen, und der Unterschied beider Wirkungen sehr unbedeutend seyn wuͤrde. Man kann ferner diesen Druk, den eine ruhende Ebene in einer bewegten fluͤssigen Masse, so wie den, welchen eine bewegte Ebene im ruhenden Wasser erleidet, auch wohl mit dem Druke und dem Bestreben vergleichen, welchen ein jener Ebene gleicher Theil der horizontalen Seitenflaͤche eines Gefaͤßes von der uͤber ihr stehenden fluͤssigen Masse erleidet. Hier ist Bestreben nach Bewegung durch Druk einer vom Wasser umgebenen Wassersaͤule; dort geht aus der Bewegung einer von Wasser umgebenen Wassermasse, welche der Hoͤhe einer gleichen Saͤule gemaͤß ist, Druk hervor, und so laͤßt sich wohl der aus dem reinen Verstandesbegriffe gezogene Grundsaz, daß bei jeder Mittheilung von Bewegung und bewegender Kraft Wirkung der Gegenwirkung gleich seyn muß, mittelbar hier anwenden, denn diese von der Bewegung herruͤhrende Wirkung eines Wasserstrahles muß gewiß der urspruͤnglichem Kraft gleich seyn, welche eben diese Geschwindigkeit hervorbringen wuͤrde. Aus diesen Gruͤnden will ich diese Kraft, welche eine ruhende Ebene im fließenden Wasser, oder eine bewegte Ebene im ruhenden Wasser ihrer Geschwindigkeit gemaͤß erleidet, die urspruͤngliche Kraft (l'impulsion initiale) nennen, und es geben obige Betrachtungen zugleich ein leichtes Mittel an die Hand, die Groͤße derselben zu bestimmen. Es kommt uͤberhaupt bei obigen Eroͤrterungen darauf an, die Wirkung einer mit irgend einer Geschwindigkeit gegen die ruhende Ebene fließenden Wassermenge oder den Widerstand, welchen eine sich bewegende Ebene im ruhenden Wasser erleidet, zu bestimmen, und obgleich in der Wirklichkeit diese Kraftaͤußerung nur mittelbar durch das Ablenken der Wassertheile vor der Ebene geschehen kann, und es daher natuͤrlich war, daß Daniel Bernoulli die Wirkung dieses sichtbaren Phaͤnomens zu bestimmen suchte, so laͤßt sich doch schon aus reinen Verstandesconsequenzen schließen, daß von jener Wirkung des betreffenden Wasserstrahles, seiner Geschwindigkeit gemaͤß, nichts verloren gehe und man daher die Kraft, welche in den Wasserstrahl wirkt, nach Eytelwein aus den allgemeinen Gesezen der bewegenden Kraͤfte berechnen koͤnne, dagegen muß man bei der Theorie Bernoulli's bedenken daß, vor einer vom Wasser im unbegraͤnzten Wasser umgebenen Ebene, das Ablenken der Wassertheilchen nicht anders geschehen kann, als daß dieselben auch auf die umgebenden Wassermassen nach allen Seiten hin wirken, und dadurch auf die Ebene selbst zuruͤkwirken. Obgleich daher die ganze Wassermasse nicht nach und nach auf die Ebene unmittelbar wirkt, so ist dieß doch mittelbar der Fall, so daß man den aus dieser Geschwindigkeit entstehenden Druk dem gleichsezen kann, welchen eben diese Geschwindigkeit in eben diese Wassermasse hervorbringen wuͤrde, und die Erfahrung gibt fuͤr die Richtigkeit dieser Schluͤsse in der Anwendung der reinen Verstandesprincipien ein sicheres Criterium, indem sie lehrt, daß beide Wirkungen gleich sind. So glaube ich, laͤßt sich die Art der Wirkung des unbegraͤnzten Wassers auf Ebenen, die sich seiner Bewegung entgegenstellen, oder welche sich in dem ruhenden Wasser bewegen wollen, vollkommen begreifen, wenn wir auch dadurch die Wechselwirkung aller einzelnen Wassertheilchen vor und hinter der Ebene nicht genau ermessen, und nur aus der Erfahrung die Groͤße dieser Wirkung bestimmen koͤnnen. Anmerkung. Wie und warum die Gestalt der Oeffnung eines Gefaͤßes eine andere Geschwindigkeit des Strahles als die hypothetische bedingen kann, seze ich hier als bekannt voraus, und verweise uͤbrigens in dieser Hinsicht auf den §. 8 meiner mehrgedachten Theorie. Es moͤchte indeß noch eines Beweises beduͤrfen, daß die der Geschwindigkeit zugehoͤrige Hoͤhe mit der Hoͤhe einer druͤkenden Wassersaͤule in der oben angenommenen Beziehung stehe. Denn daß das Product 2 hfγ (nach der unten folgenden Bedeutung der Buchstaben) dem Ausdruke fuͤr die Kraft eines Wasserstrahles d.h. dem fuͤr die Groͤße der Quantitaͤt der Bewegung desselben = c/2g Mγ in arithmetischer Beziehung gleich ist, gibt wohl noch keinen apodiktischen Beweis, der das Bewußtseyn der Nothwendigkeit bei sich fuhrt, fuͤr die Gleichheit beider, in allen Faͤllen, den einen fuͤr den anderen substituiren zu koͤnnen, so wie, um nur einen Fall zu erwaͤhnen, in der Mechanik immer erst zu untersuchen ist, ob mit entgegengesezten Zeichen vorkommende Groͤßen wirklich entgegengesezte Groͤßen sind. Es ist naͤmlich nach Eytelwein's Handbuch der Mechanik und Hydraulik, wenn die bewegende Kraft P der Masse Q in der Zeit t die Geschwindigkeit c mittheilt, diese Kraft P = c/2gt Q, wo g = 15 5/8 Fuß die Fallhoͤhe eines Koͤrpers in der ersten Secunde bedeutet. Sezt man hierin Mγ = Q, wenn naͤmlich M die in jeder Secunde gegen die Ebene stroͤmende Wassermenge und γ das Gewicht einer kubischen Einheit des Wassers bedeutet, also in der Zeit t das Gewicht der Wassermenge = tMγ gegen die Ebene stroͤmt und darauf wirkt, so wird P = c/2gt Q = c/2gt tMγ = c/2g Mγ, welcher leztere Ausdruk bekanntlich = c²/2g fγ = 2 hfγ ist, wenn f die Groͤße der Ebene also cf = M die Wassermenge, und h die zu der Geschwindigkeit c gehoͤrige Hoͤhe bedeuten, und also P = c/2g Mγ = c²/2g fγ = 2 hfγ, und das Moment dieser Kraft Pc = c²/2g Mγ = 2 hMγ die Quantitaͤt der Bewegung des