XX. Theorie der Schwungräder für calorische Maschinen; von Rob. Röntgen. Mit Abbildungen auf Tab. III. Röntgen, über der Schwungräder für calorische Maschinen. Bei den calorischen Maschinen wird bekanntlich die Bewegung der Arbeitsmaschinen in denjenigen Perioden, wo die treibende Kraft nicht wirkt, durch ein einseitiges Gewicht oder Uebergewicht, welches im Ringe des Schwungrades angebracht ist, bewerkstelligt. In der Regel und am einfachsten wird dieß dadurch erhalten, daß man die eine Hälfte des Ringes hohl und die andere massiv gießt. Es ist im Ganzen leicht, dieses Mehrgewicht auf der einen Seite zu berechnen, wenn man die Widerstände, welche bei der Bewegung der Maschine entstehen, kennt. Nach den Untersuchungen und Berechnungen des Verfassers an bestehenden calorischen Maschinen sind diejenigen, welche beim Rückgange der beiden Kolben erzeugt, und die also vorzüglich durch die Verdünnung und nachherige Verdichtung der eingesogenen kalten Luft, Oeffnen der Ventile, Reibung der Kolben etc. hervorgebracht werden, so groß, daß zu ihrer Ueberwindung dieselbe mechanische Arbeit erforderlich ist, die zur Ueberwindung der Widerstände der Arbeitsmaschinen dient. Diejenigen Widerstände, welche bei der umgekehrten Bewegungsrichtung der Kolben, also dann entstehen, wenn die treibende Kraft thätig ist, mögen vielleicht stark die Hälfte der ersteren betragen. Da uns bis jetzt über die Größe dieser Widerstände, also auch über die Berechnung der Uebergewichte, sowie überhaupt über die des Gesammtgewichtes des Schwungringes von einer anderen Seite noch nichts bekannt geworden ist, so haben wir uns erlaubt, eine derartige Berechnung, gestützt auf sorgfältige Vermessungen und Beobachtungen, an (Ericsson'schen) calorischen Maschinen in Nachstehendem mitzutheilen. Wir bezeichnen zu dem Ende den Widerstand der Arbeitsmaschinen auf die Warze des Krummzapfens reducirt mit Q, den Halbmesser AC = CB Fig. 1 des Warzenkreises mit r; das Uebergewicht des Schwungringes mit K, die Differenz zwischen diesem und dem ganzen Gewichte desselben mit M, und die treibende Kraft der Lenk- oder Kurbelstange mit P. Endlich nehmen wir an, der Halbmesser des Schwungringes sey auch = r, und die Lenkstange behalte bei ihrer Bewegung stets eine zum Durchmesser AB des Warzenkreises parallele Richtung, oder mit anderen Worten, die Lenkstange sey im Verhältniß zur Kurbel AC = CB sehr lang, was für die Berechnung einfacher ist. Freilich weicht diese Annahme von der Wirklichkeit nicht unbedeutend ab, da in der Regel die Länge der Kurbel in der der Lenkstange circa 2 1/4mal enthalten ist, indessen vergrößert sie nur, bei demselben Gewichte des Schwungringes, den Grad der Ungleichförmigkeit, und zwar nach der Berechnung um das 1,3 bis 1,4fache. Die Bewegung der Kurbel geschehe im Sinne des Pfeils. In A ist alsdann die auf Umdrehung verwendete Kraft der Lenkstange = 0, in R erreicht sie ihr Maximum = P und in B ist dieselbe wieder = 0. Zwischen A und R, sowie zwischen R und B erreicht