Ueber neuere Versuche zur Bestimmung der Zapfenreibung.Vgl. Iron, 1884 Bd. 24 * S. 92. Tower und W. Browne, über Bestimmung der Zapfenreibung. B. Tower hat im Auftrage der Institution of Mechanical Engineers neuerdings Versuche über Zapfenreibung ausgeführt und solche in einem besonderen Berichte veröffentlicht. Das hierbei angewendete Verfahren ist bereits in D. p. J. 1884 252 * 12 beschrieben worden und besteht in Kurzem darin, daſs der Ausschlagwinkel gemessen wird, welchen das im Ruhezustande senkrecht unter dem Zapfenmittel hängende Belastungsgewicht bei der Drehung des Zapfens erfährt. Der Zapfen wird dabei immer gleich vollkommen durch das Oelbad geschmiert, in welches er taucht. Die erhaltenen bemerkenswerthen Ergebnisse über den Einfluſs der Geschwindigkeit, des Druckes auf die Flächeneinheit und der Temperatur auf die Gröſse des Reibungscoefficienten haben Veranlassung gegeben, unter Berücksichtigung der bereits früher ausgeführten Versuchsreihen, Theorien und Formeln für die gefundenen Gesetze aufzustellen. Auf der Jahresversammlung Anfang 1884 der genannten Gesellschaft hat Tower bei der Besprechung dieses Gegenstandes einen kurzen Ueberblick über die vornehmlich in England und Amerika veröffentlichten neueren Versuche gegeben. Prof. F. JenkinProceedings of the Royal Society, 1877 S. 93. stellte Versuche bei sehr geringen Geschwindigkeiten an (0,0036 bis 0m,183 in der Secunde); er benutzte einen kleinen Stahlzapfen von 2mm,5 Durchmesser, welcher sich in rechteckigen V-Stützen drehte. Er fand, daſs, wenn der Reibungscoefficient der Ruhe und der Bewegung überhaupt von einander verschieden sind, bei zunehmender Geschwindigkeit der Reibungscoefficient abnahm. Prof. A. S. KimballAmerican Journal of Science, 1876 und 1878. Thurston: Friction and Lubrication, S. 182 ff. ermittelte an einem schmiedeisernen Zapfen von 25mm Durchmesser, welcher sich in einem Guſseisenlager drehte, daſs mit einer Steigerung der secundlichen Umfangsgeschwindigkeit von 0,03 auf 0m,56 ein Fallen des Reibungscoefficienten auf 0,3 seines Urwerthes verknüpft war. Der Druck betrug dabei nur 4,7 k/qc. Weitere Versuche an geschmierten Zapfen bei noch geringeren Pressungen ergaben eine Verminderung des Coefficienten von 0,15 auf 0,05 bei einer Steigerung der Geschwindigkeit von 0,005 auf 0m,5. Die Versuche von Poirée und BochetMémoires de la Société des Ingénieurs cicils, 1852 S. 110 ff. Comptes rendus, 1858 Bd. 46 S. 802. 1860 Bd. 51 S. 974. zeigen, daſs innerhalb der Geschwindigkeiten von 4,5 und 18m in der Secunde der Reibungscoefficient zwischen Eisenbahnrädern oder Bremsklötzen einerseits und den Schienen andererseits sich von 0,2 auf 0,13 vermindert- die Oberflächen waren hierbei freilich ganz ungeschmiert. Die neueren Versuche über denselben Gegenstand von Galton und WestinghouseProceedings of the Institute of Mechanical Engineers, Juni und Oktober 1878 sowie April 1879. lieferten ähnliche Zahlen. Prof. R. H. Thurston (vgl. 1877 225 * 538. 