Ueber den Leitungswiderstand von Röhren. H. Smith, über den Leitungswiderstand von Röhren. Im Engineering and Mining Journal, 1883 Bd. 35 S. 66 veröffentlicht Hamilton Smith jun. die Ergebnisse einer gröſseren Anzahl von Versuchen, welche derselbe behufs Ermittelung des Leitungswiderstandes gerader cylindrischer Röhren beim Durchflusse von Wasser angestellt hat. 17 dieser Versuche beziehen sich auf genietete Eisenblechrohre von 277 bis 656mm Durchmesser, während die übrigen (53) mit engen Röhren von 13 bis 32mm Durchmesser ausgeführt wurden; letztere waren zum gröſsten Theile gezogene schmiedeiserne Grasröhren, ferner Glasröhren und eine Holzröhre. Zum Vergleiche fügt H. Smith noch die Angaben von 18 anderen, nicht von ihm angestellten Versuchen mit verschiedenen Röhren von 135 bis 1220mm Durchmesser hinzu, so daſs im Ganzen 88 Versuche vorliegen. Dieselben sind mit Ausnahme von zweien, welche wegen ungenügender Angaben nicht verwerthbar sind, in der untenstehenden Tabelle zusammengestellt. Die Smith'schen Versuche sind in so fern werthvoll, als für jede einzelne Röhre die Durchfluſsgeschwindigkeit bei 4 bis 8 verschiedenen Druckhöhen ermittelt wurde und die Röhren, wie angegeben, von sehr verschiedenem Durchmesser und auch verhältniſsmäſsig lang waren, so daſs die Abhängigkeit des Leitungswiderstandes von der Wassergeschwindigkeit und dem Röhrendurchmesser ziemlich klar hervortritt. Die Versuche Nr. 1 bis 15 wurden in Nord-Bloomfield, Californien, mit drei einfach genieteten Blechröhren gemacht, welche neben einander quer über eine Schlucht gelegt und 5 bis 6 Jahre in Gebrauch gewesen waren. Die Röhren waren aus leicht conischen Schüssen zusammengesteckt, wobei der gröſste Unterschied im Durchmesser etwa 6mm betrug; sie wurden anfänglich mit einem Gemische aus Theer und Asphalt sorgfältig ausgekleidet und zur Zeit der Versuche war die innere Oberfläche noch sehr glatt. Die Rohre bildeten zwei Winkel von 9° und 11°, was bei der Berechnung des Widerstandes nicht berücksichtigt ist; im Uebrigen waren sie nahezu gerade. Die verschiedenen Druckhöhen wurden durch Anfügen von Rohrstücken an das (nach den Angaben aufwärts gerichtete) Ausfluſsende der Röhren hergestellt. Die ausflieſsende Wassermenge wurde mittels eines eisernen Ueberfallwehres gemessen, dessen Coefficienten für verschiedene Höhen vorher durch direkte Messung bestimmt waren. Die Höhe des Wasserstandes wurde mit einem Boyden'schen Instrumente auf 0mm,25 genau gemessen. Die wahrscheinliche Fehlergrenze für die Ausfluſsmenge wird zu 2 Procent angegeben. Bei Nr. 1, 6 und 10 fand der Ausfluſs unter Wasser, bei den übrigen in die freie Luft statt. Der Contractionscoefficient für den Eingang der Röhren konnte = 1 gesetzt werden, da dieselben mit kurzen trichterförmigen Einlaufen versehen waren. Die Länge der letzteren ist in der Rohrlänge mit enthalten. Die Versuche Nr. 16 bis 68 wurden in New-Almaden, Californien, mit vollständig geraden Röhren und mit groſser Sorgfalt ausgeführt. Die mittleren Durchmesser wurden durch Wägen des Wasserinhaltes, die Ausfluſsmengen direkt durch Auffangen des Wassers in einem Gefäſse von genau 0cbm,43 Inhalt bestimmt. Die Zeit wurde auf ⅕ Secunde genau gemessen. Die Gasröhren waren in der gewöhnlichen Weise verbunden; die Glasröhren