Wasserstrahls. Diese Quantitaͤt der Bewegung theilt sich der Ebene offenbar mit, wenn sich die Ebene mit dem Wasserstrahle mit gleicher Geschwindigkeit bewegt. Wenn aber auf die Ebene eine Kraft der Wirkung des Wasserstrahls entgegen wirkt, also ein Theil dieser Quantitaͤt der Bewegung durch jene Kraft aufgehoben wird, und also die Ebene sich mit dem Wasserstrahl nicht mehr mit gleicher Geschwindigkeit fortbewegen kann, so kann diese Quantitaͤt der Bewegung, da die Wassertheilchen nicht alle nach einander zur unmittelbaren Wirkung auf die Ebene gelangen koͤnnen, nicht anders als mittelbar auf die Ebene zur Wirkung kommen, indem die Wassertheilchen sich vor der Ebene ablenken. Wenn, um zuerst den einfachsten Fall zu sezen, die Ebene gegen den Andrang des Wassers in Ruhe bleibt, die auf die Ebene wirkende Kraft also so groß ist, daß die Quantitaͤt der Bewegung des Wasserstrahls sie nicht zu uͤberwinden vermag, so muͤssen die sich vor der Ebene ablenkenden Wassertheilchen zugleich auf die uͤbrigen neben der Ebene vorbeifließenden eine Wirkung aͤußern, welche durch den vor der Ebene erfolgenden Aufstand noch vergroͤßert werden, und wodurch die Bewegung der neben der Ebene vorbeifließenden Wassertheilchen beschleunigt werden muß. Da nun bei jeder Mittheilung von Bewegung Wirkung der Gegenwirkung gleich ist, so muß dadurch auch eine Ruͤkwirkung auf die Hintere Flaͤche der Ebene entstehen, welche indeß vielleicht nur durch die Erfahrung genau ermittelt werden kann. Die Beobachtungen Woltmann's geben die Kraft des unbegraͤnzten Wasserstrahls auf eine ruhende Ebene im unbegraͤnzten Wasser, womit die Ebene f gehalten werden muß, um der Wirkung des Wassers das Gleichgewicht zu halten, also in Ruhe zu bleiben = 5/4 hMγ ; da nun die Quantitaͤt der Bewegung des Wasserstrahls = c²/2g Mγ = 2 hMγ ist, so ist die Wirkung auf die Hintere Flaͤche der Ebene = 2 hMγ – 5/4 hMγ = 3/4 hMγ = 3/4 c²/4g Mγ . Bewegt sich eine Ebene im ruhenden Wasser mit einer Geschwindigkeit c, so muͤssen sich die Wassertheilchen eben so vor der Ebene ablenken, wie sich das mit eben der Geschwindigkeit bewegende Wasser vor der ruhenden Ebene ablenkt, und es ist wohl kein Grund vorhanden, die Wirkung ein und desselben Phaͤnomens nicht gleich zu sezen, so daß also die Wirkung der sich vor der bewegten Ebene im ruhenden Wasser ablenkenden Wassertheilchen, der Quantitaͤt der Bewegung des sich mit eben der Geschwindigkeit bewegenden Wassers gleich seyn muß, also = c²/2g cfγ = c²/2g Mγ = 2 hMγ, welche Kraft hier den Widerstand des ruhenden Wassers bildet. Indem sich aber die Ebene bewegt, muß das Wasser der Hinteren Flaͤche der Ebene folgen, und also auf dieselbe mit einer hydraulischen Kraft hfγ = c²/4g fγ wirken, deren Moment hcfγ = hMγ ist, welche also von obigem Widerstande abzuziehen ist. Es bleibt also dieser Widerstand noch 2 hMγ – hMγ = hMγ, wozu noch die vom Aufstau des Wassers vor der Ebene herruͤhrende hydrostatische Kraft kommt, wie dieß die Beobachtungen Bossut's mit Fahrzeugen im ruhenden unbegraͤnzten Wasser bestaͤtigen. Nimmt man an, daß die Bewegung der Ebene unendlich klein wird, d.h. daß sie in Ruhe bleibt, sich dagegen das Wasser bewegt, so scheint es, kann man der Analogie nach schließen, daß hier in eben der Art eine Wirkung auf die Hintere Flaͤche der Ebene Statt finden muͤsse, welche der Geschwindigkeit des Wassers eben so gemaͤß ist, wie vorher der Geschwindigkeit der Ebene, was dann zu eben dem Resultat fuͤhrte, wie die obigen Betrachtungen. In beiden Faͤllen laͤßt es sich aber erwarten, daß da das fließende Wasser schon eine Tendenz hat, sich in der der Richtung der Ebene entgegengesezten Richtung zu bewegen, die Ruͤkwirkung auf die Hintere Flaͤche der Ebene nicht wohl eben so groß seyn kann, als im ruhenden Wasser; ob aber gerade, wie die Woltmann'schen Versuche ergeben haben sollen, die auf die Ebene als Wirkung verbleibende Kraft in allen Faͤllen = 5/4 hMγ ist, kann nur dann mit Gewißheit uͤbersehen werden, wenn diese Versuche vollstaͤndig mitgetheilt werden, indem schon, wenn dieselben mit Ebenen angestellt wurden, welche theilweise aus dem Wasser hervorstanden, von jener Kraft die vom Aufstau herruͤhrende hydrostatische Kraft abzuziehen seyn wuͤrde. Auch ist es nicht unmoͤglich, daß die Wassertheilchen, welche nicht auf die Ebene wirken, sondern neben der Ebene ohne Wirkung auf dieselbe vorbeifließen wuͤrden, durch ihren Zusammenhang mit denen, welche nothwendig auf die Ebene wirken muͤssen, ebenfalls auf die Ebene wirken, wodurch wohl die Wirkung des sich bewegenden Wassers auf die vordere Flaͤche der Ebene ebenfalls groͤßer wuͤrde, als auf die Hintere, welcher Fall bei dem Widerstande des ruhenden Wassers nicht eben so vorhanden ist, und wovon also die von Woltmann beobachtete groͤßere Wirkung bis 5/4 hMγ theilweise mit herruͤhren kann. Bewegt sich die Ebene zwar noch mit dem Wasser, aber mit geringerer Geschwindigkeit als die urspruͤngliche des Wassers, so muͤssen sich die Wassertheilchen in eben der Art, aber nach Maßgabe der relativen Geschwindigkeit beider, vor der Ebene ablenken, dadurch also auch eine der relativen Geschwindigkeit angemessene urspruͤngliche Kraft auf die Ebene bewirkt werden, welche also = 5/4 (c – v)²/4g fγ = 5/4 h'fγ, und das Moment derselben = 5/4 h'f (c – v) γ = 5/4 