Die Effectsverluste der Riementriebe gemäſs der amerikanischen Anschauung; von Dr. Theodor Weiſs, o. ö. Professor an der k. k. technischen Hochschule zu Brünn. Mit einer Abbildung. Th. Weiſs, über die Effectsverluste der Riementriebe. Der gewöhnliche zwischen Transmission und Arbeitsmaschine eingeschaltete Riementrieb wird eine mühsamere und zeitraubendere Berechnung seiner Dimensionen nicht verlohnen; anders dagegen ein den ganzen mehrhundertpferdigen Effect eines Motors übertragender Riementrieb und die Erörterung der Frage, ob die in gröſserem als bisher stattgehabtem Umfange durchzuführende Anwendung des Riementriebes als zweckmäſsig bezeichnet werden darf. Gemäſs dieser Auffassung der Sache wird die Mittheilung der nachfolgenden Berechnungen als Anschluſs an den auf Seite 177 dieses Journalbandes enthaltenen Artikel für genügend wichtig erachtet. Wenn, vorbehaltlich einer nachträglich an den Resultaten anzubringenden schätzungsweisen Modification, der Steifigkeitswiderstand und die Mitwirkung des Riemenschleifens bei der Ermittlung des überschriftlich genannten Effectsverlustes vorläufig auſser Acht gelassen werden, um so mehr als die diesbezüglichen Berechnungen einstweilen erst lediglich theoretische Grundlagen ohne empirische Bestätigung derselben haben, so bleibt als Ursache für den Effectsverlust nur die Zapfenreibung übrig. Dieselbe wird für jede der beiden Rollenachsen oder Scheibenwellen des Riementriebes durch einen Zapfendruck Z entwickelt, welcher die Resultante aus den beiden Riemenspannungen T, t und aus dem Gewichte G der Scheibe mit entsprechendem Zubehör ist. Zwar kann als der vom Riementriebe verursachte Effectsverlust auch die Differenz aus dem soeben bezeichneten Verlust und demjenigen aufgefaſst werden, welcher bei Nicht Vorhandensein des Riemens lediglich von dem Gewichte G der Scheiben bewirkt werden würde.Vgl. F. Grashof: Theoretische Maschinenlehre, Bd. 2 S. 322.Jedoch soll hier gemäſs der ersteren Auffassung der thatsächlich entstehende Verlust als der eigentliche diesfallsige Effectsverlust gelten. Bedeutet, in Uebereinstimmung mit der Textfigur, β den Winkel, unter welchem die Verbindungslinie der beiden Rollenmittel gegen die Verticale geneigt ist, so ergibt sich genau genug für die kleinere Scheibe: Z=\sqrt{(T+t)^2-2\,(T+t)\,G\,cos\,\beta+G^2}= =(T+t)\,\sqrt{1-2\,\frac{G}{T+t}\,cos\,\beta+\left(\frac{G}{T+t}\right^2} . . . . (1) und für die gröſsere: Z_0=(T+t)\,\sqrt{1-2\,\frac{G_0}{T+t}\,cos\,(180-\beta)+\left(\frac{G_0}{T+t}\right)^2} . . . . (2) Textabbildung Bd. 236, S. 266 Für das Gewicht einer Riemenscheibe gewöhnlicher Herstellungsart kann in sehr guter Uebereinstimmung mit der Praxis: G=1/6\,b_1\,r=1/5\,\times\,1/6\,b\,r=1/5\,b\,r . . . . (3) gesetzt werden, unter b1 die Breite der Scheibe, b die Breite des Riemens und r den Halbmesser verstanden. Analog hierzu ergibt sich für die gröſsere Scheibe, wenn \xi=\frac{R}{r} das Uebersetzungsverhältniſs bedeutet: G_0=1/5\,b_1\,R=1/5\,b\,\frac{R}{r}\,r=1/5\,\xi\,b\,r . . . . (4) Bezeichnet nun: f den Reibungscoefficienten im Sinne der Reye'schen Anschauung für eingelaufene Zapfen, d den Durchmesser jedes Zapfens der kleineren Scheibe, v1 die Geschwindigkeit der Peripherie des Zapfens, v die Geschwindigkeit der Peripherie der Scheibe, Nr'den