LXII. Beschreibung des Pediometers, eines Instruments, um den Flaͤcheninhalt in Karten ohne Rechnung zu erhalten; von J. F. Schiereck in Gießen. Mit Abbildungen auf Tab. IV. Schiereck's Pediometer. Vorwort. Nach der Herausgabe einer Polygonometrie, Gießen 1820, bin ich von dem Grafen v. Solms-Laubach, der damals kön. preuß. Oberpräsident und Generaldirector des Katasters in den Rheinprovinzen war, daselbst angestellt worden, um den Geometern die polygonometrische Methode kennen zu lehren, und habe zu dem Behufe im Winter 1820–21 in Cleve, und im Winter 1821–22 in Düsseldorf Vorlesungen darüber abgehalten, und im Sommer praktische Vermessungen ausgeführt. Die Berechnung des Flächeninhalts in construirten Karten mittelst Cirkel und Maaßstab durch Zerlegen in Dreieke erschien mir sogleich als etwas sehr Unzulässiges, da die Plane durch die vielen Linien entstellt werden, durch die Cirkelspizen leiden, und das ganze Verfahren höchst ermüdend und abspannend ist. Dieß veranlaßte mich, auf Mittel zu denken, diesem Uebelstande abzuhelfen, und ich äußerte gegen den Generalinspector Rollshausen im Frühjahr 1821, daß ich die Idee zu einem Instrument aufgefaßt habe, durch dessen Anwendung das Berechnen des Flächeninhalts vereinfacht würde. Derselbe nahm von dieser Aeußerung keine Notiz, indem er sagte, daß er Glastafeln bestellt habe, die alles andere an Genauigkeit und Zeitersparniß für die Bestimmung des Flächeninhalts übertreffen müssen, und diese Glastafeln erwartend bildete ich die gefaßte Idee nicht weiter aus. Um Neujahr 1823 ließ mich Hr. Obergeometer Stierlin in Düsseldorf, wo ich damals war, ersuchen, die angekommenen Glastafeln zu sehen, und ihm meine Ansicht über deren Nuzen und Anwendbarkeit mitzutheilen, welche dahin ausfiel, daß das von mir erdachte Instrument bei größerer Bequemlichkeit größere Genauigkeit als diese Glastafeln gewähren müsse. Die Glastafeln, auf denen kleine Quadrate eingeäzt waren, welche durch Abzahlen und Abschäzen der kleineren Theile den Inhalt angeben sollten, waren dik, um das Zerbrechen zu verhüten, und hiedurch schwer und unbequem, und werden dieselben bald unbrauchbar dadurch, daß sich die untere Fläche abreibt und undurchsichtig wird. In Irland hat man eine ähnliche Vorrichtung auf durchsichtigem Horn, das viel bequemer als Glastafeln für den Gebrauch ist. Ich ließ nun von Holz einen Winkelhaken und ein Lineal anfertigen, beklebte diese mit Papier und machte darauf eine Eintheilung aus freier Hand, berief mehrere Geometer zusammen, und es wurden mir mehrere Figuren zur Berechnung vorgelegt, die von einem anderen mit Hülse der Glastafeln berechnet wurden, und bei genauer Untersuchung durch Anwendung eines Stangencirkels und Maaßstabes ergab sich denn, daß mein Instrument weit genauere Resultate lieferte, und dabei größere Zeitersparniß gewähre. Es wurde nun beschlossen, einige dieser Instrumente anfertigen zu lassen, und ich lieferte zu diesem Behufe die Beschreibung des Instruments, welches ich Kathetometer nannte, die dem damaligen Mechanikus, jezigem Münzmeister Rößler in Darmstadt, überschikt wurde, der einige dieser Instrumente zur vollkommenen Zufriedenheit ausführte, von denen ich noch ein Exemplar besize. Das Instrument ist so einfach, daß wenige Worte hinreichen werden, die Einrichtung und den Gebrauch desselben kennen zu lernen. Dasselbe besteht aus zwei messingenen Winkelhaken, die sich an einander horizontal und vertical schieben lassen. Der eine derselben hat auf beide Schenkel BC und CD (Fig. 2) eine Eintheilung, zu welcher der andere, der sich daran herschiebt, einen Nonius hat. Es ist klar, daß beide Winkelhaken für zwei verschiedene Maaßstäbe können eingerichtet werden, indem es nur darauf ankommt, welcher als äußerer und welcher als innerer Winkelhaken gebraucht wird. Angenommen nun, daß das Lineal (Fig. 1) rechtwinkelig mit einem anderen Lineal verbunden ist, und so den äußeren Winkelhaken bildet, der an der inneren Seite nach einem verlangten Maaßstab eingetheilt ist, und der Winkelhaken (Fig. 2) der innere ist, an AF und FE eine Eintheilung hat, die der Nonius zum äußeren Winkelhaken ist, und bei n einen markirten Punkt hat, so kann dieses Instrument auf folgende Weise zum Berechnen des Flächeninhalts und zum Construiren von Karten mittelst rechtwinkeliger Coordinate vortheilhaft angewendet werden. Um das Trapezium ABCD (Fig. 6) zu berechnen, bringe die Seite CD (Fig. 2) des inneren Winkelhakens an die Diagonale AC, und zwar so, daß der markirte Punkt n auf A zu liegen kommt. An den inneren Winkelhaken bringe den äußeren Winkelhaken, halte diesen fest, und schiebe ersteren daran her, bis der markirte Punkt n auf C zu liegen kommt, und in dieser Lage wird die Eintheilung des äußeren und der Nonius des inneren Winkelhakens die Länge der Diagonale AC angeben. Bringe den inneren