1880 236 493)Thurston: Friction and Lubrication, S. 185. Journal of the American Association for the Advancement of Science, August 1878 S. 61. hat zahlreiche Sonderuntersuchungen an geschmierten Zapfen ausgeführt, um den Einfluſs von Geschwindigkeit, Druck und Temperatur klar zu legen. Auch Thurston schloſs, daſs mit der Geschwindigkeit zuerst der Reibungscoefficient abnimmt, aber nach einem gewissen Punkte wieder eine Steigerung eintritt- dieser Punkt verändert sich mit Druck und Temperatur, und zwar findet im Groſsen und Ganzen bei kalten, gut geschmierten Zapfen von 0m,5 Geschwindigkeit an ein Wachsen des Coefficienten statt, annähernd der fünften Wurzel aus der Geschwindigkeit proportional. B. TowerProceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1883 S. 632. hat seine systematischen Versuche noch über weitere Grenzen ausgedehnt. Für die Reibung geschmierter Zapfen, wo Lager und Zapfen durch eine tragende Flüssigkeitsschicht getrennt sind, müssen natürlich ganz andere Gesetze gelten als bei „trockener“ Reibung. Auf der einen Seite haftet die Flüssigkeitsschicht an dem ruhenden Lager, auf der anderen Seite an dem sich drehenden Zapfen- der Druck zwischen Zapfen und Lager sucht zudem die Flüssigkeit auszuquetschen. Man hat es in Wirklichkeit also mit den Reibungswiderständen von Flüssigkeiten zu thun, welche sich in Kanälen bewegen- aber der Druck und der Querschnitt sowie die Geschwindigkeit in dem Kanäle ändern sich hierbei stetig, so daſs einfache Versuchsergebnisse nicht zu erwarten sind. Walter R. BrowneEngineer, 1884 Bd. 58 * S. 57 ff., welcher als Sekretär der mehrfach erwähnten Gesellschaft die Tower'schen Versuche von Anfang an verfolgt hat, leitet aus diesen und den Thurston'schen Versuchen folgende Gesetze für vollkommen (durch Oelbad) geschmierte Zapfen ab: 1) Der Reibungscoefficient ist im Vergleiche zu den Coefficienten bei trockener Reibung auſserordentlich niedrige derselbe bewegt sich meist nur in den Tausendtheilen. 2) Der Reibungscoefficient ändert sich bei mäſsigen Drücken und Geschwindigkeiten annähernd mit den reciproken Werthen des Druckes, oder mit anderen Worten, der Reibungswiderstand für die Flächeneinheit ist nahezu constant; folglich, wenn die Belastung verdoppelt wird, ist der Reibungscoefficient, d. i. der Quotient von Widerstand und Gesammtbelastung, nur die Hälfte u.s.w. Bei der trockenen Reibung ist hingegen der Coefficient constant und der Widerstand wächst in demselben Verhältnisse wie die Belastung. 3) Als Folgerung aus dem zweiten Satze: Der Reibungswiderstand bei sich gleich bleibendem Drucke wächst mit der Berührungsfläche. Bei der trockenen Reibung ist derselbe unabhängig von der Fläche. 4) Bei einer secundlichen Reibgeschwindigkeit von 0,05 bis 0m,5 vermindert sich der Reibungswiderstand und folglich bei einer unverändert bleibenden Belastung auch der Reibungscoefficient, aber bei ungefähr 0m,5 tritt ein Wechsel ein und darüber hinaus wächst der Widerstand mit der Quadratwurzel aus der Geschwindigkeit, 5) Als Folgerung aus dem 4. Satze: Der Widerstand in der Gegend von 0m,5 Geschwindigkeit ist constant. 