sie also Werthe, die zwischen 0 und P liegen. Der Widerstand der Arbeitsmaschinen ist dagegen in jedem Punkte des Warzenkreises = Q. Das Uebergewicht K setzt der treibenden Kraft P bei seiner Hebung einen ungleichen Widerstand entgegen. Ist die Warze des Krummzapfens in A, so befindet sich der Schwerpunkt des Uebergewichtes in R, in diesem Falle ist offenbar sein Widerstand gegen die Drehung der Kurbel = 0. Kommt A nach R, so rückt der Schwerpunkt von R nach B, und in diesem Falle ist der Widerstand gegen Drehung ein Maximum, nämlich = K. Erreicht endlich A oder die Warze des Krummzapfens den Punkt B, so gelangt R, d. i. der Schwerpunkt des Uebergewichtes, nach N, und dann ist wieder der Widerstand desselben = 0. Zwischen R und B, sowie zwischen B und N ist demnach letzterer größer als 0 und kleiner als K. Sobald R den Punkt N überschritten hat, sinkt das Uebergewicht durch den Bogen NAR herunter, wobei die Warze des Krummzapfens den Halbkreis BNA beschreibt und Kurbel, Lenkstange etc. wieder in ihre ursprüngliche Stellung versetzt werden. Indem nun K durch den Bogen NAR heruntersinkt, verrichtet es offenbar die mechanische Arbeit: K . NR = 2 rK. Diese Arbeit muß nun der Summe der Arbeiten der Widerstände gleich seyn. Der Widerstand Q der Arbeitsmaschinen erfordert aber, indem er durch den Bogen NAR überwunden wird, die Arbeit πrQ, und da die Arbeit des Widerstandes, der durch die Reibung der Kolben, Compression der kalten Luft etc. entsteht, 2mal so groß ist, so haben wir: 2rK = πrQ + 2 πrQ = 3 . πrQ, also     K = 1,5 πQ = 4,712 Q (I) Da wir nun aus der Zahl der Pferdestärken, dem Halbmesser r des Warzenkreises oder des Schwungringes und der Umdrehungsgeschwindigkeit desselben, Q leicht berechnen können, so ist damit auch sofort K bestimmt. Untersuchen wir nun, wie groß die Leistung der Kraft P seyn muß. Dieselbe hat 1) den Widerstand Q der Arbeitsmaschinen durch den Weg πr und dann 2) den des Uebergewichtes K durch den Weg 2 r zu überwinden. Da nun die mechanische Arbeit von P für jede Kurbelumdrehung 2 rP ist, so hat man: 2 rP = πrQ + 2 rK, oder wenn man für K den Werth aus (I) setzt: 2 rP = πrQ + 3 . πrQ = 4 . πrQ, daher P = 2 πQ = 6,2832 . Q           (II) Steht nun die Warze des Krummzapfens in A, so ist die drehende Kraft von P = 0, der Widerstand aber = Q Kommt A nach R, so ist die drehende Kraft = 2 πQ = 6,2832. Q. Da in diesem Falle der Schwerpunkt von K nach B gekommen ist, so widersteht K der drehenden Bewegung mit seinem vollen Gewichte, d.h. mit K oder mit 4,712 Q; außerdem beträgt auch hier der Widerstand der Arbeitsmaschinen Q, so daß der Gesammtwiderstand = 5,712 Q ist. Es überbietet demnach die drehende Kraft P den Widerstand um 6,2832 Q – 5,712 Q. Zwischen A und R muß es demnach einen Punkt geben, wo die drehende Kraft von P der entgegenwirkenden drehenden Kraft von K und dem Widerstande Q der Arbeitsmaschinen das Gleichgewicht hält. Es möge D dieser Punkt seyn und α der Winkel, den alsdann die Kurbel mit dem Durchmesser