durch Zapfenreibung der kleineren Scheibe entstehenden Effectsverlust in Pferdestärken, so läſst sich schreiben: 75\,{N_r}'=f\,Z\,v_1=f\,Z\,\frac{v_1}{v}\,v=f\,Z\,\frac{d}{2\,r}\ \frac{P\,v}{P}, oder wegen (1) und wenn N = 1/75 Pv der vom Riementrieb übertragbare Effect in Pferdestärken bedeutet: {N_r}'=f\,\frac{d}{2\,r}\ \frac{T+t}{P}\,N\,\sqrt{1-2\,\frac{G}{T+t}\,cos\,\beta+\left(\frac{G}{T+t}\right)^2}. Mit den Abkürzungen: \varrho=\frac{d}{2}\,\sqrt{1-2\,\frac{G}{T+t}\,cos\,\beta+\left(\frac{G}{T+t}\right)^2} . . . . (5) und \varrho_1=\frac{d_0}{2}\,\sqrt{1-2\,\frac{G_0}{T+t}\,cos\,(180-\beta)+\left(\frac{G_0}{T+t}\right)^2}, oder gemäſs Formel (3) und (4): \varrho_0=\frac{\varrho_1}{\xi}=\frac{d_0}{2}\,\sqrt{\frac{1}{\xi^2}-2\,\frac{G}{T+t}\,\frac{cos\,(180-\beta)}{\xi}+\left(\frac{G}{T+t}\right)^2} . . . . (6) ergibt sich alsdann für den ganzen, alle beide Rollen des Riementriebes betreffenden Effectsverlust Nr in Pferdestärken: N_r=f\,\frac{T+t}{P}\,N\,\left(\frac{\varrho}{r}+\frac{\varrho_1}{R}\right)=f\,\frac{T+t}{P}\,\left(\varrho+\varrho_0\right)\,\frac{N}{r} . . . . (7) Nun ist aber nach Formel (17) auf S. 180 meines vorigen Artikels über Riementriebe, sofern: k die Intensität des Luftüberdruckes auf 1qc des vom Riemen bedeckten Scheibenumfanges, δ die Dicke des Riemens in Centimeter, μ den Reibungscoeffieienten des Riemens auf der Scheibe, αr den vom Riemen umschlungenen Bogen der Riemenscheibe bedeutet: \frac{T+k\,b\,r-0,01\,b\,\delta\,v^2}{t+k\,b\,r-0,01\,b\,\delta\,v^2}=e^{\mu\,\alpha} . . . . (8) In Verbindung mit der allgemein gültigen Formel: T-t=P . . . . (9) ergibt sich hieraus: \frac{T+t}{P}=\frac{e^{\mu\,\alpha}+1}{e^{\mu\,\alpha}-1}-2\,\frac{b\,\delta}{P}\,\left(\frac{k}{\delta}\,r-0,01\,v^2\right) . . . . (10) und, wenn üblichermaſsen ein für alle Mal: e^{\mu\,\alpha}=2 . . . . (11) angenommen wird und die Formeln (14 a), (20) und (22) des früheren Artikels Beachtung finden, gemäſs welchen: \frac{b\delta}{P}=\frac{m}{\frakfamily{S}_2}=\frac{m}{\varrho\,\left(\frakfamily{S}-\frac{\delta}{r}\,(1-\varepsilon)\,E\right)+\frac{k}{\delta}\,r-0,01\,v^2} . . . . (12) ist, so entsteht mit m=2: \frac{T+t}{P}=3-2\,m\,\frac{\frac{k}{\delta}\,r-0,01\,v^2}{\varrho\,\left(\frakfamily{S}-\frac{\delta}{r}\,(1-\varepsilon)\,E\right)+\frac{k}{\delta}\,r-0,01\,v^2}= =\frac{3\,\varrho\,\left(\frakfamily{S}-\frac{\delta}{r}\,(1-\varepsilon)\,E\right)-\frac{k}{\delta}\,r+0,01\,v^2}{\varrho\,\left(\frakfamily{S}-\frac{\delta}{r}\,(1-\varepsilon)\,E\right)+\frac{k}{\delta}\,r-0,01\,v^2} . . . . (13) Hierin bedeutet: \frakfamily{S} den Zugfestigkeitscoefficienten des Riemenmaterials auf 1qc, φ das Verhältniſs des durch die Befestigung der beiden Riemenenden an einander geschwächten Riemenquerschnittes zum vollen Querschnitt des Riemens, E den Elasticitätscoefficienten des Riemenmaterials, εδ die Entfernung der neutralen Biegungsschicht des Riemens vom Umfange der Scheibe, m=\frac{e^{\mu\,\alpha}}{e^{\mu\,\alpha}-1}, insbesondere im Mittel = 2. Mit den Abkürzungen: \eta=\varphi\,\delta\,(1-\varepsilon)\,E . . . . (14),     \sigma=\varphi\,\frakfamily{S} . . . . . (15) und mit Rücksicht darauf, daſs: v=\frac{r}{100}\,\pi\,\frac{n}{30}\,\sim\,\frac{r\,n}{1000} . . . . (16) zu setzen ist, entsteht aus Formel (13) und (7): N_r=f\,\frac{3\,\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right)-\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\,r\right)\,r}{\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right)+\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\,r\right)\,r}\,(\varrho+\varrho_0)\,\frac{N}{r} . . . . (17) Auch ergibt sich noch aus (3), (10), (11), (12), (14), (15) und (16) mit m=2: \frac{G}{T+t}=\frac{0,2\,b\,r}{3\,P-2\,b\,\delta\,\left(\frac{k}{\delta}\,r-0,01\,v^2\right)}=\frac{0,1}{\frac{3}{2}\ \frac{P}{b\,\delta}-\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\right)\,r}\ \frac{r}{\delta}= =\frac{0,4}{3\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right)-\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\,r\right)\,r}\ \frac{r}{\delta} . . . . (18) Mit den Abkürzungen: \frakfamily{S}_3=3\,\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right)-\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\,r\right)\,r . . . . (19) und \frakfamily{S}_2=\ \ \,\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right)+\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\,r\right)\,r . . . . (20) können daher Formel (17) und (18) geschrieben werden: N_r=f\,\frac{\frakfamily{S}_3}{\frakfamily{S}_2}\,(\varrho+\varrho_0)\,\frac{N}{r} . . . . . (21)    \frac{G}{T+t}=\frac{0,4}{\frakfamily{S}_3}\ \frac{r}{\delta} . . . . . (22) und mit Hilfe dieser Formeln und der Formeln (5) und (6) läſst sich der Effectsverlust Nr in Pferdestärken berechnen. Von besonderer Wichtigkeit ist hierbei die Thatsache, daſs dieser Effectsverlust bei einem vorhandenen Riementriebe constant bleibt für alle jeweilig mit unveränderter Umdrehungszahl übertragenen Effecte. Denn die Spannungensumme T+t behält den gleichen Werth, nämlich den aus der ursprünglichen oder vorgängigen Anspannung des Riemens hervorgehenden Werth 2 t1 bei, wie groſs oder wie klein der jeweilig übertragene Effect sein mag, und gemäſs Formel (7) ist Nr jedenfalls ein Vielfaches von T+t. Wird nun mit N1 der jeweilig übertragene Effect in Pferdestärken bezeichnet, so resultirt aus Formel (21) der procentale Effectsverlust: \frac{100\,N_r}{N_1}=100\,\frac{f}{r}\ \frac{\frakfamily{S}_3}{\frakfamily{S}_2}\,(\varrho+\varrho_0)\,\frac{N}{N_1} . . . . (23) Mit dieser Formel ist nachfolgende Tabelle unter den Annahmen: \delta=0,5 \beta=135^\circ d_0=16 k=0,07 \xi=4 \frac{N}{N_1}=4. f=0,06 d=10 berechnet worden. Auch wurden in zwei Horizontalrubriken die Werthe von C verzeichnet, welche der amerikanischen Formel entsprechen. Nachdem nämlich in dem vorigen Artikel, Formel (21) und (23) auf S. 180, gefunden wurde, daſs die amerikanische Formel zu schreiben sei: b=C\,\frac{P}{D}=\frac{2\,m}{\frakfamily{S}_2}\ \frac{r}{\delta}\ \frac{P}{D} . . . . (24) n = 300 30 r = 25 50 100 200 100 150 200 300 \sigma=40 \eta=100 \frakfamily{S}_3 \frakfamily{S}_2 C \frakfamily{S}_3\,:\,\frakfamily{S}_2 G\,:\,(T+t) \varrho+\varrho_0 N_r\,:\,N N_r\,:\,N_1 1083663,00,217,20,0480,192 1094392,50,418,90,0260,104 11244182,60,8013,50,0200,08 12732504,01,4221,20,0250,100 10353151,90,7713,10,0140,056 9760201,51,218,50,0110,044 9067231,31,826,10,0100,040 7782290,943,142,30,0080,032 \sigma=16 \eta=200 \frakfamily{S}_3 \frakfamily{S}_2 C \frakfamily{S}_3\,:\,\frakfamily{S}_2 G\,:\,(T+t) \varrho+\varrho_0 