wurden an den Enden abgeschliffen und durch übergezogene Gummimuffen gekuppelt. Für die Holzröhren wurde die gebräuchliche Pflockkupplung verwendet. Zu Nr. 16 bis 33 diente eine neue Gasröhre; dieselbe wurde zunächst ohne (Nr. 16 bis 22), dann mit einem Einlauftrichter (Nr. 23 bis 29) benutzt. Darauf wurde sie in ein Bad von kochendem Theer und Asphalt getaucht und wieder mit Einlauftrichter untersucht (Nr. 30 bis 33). Letzterer hatte 254mm Länge und 166mm gröſsten Durchmesser; in der angegebenen Rohrlänge ist er (wie auch bei den folgenden Röhren) nicht mitgerechnet. Nr. 34 bis 37 wurden mit einem kürzeren Stücke derselben Röhre und zwar ebenfalls mit Einlauftrichter ausgeführt. Nr. 38 bis 43 gelten für eine dünnere neue Gasröhre ohne Einlauftrichter. Nr. 44 bis 56 sind mit französischen, ein wenig conischen Glasröhren angestellt, und zwar wurde bei der weiteren Röhre (Nr. 44 bis 48) ein Einlaufmundstück benutzt, bei den anderen beiden nicht. Die erstere war aus 12 im Durchmesser möglichst gut übereinstimmenden Stücken zusammengesetzt; ihr gröſster Durchmesser betrug 22mm,2, ihr kleinster 18mm,2. Nr. 57 bis 63 beziehen sich auf eine mehrere Jahre in Gebrauch gewesene, etwas rostige und inkrustirte Gasröhre, welche ohne Einlaufstück untersucht wurde, und Nr. 64 bis 68 endlich auf die Holzröhre ohne Einlaufstück. Ferner wurde noch der Versuch Nr. 75 von H. Smith in Nord-Bloomfield mit einer einfach genieteten Blechröhre angestellt, welche wie die ersterwähnten aus leicht conischen Schüssen zusammengesteckt war und glatte Innenfläche hatte. Die Ausfluſsmenge konnte nicht mit hinreichender Genauigkeit ermittelt werden. Nr. 76, gleichfalls von H. Smith ausgeführt, betrifft eine neue, sorgfältig getheerte und doppelt genietete Blechröhre, welche nach unten schwach ausgebogen war, so daſs der tiefste Punkt 244m unter dem Oberwasserspiegel lag. Die Verbindung der Schüsse war gröſstentheils mit Muffen und Bleipackung ausgeführt. Auch hier konnte die Menge des ausflieſsenden Wassers leider nicht genau festgestellt werden. Bei den Versuchen mit den weiten Blechröhren (Nr. 1 bis 15, 75 und 76) wurden auch Steine, beschwerte und unbeschwerte Holzklötze mit dem Wasser durch die Röhren geschickt und die mittlere Geschwindigkeit derselben festgestellt. Dieselbe fand sich immer nur wenig geringer als die Geschwindigkeit des Wassers; der Unterschied war naturgemäſs um so geringer, je gröſser die letztere war. Bei der gebogenen Röhre Nr. 76 ergab sich auffallender Weise, daſs ein Holzklotz, dessen specifisches Gewicht auf 1,05 gebracht war, mit einer Geschwindigkeit von 6m,37 durch die Röhre ging, während die mittlere Geschwindigkeit des Wassers zu nur 6m,13 ermittelt wurde. Es wird dies wohl auf die ungenaue Messung der Wassermenge zurückzuführen sein. Im anderen Falle wäre es nur so zu erklären, daſs der Klotz stets in den mittleren Wasserschichten, deren Geschwindigkeit über der gemessenen mittleren Geschwindigkeit liegt, geblieben ist. Bei Nr. 75 ergab sich kein bemerkenswerther Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten von unbeschwerten Holzklötzen und von rauhen Steinen. Die Druckhöhe ist bei diesen 70 von H. Smith gemachten Versuchen immer gemessen vom Wasserspiegel in dem Sammelbehälter, aus dem das Wasser