Winkelhaken in seine vorige Lage zurük, halte ihn fest, und schiebe an demselben den äußern Winkelhaken so weit herunter, bis seine innere Seite den Punkt D des Trapeziums trifft, halte diesen fest und schiebe den innern Winkelhaken aufwärts, bis die Seite EF den Punkt B des Trapeziums trifft, so wird in dieser Lage die verticale Eintheilung am äußeren und der dazu gehörige Nonius am innern Winkelhaken die Summe der beiden Perpendikel des Trapeziums angeben, wodurch dasselbe zu berechnen ist. Soll der Punkt B (Fig. 6) mittelst eines Perpendikels auf AC in den Plan gebracht werden, so bringe wie vorher den markirten Punkt n auf A, so daß die Seite CD des innern Winkelhakens auf den Punkt C (Fig. 6) liege, und lege den äußern Winkelhaken fest an den innern; schiebe diesen horizontal so weil, bis sein Nonius die Länge von A bis zum Perpendikel angibt, halte ihn da fest und schiebe den äußern Winkelhaken dicht an, halte nun diesen fest, und schiebe den innern Winkelhaken aufwärts, bis sein Nonius die Länge des Perpendikels angibt, wo dann der markirte Punkt n den verlangten Punkt B angibt, ohne das Papier durch Linien und Cirkelspizen zu verunstalten. Nachdem das Instrument durch mehrfache Versuche geprüft wurde, ergab sich, daß dasselbe den Flächeninhalt und das Austragen der Punkte viel genauer angebe und verzeichne als Cirkel und Maaßstab, wovon die Ursache wohl darin liegt, daß der Nonius die Unterabtheilungen genauer als der Maaßstab angibt, daß der Cirkel die Punkte auf dem Papier und Maaßstab verdekt, und daß das Instrument das Papier immer ebnet, was der Cirkel nicht thut; und als die hohe Generaldirection, damals in Münster, davon Kunde erhielt, ließ dieselbe ein Instrument dahin kommen, um daselbst Proben damit anzustellen. Mittlerweile hatte ich ein Mittel ausgefunden, das Berechnen der Flächen gänzlich zu ersparen und das Instrument so einzurichten, daß anstatt Grundlinie und Höhe zwei andere Zahlen erhalten werden, deren Unterschied unmittelbar den Flächenraum des Trapeziums angibt, und benachrichtigte hievon im März 1824 die hohe Generaldirection, mit dem Bemerken, daß ich für diese Erfindung, die so viele Zeit erspart, und irrthümliches Rechnen umgeht, eine der Sache angemessene Remuneration in Anspruch nehme. Hierauf erging von hoher Generaldirection am 1. Mai ein Circular an sämmtliche Geometer des Inhalts: wer bis Ende August dieses das beste Instrument zur Bestimmung des Flächeninhalts, zum Auftragen und Copiren einreicht, oder Proben bei der ihm nächsten Katastercommission mit einem solchen Instrumente macht, der soll einen Preis von 60 Thlrn. erhalten – und nebst diesem Circular erhielt ich ein besonderes Schreiben hoher Generaldirection, worin dieselbe sich wohlgefällig über mein Streben, die Arbeit zu erleichtern, äußerte, und noch außerdem sich also ausdrükt: es wird nun von ihnen abhängen, den ausgesezten Preis zu erlangen. Arbeiten und die Aeußerung des Generalcommissärs, daß es nicht nöthig sey, den bestimmten Termin zu beobachten, weil einige andere Erfindungen bis dahin nicht können ausgeführt werden, wodurch die Beurtheilung weiter hinaus müßte geschoben werden, veranlaßten, daß ich erst im September Proben bei der Katastercommission in Düsseldorf mit dem Instrument anstellte, aber selbst nach dieser Zeit wartete ich lange und vergeblich auf irgend eine Nachricht über angestellte Vergleichungen der verschiedenen Erfindungen. Endlich trat in Köln am 12. Febr. 1826 unter dem Vorsiz des Generalcommissärs Rollshausen eine Commission zusammen, bestehend aus den beiden Obergeometern, Gebrüder Wagner, dem Obergeometer Succalmaglio und dem Obergeometer Reichard, um über die während der zwei Jahre erdachten Instrumente zu urtheilen. Diese Commission erkannte nun den Preis von 60 Thlr. dem einen der Herren Obergeometer Wagner, einen Preis von 25 Thlr. dem Obergeometer Succalmaglio, und die Preise von 15 und 10 Thlr. zwei Geometern zur Belobung ihres Eifers zu, obschon deren eingereichte Instrumente von der Commission als ganz unbrauchbar erklärt wurden; jedoch von meinem Instrumente ist in diesen Acten nichts erwähnt, ausgenommen einige Worte über den vorher beschriebenen Kathetometer. Im Mai desselben Jahres hatte ich Gelegenheit, dieß Verfahren dem damaligen Generaldirector des Katasters Sr. Excellenz dem Hrn. Oberpräsidenten v. Vinke in Münster bekannt zu machen, welcher mir im August bei der kön. Regierung in Köln eine Remuneration von 20 Thlr. überwies, die ich jedoch nicht annahm. Unter diesen Umständen befaßte ich mich nicht weiter mit dem Instrument, das noch unvollständig war, und nur aus einem flachen Winkelhaken ABCDEF (Fig. 2) bestand, der CD entlang eingetheilt war, und mit AF parallel zwei auf- und abwärts gehende Zahlenreihen hatte; und es war zur Bestimmung des Flächeninhalts nöthig, die