h'Mγ, wenn h' die zu (c – v) gehoͤrige Hoͤhe bedeutet, wozu dann aber noch die hydraulische Kraft nach Maßgabe der Geschwindigkeit v und eine hydrostatische Kraft nach Maßgabe des Aufstaues des Wassers vor der Ebene hinzukommt. Bewegt sich die Ebene dem Strome entgegen, so wird natuͤrlich eine urspruͤngliche Kraft nach Maßgabe der Summe beider Geschwindigkeiten des Wassers und der Ebene, und eine hydrostatische Kraft nach Maßgabe des Aufstaues Statt finden, in welchem Falle also die urspruͤngliche Kraft 5/4 (c + v)²/4g fγ, und das Moment derselben 5/4 (c² + v)²/4g (c + v) fγ = 5/4 (c + v)²/4g Mγ. Denn ob das Wasser sich mit der Geschwindigkeit c + v, oder sich das Wasser nur mit der Geschwindigkeit c, die Ebene aber noch mit der Geschwindigkeit v dem Wasser entgegenbewegt, muß fuͤr die urspruͤngliche Kraft gewiß ganz gleichguͤltig, so wie die auf die Ebene in beiden Faͤllen zur Wirkung kommende Wassermenge (c + v) f = M seyn. Es ist zu wuͤnschen, daß hieruͤber noch Versuche angestellt werden moͤchten, um diesen wichtigen Gegenstand der Wahrheit naher zu fuͤhren. §. 6. Ist die auf die Ebene der Richtung der fluͤssigen Masse entgegen wirkende Kraft nicht so groß, daß die Ebene gegen den Andrang derselben in Ruhe bleibt, sondern bewegt sie sich mit der fluͤssigen Masse mit irgend einer geringeren Geschwindigkeit als die urspruͤngliche Geschwindigkeit der fluͤssigen Masse mit fort, so muß dann nach eben dem Geseze, daß Wirkung der Gegenwirkung gleich seyn muß, das mechanische Moment der entgegen wirkenden Kraft dem der Kraft der fluͤssigen Masse gleich seyn. Die bewegende Kraft der fluͤssigen Masse besteht aber in diesem Falle: 1) Aus der im vorigen Paragraph entwikelten urspruͤnglichen Kraft nach Verhaͤltniß ihrer relativen Geschwindigkeit. Denn so wie bei der ganz ruhenden Ebene muͤssen sich auch bei der, jedoch mit einer geringeren Geschwindigkeit als die der fluͤssigen Masse sich bewegenden Ebene die Wassertheilchen vor der Ebene ablenken, welche nicht mit der Ebene abfließen koͤnnen, mithin hieraus eine der relativen Geschwindigkeit der Ebene und der fluͤssigen Masse gemaͤße urspruͤngliche Kraft auf die Ebene entstehen, so wie, wie wir spaͤter sehen werden, die expansiblen fluͤssigen Massen vor Ebenen, die sich mit einer geringeren Geschwindigkeit bewegen, als die expansible fluͤssige Masse selbst, eine der relativen Geschwindigkeit angemessene Elasticitaͤt vor der Ebene annehmen. 2) Aus der hydraulischen Kraft der fluͤssigen Masse, welche von der Groͤße der Ebene, ihrer Geschwindigkeit, welche der Geschwindigkeit der fluͤssigen Masse unmittelbar vor der Ebene gleich, und der Art, respective dem specifischen Gewichte der fluͤssigen Masse unmittelbar vor der Ebene abhaͤngt. Endlich 3) wenn die Ebene zum Theil aus der nicht expansiblen fluͤssigen Masse hervorsteht, so wird, wenn eine Kraft auf die Ebene der Richtung der fluͤssigen Masse entgegen wirkt, ein Aufstau vor der Ebene entstehen, der einen hydrostatischen Druk auf die Ebene hervorbringt, dessen mechanisches Moment den beiden zuerst genannten Kraͤften hinzuzurechnen ist. Diesen hydrostatischen Druk wollen wir, in so fern derselbe waͤhrend der Bewegung besteht, die hydrostatische Kraft nennen. Diese drei vorgedachten Kraͤfte bilden in diesem Falle also die Gesammtwirkung der unbegraͤnzten fluͤssigen nicht expansiblen Masse, welche wir, wie uͤberhaupt die jedesmalige Gesammtwirkung einer nicht expansiblen fluͤssigen Masse den hydraulischen Druk nennen wollen. §. 7. Expansible fluͤssige Massen, welche sich bewegen, koͤnnen fuͤr die Praxis als in allen Theilen ihres Querschnittes von gleicher Geschwindigkeit und gleicher Dichtigkeit angesehen werden, wirken daher auf alle Theile einer ihnen entgegenstehenden geraden Ebene mit gleicher Kraft. Bleibt die Ebene in Ruhe, d.h. ist die auf die Ebene wirkende Kraft so groß, daß sie von der Kraft der darauf wirkenden fluͤssigen Masse nicht uͤberwunden wird, so muß dieselbe vor der Ebene nach dem Geseze, daß Wirkung und Gegenwirkung einander gleich seyn muͤssen, eine Elasticitaͤt annehmen, eben so groß, als die in einem Gefaͤße eingeschlossene expansible Fluͤssigkeit, oder wie die Kraft, womit sie auf die Ebene druͤken wuͤrde, wenn sie aus diesem Gefaͤße durch eine kleine Oeffnung mit eben der Geschwindigkeit dringen wuͤrde, als womit sich diese fluͤssige Masse gegen die Ebene bewegt. Ich will daher auch diese Kraft die urspruͤngliche pneumatische Kraft nennen. Ist diese ganze der Geschwindigkeit gemaͤße Elasticitaͤt der fluͤssigen Masse nicht erforderlich, die auf die Ebene wirkende Kraft zu uͤberwinden, sondern tritt schon bei einer geringeren Elasticitaͤt derselben, Bewegung der Ebene ein, so wird diele Elasticitaͤt der relativen Geschwindigkeit beider der Ebene und der luftfoͤrmigen Masse gemaͤß seyn; die Gesammtwirkung der expansiblen fluͤssigen Masse auf die sich bewegende Ebene besteht dann also: 1) aus der gedachten urspruͤnglichen Kraft, welche von der relativen Geschwindigkeit der Ebene und der Luft abhaͤngt; 2) aus der hydraulischen Kraft, welche von der Geschwindigkeit der Ebene, die der Geschwindigkeit der fluͤssigen Masse unmittelbar vor der Ebene gleich seyn muß, und der Art oder respectiven Dichtigkeit der fluͤssigen Masse unmittelbar vor der Ebene abhaͤngt. Beide Kraͤfte