abfloſs, bis zum Wasserspiegel in dem Aufnahmegefäſse (beim Ausflusse unter Wasser) oder bis zur Mitte der Ausfluſsmündung (beim Ausflusse über Wasser). Die Temperatur des Wassers betrug bei Nr. 16 bis 68 etwa 18°, bei den übrigen 10 bis 13°. Die Versuche Nr. 69 bis 74 hat Couplet mit einer Röhre angestellt, welche als „Iron and earthen pipe“ bezeichnet ist. Damit wird eine der in Frankreich sehr gebräuchlichen, auſsen und innen mit einer Bitumenschicht überzogenen Blechröhren gemeint sein. Dasselbe gilt von der auch von Couplet untersuchten Versailler Röhre, auf welche sich Nr. 77 bezieht. Nr. 78, 79 und 80 sind von der Institution of Civil Engineers und Nr. 81 von Rankine mit nicht näher beschriebenen Wasserleitungsröhren ausgeführt. Nr. 82 ist den Angaben von Ingenieuren der Spring Valley Mining Company in Butte County, Californien, entnommen. Die betreffende Röhre aus doppelt genietetem Bleche war 1870 gelegt, aber noch in sehr gutem Zustande. Runde Steine von 12k Gewicht gingen mit einer Geschwindigkeit von 2m,7 durch die Röhre, während die Geschwindigkeit des Wassers zu (im Mittel aus mehreren Versuchen) 3m,28 gefunden wurde. Nr. 83 bezieht sich auf das Croton- und Nr. 84 auf das Jersey-City-Hauptrohr der Wasserleitung. Beide waren sehr stark inkrustirt und wurden von J. P. Kirkwood untersucht. Nr. 85 und 86 endlich sind wieder von der Institution of Civil Engineers mit Wasserleitungsröhren zu Crawley und Carlisle ausgeführt. H. Smith legte nun für diese Versuche die Formel u=m\,\sqrt{\frac{d\,h'}{l}} zu Grunde, worin u die Geschwindigkeit des Wassers in den Röhren, d den Durchmesser, l die Länge derselben und m einen Leitungswiderstandscoefficienten bezeichnen. Ferner ist K eine Druckhöhe, welche man erhält, wenn man von der gemessenen Druckhöhe h die Gröſse u2 : (2gc2) abzieht. Es entspricht dies der Formel u=c\,\sqrt{2\,g\,(h-h')}, wonach c den von der Contraction an der Einlaufstelle abhängigen Einfluſscoefficienten und h' die dem Leitungswiderstande entsprechende Druckhöhe bezeichnet. c wurde für die weiten Rohre Nr. 1 bis 15, 75 und 77 bis 86, welche mit Einlauftrichter versehen waren, = 1, für Nr. 76 = 0,92 gesetzt. Für die engen Röhren mit Einlauftrichter wurde c = 0,98 (bei Nr. 23 bis 37 und 57 bis 63) und c = 0,97 (bei Nr. 44 bis 48), für die anderen ohne Einlauftrichter c = 0,8 (bei Nr. 16 bis 22 und 64 bis 68), c = 0,825 (bei Nr. 38 bis 43) und c = 0,82 (bei Nr. 49 bis 56) gewählt. Aus der hiermit bestimmten Widerstandshöhe h = h' – [u2 : (2gc2)], der aus der gemessenen Wassermenge sich ergebenden Geschwindigkeit u und den Gröſsen l und d wurde dann der Coefficient m berechnet. Derselbe ergab sich (für englische Fuſs) zu 33 bis 67, und zwar folgerte Smith aus den verschiedenen Werthen, daſs m abhängig ist von der inneren Röhrenfläche und sowohl mit der Geschwindigkeit wie mit dem Röhrendurchmesser wächst, ohne eine bestimmte Gesetzmäſsigkeit nachzuweisen. Damit ist jedoch nichts Neues gesagt und die Wahl von m zur Bestimmung der Geschwindigkeit in einem gegebenen Falle bleibt danach sehr willkürlich. In der nachfolgenden, für Metermaſs umgerechneten Tabelle wurde zunächst statt des Coefficienten m der Coefficient l der in Deutschland gebräuchlichen Weisbach'schen Formel h'=\lambda\,\frac{l}{d}\ \frac{u^2}{2\,g} eingeführt. Um dann die vorliegenden Ergebnisse besser zu verwerthen, wurde versucht, aus denselben eine Beziehung zwischen λ und den Gröſsen d und u zu ermitteln. Da die Wahl der oben gegebenen Werthe von c nicht näher begründet ist, also auch nicht beurtheilt werden kann, so muſste die von Smith berechnete Widerstandshöhe h' beibehalten werden. Es wurde zunächst die Formel \lambda=\alpha+\frac{\beta}{u\,d} zu Grunde gelegt, welche, wie GrashofVgl. Grashof: Hydraulik nebst mechanischer Wärmetheorie, Leipzig 1875 S. 488. näher ausgeführt hat, sich besonders dadurch empfiehlt, daſs sie den am passendsten erscheinenden Vorstellungen von der Natur des Leitungswiderstandes entspricht. Nachdem hiermit für jede der zunächst allein in Betracht gezogenen 11 Versuchsgruppen Nr. 1 bis 56 die geeignetsten Werthe von α und β ermittelt waren, zeigte es sich jedoch, daſs dieselben auſserordentlich verschieden ausfielen. Der Coefficient β, welcher nach jenen Vorstellungen von der nur mit der Temperatur des Wassers sich ein wenig ändernden inneren Reibung abhängen sollte, fiel z.B. in einem Falle mehr als zehnmal so groſs aus als in einem anderen. Nach mehreren vergeblichen Versuchen mit anderen Formeln wurde dann auf die Weisbach'sche Formel \lambda=\alpha+\frac{\beta}{\sqrt{u}} zurückgegriffen, und nach dieser ergaben sich Werthe von α, welche nicht erheblich von einander abwichen, und Werthe von β, welche gleichfalls nicht sehr verschieden und regelmäſsig um so gröſser waren, je kleineren Durchmesser die Röhren hatten, derart, daſs annähernd \beta=0,009+\frac{0,00014}{d} gesetzt werden konnte. Mit diesem Werthe von β ergab sich für α aus sämmtlichen Versuchen Nr. 1 bis 56 der Mittelwerth α = 0,0132. Die Formel für λ würde hiernach, auf Metermaſs bezogen, für innen glattwandige Röhren lauten: \lambda=0,0132+\left(0,009+\frac{0,00014}{d}\right)\,\frac{1}{\sqrt{u}}. Wie sich diese Formel an die Versuche Nr. 1 bis 56 anschlieſst, ist aus den letzten beiden Spalten der Tabelle zu ersehen, in welchen die nach den Messungen sich ergebenden und die nach vorstehender Formel berechneten Werthe von λ neben einander gestellt sind. Mit Rücksicht darauf, daſs die Beschaffenheit der Rohrwand und namentlich auch der Verbindungsstellen bei den verschiedenen Röhren jedenfalls etwas verschieden gewesen ist und hiernach der davon abhängige Coefficient α ebenfalls etwas verschieden gewählt werden müſste, erscheint die Uebereinstimmung befriedigend. Es würde sich z.B. ergeben, wenn für Nr. 1 bis 5 α = 0,0140 (statt 0,0132) gesetzt würde: λ gemessenberechnet 0,01920,0194 0,01990,0199 0,02050,0205 0,02090,0210 0,02200,0219 und für Nr. 10 bis 15, wenn α = 0,0120 genommen würde: λ gemessenberechnet 0,01680,0168 0,01690,0172 0,01790,0178 0,01800,0183 0,01840,0185 0,02050,0201. Die Versuche Nr. 6 und 7 werden als ungenau bezeichnet. Einen erheblichen Unterschied zwischen den beiden Werthen von λ zeigen die Versuche Nr. 34 bis 37, welcher jedoch durch die Ungenauigkeit der Formel nicht erklärt werden kann, da diese für die mit einer gröſseren Strecke derselben Röhrenleitung und mit ungefähr gleichen Geschwindigkeiten angestellten Versuche Nr. 30 bis 33 ziemlich gut paſst. Auch Smith, dem dieser verhältniſsmäſsig groſse Widerstand der kurzen Röhre