Länge der Grundlinie mittelst der Scale an CD zu bemerken, und nach geschehener Verschiebung des Winkelhakens und Lineals, die dieser Länge in den auf- und abwärts gehenden Zahlenreihen gegenüber stehenden Zahlen auf dem Lineal (Fig. 1) von einander abzuziehen. Im Mai 1836 haben mich besondere Absichten veranlaßt, eine Reise nach England zu machen, woselbst ich bis Sept. 1840 weilte, und während dieser Zeit hatte ich Gelegenheit, mit der Zehntaustauschungs-Commission in London in Berührung zu kommen, und die bei dieser statthabenden Vermessungen veranlaßten, daß ich die Idee zu dem Instrumente von Neuem erfaßte, ein Exemplar anfertigen ließ, das ich durch die Anwendung des Bandes, der Röllchen und Schieber vervollständigte, und bei der Commission Proben damit anstellte. Theoretische und praktische Untersuchungen haben zur Genüge die Brauchbarkeit des Instruments und die große Zeitersparniß, die es gewährt, nachgewiesen, in Folge deren mir die Lords des Schazes den von mir perlangten Preis am Neujahrstage 1839 auszahlen ließen, und einem Instrumentenmacher den Auftrag gaben, mehrere Exemplare anzufertigen. Das Instrument hatte damals bei qr (Fig. 2) ein Plättchen wie k, k' ohne den Draht, und es waren für diese beiden Plättchen zwei verschiedene Zahlentafeln (auf Fig. 1) nöthig, was dadurch bewirkt wurde, daß in der Mitte dieses Lineals ein Blättchen zum Umdrehen angebracht war. Dieß verursachte dem Anfertiger Schwierigkeiten, besonders bei lithographirten Tafeln, beide Seiten genau aneinander zu bringen, und veranlaßte mich zur Anwendung des Drahtes, wodurch eine Tafel ganz unnöthig wurde, und der Rechner den Vortheil genießt, das Umdrehen des Blättchens zu ersparen. Seitdem habe ich mit dem Instrumente verschiedene Proben angestellt und viele Berechnungen ausgeführt, und da sich dasselbe immer bewährt und noch keine Veränderlichkeit zeigte, auch mir keine Ursache zu irgend einer Abänderung Veranlassung gegeben hat, hege ich die Ueberzeugung, dasselbe hiemit dem Publicum in vollkommenster Zusammensezung zu überliefern, und habe ich den von den Engländern dafür schiklich gewählten Namen Pediometer beibehalten. Im Jahre 1824 sollten in Düsseldorf alte Karten, die nach einem großen Maaßstabe gezeichnet waren, in den üblichen, für die Katastralvermessungen eingeführten Maaßstab reducirt werden, eine Arbeit, die durch Anwendung der bekannten Reductionscirkel nicht ausgeführt werden konnte, da kleine Quadrate sowohl diese Karten als die neu anzufertigenden Karten ganz entstellt haben würden, und dieses gab mir den ersten Gedanken zu dem beschriebenen Cirkel, den ich dort anfertigen ließ, ohne jedoch den Fuß im Scharniere B (Fig. 7) dabei anzubringen; und das Instrument entsprach der Absicht, nur schade, daß dieß erste Exemplar etwas zu schwer ausfiel. In England, wo das Landmessen noch über 100 Jahre zurük ist, indem daselbst die ganzen Bürgermeistereien durch die Kette allein ausgemessen werden und die Landmesser auch nicht einmal den Gebrauch der Kettenstäbe kennen, wobei das Construiren der Karten durch den Durchschnitt zweier Linien bewirkt wird, habe ich zu dem Ende den fünften Fuß in B noch hinzugefügt, und zwei Instrumente, die nach dieser Beschreibung dort angefertigt wurden, sind zur vollkommenen Zufriedenheit der Besizer ausgefallen. Durch den Meyer'schen Recipiangel bin ich auf die Construction eines anderen winkelmessenden Instruments geleitet worden, dessen äußere Form dem beschriebenen Ovalographen ähnlich ist, und bei Untersuchung der Curven, die dabei entstehen, fand ich, daß dieselben Ellipsen und Eilinien seyen, und dieses gab Veranlassung zur Zusammensezung des Instruments. Im Jahre 1815 ließ ich mir von dem hiesigen Universitätsmechanikus Heß ein Modell in Holz anfertigen, das für die damit angestellten Proben sich genügend erwies; da ich aber keine Ursache hatte, davon Gebrauch zu machen, ließ ich es liegen, glaube aber, bei dieser Gelegenheit es zum Nuzen von Baubeflissenen und anderen Zeichnern bekannt machen zu müssen, besonders da es im Vergleiche mit dem verschiedenartigen Gebrauche nur von geringen Kosten seyn kann. Beschreibung des Pediometers. Das Instrument besteht aus zwei Stüken, nämlich einem Lineal und einem Winkelhaken. Auf dem Lineal sind vier Colonnen mit Zahlen, die auf unten angegebene Weise construirt und geordnet sind, und wovon Fig. 1 einen Theil in natürlicher Größe vorstellt, bei welchem der preuß. Maaßstab von 1/2500 angewendet ist. Die Seite rechts am Lineal ist, nach genanntem Maaßstabe, von Ruthe zu Ruthe abgetheilt, und jeder zweite Theilstrich verlängert, begränzt ein Gefach in der ersten Colonne. Die Gefächer in der zweiten Colonne werden begränzt durch Verlängerung der Zwischentheilstriche, und denkt man sich die einzelnen Ruthen halbirt, so bilden die Theilstriche der 1sten, 5ten, 9ten u.s.w. halben Ruthe die Gefächer der dritten Colonne, so wie die Theilstriche der 3ten, 7ten, 11ten, 13ten... halben Ruthe die Gefächer der vierten Colonne ausmachen. Die Zahlen in den Colonnen sind die halben Quadrate der natürlichen Zahlen in folgender Weise: Colonne 1 enthält die halben Quadrate von 1/2 ; 1 1/2 ; 2 1/2 ; 3 1/2 ; 4 1/2 ; 5 1/2 ...     –       2       –       –           –     – 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ...     –       3       –       –           –     – 3/4 ; 1 3/4 ; 2 3/4 ; 3 3/4 ; 4 3/4 ; 5 3/4 ...     –       4       –       –           –     – 1/4 ; 1 1/4 ; 2 1/4 ; 3 1/4 ; 4 1/4 ; 5 1/4 Ueber die Zahlen und Punkte in der Seiteneintheilung wird gehörigen Orts Auskunft gegeben werden. Die Zahlen der verschiedenen Colonnen bleiben dieselben für jeden anderen zu nehmenden Maaßstab, der nur auf die Weite der Gefächer Einfluß haben kann. Der Winkelhaken ABCDEF (Fig. 2) von Holz zusammengesezt und ungefähr 1/4 Zoll dik, ist mit einfachem Mechanismus versehen, dessen Zusammenstellung durch folgende Theile erhalten wird. a, a, a, a sind vier Röllchen, die sich um einen durch den Mittelpunkt gehenden Stift drehen, der mittelst eines metallenen Hakens durch Schräubchen mit dem Winkelhaken verbunden ist, wie dieß Fig. 3 darstellt, worin a das Profil des Röllchens ist, das unten einen kleinen Absaz hat, und b, b, b, b, b, b die Form des Hakens ist. Um diese Röllchen ist ein leinenes Band gelegt, wie b, c, d, e, f, g, h (Fig. 2) zeigt, das mit den Enden zusammengenäht ist, und gleichsam eine geschlossene Kette bildet. An diesem Bande ist in M ein metallenes Plättchen von der Form, wie k, k', k' zeigt, befestigt, wobei zu bemerken ist, daß dieses Plättchen bei k', k' senkrecht in die Höhe gebogen ist, und das Plättchen selbst ruht auf der Fläche des Winkelhakens. Deßgleichen ist bei N ein metallener Schieber mn, dessen Profil in Fig. 4 zu sehen ist; dort ist no ungefähr die Dike des Winkelhakens, mn die Breite vom Bande bis zur Kante des Winkelhakens, mp die Höhe, die viel länger als die Breite des Bandes ist, und womit der Schieber am Bande befestigt ist. Ferner ist ein starker Messingdraht gebogen, wie qrstuk (Fig. 2) zeigt, bei r an dem Bande befestigt, zu welchem Zwek dieser Draht außer der oben beschriebenen Biegung noch bei r eine perpendikuläre Biegung hat, wie dieß durch rvws (Fig. 5) vorgestellt ist, und sind die beiden Seiten r v, vw am Bande angenäht. Die Entfernung der beiden Spizen kq des Drahtes (Fig. 2) von einander hängt von der Länge des Schenkels AF, oder vielmehr von der Entfernung der beiden Röllchen von b nach c ab, da das Plättchen k k' k' nur zwischen diesen beiden Punkten kann bewegt werden, und von derselben Entfernung kq hängt auch die Stellung der Zahlen an der Seite des Lineals (Fig. 1) ab. In der vorliegenden Zeichnung ist kq 40 Ruthen von einander entfernt, was gleich der Länge vom Anfangspunkte des Lineals bis zum Nullpunkte desselben ist. Sind alle am Bande bcdefgh befestigten Theile in eine solche Lage gebracht, daß die Spize des Plättchens k k' k' mit der Spize des Drahtes uk zusammenfällt, wo nämlich der Draht über dem Plättchen ist, dann wird am Schenkel CD, an der Stelle, wo n denselben trifft, ein Zeichen gemacht, um die Stelle zu bezeichnen, welche als Anfangspunkt dieses Schenkels betrachtet wird. In dieser Lage muß, wenn der Punkt q auf O des Lineals gebracht wird, der Punkt k auf 40 des Lineals zeigen (es versteht sich, daß hier von der in der Zeichnung angenommenen Entfernung kq = 40 Ruthen die Rede ist), welches jedesmal zur Probe dient, ob irgend eine Aenderung vorgegangen sey, und wenn dieß geschehen ist, dazu dient, das Instrument zu berichtigen. Außer diesem bei n markirten Punkte müßte auch am Schenkel AF ein Punkt unter qr oder ku markirt werden; es ist aber zur größeren Bequemlichkeit ein Punkt R gewählt worden, der 10 Ruthen von qr entfernt ist, und auf gleiche Weise ist dieß mit einem 10 Ruthen unterhalb Null auf dem Lineal liegenden Punkte geschehen. Es ist nun klar, daß wenn der Punkt R am Lineal an den Punkt R auf dem Schenkel AF geschoben wird, dann der Punkt k auf 40, und der Punkt q auf O des Lineals zeigen wird, und es ist daher bei etwaiger Correctur des Instruments auf den Punkt R Rüksicht zu nehmen. Nachdem dieses Alles gehörig angefertigt und zusammengestellt ist, wird ein rinnenförmiger Dekel über A' BC' D' E F' mittelst Schrauben an den Winkelhaken befestigt, und dieser Dekel läßt in A' F' und C' D' einen Spielraum, damit der Draht qr, das Plättchen k k' k und der Schieber mn den Seiten entlang können geschoben werden. Bei s ist im Dekel ein kleines Loch, um den Draht rs durchzulassen, und über dem Band cd ist im Dekel ein Einschnitt, um das Stük mp (Fig. 4) durchzulassen, das über dem Dekel hervorragt und den Griff