zusammen bilden die Gesammtwirkung der expansiblen fluͤssigen Masse, welche der pneumatische Druk heißen mag. Eine hydrostatische Kraft wie bei nicht expansiblen fluͤssigen Massen kann hier nicht Statt finden. Anmerkung. Wendet man diese Grundsaͤze richtig an, so erhaͤlt man das mechanische Moment des pneumatischen lateralen oder Seitendrukes, wenn man die in meiner Theorie der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen angenommene Beziehung beibehaͤlt, wo β der Winkel ist, welchen die schiefe Ebene mit der Normalebene auf die Richtung der Bewegung der fluͤssigen Masse bildet. Pv = 1/4 g (4/3 c² + v² sin. β ) sin. β cos. β cfγ' = 1/8 g (4/3 c² + v² sin. β ) sin. 2 β cfγ' = 1/4 g (4/3 c² + v² sin. β ) sin. β Mγ, wonach der in der eben gedachten Theorie gegebene Ausdruk fuͤr die Kraft des Windes auf Windmuͤhlenfluͤgel zu berichtigen ist. §. 8. Aus den hier vorgetragenen Entwikelungen gehen nun nachfolgende Ausbruͤte fuͤr die Berechnung des hydraulischen Drukes nicht expansibler fluͤssiger Massen, welche unter dem Namen Wasser verstanden werden moͤgen, hervor, deren Resultate genau mit den Beobachtungen Woltmann's und Bossut's uͤbereinstimmen, und wonach die in meiner Theorie der Groͤße der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen fuͤr diesen Fall, naͤmlich fuͤr die bewegende Kraft des unbegraͤnzten Wassers, zu berichtigen sind, nur die Ausbruͤte fuͤr die Berechnung des hydraulischen Drukes des Wassers in geraden und Kropfgerinnen bleiben ungeaͤndert, jedoch ist der von dem wasserhaltenden Bogen herruͤhrende Druk, welcher der ganzen Hoͤhe dieses Bogens proportional ist, analog mit dem Druke des Wassers in einer Roͤhre von gleicher Hoͤhe, mit dem Namen der urspruͤnglichen Kraft zu benennen; die hydrostatische Kraft ist immer nur der halben Hoͤhe des Aufstaues vor der Ebene gemaͤß. Es sey nun: a die Laͤnge der Ebene, B die Hoͤhe derselben, so weit das Wasser darauf wirkt, f = aB der Flaͤcheninhalt dieses Theils der Ebene, worunter also der Querschnitt der fluͤssigen Masse unmittelbar vor der Ebene zu verstehen ist, b die Erhebung des Wassers oder die Hoͤhe des Aufstaues desselben vor der Ebene, c die Geschwindigkeit der fluͤssigen Masse, v die Geschwindigkeit der Ebene, h die zu der relativen Geschwindigkeit (c – v) gehoͤrige Hoͤhe, h' die zu der Geschwindigkeit der Ebene v gehoͤrige Hoͤhe, p, die urspruͤngliche Kraft, p' die hydraulische Kraft, p'' die hydrostatische Kraft, P der hydraulische Druk, γ das Gewicht einer kubischen Einheit der fluͤssigen Masse oder des Wassers, so ist 1) die urspruͤngliche Kraft, welche von der relativen Geschwindigkeit der Ebene und des Wassers herruͤhrt, nach §. 6. p = (c – v)²/4g aBγ = (c – v)²/4g fγ = hfγ, wenn h die zu der relativen Geschwindigkeit (c – v) gehoͤrige Hohe ist. Das mechanische Moment dieser urspruͤnglichen Kraft oder die Gesammtwirkung derselben waͤhrend einer Zeiteinheit p (c – v) = (c – v)²/4g (c – v) aBγ = (c – v)²/4g (c – v) fγ = h (c – v) fγ, und wenn man die in Bezug auf diese Kraft zur Wirkung kommende Wassermenge M nennt, wo (c – v) f = Mp (c – v) = (c – v)²/4g Mγ = hMγ. Fuͤr v = o, oder wenn die Ebene gegen den Andrang der fluͤssigen Rasse in Ruhe bleibt, wird diese urspruͤngliche Kraft pc = c²/4g cfγ = hcfγ = hMγ wie gehoͤrig (§. 5.). Denn ob eine Ebene den Druk c²/4g fγ erhaͤlt, und sich waͤhrend einer Zeit um c fortbewegt, oder ob die ruhende Ebene durch die Geschwindigkeit eben den Druk empfangt, und dieser Druk nun eine Zeiteinheit hindurch dauert, muß fuͤr die Gesammtwirkung in eben dieser Zeit, welche wir das mechanische Moment nennen, offenbar ganz gleich seyn. 2) Die hydraulische Kraft p' = v²/4g aBγ = v²/4g fγ = h'fγ und das mechanische Moment dieser Kraft p' v = v²/4g vaBγ = v²/4g vfγ = h'vfγ, und wenn man die in Bezug auf diese Kraft zur Wirkung kommende Wassermenge M' = vf nennt, p' v = v²/4g M'γ = h'M' γ. Diese Kraft ist naͤmlich der bewegenden Kraft eines aus der Oeffnung eines Gefaͤßes stroͤmenden Wasserstrahles von eben dem Querschnitt f und Geschwindigkeit v, oder bei eben der Drukhoͤhe h' des Wassers uͤber der gedachten Oeffnung gleich, indem das Wasser unmittelbar vor der Ebene keine andere Geschwindigkeit haben kann, als die Ebene selbst, woruͤber man die Paragraphen 8 und 9 der gedachten Theorie nachlesen wolle. 3) Die hydrostatische Kraft p'' = 1/2 b²aγ = 1/2 bf 'γ, wenn f' = ab gleich dem Flaͤcheninhalt der von dem Aufstau bespuͤlten Ebene ist. Daher das mechanische Moment dieser hydrostatischen Kraft p''v = 1/2 b²avγ = 1/2 bfvγ = 1/2 bM''γ, wenn M'' = bf' die in Bezug auf diese Kraft waͤhrend einer Zeiteinheit zur Wirkung kommende Wassermenge ist. Es ist daher der hydraulische Druk, welcher aus den eben gedachten drei Kraͤften zusammengesezt ist P = p + p' + p'' = (c – v)²/4g fγ + v²/4g fγ + 1/2 bf'γ = [(h + h') f + 1/2 bf'] γ, und das mechanische Moment des hydraulischen Drukes, oder die Gesammtwirkung der waͤhrend einer Zeiteinheit, theils mittelbar, theils unmittelbar zur Wirkung kommenden Wassermenge = p (c – v) + p'v + p''v = [(c – v)²/4g c – v + v²/4g v] fγ + 1/2 bf'vγ = [[h (c – v) + h'v] f + 1/2 bf'v] γ = [hM + h'M' + 1/2 bM''] γ Fuͤr v = o, oder wenn die Ebene gegen den Andrang des fließenden Wassers in Ruhe erhalten wird, ist daher der hydraulische Druk des Wassers dessen