6) Eine Temperatursteigerung innerhalb gewisser Grenzen hat eine Herabziehung des Reibungscoefficienten zur Folge und zwar verändert sich der Reibungscoefficient ungefähr umgekehrt proportional der Temperatur über dem Nullpunkte. Die Richtigkeit des ersten Satzes ergeben die Tabellen aus Tower's Bericht unmittelbar. Es beträgt z.B. bei einer Belastung von 36,5 k/qc der Zapfenreibungscoefficient mit Olivenöl oder auch mit Schmalzöl 0,0008 bei 0,8 m/sec, 0,001 bei 1m,06, 0,0015 bei 2m,13. Mit Mineralfett war der Coefficient 0,0010 bei 0m,8 und 0,0018 bei 2m,13. Walrathöl lieſs keine Belastung bis zu 36,5 k/qc zu, aber bei 29,2 k/qc nahm der Coefficient die Gröſse von 0,0015 bei 0m,8 Geschwindigkeit an und 0,0021 bei 2m,13. Rüböl lieferte nahezu dieselben Werthe wie Olivenöl. Bei Mineralöl war der Coefficient nur wenig höher, für eine Belastung von 36,5 k/qc nämlich 0,00123 bei 0m,8 und 0,00178 bei 2m,13. Die beiden letzten Oele jedoch hielten noch einen höheren Druck auf die Flächeneinheit aus, so Mineralöl bis zu 44 k/qc, ohne daſs ein Fressen des Zapfens eintrat. Es muſs aber noch daran erinnert werden, daſs diese auſserordentlich geringen Werthe, welche für die Reibungscoefficienten gefunden worden sind, von den hohen Belastungen des Zapfens herrühren. Wie sich aus dem zweiten Satze ergibt, ist nämlich der gesammte Reibungswiderstand nahezu unabhängig vom Drucke; wird daher der Druck hoch, so wird der Coefficient niedrig und umgekehrt, Z.B. bei der geringsten geprüften Belastung von 7 k/qc und der höchsten Geschwindigkeit von 2m,13 war der Reibungscoefficient mit Oliven- oder Schmalzöl anstatt 0,001, wie derselbe bei den höheren Belastungen sich herausstellte, nahezu 0,008, bei Mineralfett sogar 0,014. Jedoch selbst diese Ziffern bleiben weit hinter den sonst immer noch üblichen Werthen zurück, welche nach Morin's Versuchen zwischen 0,05 bis 0,09 schwanken. Die Richtigkeit des zweiten Satzes, d. i. der von der Unveränderlichkeit des Reibungswiderstandes innerhalb der in der Praxis vorkommenden Grenzen, läſst sich nach dem ersten Blicke auf die Urtabellen erkennen., in welchen sowohl der gesammte Widerstand, als auch der Coefficient gegeben ist. Man findet die Reibung für die Flächeneinheit, indem man den Reibungscoefficienten multiplicirt mit der Belastung der Flächeneinheit – mit anderen Worten – indem man den Coefficienten mit der Gesammtbelastung multiplicirt und durch den Horizontalschnitt des Zapfens in Flächeneinheiten theilt. Der Versuchszapfen hatte 15cm,2 Länge, 10cm,2 Durchmesser, somit 155qc Horizontalschnitt (Schnitt senkrecht zur Druckrichtung). Auch hier mögen wenigstens einige Beispiele herausgezogen werden, um einen Anhalt für die Gröſse dieses Zahlenwerthes zu geben. Für Olivenöl bei einer Geschwindigkeit von 1m,06 bewegt sich der Einheitswiderstand, wenn die Belastung von 7 auf 36,5 k/qc steigt, nur zwischen 0,0360 und 0,0427 k/qc, bei einer Geschwindigkeit von 2m,13 nur zwischen 0,0517 und 0,0612 k/qc. Unter denselben Umständen schwankt der Widerstand für Schmalzöl bei einer Geschwindigkeit von 1m,06 zwischen 0,0330 und 0,0408, bezieh. bei 2m,13 zwischen 0,0548 und 0,0569. Aehnliche Erscheinungen treten bei den anderen Schmiermitteln auf. Die Abweichungen sind in Anbetracht der