des Schiebers mnn'm' bildet, vermöge dessen der Schieber fortbewegt werden kann. Von dem durch den Winkelhaken bestimmten Nullpunkt am Lineal (Fig. 1) werden die natürlichen Zahlen aufwärts und herunter zu auf die Theilstriche gesezt, und der Bequemlichkeit und leichteren Uebersicht wegen geschieht dieß nur mit den geraden Zahlen. Für den zwekmäßigen Gebrauch ist anzurathen, dem Winkelhaken die Ausdehnung zu geben, daß die Entfernung kq etwa hundert solcher Theile betrage, die hier als Ruthen angenommen wurden, wobei die Breite ABDE der Schenkel so wie in der Figur bleiben kann. Die Länge des Lineals wird dann doppelt so groß oder zweihundert solcher Theile lang seyn. Das Obige enthält die Beschreibung aller einzelnen, das Instrument constituirenden Theile, die sehr einfach und leicht anzufertigen sind, auch den Vortheil gewähren, daß das Instrument nicht sobald abgenuzt wird, noch in seinen Verhältnissen Veränderungen ausgesezt ist. Anwendung des Pediometers zur Bestimmung der Flächen in einem nach verjüngtem Maaßstabe gezeichneten Plane. Das vorbeschriebene Instrument gibt die Flächeninhalte von Dreieken oder Viereken durch den Unterschied zweier auf dem Lineale (Fig. 1) befindlichen Zahlen an, und zwar ohne benöthigt zu seyn, die Längen der Grundlinien und Höhen der Perpendikel zu wissen. Bei der hiedurch entstehenden Zeitersparniß und Verminderung der Arbeit alles Rechnens (ausgenommen einer kleinen Subtraction) entsteht auch noch der Vortheil, daß die zu berechnenden Figuren nur in Viereke zu zerlegen sind, und daß der Plan nicht durch Cirkelstiche leidet. Das Verfahren die Flächeninhalte vermittelst des Instruments zu erhalten, ist der Einfachheit desselben ganz entsprechend. Es sey das Vierek ABCD (Fig. 6) mittelst des Instruments zu berechnen. Vorläufig bemerke ich, daß es besser ist, in einem Trapezium die kleinere Diagonale als Grundlinie anzunehmen, was auch für eine Berechnungsweise angewendet werden mochte, wie in Folgendem wird bewiesen werden. In Bezug hierauf bringe die Seitenlinie CD vom Schenkel CDEF des Winkelhakens auf die Diagonale AC des Trapeziums, und zwar so, daß der bei n am Winkelhaken markirte Punkt auf A des Trapeziums zu liegen kommt; schiebe den Schieber mnn'm' so weit fort, bis die Seite mn desselben über den Punkt C des Trapeziums liegt. Durch diese Operation wird das am Bande befestigte Plättchen kk'k' nach c zu bewegt, und der Draht qrstuk nach entgegengesezter Richtung aufwärts gehen. Hierauf bringe das Lineal (Fig. 1) an die Seite AF des Winkelhakens, um diesen beim Hinaufschieben nach B in paralleler Richtung zu erhalten. Daselbst angelangt, schiebe das Lineal an der Seite AF des Winkelhakens so, daß der an derselben markirte Punkt R mit dem Punkte R am Lineal zusammentrifft; schiebe dann dasselbe festhaltend den Winkelhaken hinunter, bis die Seite CD desselben den Punkt D des Trapeziums trifft. In dieser Lage und bei dem auf der Tafel verzeichneten Trapezium wird der Punkt k des Plättchens k k' k' etwa unter dem Nullpunkt auf den Theilstrich 68, und der Punkt k des Drahtes überhalb des Nullpunktes etwa auf den Theilstrich 8 zu liegen kommen. Der Theilstrich 68 deutet auf die Zahl 1458,00 und der Theilstrich von 8 deutet auf die Zahl ...   128,00, und hiedurch ist der Flächeninhalt des Trapeziums ––––––– = 1330,00 Quadratruthen. Die Theilstriche deuten auf die Mitten der zu gebrauchenden Zahlen in den beiden ersten Colonnen für den Fall, wenn die Punkte k am Plättchen und Draht genau auf die Theilstriche zu liegen kommen. Im Fall aber die Spizen k in der Mitte zwischen zwei Theilstrichen liegen, dann sind die entsprechenden Zahlen aus den Colonnen 3 und 4 zu entnehmen, und um Irrthum in der Wahl der Colonnen zu vermeiden, ist zwischen den Theilstrichen abwechselnd die rothe Farbe angebracht worden, und die Colonne (4) ebenfalls roth gefärbt worden. Liegen nun die beiden Spizen k des Plättchens und Drahtes auf der Mitte der rothen Farbe, dann sind die Zahlen aus den gerade gegenüber stehenden Gefächern der Colonne (4) zu nehmen; liegen aber die Spizen k auf der Mitte weiß gelassener Felder, dann sind die entsprechenden Zahlen aus den den Spizen gegenüber liegenden Gefächern der Colonne (3) zu entnehmen. Um Mißverständnisse zu verhüten und das eben erörterte Verfahren durch Beispiele zu vervollständigen, construire man drei Viereke nach der beliebig angenommenen Einheit, wofür das Instrument abgetheilt wurde, auf folgende Weise: Die Länge der zur Basis angenommenen Diagonalen 11,75 ; 11,25 ; 11,50 ; die Längen der beiden dazu gehörigenPerpendikel zusammengenommen, mögenseyn 23,25 ; 23,75 ; 24,00 Für diese Beispiele wird die Spize k des Plättchens den gegebenen Zahlen entsprechend auf den Theilstrich 5 ; auf 5 ; in der Mitte zwischen 4 u. 5 auf Weiß liegen und die dazu gehörigen Zahlen 