urspruͤngliche Geschwindigkeit c P = [c²/4g f + 1/2 bf'] γ = [hf + 1/2 bf'] γ, und das mechanische Moment oder die Gesammtwirkung desselben = pc + p'' v = [c²/4g cf + 1/2 bcf'] γ = [hM + 1/2 bM''] γ, indem in diesem Falle die von der Geschwindigkeit v der Ebene und des unmittelbar vor der Ebene sich bewegenden Wassers herruͤhrende hydraulische Kraft verschwindet, die hydrostatische Kraft aber von der Geschwindigkeit c des Wassers abhaͤngt. Denn ob auch hier, wie bei der urspruͤnglichen Kraft, eine Ebene den hydrostatischen Druk 1/2 bfγ, erhaͤlt, und sich die Ebene waͤhrend einer Zeiteinheit, wo dieser Druk fortdauert, um c fortbewegt, oder ob vor der ruhenden Ebene ein der Geschwindigkeit des Wassers c gemaͤßer Aufstau entsteht, und den hydrostatischen Druk 1/2 bfγ, hervorbringt, und nun waͤhrend einer Zeiteinheit fortdauert, oder auf die Ebene wirkt, muß wohl, reinen Verstandesbegriffen gemaͤß zu schließen, fuͤr die Groͤße des mechanischen Momentes oder der Gesammtwirkung waͤhrend einer Zeiteinheit, ganz gleich seyn. Um die Resultate dieser Ausdruͤke mit denen der Erfahrung zu vergleichen, will ich nur drei der in der gedachten Theorie der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen angefuͤhrten Beispiele uͤber die Kraft des unbegraͤnzten Wassers hienach berechnen, und zwar da das sechszehnte Beispiel wie dort berechnet bleibt, die Beispiele 17, 20 und 23 nach den Beobachtungen Bossut's, welche derselbe §. 1033 und 1040 seiner Hydrodynamik mittheilt, woraus nachfolgende Tafel ein Auszug ist. Textabbildung Bd. 55, S. 200 No. des Versuchs; Anzahl der Schaufeln des Rades; Last welche gehoben wurde in Pfunden; Dauer der Bewegung in Secunden; Anzahl der Umdrehungen des Rades Der Durchmesser der Welle, worauf sich die Schnur, woran das Gewicht hing, aufwikelte, betrug den zwoͤlften Theil des Durchmessers des Rades, so daß sich also die Kraft zwoͤlf Mal so schnell bewegte, als die Last. Der mittlere Durchmesser des Rades betrug 2 2/3 Fuß. Die Geschwindigkeit des unbegraͤnzten Wassers, worin sich das Rad bewegte, war 5,71 Fuß, die Laͤnge der Schaufeln war = 5 Zoll, und wurde das Rad so gestellt, daß die Schaufeln 4 Zoll tief eintauchten. Es war daher nach dem ersten Versuch §. 1033. die Geschwindigkeit der Schaufeln Textabbildung Bd. 55, S. 201 die Geschwindigkeit der Last 1/12 · 3,82' = 0,32', das beobachtete mechanische Moment der Last = 0,32 · 24 = 7,68 Pfund, wozu nach den in meiner Theorie der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen etc. gegebenen Eroͤrterungen an Nebenhindernissen noch etwa 1 Pfd. fuͤr Reibung und Steifigkeit der Seile, so wie 1 bis 2 Pfunde fuͤr den Widerstand hinzukommen, welchen bei dieser Geschwindigkeit des Rades die Schaufeln dadurch erleiden, daß sie sich aus dem Unterwasser hervorheben muͤssen. Nach den gefundenen Ausbruͤten ist nun aber 1) die urspruͤngliche Kraft, da c – v = 5,71 – 3,82 = 1,89 Fuß und die dazu gehoͤrige Hoͤhe nach der von Bossut mitgetheilten Tabelle h = 0,06', daher das mechanische Moment der urspruͤnglichen Kraft p (c – v) = h (c – v) f γ = 0,06 · 1,89 · 5/12 · 70 = 1,102 2) das mechanische Moment der hydraulischen Kraft, da die zu v = 3,82' gehoͤrige Hoͤhe h = 0,241' = 0,06 · 1,89 · 5/12 · 4/12 · 3,82 · 70 = 8,954 3) das mechanische Moment des hydraulischen Drukes = 10,056, wozu also nach den in der gedachten Theorie gegebenen Eroͤrterungen nur ein kleiner Zusaz fuͤr die hydrostatische Kraft kommen wuͤrde, also der Aufstau vor den Schaufeln nur sehr gering seyn und außer Acht gelassen werden kann. Nach dem dritten Versuche, §. 1040, ist, wenn man bei dieser groͤßeren Belastung des Rades von 40 Pfund den Aufstau vor den Schaufeln, mit Beruͤksichtigung des niedrigeren Standes des Unterwassers hinter den Schaufeln zu 1 1/2 Zoll sezt, zunaͤchst: 1) die Geschwindigkeit der Schaufeln Textabbildung Bd. 55, S. 201 3) das beobachtete mechanische Moment der Last, exclusive der Nebenhindernisse = 0,272 · 40 = 10,88 Pfd., 4) das mechanische Moment des hydraulischen Drukes, und zwar: a) das der urspruͤnglichen Kraft, da c – v = 5,71 – 3,26 = 2,45, die dazu gehoͤrige Hoͤhe h = 0,0993 p (c – v) = 0,0993 · 5/12 · 11/24 · 2,45 · 70 =   3,233 Pfd. b) das der hydraulischen Kraft, da v = 3,26 und die dazu gehoͤrige Hoͤhe h' = 0,176' p'v = 0,176 : 5/12 · 11/24 · 3,26 · 70 =   7,661  – c) das der hydrostatischen Kraft p''v = 1/2 · 3/24 · 3/24 · 5/12 · 3,26 · 70 =   0,742  – weil der Aufstau = 1 1/2 Zoll = 3/24 Fuß gesezt worden ist, d) das des hydraulischen Drukes ––––––––– = p (c – v) + p'v + p''v = 11,636 Pfd. Nach dem 15ten Versuch, § 1040, ist 1) die Geschwindigkeit der Schaufel Textabbildung Bd. 55, S. 201 2) die Geschwindigkeit der Last 1/12 · 2,272 = 0,189', 3) das beobachtete mechanische Moment der Last, exclusive der Nebenhindernisse = 0,189 · 64 = 12,096 Pfd. Nimmt man nun an, daß bei dieser großen Belastung des Rades das Wasser sich beinahe bis zur Hohe der Schaufeln aufgestaut hat, und daß das Wasser hinter den Schaufeln tiefer stehen muß, als wenn das Rad nicht belastet ist, so wird man diesen Aufstau wohl zu 2 Zoll rechnen duͤrfen. Es ist daher 4) das mechanische Moment der urspruͤnglichen Kraft, da (c – v) = 5,71 – 2,272 = 3,438 und die dazu gehoͤrige Hoͤheh = 2,3419'' = 0,195' ist p (c – v) = 0,195 · 5/12 · 6/12· 