AB bildet. Ist aber die Warze der Kurbel in D, so ist der Schwerpunkt des Uebergewichtes in E, welcher Punkt ebensoweit von R absteht als D von A. Und denkt man sich C mit E verbunden, so muß < ECR = α seyn. Bezeichnet nun die Linie EF das Gewicht von K, so ist die daraus resultirende Kraft EG, welche der drehenden Bewegung der Kurbel widersteht, wie leicht erhellt: EG = EF . sin α = K. sin α = 1,5 πQ sin α. Drückt nun die Linie GH noch den Widerstand Q der Arbeitsmaschinen aus, so ist die widerstehende drehende Kraft = EH = Q + 1,5 πQ sin α = Q (1 + 1,5 π sin α). Die drehende Kraft von P im Punkte D möge DJ seyn, alsdann muß offenbar DJ = EH genommen werden. Aber DJ = P sin α = 2 . πQ sin α. Wir haben also: 2 . πQ sin α = Q (1 + 1,5 π sin α) 2 π sin α = 1 + 1,5 π sin α 0,5 π sin α = 1     sin α = 1/0,5 . 3,1416 = 0,6366, daher         α = 39° 32',3 = 39,538°. In dem Punkte U, der von B um den Bogen α = 39,538° absteht, muß wieder die drehende Kraft von P den Widerständen das Gleichgewicht halten. Ist aber die Warze des Krummzapfens von D nach U gekommen, so hat der Schwerpunkt des Uebergewichtes die Höhe EW zurückgelegt. Auf dem Wege DU muß nun offenbar die mechanische Arbeit von P größer, dagegen auf den Strecken AO und ZB kleiner seyn als die des Gesammtwiderstandes. Das „Mehr“ der mechanischen Arbeit von P auf dem Wege DU wird daher auf die Beschleunigung der Massen, insbesondere also auf die Beschleunigung des Schwungringes sammt Uebergewicht (M + K) verwandt. Umgekehrt wird diese Beschleunigung, wenn P die Strecken AO und ZB durchläuft, wieder zugesetzt. – Wir erhalten demnach die Arbeit, welche jene Beschleunigung in Anspruch nimmt, wenn wir von der Arbeit der Kraft P auf dem Wege DU diejenige abziehen, welche die Hebung von K auf die Höhe EW und der Widerstand Q bei Durchlaufung des Bogens DRU erfordert. Die Arbeit von P auf dem Wege DU beträgt: DU . P = 2 . CO . P = 2 . r cos αP = 2 r cos α . 2 πQ = 4 cos απrQ. Der Widerstand Q erfordert, indem er durch den Bogen DRU überwunden wird, die Arbeit: Q . Bogen DRU Aber Bogen DRU ergibt sich aus der Proportion: 180 : 180 – 2α = πr : x, woraus x = (180 – 2α)/180 πr = (90 – α)/90 πr ist. Demnach hat man: Q . Bogen DRU = (90 – α)/90 πrQ Da K auf die Höhe EW gehoben wird, so ist hierzu die mechanische Arbeit: K . EW = 2 . CS . K = 2 . r cos α . K = 2 r cos α 1,5 πQ = 3 cos απrQ nothwendig. Bezeichnet v₀ die Geschwindigkeit, welche der Schwungring und das Uebergewicht besitzen, wenn die Warze der Kurbel in D steht, v₁ aber diejenige, wenn die Warze den Punkt U erreicht hat, so beträgt die hierzu verwendete Arbeit: (M + K)/2g (v₁² – v₀²). Wir haben demnach folgende Gleichung: 4 cos απrQ = (90 – α)/90 πrQ + 3 cos απrQ + (M + K)/2g (v₁² – v₀²). Also: (M + K)/2g (v₁² – v₀²) = cos απrQ – (90 – α)/90 πrQ = (cos α – (90 – α)/90) πrQ = (0,7712–0,5607) πrQ = 0,2105 πrQ oder endlich (M + K)/2g (v₁² – v₀²) = 0,6613 rQ           (III) Ist nun v die mittlere Warzengeschwindigkeit bei jeder Umdrehung, 1/n der Grad der Ungleichförmigkeit, so hat man bekanntlich:          (v₁ + v₀)/2 = v oder   v₁ + v₀ = 2v und    v₁ + v₀ = 1/nv, daher v₁² – v₀² = 2/n v²          (IV) Wird dieser Werth oben substituirt, so entsteht: (M + K)/2g . 