N_r\,:\,N N_r\,:\,N_1 2111181,930,9515,30,070,28 3117241,861,2919,60,040,16 3719421,942,1630,60,030,12 5372307,573,0241,30,090,36 28282812,8390,0230,092 –––––––– 1743370,49,41240,0150,06 457420,07607830,0110,044 so ergibt sich mit den hier angenommenen Werthen: C=\frac{2\,\times\,2}{\frakfamily{S}_2}\ \frac{r}{0,5}=8\,\frac{r}{\frakfamily{S}_2} . . . . (25) und daher konnte hiermit C leicht ermittelt werden. Die Ziffern der für N_r\,:\,N berechneten Rubriken legen vor Augen, daſs der procentale Effectsverlust je nach den Festigkeitsverhältnissen, den Umdrehungsgeschwindigkeiten und Scheibengröſsen gleich 0,8 bis 9 Proc. ausfällt. Insbesondere beträgt er unter der Bedingung, daſs die durch \frakfamily{S}_2 charakterisirten Festigkeitsverhältnisse in Uebereinstimmung mit der amerikanischen Formel einen zwischen 20 und 25 liegenden Coefficienten C entstehen lassen, etwa 0,9 bis 5 Proc. Vorbehaltlich einer später folgenden weitergehenden Erörterung der anderen Rubriken obiger Tabelle dient zum Vergleiche mit den aus der bisher üblichen Berechnungsweise hervorgehenden Ergebnissen nachfolgende Tabelle. Zu deren Berechnung wurde gesetzt gemäſs Formel (12) und (13) mit k = 0 und mit 0,01 v2 verschwindend klein gegen \varphi\,\frakfamily{S}: \frac{b\,\delta}{P}=\frac{m}{\varphi\,\left(\frakfamily{S}-\frac{\delta}{r}\,(1-\varepsilon)\,E\right)}, also insbesondere hier durchschnittlich: \frac{b}{P}=\frac{2}{24\,\times\,0,5}=\frac{1}{6} . . . (26),     ferner     \frac{T+t}{P}=\frac{\frakfamily{S}_3}{\frakfamily{S}_2}=3 . . . (27) und gemäſs Formel (3), (26) und (27): \frac{G}{T+t}=\frac{1}{5}\ \frac{b\,r}{3\,P}\,\sim\,\frac{r}{100} . . . . (28) r= 25 50 100 200 \frakfamily{S}_3\,:\,\frakfamily{S}_2 3   3   3   3 G\,:\,(T+t) 0,25   0,5   1   2 \varrho+\varrho_0 8,4 10,2 15,4 28,4 N_r\,:\,N 0,060   0,036   0,028   0,025 N_r\,:\,N_1 0,24   0,144   0,112   0,100 Es liegt hiernach der Effectsverlust nach Maſsgabe der vorletzten Horizontalrubrik zwischen 2,5 und 6 Proc. Er stellt sich also auch nach der alten europäischen Berechnungsweise unter den hier gemachten Annahmen ebenso wenig beträchtlich als nach der amerikanischen Berechnungsweise heraus, was einerseits in dem durch neuere Versuche viel kleiner als früher aufgefundenen, nur mit f = 0,06 in Rechnung gezogenen Reibungscoefficienten und andererseits in den sehr beträchtlichen Scheibengröſsen begründet ist, welchen das Verhältniſs \frac{R}{d_0}=\frac{\xi\,r}{d_0}=\frac{4\,\times\,25}{16}=6 bis \frac{4\,\times\,300}{16}=75 entspricht, während z.B. Redtenbacher hierfür nur 6 bis 12 anräth. Rücksichtlich dieses letzteren Umstandes muſs erwogen werden, daſs beispielsweise der Annahme von r = 200 ein Durchmesser der kleineren Scheibe von 4m und demnach ein Durchmesser der gröſseren Scheibe von 4\,\xi=4\,\times\,4=16^m entspricht, also Gröſsen, welche in Hinblick auf erschwerte Ausführbarkeit, Raumbeanspruchung u.s.w. trotz der durch sie erzielbaren Verminderung der Effectsverluste ohne Zweifel den mäſsigeren Gröſsen r=50, entsprechend den Durchmessern 1m und 4m für kleine und gröſsere Scheibe, nicht vorgezogen werden dürften. Immerhin fallen die Effectsverluste auch für diese mäſsigeren Scheibengröſsen keineswegs so beträchtlich aus, als daſs ihretwegen von der Anwendung der