3,438 · 70 =   9,777 Pfd. 5) das der hydraulischen Kraft p'v = 0,0854 · 6/12 · 6/12 · 2,272 · 70 =   2,492 – 6) das der hydrostatischen Kraft p''v = 1/2· 1/6 · 1/6 · 5/12 · 2,272 · 70 =   0,920 – 7) daher das mechanische Moment des hydraulischen ––––––––– Drukes = p (c – v) + p'v + p''v = 13,189 Pfd. Vergleicht man dieses mechanische Moment des hydraulischen Drukes mit dem beobachteten, so sieht man, daß dasselbe nur 1 Pfd. groͤßer ist, welcher Ueberschuß ungefaͤhr fuͤr Reibung und Steifigkeit der Seile in Rechnung gebracht werden muß, und daß fuͤr den Widerstand, welchen die Schaufeln, indem sie sich aus dem Unterwasser erheben, erleiden, bei dieser geringen Geschwindigkeit derselben wenig zu rechnen ist. Jedoch haͤtte der Aufstau fuͤr die hydrostatische Kraft oder vielmehr der Unterschied zwischen Ober- und Unterwasser an der tiefsten Schaufel auch wohl noch etwas groͤßer gesezt werden koͤnnen. Uebrigens gelten die in der gedachten Theorie gemachten Bemerkungen hinsichtlich der Abnahme der hydraulischen Kraft und des Anwachsens der urspruͤnglichen Kraft bei der groͤßeren Belastung und der geringeren Geschwindigkeit des Rades, so wie die daraus gezogenen Schluͤsse nur, wenn die vom Aufstau herruͤhrende hydrostatische Kraft gering ist, und in den meisten Faͤllen außer Acht gelassen werden kann. §. 9. Bewegt sich eine Ebene im ruhenden Wasser, wie bei den Versuchen Bossut's mit Fahrzeugen, so faͤllt, wie bereits bemerkt wurde, die hydraulische Kraft weg, indem dieß diejenige Kraft ist, welche eine sich bewegende fluͤssige Masse nach Verhaͤltniß ihrer Geschwindigkeit auf die sich mit ihr mit gleicher Geschwindigkeit bewegende Ebene ausuͤbt; die urspruͤngliche Kraft aber, welche von der Bewegung der Ebene gegen das ruhende Wasser herruͤhrt, indem sie dasselbe zwingt, nach den Seiten abzugleiten, wuͤrde eben so groß seyn, als ob sich das Wasser mit eben der Geschwindigkeit gegen die ruhende Ebene bewegte (indem, wie gedacht, beide Wirkungen sehr wohl mit dem Druke oder dem Bestreben nach Bewegung, welches von einer entsprechenden Wassersaͤule auf die horizontale Seitenflaͤche eines Gefaͤßes ausgeuͤbt wird, verglichen werden koͤnnen §. 5), wenn nicht, wie erwaͤhnt, durch die Bewegung des fließenden Wassers der Druk auf die Hintere Flaͤche der Ebene um etwas geringer, also die verbleibende Kraft auf die vordere Flaͤche um etwas groͤßer waͤre, und zwar nach Woltmann's Beobachtungen um ein Viertheil des ganzen Druks, von welchem Ueberschuß man jedoch noch die hydrostatische Kraft abzuziehen hat, wenn die Ebene theilweise aus dem Wasser hervorsteht, und diese Versuche in der Art gemacht seyn sollten. Diese urspruͤngliche Kraft gegen bewegte Ebenen im ruhenden Wasser ist daher, wenn v die Geschwindigkeit der Ebene ist p = v²/4g aBγ = v²/4g fγ, und das mechanische Moment derselben pv = v²/4g fvγ = hfvγ = hMγ, wenn M = fv die auf die Ebene (mittelbar) zur Wirkung kommende Wassermenge ist. Steht die Ebene theilweise aus dem Wasser hervor, so muß sich ein Aufstau des Wassers vor der Ebene erzeugen, welcher einen hydrostatischen Druk = 1/2 b² aγ auf die Ebene hervorbringt, wenn man die §. 8. gewaͤhlte Bezeichnung beibehaͤlt, und welche wir die hydrostatische Kraft genannt haben, deren mechanisches Moment, welches in beiden Faͤllen wohl richtiger mit dem allgemeinen Namen einer Gesammtwirkung belegt wuͤrde, also von der Geschwindigkeit des Wassers oder im anderen Falle von der der Ebene abhaͤngt. Diese Gesammtwirkung ist daher, wenn die Ebene sich im ruhenden Wasser bewegt p''v = 1/2 b² avγ = 1/2 bf'vγ, wenn die Ebene aber im fließenden Wasser von der Geschwindigkeit v in Ruhe erhalten wird p''v = 1/2 b² avγ = 1/2 bf'vγ jener gleich, wenn man die Geschwindigkeit des Wassers mit v bezeichnet. Endlich ist der hydraulische Druk P = p + p'', und zwar, wenn die Ebene gegen ruhendes Wasser bewegt wird P = v²/4g aBγ + 1/2 b² aγ = [v²/4g B + 1/2 b²] aγ = [hB + 1/2 b²] aγ = [hf + 1/2 bf'] γ. Dagegen wenn die Ebene gegen den Andrang des fließenden Wassers in Ruhe erhalten wird P = 5/4 c²/4g aBγ nach den Beobachtungen Woltmann's, und worin wahrscheinlich die hydrostatische Kraft schon mit begriffen ist. Daher ist das mechanische Moment des hydraulischen Druks oder die Gesammtwirkung desselben waͤhrend einer Zeiteinheit, und zwar auf eine bewegte Ebene im ruhenden Wasser Pv = [v²/4g Ba + 1/2 b²a] vγ = [v²/4g f + 1/2 bf'] vγ = [hf + 1/2 bf'] vγ = [hM + 1/2 bM''] γ, wenn M und M'' die in Bezug auf jede dieser Kraͤfte zur Wirkung kommenden Wassermengen bedeuten. Das mechanische Moment des hydraulischen Druks des fließenden Wassers auf eine gegen den Andrang desselben in Ruhe bleibende Ebene ist nach §. 6. Pc = 5/4 c²/4g fcγ = 5/4 hfcγ = 5/4 hMγ, wenn h die zu der Geschwindigkeit c gehoͤrige Hoͤhe ist. Wird in dem Ausdruk fuͤr das mechanische Moment des hydraulischen Druks auf Ebenen, die sich im ruhenden Wasser bewegen, bei einer geringen Geschwindigkeit der Ebene der Aufstau, welcher zwar nie ganz verschwinden kann, so klein, daß derselbe außer Acht zu lassen ist, so wird b = o daher das mechanische Moment dieses hydraulischen Druks Fv = v²/4g fvγ = v²/4g Mγ = hMγ. Wird ein Fahrzeug dem Strome eines fließenden Wassers entgegengezogen, so faͤllt natuͤrlich ebenfalls die hydraulische Kraft weg, und es kommt fuͤr die urspruͤngliche Kraft die Geschwindigkeit des Stromes zu der Geschwindigkeit des Fahrzeuges noch hinzu, daher ist in diesem Falle der Widerstand oder der hydraulische Druk, wenn c die Geschwindigkeit des Stromes P = v²/4g fγ + c²/4g fγ + 1/2 bf'γ = [1/4g (v² + c²) f + 1/2 bf'] γ, und die Gesammtwirkung waͤhrend einer Zeiteinheit oder das mechanische Moment dieses hydraulischen Drukes = [v²/4g vf + c²/4g cf + 1/2 bf'] γ = [1/4g (v² + c³) f + 1/2 bf'v] γ. §. 