153,13; 153,13; 157,53 zeigen. Die Spize k des Drahtes wird in der Mitte zwischen 28 und 29 auf Weiß; zwischen 27 und 28 auf Roth; deßgleichen zwischen 27 und 28, und dazu die entsprechenden Zahlen   16,53 ;   19,53 ;   19,53 zeigen, und es wird daher derInhalt der Trapezien –––––– –––––– –––––– 136,60 133,60 138,00 Es ist bei dem Bisherigen vorausgesezt worden, daß die Spizen k entweder auf Theilstrichen oder genau in der Mitte zwischen zwei Theilstrichen zu liegen kommen, und es bleibt daher noch der Fall zu erörtern, wenn dieß nicht eintrifft. Ein etwas geübtes Auge wird leicht zu entscheiden wissen, ob die Spize k des Plättchens oder des Drahtes näher zum wirkichen Theilstriche oder zur Mitte zwischen den beiden Theilstrichen ist, und es ist dann die Zahl zu nehmen, welche dem näher liegenden Punkt entspricht. Es sey z.B. die Länge der zur Basis angenommenen Diagonale = 11,50; die Länge der beiden Perpendikel zusammengenommen = 23,10; so wird die Spize k des Plättchens näher zur Mitte zwischen 5 und 6 über dem Nullpunkt liegen, und man hat daher die in der rothen Colonne stehende Zahl 148,78 zu nehmen. Die Spize k des Drahtes wird ebenfalls näher zur Mitte zwischen 29 und 28 über Null seyn, wofür die Zahl 16,53 zu nehmen ist, und der Inhalt ist 132,25 Quadratruthen. Es ist nun die Anwendung der Zahlen auf den Theilstrichen am Lineal zu erörtern, welche zu der Absicht dastehen, um in den oft vorkommenden Fällen, wobei die Spize k des Drahtes über dem Lineal hinausgeht und daher die abzuziehende Zahl nicht unmittelbar angibt, auszuhelfen. In solchem Falle wird die Spize q des Drahtes über dem Nullpunkt am Lineal entweder auf eine Zahl zeigen, oder zwischen zwei Zahlen liegen, und das Verfahren die abzuziehende Zahl zu erhalten besteht in der einfachen Operation, das Lineal so weit aufwärts zu schieben, bis die Spize q unterm Nullpunkt des Lineals dieselbe Zahl zeigt oder auf gleiche Weise zwischen demselben liegt, wie anfänglich überm Nullpunkt. In dieser Lage wird die Spize k des Drahtes die abzuziehende Zahl anzeigen. Zur Erläuterung dieses Verfahrens construire ein Vierek ABCD auf folgende Weise: die Diagonale AC 0 36,0; in A sey AB perpendikulär auf AC und = 14,0; deßgleichen sey in C die CD perpendikulär auf AC, und = 12,50. Nimmt man die AC als Basis an und verfährt mit dem Instrumente so, wie oben angegeben wurde, dann wird die Spize k des Plättchens unterm Nullpunkt zwischen 22 und 23 seyn, und auf die Zahl 488,28 zeigen; die Spize k des Drahtes aber wird überm Lineal hinaus reichen. In dieser Lage wird die Spize q des Drahtes zwischen 9 und 10 überm Nullpunkt des Lineals seyn; schiebt man nun das Lineal auswärts oder den Winkelhaken herunterzu, bis die Spize q zwischen 9 u. 10 unterm Nullpunkt des Lineals ist, dann wird die Spize k des Drahtes auf die Zahl 11,28 zeigen, und es ist daher der Inhalt = 488,28 – 11,28 = 477,00 Quadratruthen. Die Berechnung eines einzelnen Dreieks kann auf drei verschiedene Arten mit Hülfe des Pediometers geschehen, wie hiernächst gezeigt wird. Das Dreiek ABC (Fig. 6) zu berechnen, verfahre wie dieß beim Vierek ABCD gezeigt wurde, nur daß das Herunterschieben des Winkelhakens vom Lineal anstatt von B bis D, beim Dreiek nur von B bis zur Basis AC geschieht. Eine andere Art dieß zu bewirken ist, daß man das Dreiek umkehre und in die Lage ACD bringe; lege dann den Winkelhaken an AC, wie oben angegeben ist, und bringe in dieser Lage den Punkt R am Lineal mit dem Punkte R am Winkelhaken in Berührung, und schiebe diesen dem Lineal entlang, bis seine Seite den Punkt D trifft, wobei die Punkte k am Draht und Plättchen die beiden erforderlichen Zahlen nachweisen. Bei dieser Art der Berechnung ist zwar die Operation des Hinaufschiebens des Winkelhakens erspart worden, es entsteht dabei aber der Nachtheil, daß die beiden Endpunkte der Basis nicht genau können gesehen werden. Eine dritte Art, welche sehr zu empfehlen ist, besteht darin, daß man z.B. im Dreiek ABC (Fig. 6) einen Punkt E in der Linie AB so annimmt, daß die Länge CE beinahe der Länge der von den Punkten A und B darauf gefällten Perpendikel gleich ist, und dann das Dreiek so behandelt, als wenn es ein Vierek AEBC wäre. Diese Verfahrungsweise wird den Flächeninhalt am genauesten angeben; es sey dieß bei Anwendung des Pediometers, oder beim Gebrauche des Cirkels und Maaßstabes, wie es im Folgenden wird bewiesen werden. Aus demselben Grunde ist es rathsam, ein Vierek, dessen Länge viel größer als die Breite desselben ist, der Länge nach in kleinere Viereke zu zerlegen und jedes besonders zu berechnen. Ist eine Figur zu berechnen, die aus mehreren Viereken zusammengesezt ist, dann bilde man zwei Colonnen und bezeichne die eine Colonne mit +, die andere mit –, schreibe dann alle Zahlen, welche die Spize k des Plättchens für die verschiedenen