Riementriebe, wie es gemäſs früherer Berechnungsergebnisse geschah, abzurathen wäre. Nur ist noch des einen Umstandes zu gedenken, daſs nämlich aus den bereits zwischen Formel (22) und (23) angeführten Gründen der Effectsverlust, entsprechend einer behufs Uebertragung des gröſsten Effectes N vorgenommenen Anspannung des Riemens, für alle übertragenen Effecte constant bleibt und daſs daher der procentale Verlust bedeutend anwächst, falls im Mittel ein verhältniſsmäſsig kleiner Effect N1 übertragen wird. Dieser Fall ist aber als häufig vorkommend schon wegen der Thatsache anzunehmen, daſs die meisten Betriebsdampfmaschinen mittels der vom Regulator verstellbaren Präcisionssteuerungen auf einen häufigen beträchtlichen Wechsel ihrer Leistungsgröſse eingerichtet werden. Wie Formel (23) erkennen läſst, ist der procentale Effectsverlust genau proportional dem Quotienten N\,:\,N_1 und nimmt mit der Annahme N\,:\,N_1=4 die in den betreffenden Rubriken obiger Tabellen verzeichneten Werthe an, welche in der letzteren Tabelle zwischen 10 und 24, in der ersteren zwischen 3,2 und 28 Proc. liegen. Zu diesen Effectsverlusten würden nun noch die aus der Steifigkeit und dem Schleifen oder Schlüpfen des Riemens hervorgehenden Verluste, welche indessen bei den groſsen ScheibenDurchmessern nur mit 1 bis 1,5 Proc. veranschlagt werden können, zu rechnen sein, und es ergibt sich somit, daſs die Riementriebe nur für den hervorgehobenen Fall einer beträchtlichen Verschiedenheit vom gröſsten und mittleren zu übertragenden Effect nennenswerthe procentale Effectsverluste verursachen und nur in einem solchen Falle den Zahnrädern nachstehen, welche jene Eigenthümlichkeit nicht aufweisen, sondern mit abnehmender Effectsübertragung auch verminderte Verluste entstehen lassen. Indessen ist hier nur der Sonderfall mit \beta=135^\circ behandelt worden. Je nach der Gröſse dieses Winkels, dann aber auch je nach der sonstigen Anordnung des Riementriebes, namentlich, je nachdem nur ein einziger Riementrieb vorhanden ist, oder deren mehrere auf ein und derselben Welle angebracht sind und nach verschiedenen Richtungen hinwirken, auch je nachdem die Wellen in Hals- oder in verhältniſsmäſsig dünneren Endzapfen gelagert werden, fällt der Effectsverlust verschieden groſs aus, bald geringer, bald beträchtlicher als den obigen Resultaten entsprechend. Von einer noch weiter gehenden rechnerischen Behandlung, etwa auch unter vergleichender Herzuziehung der von mir betreffs einer abweichenden Berechnungsweise des Luftdruckes in meinem ersten diese Frage behandelnden Artikel aufgestellten Formel, muſs hier wohl abgestanden werden, ebenso wie von einer noch weiter fortgesetzten Erörterung der obigen Tabellen, betreffs deren nur noch erwähnt sei, daſs gemäſs Formel (13), (19) und (20) die Ziffern der mit \frakfamily{S}_3\,:\,\frakfamily{S}_2 bezeichneten Rubrik völlig identisch mit den für (T+t)\,:\,P gültigen Werthen sind, welche nach Maſsgabe unserer bisherigen Berechnungsweise durchweg constant und zwar = 3 angenommen wurden. Es erübrigt vielmehr für die Berechnung nur noch die Behandlung der schon in meinem ersten Artikel berührten Frage nach den wirthschaftlich zweckmäſsigsten Dimensionen der Riementriebe, was jedoch einer demnächst folgenden Mittheilung vorbehalten bleiben soll.