10. Ist die Ebene in den im vorigen Paragraph eroͤrterten Faͤllen unter irgend einem Winkel α gegen die Richtung der Bewegung des Wassers geneigt, so wird der hydraulische Druk auf diese schiefe Ebene ebenfalls aus den beiden Kraͤften, der urspruͤnglichen und der hydrostatischen Kraft bestehen. Was zuerst die urspruͤngliche Kraft nach der Richtung der Bewegung EA in Fig. 9 betrifft, so kann man dieselbe in zwei Kraͤfte zerlegen, wovon die eine EF mit der Ebene parallel derselben nichts thut, die andere FA normal auf die Ebene wieder in zwei Kraͤfte zerlegt werden kann, wovon die eine FC normal auf die Richtung der Bewegung durch andere Kraͤfte aufgehoben werden muß, und die bei Fahrzeugen, wo beide Ebenen unter ein und demselben Winkel gegen einander und gegen die Richtung der Bewegung geneigt sind, sich gegenseitig aufheben; die andere aber CA der Theil der urspruͤnglichen Kraft oder des Widerstandes ist, welcher nach der Richtung der Bewegung auf die schiefe Ebene bewirkt wird. Ist nun EA = p = v²/4g aBγ = v²/4g fγ = hfγ die urspruͤngliche Kraft des Wassers, dem normalen Querschnitt gemaͤß, sey es auf eine ruhende Ebene von der Groͤße dieses Querschnittes im fließenden Wasser, oder auf eine solche sich bewegende Ebene im ruhenden Wasser, so ist FA = p sin. α und AC = p sin.² α = v²/4g f sin.² αγ = hf sin.² αγ, daher das mechanische Moment dieser urspruͤnglichen Kraft, da sich jeder Punkt der Ebene nach dieser Richtung CA mit der Geschwindigkeit v bewegt pv sin.² α = v²/4g fv sin.² αγ = hfv sin.² αγ = hM sin, αγ, wenn M = fv sin. α die in einer Zeiteinheit in Bezug auf diese Kraft zur Wirkung kommende Wassermenge, deren Querschnitt f sin. α oder die Projection der schiefen Ebene, auf den auf die Richtung der Bewegung normalen Querschnitt des Wassers ist. Daß diese Ausdruͤke mit Beobachtungen uͤber die Kraft des bewegten Wassers auf ruhende Ebenen uͤbereinstimmen, geht aus den von Woltmann in dem Anhange zu seiner Theorie des hydrometrischen Fluͤgels mitgetheilten Tafeln uͤber den parallelen Druk des Wassers auf ruhende Ebenen hervor, woraus man zugleich sieht, daß auch bei schief dem Strome entgegenstehenden Ebenen aus dem angefuͤhrten Grunde, so wie, weil noch eine hydrostatische Kraft hinzukoͤmmt, die Kraft etwas groͤßer ist, als der Ausdruk v²/4g fv sin.² αγ = P sin.² α. nach Woltmann's Bezeichnungsart ergeben wuͤrde. Kennt man die Projection der schiefen Ebene auf den normalen Querschnitt des Wassers, z.B. den normalen Querschnitt des Fahrzeuges, so ist, wenn dieser Querschnitt durch f'' bezeichnet wird, f'' = f/sin. α. Daher die urspruͤngliche Kraft v²/4g f'' v sin. αγ = h f'' v sin. αγ. Ferner werden wir nun die hydrostatische Kraft fuͤr diesen Fall zu bestimmen haben, welche von dem sich vor der Ebene aufstauenden Wasser herruͤhrt, indem dem hydrostatischen Druke des tieferen Theiles des Wassers von dem Wasser hinter der Ebene das Gleichgewicht gehalten wird. Diese Kraft wirkt urspruͤnglich normal auf die Ebene, welche daher die Richtungslinie dieser Kraft ist, von der die Gesammtwirkung waͤhrend einer Zeiteinheit abhaͤngt. Ist diese hydrostatische Kraft FA = p₀'' = 1/2 b² aγ . Fig. 10. und bewegt sich die Ebene um AE = BC = v in dieser Richtung fort, so ist, wenn man diese Kraft in zwei andere nach FD und DA zerlegt, die Kraft FD normal auf die Richtungslinie der Bewegung diejenige, welche von anderen Kraͤften aufgehoben werden muß und bei Fahrzeugen mit spizen Vordertheilen sich gegenseitig selbst aufhebt. Die Kraft DA aber nach der Richtung der Bewegung DA = p₀'' sin. α = p''. Bewegt sich nun die Ebene mit der Geschwindigkeit C'B' = CB = AE fort, so ist AB die Geschwindigkeit dieser Kraft, und es folgt aus dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten, daß wenn die Geschwindigkeit der Kraft p₀'' = AB = 1 ist, die Geschwindigkeit der Kraft DA oder p'' = 1/sin. α ist = AE. Mithin ist das mechanische Moment dieser Kraft p'': Textabbildung Bd. 55, S. 207 Ist a die Laͤnge der Projection der schiefen Ebene oder die lange des auf die Richtung der Bewegung normalen Querschnittes des Fahrzeuges, so wird dieses mechanische Moment der hydrostatischen Kraft, da a = a/sin. α Textabbildung Bd. 55, S. 207 Daher in diesem Falle der hydraulische Druk Textabbildung Bd. 55, S. 207 und das mechanische Moment desselben Textabbildung Bd. 55, S. 207 Daß die Resultate dieser Ausdruͤke mit den Beobachtungen Woltmann's mit ruhenden Ebenen im bewegten Wasser uͤbereinstimmen, ist bereits erwaͤhnt worden, daß sie aber auch mit denen von Bossut mit bewegten Ebenen im ruhenden Wasser uͤbereinstimmen, davon moͤgen folgende Beispiele einen hinlaͤnglichen Beweis liefern. Die Fahrzeuge, womit Bossut seine Beobachtungen anstellte, indem sie im ruhenden unbegraͤnzten Wasser bewegt wurden, hat derselbe mit Nummern bezeichnet, wovon hier nur