2/nv² = 0,6613 rQ oder 1/n v² (M + K) = 31 1/4 . 0,6613 rQ = 20,66567 r Q           (V) Ist also 1/n und v bekannt, so hat man: M + K = 20,6656 rQn/v², und setzt man M + K und v als bekannt voraus, so ergibt sich: 1/n = 20,6656rQ/(M + K)v². Den Werth von Q kann man nun leicht berechnen. Die Kurbel mache pro Minute u Umdrehungen und N sey die Anzahl der Pferdestärken, welche die Arbeitsmaschinen zu ihrem Betriebe erfordern, alsdann muß v = 2πru/60 = πru/30 = 0,1047 ru           (VI) seyn. Multiplicirt man aber die Geschwindigkeit v der Warze des Krummzapfens mit dem Widerstande Q daselbst, so erhält man die Leistung pro Secunde, also N Pferdestärken oder 480. N preuß. Fußpfund, da eine Pferdestärke in Preußen 480 Fußpfund beträgt. Wir haben demnach: vQ = 0,1047 ruQ = 480 N, mithin: Q = 480/0,1047. N/ru = 4584 N/ru           (VII) Wird dieser Werth in (V) eingesetzt, so entsteht: 1/n v²(M + K) = 20,6656 . r . 4584 N/ru = 94705 N/u. Es ist also: M + K = 94705 Nn/uv²          (VIII) oder (M + K) v² = 94705 N n/u. Wir haben hierbei angenommen, daß der mittlere Halbmesser des Schwungringes r sey, daß also auch der Schwerpunkt von K den Abstand r von der Drehachse C besitze. Ist dagegen der mittlere Halbmesser des Schwungringes = R, also auch der Abstand jenes Schwerpunktes von C = R, ist ferner für diesen Fall das Uebergewicht = U, das übrige Gewicht des Schwungringes = G, die mittlere Geschwindigkeit desselben = c, so muß bei gleicher lebendiger Kraft beider Schwungringe (M + K) v² = (G + U) c² seyn, d.h. das eine Product muß durch das andere ersetzt werden können Wir haben also auch: (G + U) c² = 94705 Nn/u oder G + U = 94705 Nn/uc²        (IX) Beispiel 1. Es sey N = 1, die Zahl der Umdrehungen pro Minute (u) = 44, der mittlere Halbmesser (R) des Schwungringes 2,282 Fuß und der Grad der Ungleichförmigkeit (1/n) werde zu 1/30 angenommen, n sey also = 30; wie groß ist G + U und U? Setzt man in (VI) R statt r, so geht v in c über; es ist also: c = 0,1047 Ru = 0,1047 . 2,282 . 44 =10,512 Fuß,mithin c² = 10,512 . 10,512 = 110,502. Aus (IX) ist also: G + U = 94705 (1 . 30)/(44 . 110,5) = 2841150/4862 = 583 Pfd. Wird in (VII) R statt r gesetzt, so entsteht: Q = 4584 N/Ru = 4584 1/2,282 . 44 = 4584/100,4 = 45,7 Pfd. beinahe. Nun ist nach (I) K oder U = 4,712 Q, daher K = 4,712 . 45,7 = 215 Pfd. Bei einer calorischen Maschine, welche besonders zum Abdrehen von Messing bestimmt war und bei der N, u und R die oben angegebenen Werthe besaß, betrug nach den sorgfältigen Vermessungen und Berechnungen des Verfassers U = 210 bis 220 Pfd., und G etwa 361 Pfd., mithin U + G = 571 bis 581 Pfd. Wir glauben, daß diese Angaben nicht um 10 bis 15 Pfd. von der Wahrheit abweichen. Uebrigens wird bei diesem Gewichte, da die Lenkstange nicht sehr vielmal länger ist als die Kurbel, der Grad der Ungleichförmigkeit größer seyn als 1/30. Er wird bei dem gewöhnlichen Verhältniß zwischen Länge der Kurbel und Lenkstange 1 : 2 1/8 bis 1 : 2 1/4 etwa 1,4mal so viel betragen, d. i. 1,4 . 