Apparat zum Verzeichnen von Hyperbeln. Mit Abbildungen auf Tafel 6. Thallmayer's Apparat zum Verzeichnen von Hyperbeln. Der in Fig. 8 bis 10 Taf. 6 dargestellte Apparat gestattet die Verzeichnung von Hyperbeln zu gegebenen reellen und imaginären Halbachsen. Der Beschreibung des Apparates sei jedoch folgende Bemerkung vorausgeschickt. Ist x^2R^2+y^2r^2=r^2R^2 die Gleichung einer Ellipse, und setzt man darin x=z\,cos\,\varphi, so wird y=R\,sin\,\varphi. Setzt man in der Gleichung 2\,Ry^2=r^2x einer Parabel, die auf der Sehne 2\,r aufsteht und eine Pfeilhöhe 2\,R hat, x=2\,R\,cos^2\varphi, so wird y=r\,cos\,\varphi, wobei sich der Werth von x auch noch x=R+R\,cos^2\varphi schreiben läſst. Durch diese Substitutionen bekommt man also für die Ellipse x=r\,cos\,\varphi,\ y=R\,sin\,\varphi und für die Parabel x=R+R\,cos^2\varphi,\ y=r\,cos\,\varphi. Läſst man daher einen Stift gleichzeitig nach zwei auf einander senkrechten Richtungen dem in den Gleichungen für x und y ausgedrückten Gesetze nach sich bewegen, und zwar in der einen Richtung nach dem durch x gegebenen und in der andern nach dem durch y gegebenen Gesetze, so beschreibt er eine Ellipse bezieh. eine Parabel. Dasselbe geschieht auch dann, wenn der Stift nur nach einer Richtung nach einem dieser Gesetze bewegt, und die Fläche, auf welcher er zeichnet, nach dem andern Gesetze in Bewegung versetzt wird, und zwar in einer auf die Bewegungsrichtung des Stiftes senkrechten Richtung. Von diesen Gesichtspunkten wurde bei dem Entwürfe der früher (* 1878 227 337. 430. 592) beschriebenen Ellipsographen und Parabolographen ausgegangen. Wendet man den oben befolgten Vorgang auf die Gleichung x^2R^2-y^2r^2=r^2R^2 einer Hyperbel an, indem man y=R\,tg\,\varphi setzt, so wird x=r\,sec\,\varphi. Ertheilt man daher einem Stifte die Bewegung nach dem Gesetze R\,tg\,\varphi und einer unter ihm befindlichen Fläche in einer auf die Bewegungsrichtung des Stiftes senkrechten Richtung die Bewegung nach dem Gesetze r\,sec\,\varphi, so muſs der Stift auf ihr eine Hyperbel verzeichnen, deren reelle Halbachse rund deren imaginäre Halbachse R ist. Bei dem vorliegenden Apparate sind zwei auf einander senkrechte Bewegungen in diesem Sinne eingeleitet. In den Figuren sind mit Z und Z1 zwei verticale Zapfen bezeichnet, die sich mit gleicher Winkelgeschwindigkeit drehen und in welche Lineale L und L1 eingeschoben sind. Auf dem Lineal L1 befindet sich ein Querlineal Q1, welches mit einer an seiner Unterseite befindlichen Nuth eine in die Unterlagsfläche F eingesetzte Warze w umgreift. Die die Unterlagsfläche F bildende Tafel wird von zwei Führungschienen G aufgenommen. Dreht sich nun der Zapfen Z1 um seine Achse, so wird die Gleitfläche F nach dem Gesetze rsecφ bewegt, wobei mit r die Entfernung mn vom Zapfenmittel m bis zum Warzenmittel n bezeichnet ist. Vor dem Zapfen Z befindet sich ein geschlitztes Querlineal Q, dessen Seitentheile die Führungsbacken für das den Stift S aufnehmende Führungsstück bilden. Ueber dem obern Theile des Stiftes befindet sich eine Warze w1, welche die zwei Kanten des Schlitzes im Lineale L umgreifen. Dreht sich nun der Zapfen Z um seine Achse, so wird der Stift S längs der Kante des Lineals Q nach dem Gesetze Rtgφ verschoben, wobei mit R die Entfernung m1 n1 vom Zapfenmittel m1 bis zum Warzenmittel n1 bezeichnet ist. Werden nun die zwei Zapfen Z und Z1 durch eine Schnur oder durch zwei mit einer Schiene verbundene Kurbeln oder durch Kegelräder mit gleicher Winkelgeschwindigkeit zu gleicher Zeit in Bewegung gesetzt, so