Beobachtungsfehler der immerhin kleinen Gröſsen nicht groſs und, was noch beachtenswerther ist, sie sind alle zusammen unregelmäſsig; bald liegt der Höchstwerth dem einen, bald dem anderen Ende näher, bald in der Mitte der Versuchsreihe. Im Allgemeinen kann man das Gesetz für alle gewöhnlich vorkommenden Drücke und Geschwindigkeiten als annehmbar gelten lassen. Nur bei den ausnahmsweise hohen Pressungen, wie sie Mineralöl und Rüböl aushalten können, zeigt der Reibungscoefficient zuletzt eine entschiedene Steigerung. Der dritte Satz, daſs der Reibungswiderstand proportional der Fläche wächst, ist nur eine Schluſsfolgerung aus dem zweiten, bedarf daher weiter keiner Beleuchtung. Das vierte Gesetz – über die Veränderlichkeit der Reibung mit der Geschwindigkeit – ist verwickelteren Charakters und fordert daher weitere Erläuterung. Wie die bereits Eingangs erwähnten Versuche erkennen lassen, findet zuerst ein Abfall des Reibungscoefficienten bis zu etwa 0m,5 Geschwindigkeit statt; dann bleibt der Coefficient nahezu constant, um wieder anzuwachsen. Leider haben wir keine vollständigen Versuchsreihen, sondern immer nur Bruchstücke, die unter verschiedenen Verhältnissen und von verschiedenen Seiten ausgeführt sind. Auſserdem sind die Ursachen, welche die Gröſse des Coefficienten beeinflussen, so verschiedenartiger Natur, daſs jedenfalls ein einfaches Ergebniſs nicht zu erwarten steht. Auch Tower's neueste Versuche beginnen unglücklicherweise erst mit einer Geschwindigkeit von 0m,53 und bieten daher keine Auskunft über den Einfluſs geringer Geschwindigkeiten dar. Zwischen 0,53 und 0m,8 Geschwindigkeit zeigen alle seine Zahlen ein entschiedenes Steigen der Reibung. Es erscheint somit für jetzt geboten, die gesammte das Reibungsgesetz darstellende Curve in einzelne Abschnitte zu zerlegen und für jeden einzelnen das Gesetz zu bestimmen. Eine Formel für den abfallenden Zweig der Curve aufzustellen, dürfte bei der Verschiedenartigkeit der Versuche noch nicht zulässig erscheinen. Weitaus gewichtigere Versuche liegen über den aufsteigenden Ast vor. Thurston stellte für diesen aufsteigenden Curventheil die Formel auf, daſs die Steigerung des Reibungscoefficienten mit der fünften Wurzel aus der Geschwindigkeit erfolge. Diese Annahme ist jedoch durch die sorgfältigen Versuche Tower's widerlegt, welche darauf hinweisen, daſs die Veränderung mit der Quadratwurzel aus der Geschwindigkeit statthat. Um dies zu beweisen, hat W. B. Browne in der ersten Tabelle des bewuſsten Berichtes die Reibungscoefficienten für Olivenöl und für die höheren Geschwindigkeiten unter der Voraussetzung berechnet, daſs dieselben mit der Quadratwurzel wachsen. Als Anfangspunkt hat er hierbei eine Geschwindigkeit von 1m,06 genommen, weil damit ganz sicher der Einfluſs des oben erwähnten Wechsels, welcher in der Gegend von 0m,5 eintritt, übergangen wird. Die berechneten und die beobachteten Werthe sind in Tabelle I einander gegenüber gestellt. Wie man sieht, stimmen die beiden Zahlenwerthe sehr nahe überein, die Abweichungen liegen bald auf der einen, Tabelle I. Olivenölbad. Temperatur 32°. Belastungen desZapfens