1/30 = 14/300 = 1/21 bis 1/22. Dieß ist auch für die meisten Zwecke, zu welchen calorische Maschinen angewandt werden, durchaus hinreichend. Beispiel 2. Für eine zweipferdige calorische Maschine sey R = 37 Zoll = 3,083 Fuß, u = 38 und 1/n werde zu 1/30 angenommen, wie groß ist U und G + U? Nach Formel (VII) ist, wenn man R statt r setzt: Q = 4584 2/(3,083 . 38) = 78,3. Aus (I) ist: K = 4,712 . Q = 4,712 . 78,3 = 369 Pfd. Für G + U hat man: G + U = 94705 (2 . 30)/(38 . c²), c aber ergibt sich aus (VI): c = 0,1047. 3,083. 38 = 122,65 Fuß, daher:               G + U = 94705 (2 . 30)/(38 . 122,65) = 1219 Pfd. –––––––––– Hiernach werden wir nun auch mit Leichtigkeit das Gewicht der schwereren und leichteren Seite des Schwungringes bestimmen können. Es sey Fig. 2, ABC die schwerere und ADC die leichtere Seite desselben, B der Schwerpunkt der einen und D der anderen. Wiegt die leichtere Seite x Pfd., so wiegt die schwerere x + U Pfd. Daher haben wir: x + x + U = G + U 2x = G   x = G/2 und x + U = G/2 + U Für unser 1. Beispiel ist: 2x + 215 = 583 2x = 368   x = 184 Gewicht der leichteren Seite. x + U = 184 + 215 = 399 Pfd. Gewicht der schwereren Seite. Nunmehr können wir auch die Dimensionen des Schwungringes berechnen. Es sey abcd, Fig. 3, der Querschnitt der gefüllten oder schwereren, efgh der der hohlen oder leichteren Hälfte des Schwungringes. R sey der mittlere Halbmesser beider Hälften in Zollen, B sey die Breite und D die Dicke des Ringes, b und d möge die Breite und Tiefe der Höhlung in der leichteren Hälfte, Alles in Zollen gegeben, bezeichnen. Der kubische Inhalt der gefüllten Hälfte beträgt alsdann πRBD Kubikzoll = (π. RBD)/1728 = 0,00182 RBD Kubikfuß, 1 Kubikf. Gußeisen wiegt circa 460 Pfd., mithin 0,00182 RBD Kubikfuß: 460 . 0,00182 RBD = 0,837 RBD Pfd.      (X) Dieß ist das Gewicht der schwereren Hälfte und = x + U Der kubische Inhalt der Höhlung beträgt: πRbd Kubikzoll = (πRbd)/1728 = 0,00182 Rbd Kbkf. Dieser Raum gefüllt gedacht, liefert das Uebergewicht auf der anderen Seite. Das Gewicht hiervon beträgt: 460 . 0,00182 Rbd =0,837 Rbd Pfd.       (XI) und dieß muß = U seyn. Sobald also R, B und b als bekannt vorausgesetzt werden, lassen sich D und d aus beiden Gleichungen bestimmen. Bei der einpferdekräftigen calorischen Maschine war R = 2,282 Fuß = 27,384 Zoll, B = 3,75, b =2,917 Zoll, x + U = 399 und U = 215 Pfd., wie groß ist D und d? Nach Gleichung (X) ist: 0,837 . 27,384 . 3,75 . D = 399 D = 399/(0,837 . 27,384 . 3,75) = 4,6 Zoll. Aus (XI) hat man: 0,837 . 27,384 . 2,917 . d = 215 d = 215/(0,837 . 27,384 . 