beschreibt der Stift auf der Fläche F eine Hyperbel, deren imaginäre Halbachse R und deren reelle Halbachse r ist. Das Querlineal Q muſs, um auf verschiedene Entfernungen von dem Zapfen Z eingestellt werden zu können, zum Verschieben eingerichtet sein, was in den Abbildungen angedeutet ist. Die Lineale L und Ll können leicht zum Verschieben und Feststellen in den Zapfen Z und Z1 eingerichtet werden. Das Uebergewicht des an L1 befindlichen Querlineals Q1 kann durch eine am Ende desselben angebrachte Laufrolle ausgeglichen werden. Will man den Apparat zum Verzeichnen von Hyperbeln auf feststehender Unterlagsfläche geeignet machen, so müſste das Querlineal Q1, anstatt die Unterlagsfläche F, den Zapfen Z und das Querlineal Q zu fortschreitender Bewegung veranlassen und gleichzeitig müſste sich auch der Zapfen Z um seine Achse drehen. Diesen Anforderungen kann mit Anwendung zweier Paare Kegelräder (von denen das den Zapfen Z betreibende auf seiner Welle sich verschieben kann) zur Uebertragung der Bewegung vom Zapfen Z auf den Zapfen Z1 in ganz ähnlicher Weise entsprochen werden, wie bei den früher beschriebenen Ellipsographen. Die oben angenommenen Gleichungen x=r\,cos\,\varphi, y=r\,sin\,\varphi, ferner x=2\,R\,cos^2\varphi, y=r\,cos\,\varphi und x=r\,sec\,\varphi, y=R\,tg\,\varphi sind unabhängig von dem Winkel, welchen die zwei Bewegungsrichtungen mit einander einschlieſsen; es wird daher die resultirende Bewegung auch dann noch nach einem Kegelschnitte erfolgen, wenn die zwei Seitenbewegungen im Sinne obiger Gleichungen unter einem beliebigen Winkel vor sich gehen. Der Unterschied gegenüber dem Falle, wo die zwei Bewegungsrichtungen einen rechten Winkel einschlieſsen, besteht darin, daſs an die Stelle der gewöhnlichen Halbmesser conjugirte treten. Die Gleichungen der Parabel enthalten in der oben angenommenen Form die nur innerhalb der Grenzwerthe ± 1 sich bewegende Gröſse cos φ, was dem ersten Anscheine nach, da die Parabel keine geschlossene Curve ist, befremdend erscheinen könnte; es findet aber die resultirende Bewegung eines freien Punktes immer in einer Parabel statt, wenn die auf ihn einwirkenden Seitenbewegungen Gleichungen von der Form y=A\,(\varphi t) und x=B\,(\varphi t)^2 entsprechen, wobei A und B constante Gröſsen bedeuten und (φt) eine beliebige Function einer veränderlichen Gröſse t sein kann, – gerade so wie stets die geradlinige Bewegung eines freien Punktes resultirt, wenn die auf ihn einwirkenden Seitenbewegungen nach Gleichungen von der Form x=A\,(\varphi t), y=B\,(\varphi t) vor sich gehen, und wie z.B. die resultirende Bewegung in einer Hyperbel geschehen muſs, wenn die Seitenbewegungen Gleichungen von der Form x=A\,(\varphi t) und y=B\,\frac{1}{\varphi t} zu Grunde liegen. Die Anzahl der Seitenbewegungen kann hierbei eine ganz beliebige sein; bei Annahme von blos zwei Seitenbewegungen erhält man durch Elimination von (φt) im ersten Falle die Gleichung By^2=A^2x (Parabel), im zweiten die Gleichung Ay=Bx (Gerade) und im dritten die Gleichung xy=AB (Hyperbel). Im zweiten Falle stimmt das Wesen oder die Natur der resultirenden Bewegung mit jenem der Seitenbewegungen überein, indem die Länge ρ, der nach Verlauf einer gewissen Zeit vom Punkte zurückgelegten Wegstrecke, wenn Δ den Winkel bezeichnet, unter welchem die zwei Seitenbewegungen vor sich gehen, sich durch die Formel \varrho=(\varphi t)\sqrt{A^2+B^2+2\,AB\,cos\,\Delta} ergibt, welche Formel auſser den Constanten, auch (φt), die Eigentümlichkeit der zwei Seitenbewegungen enthält. V. Thallmayer.