k/qc Endzahlen Reibungscoefficienten bei einer secundlichen Geschwindigkeit von 1m,07 1m,33 1m,60 1m,86 2m,13 2m,39 36,6 beobachtetberechnet 0,00100,0010 0,00120,00118 0,00130,00123 0,00140,00132 0,00150,00141 0,00170,00150 32,9 beobachtetberechnet 0,00130,0013 0,00140,00145 0,00150,00159 0,00170,00172 0,00180,00184 0,0020,00195 29,2 beobachtetberechnet 0,00140,0014 0,00150,00157 0,00170,00172 0,00190,00185 0,00210,00198 0,00240,0021 25,2 beobachtetberechnet 0,00160,0016 0,00170,00179 0,00190,00196 0,00200,00212 0,00220,00226 0,00250,00240 21,8 beobachtetberechnet 0,00170,0017 0,00190,00190 0,00210,00208 0,00220,00225 0,00240,00240 0,00270,00255 18,1 beobachtetberechnet 0,00200,0020 0,00230,00224 0,00250,00245 0,00260,00265 0,00290,00283 0,00310,00300 14,4 beobachtetberechnet 0,00250,0025 0,00280,00276 0,00300,00306 0,00330,00331 0,00360,00353 0,00400,00375 10,8 beobachtetberechnet 0,00350,0035 0,00400,00387 0,00440,00429 0,00470,00463 0,00500,00495 0,00570,00525 7,03 beobachtetberechnet 0,00550,0055 0,00630,00611 0,00690,00674 0,00770,00728 0,00820,00778 0,00890,00825 bald auf der anderen Seite, was am besten für die Richtigkeit der obigen Annahme spricht. Die einzige gröſsere Abweichung erscheint in der letzten Spalte, welche die höchste Geschwindigkeit von 2m,39 betrifft. Hier sind die beobachteten Werthe durchweg höher, mitunter bedeutend höher als die berechneten. Bei so groſsen Geschwindigkeiten werden aber auch die Schwierigkeiten genauer Beobachtungen vermehrt. Bei der Kleinheit der unmittelbar beobachteten Gröſsen – der Ausschlag des Fühlhebels, aus welchen die Zahlen abgeleitet worden sind, beträgt bei den hohen Belastungen nur 1 bis 2mm – ist es nur überraschend, daſs die Abweichungen zwischen beobachteten und berechneten Werthen nicht noch gröſsere sind. Um zu zeigen, daſs das günstige Ergebniſs nicht etwa von einer Eigenthümlichkeit des betreffenden Schmiermittels (Olivenöl) abhängt, oder gar nur einer besonderen Versuchsreihe zufällig eigen ist, sind auch noch die Tabellen II bis V für die anderen Schmiermittel umgerechnet worden, nämlich für Schmalzöl, Walrathöl, Mineralöl und Mineralfett. Tabelle II. Schmalzölbad. Temperatur 32°. Belastung desZapfens k/qc Endzahlen Reibungscoefficienten bei einer secundlichen Geschwindigkeit von 1m,07 1m,33 1m,60 1m,86 2m,13 2m,39 36,6 beobachtetberechnet 0,00100,0010 0,00110,00118 0,00130,00123 0,00150,00132 0,00150,00141 0,00170,00150 29,2 beobachtetberechnet 0,00140,0014 0,00150,00157 0,00160,00172 0,00180,00185 0,00190,00193 0,00210,00210 21,8 beobachtetberechnet 0,00170,0017 0,0020,00190 0,00220,00208 0,00250,00225 0,00260,00240 0,00290,00255 14,4 beobachtetberechnet 0,00230,0023 0,00280,00257 0,00310,00282 0,00340,00304 0,00390,00325 0,00420,00345 10,8 beobachtetberechnet 0,00320,0032 0,00370,00357 0,00410,00392 0,0050,00423 0,00510,00453 0,00520,00480   7,03 beobachtetberechnet 0,00500,0050 0,0060,00555 0,00670,00612 0,00760,00661 0,00810,00707 0,0090,00750 Wie man aus Tabelle II erkennt, ist bei Schmalzöl die Uebereinstimmung zwischen Rechnung und Versuch bei den höheren Pressungen sehr gut, aber bei