2,917)= 3,2 Zoll. Untersuchen wir nunmehr noch, ob auch wirklich der Mangel an mechanischer Arbeit von Seiten der Kraft P auf den Strecken AO und ZB, Fig. 1, jenem Ueberschusse auf dem Wege DU gleich ist. In diesem Falle müssen wir das Gewicht des Schwungringes auch aus diesem Mangel an Arbeit berechnen können. Indem also der Schwungring die Bogen UB und AD durchläuft, muß er seine auf dem Bogen DRU empfangene lebendige Kraft wieder abgeben und seine Geschwindigkeit v₁, die er in U besitzt, muß in D wieder = v₀ seyn. Denn auf dem Wege BNA kann er Nichts an lebendiger Kraft verlieren, weil nach unserer Annahme die mechanische Arbeit des Uebergewichtes K, wenn der Schwungring jenen Bogen durchläuft, dieselbe mechanische Arbeit leistet, welche die Gesammtwiderstände erfordern. Wenn wir also zu der mechanischen Arbeit von P auf den Wegen ZB und AO noch die aufgenommene lebendige Kraft des Schwungringes (M + K)/2g (v₁² – v₀²) legen, so müssen wir die Arbeit erhalten, welche der Widerstand Q der Arbeitsmaschinen auf den Bogen UB und AD und die Hebung des Gewichtes K durch die Höhen VN und RS erfordert. Die Arbeit von P auf den Wegen AO und ZB beträgt, da diese Strecken offenbar gleich groß sind: 2 (r – r cos α) P = 2r (1 – cos α) 2 π Q. Die Arbeit, welche K erfordert, um durch die Wege VN. RS gehoben zu werden, ist 2 (r – r cos α) K = 2r (1 – cos α) 1,5 π Q. Für die Arbeit des Widerstandes Q durch die gleichen Bogen UB und AD haben wir: α/90 πrQ denn es verhält sich: 180 : 2 α = π r : x, woraus x = 2 α/180 π r = α/90 πr ist. Hiernach können wir folgende Gleichung bilden: (1 – cos α) 4 πrQ + (M + K)/2g (v₁² – v₀²) = (1 – cos α) 3 π Q + α/90 πrQ oder: (M + K)/2g (v₁² – v₀²) = (1 – cos α) 3 π Q + α /90 πrQ = (α/90 – (1 – cos α)) π r Q = (0,4393 – 0,2288) π r Q = 0,2105 πrQ oder (M + K)/2g (v₁² – v₀²) = 0,6613 rQ. Mithin derselbe Werth, den wir unter (III) gefunden haben. Untersuchen wir noch, ob die Bewegungsverhältnisse beim Sinken des Uebergewichtes dieselben sind, wie beim Steigen. Wir müssen uns hier K in zwei Theile zerlegt denken, von welchem der eine, etwa X, beim Sinken dieselbe Arbeit leistet, welche die Widerstände der Kraftmaschine, vor Allem also die Reibung der beiden Kolben (Arbeits- und Speisekolben), die Verdünnung und Verdichtung der kalten Luft etc. erfordern, und der andere Y die Arbeit der Arbeitsmaschinen vollführt. Denken wir uns die ersteren Widerstände auf die Lenkstange reducirt, so erfordern sie zu ihrer Ueberwindung die Arbeit 2 r Q₁, wenn wir dieselben mit Q₁, bezeichnen; dieselbe Arbeit verrichtet aber auch X beim Sinken von der Höhe 2r; es muß demnach X dem Q₁, in allen Punkten seiner Bahn das Gleichgewicht halten. Der andere Theil Y hat beim Niedergehen die Arbeit des Widerstandes Q₁ der Arbeitsmaschinen zu leisten. Demnach muß 2rY = πrQ oder     Y = π/2 Q seyn. Es sey nun A, Fig. 4, derjenige Punkt, in welchem die drehende Kraft AB von Y dem Widerstande Q gleich ist, alsdann muß offenbar Y sin β = AB = Q oder π/2 Q sin β = Q sin β = 2/π 0,6366 und < β = 39,538° seyn. Denselben Werth haben wir auch in Fig. 1 für < α gefunden. Die Arbeit von Y, indem dieser Theil von K durch die Sehne AG sinkt, beträgt: 2 . FM . Y = 2 r cos α Y = 2 r cos α π/2 Q = cos α πrQ Der Widerstand Q legt dabei den Bogen AEG zurück. Dieser ist (180 : 180 – 2 α = π r : x) = (90 – α)/90 π r, also die Arbeit von Q: (90 – α)/90 πrQ. Hat nun der Schwungring, wenn der Schwerpunkt des Uebergewichtes in A ist, die Geschwindigkeit w₀, hat er, wenn dieser Punkt nach G gekommen ist, die Geschwindigkeit w₁, so ist die vom Schwungringe aufgenommene Arbeit: (M + K)/2g (w₁² – w₀²). Wir haben demnach: cos α πrQ = (90 – α)/90 πrQ + (M + K)/2g (w₁² – w₀²) oder (M + K)/2g (w₁² – w₀²) = (cos α – (90 – α)/90) π r Q. Denselben Werth fanden wir für (M + K)/2g (v₁² – v₀²); woraus wir ersehen, daß w₁² – w₀² = v₁² – v₀² ist. Da aber v₁² – v₀² = 2/n v² war, so muß auch w₁² – w₀² = 2/n v², d.h. w₁ – w₀ muß = 1/nv seyn, oder der Grad der Ungleichförmigkeit muß beim Sinken des Uebergewichtes derselbe seyn, wie beim Steigen. Die Geschwindigkeiten, welche der Schwungring besitzt, wenn sich der Schwerpunkt des Uebergewichtes in B, W, N, X und X₁ Fig. 1 befindet, lassen sich leicht ermitteln. Da der Schwungring auf dem Wege oder Bogen UB die halbe lebendige Kraft abgibt, die er auf dem Wege DRU empfangen hat, so muß, wenn wir die Geschwindigkeit, die der Schwerpunkt des Uebergewichtes in N besitzt, mit w bezeichnen: (M + K)/2g (v₁² – w²) = 0,33065 Q seyn. Seite 94. Mithin (M + K) (v₁² – w²) = 20,6656 rQ, oder (M + K) w² = (M + K) v₁² – 20,6656 rQ        (1) Kommt der Schwerpunkt von N nach X, und ist in X seine Geschwindigkeit = w₀, so ergibt sich, wie eine einfache Betrachtung zeigt, w₀ aus der Gleichung: (M + K)/2g (w² – w₀²) = 1/2 ( α/90 – (1 – cos α)) πrQ, oder (M + K) (w² – w₀²) = 20,6656 rQ (M + K) w₀² = (M + K) w² – 20,6656 rQ Und wenn man für (M + K) w² den Werth aus (1) setzt: (M + K) w₀² = (M + K) v₁² – 41,3312 rQ       (2) Gelangt der Schwerpunkt nach X₁, so ist seine Geschwindigkeit bekanntlich = w₁ und man hat hierfür (M + K)/2g (w₁² – w₀²) = ( cos α – (90 – α)/90) πrQ = 0,66137 rQ (M + K) (w₁² – w₀²) = 41,3312 rQ (M + K) w₁² = (M + K) w₀² + 41,3312 rQ. Und setzt man für (M + K) w₀² den Werth aus (2), so entsteht: (M + K) w₁² = (M + K) v₁²             (3) Indem der Schwerpunkt von X₁ bis R sinkt, gewinnt der Schwungring das an Geschwindigkeit, was er auf dem Wege NX verloren hat. Ist demnach die Geschwindigkeit in R = x, so muß seyn: (M + K)/2g (w₁² – x²) = 0,33065 rQ oder (M + K) (w₁² – x²) = 20,6656 rQ (M + K) x² = (M + K) w₁² – 20,6656 rQ. Substituirt man für (M + K) w₁² den Werth aus voriger Gleichung, so entsteht: (M + K) x² = (M + K) v₁² – 20,6656 rQ       (4) Ebenso findet man für die Geschwindigkeit y, welche der Ring besitzt, wenn der Schwerpunkt nach E gelangt: (M + K) y² = (M + K) v₁² – 41,3312 rQ        (5) Denselben Werth findet man auch für v₀, wenn man dieß aus der Gleichung (M + K)/2g (v₁² – v₀²) = 0,6613 rQ (Seite 89) entwickelt. Aus diesen Darstellungen folgt: 1) der Schwerpunkt hat in N und R gleiche Geschwindigkeit w oder x; 2) sind die Geschwindigkeiten in X und E gleich, nämlich w₀ = v₀ oder y; 3) sind dieselben in X₁ und W gleich, w₁ = v₁. Kennt man nun v₁, so ist dadurch auch w, w₀ etc. bestimmt. Zur Entwickelung von v₁ aber dienen die Gleichungen: v₁ + v₀ = 2v und v₁ – v₀ = 1/n v, woraus man hat: 2 v₁ = (2 + 1/n) v und v₁ = 1/2 (2 + 1/n) v Es ist daher v₁² = 1/4 (4 + 4 . 