gleichfalls aufgefallen ist, kann keine Erklärung dafür geben. Aus der Vergleichung von Nr. 23 bis 29 mit Nr. 30 bis 33 folgt, daſs das Theeren der Gasröhren keinen merkbaren Einfluſs auf den Leitungswiderstand derselben hat. Für die Couplet'schen Versuche Nr. 69 bis 74 mit einem über 2km langen Rohre, bei welchen die Geschwindigkeit des Wassers nur 40 bis 60mm betrug, ist λ ebenfalls nach der obigen Formel berechnet und auch hier weichen, wie die Tabelle zeigt, die beiden Werthe von λ nur wenig von einander ab. Für die zu den Versuchen Nr. 57 bis 63 dienende stark inkrustirte Röhre muſste, wie leicht erklärlich, α erheblich gröſser als 0,0132 gewählt werden. Als passender Mittelwerth ergab sich α = 0,0258 und hiermit sind für diese Versuche die in der letzten Spalte stehenden Werthe von λ berechnet. Auffallend groſs erscheint der Widerstand der Holzröhre; für diese muſste, um im Uebrigen die obige Formel benutzen zu können, α = 0,0424 gesetzt werden, womit die Werthe von λ für Nr. 64 bis 68 berechnet wurden. Nr. l d h h' u λ gemessen λ berechnet   1  2  3  4  5    208,8   212,4   217,6   219,9   222,7 0,277„„„„     7,382    5,793    3,917    3,109    1,998 6,9035,4363,6882,9311,891 3,0632,6472,1191,8631,450 0,01920,01990,02050,02090,0220 0,01860,01910,01970,02020,0211   6  7  8  9    208,8   213,2   216,2   219,0 0,322„„„     7,470    5,087    3,318    1,563 6,9214,7303,0871,463 3,2782,6452,1281,406 0,01950,02000,01990,0213 0,01840,01900,01970,0211 101112131415    208,6   212,0   214,9   216,6   217,1   219,4 0,375„„„„„     7,434    5,769    3,877    2,911    2,605    1,194 6,7165,2223,5332,6562,3810,919 3,7503,2772,5962,2352,0921,341 0,01680,01690,01790,01800,01840,0205 0,01800,01840,01900,01950,01970,0213 16171819202122 18,34„„„„„„ 0,0268„„„„„„     2,539    2,008    1,478    0,997    0,507    0,240    0,144 2,3291,8471,3630,9230,4720,2250,137 1,6231,4241,2040,9680,6570,4330,292 0,02530,02600,02690,02820,03140,03440,0461 0,02440,02510,02620,02770,03080,03480,0396 23242526272829 18,36„„„„„„ 0,0268„„„„„„     2,535    1,983    1477    0,998    0,509    0,239    0,150 2,3911,8731,3990,9470,4850,2290,144 1,6421,4351,2190,9830,6700,4370,320 0,02530,02600,02690,02800,03080,03420,0400 0,02430,02510,02610,02750,03060,03470,0384 30313233 18,37„„„ 0,0266„„„     2,546    2,011    1,010    0,519 2,3991,8990,9590,495 1,6591,4520,9830,677 0,02480,02560,02820,0307 0,02410,02500,02760,0305 34353637     5,086„„„ 0,0267„„„     1,408    0,969    0,461    0,190 1,1740,8130,3910,163 2,0981,7131,1530,711 0,02750,02850,03040,0332 0,02310,02410,02650,0301 383940414243 18,33„„„„„ 0,0159„„„„„     2,546    2,009    1,483    1,008    0,521    0,248 2,4411,9291,4260,9710,5040,240 1,1821,0320,8730,6990,4810,314 0,02980,03090,03190,03380,03710,0416 0,02960,03070,03230,03450,03890,0450 4445464748 19,48„„„„ 0,0233„„„„     2,642    2,085    1,535    1,033    0,506 2,5161,9881,4670,9890,487 1,5271,3361,1230,8980,596 0,02530,02610,02720,02880,0321 0,02530,02620,02730,02900,0326 49505152 10,65„„„ 0,0190„„„     1,546    1,115    0,628    0,205 1,4111,0210,5780,191 1,3331,1170,8080,426 0,02770,02850,03080,0368 0,02740,02870,03140,0382 Nr. l d h h' u λ gemessen λ berechnet 53545556     3,391„„„   0,0127„„„     0,922    0,657    0,386    0,249     0,783    