diejenigen erwaͤhnt werden, welche mit einem geraden Hintertheile versehen waren, indem da, wo auch dieses durch gegen einander geneigte Ebenen gebildet wird, der Widerstand aus den angegebenen Gruͤnden geringer wird. Diese Fahrzeuge bestanden aus einem Parallelepipedum, dessen Grundflaͤche ein Rectangel ABCE, dessen Breite AB= 19 Zoll 8 Linien Pariser Maaß, und dessen Laͤnge BC = 6 Fuß 1 Zoll war. Bei Nr. 9 bildete eine rechtekige gerade Flaͤche AB den Vordertheil. Fig. 11. Bei Nr. 10 wurde vor dieser rechtekigen Flaͤche ein Vordertheil ADB angebracht, dessen Grundflaͤche einen gleichschenklichten Triangel bildete, dessen Hoͤhe DH 9 Zoll 9 1/2 Linie betrug. Bei Nr. 11 hatte der eben gedachte Triangel eine Hoͤhe DH von 19 Zoll 8 Linien. Die Beobachtungen selbst theilt Bossut in den Paragraphen 891 bis 899 mit, wovon nachfolgende hier ihren Plaz finden moͤgen. Hinsichtlich der Hoͤhe des Aufstaues ist zu bemerken, daß in den nachfolgenden Tafeln in den Beispielen, wo von Bossut nur der Aufstau an der Spize beobachtet und angegeben ist, derselbe an den Seiten und danach die mittlere Hoͤhe des Aufstaues so groß angenommen wurde, als er bei anderen aͤhnlichen Beobachtungen Bossut's daselbst gefunden wurde. Textabbildung Bd. 55, S. 208 Nummer des Versuches; Nummer des Fahrzeuges; Steigungswinkel der Ebenen; Laͤnge der Ebene; Laͤnge der Projection der Ebene; Tiefe, zu welcher das Fahrzeug eintaucht; Hoͤhe des Aufstaues vor der Ebene in Pariser Linien; Anzahl der halben Secunden, worin 50 Fuß durchlaufen wurden; Geschwindigkeit der Ebene; Die der Geschwindigkeit v zugehoͤrige Hoͤhe; Von der Theorie; Hydraulischer Druk; Hydrostatische Kraft; Urspruͤngliche Kraft; Nach der Teorie; Nach der Erfahrung Spaͤter stellte Bossut mit einem aͤhnlichen Prisma noch eine Reihe Versuche in eben der Art uͤber den Widerstand des unbegraͤnzten Wassers an; die Laͤnge des prismatischen Fahrzeuges betrug bei diesen Versuchen 4 Fuß, die Breite 2 Fuß und der Winkel der Spize des Vordertheiles variirte von 12 zu 12 Grad, von 12 bis zu 180 Grad. Die Fahrzeuge wurden so belastet, daß sie 2 Fuß tief eintauchten. Die in folgender Tafel berechneten Resultate moͤgen auch hier von der vortrefflichen Uebereinstimmung der Theorie mit der Erfahrung sowohl bei den groͤßten als den kleinsten Winkeln einen Beweis liefern. Berechnung eines der folgenden Beispiele, und zwar Nr. VI, wo α = 84°. Es ist: v = 96/77,50 = 1,24' = 14,68'', daher nach der von Bossut mitgetheilten Tabelle h = 0,297'' = 0,0247'; f'' = aB = 2 · 2 = 4. Die Laͤnge der schiefen Ebene α = a,/sin. α = 2/sin. 84° = 2,01'. Daher der hydraulische Druk P = [hf'' sin. α + 1/2 b² a,/sin. α] γ. – [0,0247' · 2 · 2 0,09945 + 1/2 · 1/6 · 1/6 2,01] 70 = 6,88 + 1,95 = 8,83 Pariser Pfund. Textabbildung Bd. 55, S. 210 Nummer des Versuches; Winkel an der Spize des Vordertheiles; Steigungswinkel der schiefen Ebenen; Laͤnge der Ebene; Laͤnge der Projection der Ebene; Tiefe, zu welcher das Fahrzeug eintaucht; Hoͤhe des Aufstaues vor der Ebene in Pariser Linien; Anzahl der Secunden, worin 96 Fuß durchlaufen wurden; Geschwindigkeit der Ebene; Die der Geschwindigkeit v zugehoͤrige Hoͤhe; Nach der Theorie; Hydraulischer Druk; Die hydrostatische Kraft; Die urspruͤngliche Kraft; Nach der Erfahrung Hienach wird man nun leicht im Stande seyn, die noch stehen gebliebenen Maͤngel im Vertrage an sich evidenter kehren meiner Theorie der Kraft sich bewegender fluͤssiger Massen, so wie die daraus entstandenen Rechnungsfehler zu berichtigen. §. 11. Noch moͤchte es hier nicht am unrechten Orte seyn, einstweilen schließlich die Hauptformeln fuͤr die Berechnung der Kraft expansibler fluͤssiger Massen mitzutheilen; und es ist, wenn man die mitgetheilten Beobachtungen Woltmann's dabei mit zum Grunde legt, 1) der pneumatische Druk des Windes auf eine dem Luftstrome normal entgegenstehende Ebene, z.B. auf ein Segel, welches sich in der Richtung des Windes bewegt, wenn man die bisherige Bezeichnungsart beibehaͤlt, wonach c die Geschwindigkeit des Windes, v die der Ebene, γ' das Gewicht der Luft: Textabbildung Bd. 55, S. 211 2) Weicht eine schief dem Winde entgegenstehende Ebene nach irgend einer Richtung AB, Fig. 12 aus, welche mit einer Normale AC auf die Richtung des Windes den Winkel δ macht, so ist das Moment des pneumatischen Drukes Textabbildung Bd. 55, S. 211 wird v = o, oder fragt man nur nach dem Bestreben nach Bewegung, wie Woltmann seine Versuche anstellte, so ist dieß Moment Textabbildung Bd. 55, S. 211 3) Hieraus wird der eigentliche sogenannte pneumatische schiefe Druk, wenn naͤmlich δ = 45° und die Richtung der Bewegung BA normal auf die schiefe Ebene, also δ = α ist Textabbildung Bd. 55, S. 211 Wird hierin v = o, so wird, wie bei den Versuchen Woltmann's Pc = 4/3 c²/4g · cf cos. βγ, und die urspruͤngliche pneumatische Kraft Textabbildung Bd. 55, S. 211 4) Wird δ = 90°, oder fraͤgt man nach dem Momente des Paralleldrukes, Textabbildung Bd. 55, S. 211 und wenn v = o, oder wenn, wie bei den Versuchen Woltmann's, die Ebene in Ruhe bleibt, Textabbildung Bd. 55, S. 212 5) Wird δ = o, oder fraͤgt man nach dem pneumatischen lateralen oder Seitendruk, wie bei Windmuͤhlen, so wird Textabbildung Bd. 55, S. 212 und wenn hierin v = o, oder wenn die Ebene in Ruhe bleibt, Textabbildung Bd. 55, S. 212