1/n + (1/n)²) v² Oder, wenn man (1/n)² gegen 4 . 1/n als sehr klein vernachlässigt: v₁² = 1/4 (4 + 4 . 1/n) v² = (1 + 1/n) v². Setzen wir dieß in die Gleichungen (1), (2), (3) etc. ein, so entsteht: (M + K) w² = (M + K) (1 + 1/n) v² – 20,6656 rQ. Mithin: Textabbildung Bd. 183, S. 98 Ferner: (M + K) w₀² = (M + K) (1 + 1/n) v² – 41,3312 rQ, oder Textabbildung Bd. 183, S. 98 Endlich: w₁ = v₁ = √(1 + 1/n)v² = v √(1 + 1/n)        (C) Anmerkung. Da v die Geschwindigkeit des Schwungringes für den Halbmesser r, c dagegen die für den Radius R bezeichnet, so darf man auch c statt v setzen, wenn man nur statt r, R in die Rechnung einführt. Beispiel 3. Für die einpferdekräftige calorische Maschine war R = 2,282 und c = 10,512 Fuß, Q betrug 45,7 und M + K oder G + U = 583 Pfd.; endlich war 1/n = 1/30; wie groß ist v₁ oder w₁, v₀ oder w₀ und w oder x? Es ist nach (C) v₁ = w₁ = 10,512 √(1+ 1/30) = (10,512√390)/30 = 10,512 . 30,496/30 = 10,6858 Fuß. Für v₀ oder w₀ haben wir, nach (B) Textabbildung Bd. 183, S. 99 Endlich ist w oder x nach (A) Textabbildung Bd. 183, S. 99 d. i. sehr nahe die mittlere Geschwindigkeit v. Es läßt sich auch allgemein beweisen, daß die Geschwindigkeit, welche die Warze des Krummzapfens in A und B oder der Schwerpunkt des Uebergewichtes in R und N besitzt, also die Geschwindigkeiten w oder x der mittleren Geschwindigkeit v sehr nahe gleich sey. Aus (1) ist: (M + K) v₁² = (M + K) w² + 20,6656 rQ und wenn man statt v₁² den obigen Werth setzt: (M + K) (1 + 1/n) v² = (M + K) w² + 20,6656 rQ. Nach Gleichung (V) ist aber: (M + K) v² = 20,6656 nrQ       (α) Daher: 20,6656 nrQ (1 + 1/n) = (M + K) w² + 20,6656 rQ oder (M + K) w² = 20,6656 r Q (n + 1 – 1) = 20,6656 nrQ        (β) Aus (α) und (β) folgt: (M + K) v² = (M + K) w² d.h. v = w = x, sehr nahe, weil eigentlich v₁² = 1/4 (4 + 4n + (1/n)²)v² war, und also 1/4 . (1/n)² vernachlässigt worden ist. Ermitteln wir schließlich noch den Wirkungsgrad der (Ericsson'schen) calorischen Maschinen. Wir nehmen an, daß die mechanische Arbeit, welche durch die Reibung der beiden Kolben etc., wenn dieselben von der expandirten heißen Luft bewegt werden, in Anspruch genommen wird, für jede Kurbelumdrehung der Hälfte der Arbeit gleich sey, welche die Arbeitsmaschinen erfordern, also = πrQ sey. Da die auf die Lenkstange übertragene Arbeit pro Kurbelumdrehung 4 πrQ beträgt, so würde die Totalleistung der Maschine = 5 πrQ betragen. Hiervon wird nur 2 πrQ zur Bewegung der Arbeitsmaschinen nützlich verwandt, woraus man also den Wirkungsgrad: (2 πrQ)/(5 πrQ) = 0,4 also nur 40 Procent der Totalleistung erhält. Vielleicht ist diese Zahl noch eher etwas zu hoch als zu niedrig. Remscheid, im December 1866.