Viereke nachweist, in die mit + bezeichnete Colonne, und alle Zahlen, welche die Spize k des Drahtes angibt, in die mit – bezeichnete Colonne und dann wird die Summe der – Colonne von der Summe der + Colonne abgezogen, den Inhalt der ganzen Figur angeben. Theorie der Grundlage des Pediometers im Vergleich mit der Construction desselben. Das Product zweier Zahlen kann durch den Unterschied zweier Quadrate erhalten werden, denn es ist Textabbildung Bd. 82, S. 261 und dieß ist die Grundlage der Construction des Pediometers. Der Flächeninhalt des Viereks, dessen Basis b und beide Perpendikel = p, p' sind, wird durch Textabbildung Bd. 82, S. 261 erhalten, und wird daher durch den Unterschied von Textabbildung Bd. 82, S. 261 wenn die Grundlinie größer als die beiden Perpendikel zusammengenommen ist, oder durch Textabbildung Bd. 82, S. 261 wenn die beiden Perpendikel zusammen größer als die Basis sind, erhalten. Wollte man für die Multiplikation in Zahlen diese Verwandlung des Multiplicirens in Subtrahiren anwenden, so würde man bei dem Gebrauche ausgedehnter Quadrattafeln noch die halbe Summe und halbe Differenz der beiden Factoren zu berechnen, und dadurch vielleicht mehr Arbeit haben, als das Multipliciren erfordert. Ein Anderes ist es mit dem Berechnen von Flächen durch Figuren, die nach einem verjüngten Maaßstabe gezeichnet sind, wobei die Factoren selbst erst durch Zerlegen in Dreieke und Abmessen durch Cirkel und Maaßstab erhalten werden sollen. Hiebet wird das nochwendige Abmessen durch den am Instrumente angebrachten Mechanismus unmittelbar in Addiren und Subtrahiren von Grundlinie und Höhe verwandelt, wie dieß sogleich klar wird dargethan werden. Der Schieber mn (Fig. 1, 2 und 6) entfernt sich von dem an der Seite CD des Winkelhakens als Anfangspunkt markirten Punkt, um die ganze Länge der als Grundlinie angenommenen Diagonale, folglich bewegt sich das Plättchen k k' k' eben so weit herunterzu, und der Draht um eben dieselbe Länge aufwärts, da sich das Band in allen seinen Punkten um diese Länge von der anfänglichen Lage entfernt. Wenn der Winkelhaken mit der Seite CD den Punkt B trifft, wird nach Oben angegebenem Verfahren der markirte Punkt R des Lineals mit dem markirten Punkt R am Winkelhaken vereinigt, in welcher Lage die anfängliche Lage der Spize k des Plättchens und des Drahtes auf den obersten Punkt des Lineals, so wie die anfängliche Lage der Spize q auf den Nullpunkt am Lineal zeigen würde. Dadurch aber, daß der Schieber mn sich von dem anfänglichen Punkt um die Länge der Diagonale AC entfernt hat, wird die Spize k des Plättchens, so wie die Spize k des Drahtes von dem oberen Punkte des Lineals um die Länge der zu messenden Diagonale entfernt seyn, und diese über jene unter dem obersten Punkte des Lineals. Wird nun bei dieser Lage des Lineals, wie dieß angegeben wurde, der Winkelhaken dem Lineal entlang so weit fortgeschoben, bis die Seite CD desselben den Punkt D des Viereks trifft, so wird die Spize k des Plättchens von dem obersten Punkte des Lineals um die Länge der Diagonale AC nebst der darauf senkrechten Länge zwischen BD entfernt seyn, oder die Spize k des Plättchens wird an der Seite des Lineals die Summe der Grundlinie und Höhe zeigen. Nimmt man vorläufig an, daß die Diagonale AC kleiner als die Summe der beiden Perpendikel sey, welches sehr oft der Fall ist, da es oben ausdrüklich verlangt wurde die kleinere Diagonale als Basis anzunehmen, so wird der Punkt k des Drahtes von dem obersten Punkte am Lineal herunterzu um den Unterschied der Länge der beiden Perpendikel zusammen und der Länge der Diagonale entfernt seyn. Im Fall aber die Summe beider Perpendikel kleiner wäre als die Länge der Diagonale ist, welches in vielen Fällen auch selbst dann statt haben kann, wenn die kürzere der Diagonalen als Grundlinie angenommen wird, dann ist der Punkt k des Drahtes über dem obersten Punkt am Lineal um den Unterschied der Basis und der Heiden Perpendikel entfernt. Da aber die Spize q von der Spize k am Draht um die ganze Länge des Lineals über dem Nullpunkt desselben entfernt ist, so wird die Spize q den erforderlichen Unterschied über dem Nullpunkt am Lineal anzeigen, und wird diese Spize q auf dieselbe Entfernung unterm Nullpunkt des Lineals gebracht, dann wird die Spize k des Drahtes von dem obersten Punkte am Lineal herunterzu um eben diesen Unterschied entfernt seyn. Die Spizen k des Plättchens und des Drahtes geben auf diese Weise die ganze Summe und die ganze Differenz von Grundlinie und Höhe an, und da nach obigem Saze die Quadrate von der halben Summe und halben Differenz verlangt werden, so ist zu dem Ende die Stellung der Quadrate benuzt worden, so wie auch um die Hälfte der Producte zu erhalten, die halben Quadrate in die Gefächer gesezt werden. So sind in der zweiten Colonne, die für die