0,563    0,334    0,218 1,3531,1520,8290,633 0,03150,03330,03580,0400 0,03040,03180,03520,0383 57585960616263 18,36„„„„„„   0,0260„„„„„„     2,535    2,000    1,477    0,999    0,513    0,238    0,144     2,444    1,930    1,426    0,965    0,497    0,231    0,141 1,3001,1500,9790,7980,5570,3640,277 0,04010,04050,04130,04200,04440,04830,0507 0,03840,03920,04030,04190,04510,04960,0532 6465666768 18,91„„„„   0,0321„„„„     2,598    2,041    1,506    1,009    0,478     2,480    1,949    1,440    0,963    0,457 1,2151,0730,9170,7530,504 0,05580,05630,05690,05650,0599 0,05450,05530,05640,05780,0612 697071727374 2280,4    „    „    „    „    „ 0,135„„„„„     0,677    0,650    0,571    0,454    0,307    0,151     0,677    0,650    0,571    0,454    0,307    0,151 0,14410,14110,13010,11170,08540,0544 0,03790,03800,03920,04230,04900,0593 0,03970,04000,04100,04330,04760,0563 λ gemessen α 7576     363,86  1353,0 0,6560,432     6,725  92,54     5,973    90,25 3,8426,136 0,01430,0150 0,00960,0112 77787980818283848586   1169  9016  7853  1163  1609  3901  3419  905713530  2012 0,4870,406„„1,219  0,741?0,9140,5080,3810,305     3,927128,0  70,1  56,1    1,524  45,72     6,161    9,224  68,88  10,51     3,870128,0  70,1  55,07    1,524    45,72    6,161    9,224    68,88    10,45 1,0602,0771,6014,4211,0553,2860,9140,4551,0551,087 0,02810,02620,02780,01930,02030,01580,03860,04900,03410,0262 0,01910,01970,02040,01490,01140,01070,02900,03530,02500,0171 Die übrigen Versuche Nr. 75 bis 86 sind zu einem Vergleiche nicht gut geeignet, da sie gröſstentheils mit älteren, lange Zeit in Gebrauch gewesenen Wasserleitungsröhren angestellt wurden, wobei auch manche Ungenauigkeiten in der Bestimmung der in Rechnung zu stellenden Druckhöhe u.s.w. möglich erscheinen. Für diese ist deshalb hinter dem gemessenen λ der Werth von a angeführt, welcher sich nach der Formel: \lambda=\alpha+\left(0,009+\frac{0,00014}{d}\right)\,\frac{1}{\sqrt{u}} ergibt. Auffallend ist, daſs hierbei α für einige Röhren noch kleiner als der für glatte Röhren gefundene Werth 0,0132 wird. Allerdings gibt Smith an, daſs bei Nr. 75 und Nr. 76 die Messung der Wassermenge sehr ungenau ausfiel (wie schon oben erwähnt) und bei Nr. 82 ist die Angabe des Durchmessers mit einem Fragezeichen versehen. Es scheint jedoch auch α nicht ganz unabhängig vom Durchmesser und zwar für weite Röhren etwas kleiner als für enge zu sein. Die gröſseren Werthe von α erklären sich leicht aus der durch die Niederschläge aus dem Wasser erzeugten Rauhheit der Wände. Als mit besonders starken Krusten versehen werden die Röhren Nr. 83 und 84 bezeichnet, für welche α auch die gröſsten Werthe erhalten hat. Soll nun z.B. für eine gegebene Rohrleitung und gegebene Druckhöhe h die Geschwindigkeit u berechnet werden, so wird man am besten thun, zunächst einen passend erscheinenden Werth von λ anzunehmen, damit nach der Formel \left(1+\varepsilon+\lambda\,\frac{l}{d}\right)\,\frac{u^2}{2\,g}=h worin ε den Coefficienten für besondere Widerstände (an der Einfluſsöffnung, in Knieen u.s.w.) bezeichnet, u zu bestimmen, dann mit dem gefundenen Werthe von u den Werth von λ nach der oben gegebenen Formel und mit diesem wieder u zu corrigiren. Wenn nöthig, kann man auch noch eine zweite und dritte Berichtigung ausführen. Wehage.