natürliche Zahlenreihe nur die geraden Zahlen enthält, die halben Quadrate der natürlichen Zahlenreihe eingetragen. In der ersten Colonne, in deren Gefächer die ungeraden Zahlen als Zeiger dienen, sind die halben Quadrate der Zahlen Textabbildung Bd. 82, S. 263 und so sind in den beiden anderen Colonnen die halben Quadrate der Zahlen Textabbildung Bd. 82, S. 263 und Textabbildung Bd. 82, S. 263 gesezt worden. Vielfache Erfahrugen haben gezeigt, daß diese vier Colonnen wenigstens eben so genau als Cirkel und Maaßstab den Flächeninhalt angeben, im Falle die Einheit der Eintheilung nicht größer ist als die hier angenommene Ruthe, besonders da man in dem Falle, wenn die Spize k weder auf einen Theilstrich zeigt, noch gerade in der Mitte zwischen zwei Theilstrichen ist, das Mittel der beiden nahe aufeinander folgenden Zahlen nehmen kann. Will man aber einen größeren Maaßstab annehmen, oder pedantischer Weise bei dem vorliegenden Maaßstabe eine größere Genauigkeit zu erlangen vorgeben, dann sind mehr Colonnen nöthig, zu denen die Zahlen durch Einschalten zu berechnen sind. Es ist übrigens klar, daß durch ein einmal für einen gegebenen Maaßstab angefertigtes Instrument auch Figuren berechnet werden können, die nach einem anderen Maaßstabe gezeichnet sind, wenn man das Verhältniß dieses Maaßstab es zu dem dem Instrumente zum Grunde liegenden Maaßstabe kennt oder ermittelt; indem es hiebei nur darauf ankommt, das Endresultat der ganzen Fläche im quadratischen Verhältnisse der beiden Maaße zu vergrößern oder zu verringern. Das Instrument kann durch anderweitige Anordnungen nach zu anderen Zweken benuzt werden. Bringt man z.B. auf der Seite CD des Winkelhakens eine Eintheilung nach dem Maaßstabe an, und richtet den Draht so ein, daß die Spize q in der Verlängerung der Linie CD ist, wenn der Schieber mn am markirten Anfangspunkte ist, so kann man durch Hülfe dieses Schiebers und der dabei angebrachten Eintheilung sowohl Grundlinien als Höhen messen und auftragen, wodurch das Instrument gleichzeitig Cirkel, Maaßstab und rechten Winkel ersezt. Es ist oben erwähnt worden, daß es eine genauere Bestimmung des Flächeninhalts gewähre, wenn man in einem Viereke die kleinere Diagonale zur Basis annimmt, und da diese Behauptung gegen das gewöhnliche Verfahren der Geometer ist, indem diese größtentheils die längere Diagonale des Viereks als Grundlinie annehmen, ich auch noch nicht Gelegenheit hatte, diese Behauptung in einem Werke über Feldmeßkunst anzutreffen, und der Beweis des Sazes so sehr einfach ist, glaube ich denselben nicht auslassen zu dürfen. Es ist wohl an und für sich klar, daß unter der hier zu behandelnden genaueren Ausmessung des Flächeninhalts nur die Verminderung der Unterschiede zu verstehen ist, welche durch Parallelachsen und durch die Unvollkommenheit unserer Sehorgane und der zum Ausmessen anzuwendenden Instrumente entstehen, keinesweges aber den Einfluß solcher Fehler, welche durch unrichtig hingeschriebene Zahlen oder durch Rechnungsfehler veranlaßt worden, beseitigen können. Jene Fehler nun, die wir Collimationsfehler nennen wollen, schwanken zwischen bestimmten Gränzen, und haben für kleinere Linien dieselbe Gränze wie für längere, weil die Dike der Cirkelspizen, die Breite der Theilstriche und die Stärke der Sehkraft des Auges nur auf die Endpunkte der Linien sich beschränken und auf die anderweitige Ausdehnung derselben nicht influiren. Es sey nun in einem Vierek ABCD (Fig. 6) die Länge der kleineren Diagonale AC = a; die Länge der größeren Diagonale BD = a + b, und der Winkel, unter dem sie sich durchschneiden, = α; auch sey der Collimationsfehler jeder Linie = Δ l, das positiv oder negativ seyn kann. Nimmt man nun die kleinere Diagonale als Basis an, so wird die Summe der beiden darauf von B und D gefällten Perpendikel = (a + b) sin . α, und der Flächeninhalt wird mit Berüksichtigung des Einflusses des Collimationsfehlers Textabbildung Bd. 82, S. 264 welches bei Hinweglassung von Textabbildung Bd. 82, S. 264 wird. Wenn hingegen die größere Diagonale a + b als Grundlinie angenommen wird, dann ist die Summe der beiden Perpendikel = a . sin. α, und der Flächeninhalt wird Textabbildung Bd. 82, S. 265 da nun sin. α ein ächter Bruch ist, so ist (a + b) sin. α + a < a . sin. α + a + b, welches zu beweisen war. Bei Cirkel und Maaßstab ist man genöthigt, jeden der beiden Perpendikel besonders auszumessen, wodurch die beiden Arten der Flächenberechnung sich also darstellen: Textabbildung Bd. 82, S. 265 wo a . sin . α + 2a + 2b viel größer als (a + b) sin . α + 2a ist. Hieraus ergibt sich also auch in Bezug auf Genauigkeit ein Vorzug des Pediometers im Vergleich mit Cirkel und Maaßstab, da bei jenem für die beiden Perpendikel nur ein Collimationsfehler statt haben kann, wohingegen bei jenen zwei Collimationsfehler vorkommen können.