geringeren Drücken fallen die berechneten Werthe unter die beobachteten- die Beträge sind aber nicht so groſs als bei Olivenöl. Mit Walrathöl konnte der Druck nicht bis zu 36,6 k/qc getrieben werden, weil schon vorher der Zapfen zu fressen begann. Bei dem höchsten untersuchten Drucke von 29,2 k/qc sind, wie aus Tabelle III zu ersehen, die berechneten Werthe durchgängig höher als die durch die Tabelle III. Walrathölbad. Temperatur 32°. Belastung desZapfens k/qc Endzahlen Reibungscoefficienten bei einer secundlichen Geschwindigkeit von 1m,07 1m,33 1m,60 1m,86 2m,13 2m,39 29,2 beobachtetberechnet 0,00170,0017 0,00180,00190 0,00190,00208 0,00200,00225 0,00210,00246 0,00210,00255 21,8 beobachtetberechnet 0,00120,0012 0,00140,00134 0,00160,00147 0,00170,00159 0,00180,00170 0,00190,00180 14,4 beobachtetberechnet 0,00180,0018 0,00210,00201 0,00230,00220 0,00240,00238 0,00250,00255 0,00270,00270 10,8 beobachtetberechnet 0,00230,0023 0,00280,00257 0,00300,00282 0,00330,00304 0,00350,00325 0,00370,00345   7,03 beobachtetberechnet 0,00380,0038 0,00440,00425 0,00510,00465 0,00570,00503 0,00610,00537 0,00640,00570 Versuche gefundenen; aber bei 21,8 k/qc werden die beobachteten Coefficienten so niedrig, daſs Irrthümer in den Versuchen augenscheinlich sind. Bei 14,4 k/qc ist die weiteste Uebereinstimmung erreicht, jedoch unter diesem Ausnahmspunkte; bei 7,03 k/qc Belastung ist die Abweichung bei hohen Geschwindigkeiten wiederum beträchtlich. Für Mineralöl, welches gewöhnlich den beiden letztgenannten Schmiermitteln untergeordnet wird, sind die regelmäſsigsten Werthe erhalten worden. Der Reibungscoefficient ist allerdings bei den höchsten Pressungen ein wenig höher als der für Olivenöl; aber derselbe ist gleich und selbst niedriger bei mittleren Drücken, während die Uebereinstimmung zwischen Beobachtung und Versuch selbst bei den höchsten Geschwindigkeiten zufriedenstellend ist. Um dies noch klarer vor Augen zu führen, könnte man, wie auch Browne dies gethan hat, die Werthe aus Tabelle IV als Tabelle IV. Mineralölbad. Temperatur 32°. Belastung desZapfens k/qc Endzahlen Reibungscoefficienten bei einer secundliclien Geschwindigkeit von 1m,07 1m,33 1m,60 1m,86 2m,13 43,9 beobachtetberechnet 0,001390,00139 0,001470,00156 0,001570,00171 0,001650,00185 36,6 beobachtetberechnet 0,001390,00139 0,00150,00156 0,001610,00171 0,00170,00185 0,001780,00198 29,2 beobachtetberechnet 0,001430,00143 0,00160,00159 0,001760,00176 0,00190,00189 0,0020,00202 21,8 beobachtetberechnet 0,00160,0016 0,001840,00179 0,002070,00196 0,002250,00212 0,002410,00226 14,4 beobachtetberechnet 0,002350,00235 0,002690,00263 0,002980,00287 0,003280,00311 0,00350,00332   7,03 beobachtetberechnet 0,004940,00494 0,005570,00539 0,00620,00603 0,006760,00652 0,00730,00696 Ordinaten zu den Geschwindigkeiten als Abscissen auftragen. Die berechneten und beobachteten Werthe werden dann Curven liefern, welche nahezu über einander fallen. Tabelle V. Mineralfettbad. Temperatur 32°. Belastung desZapfens k/qc Endzahlen Reibungscoefficienten bei einer secundlichen Geschwindigkeit von 1m,07 1m,33 1m,60 1m,86 2m,13 2m,39 43,9 beobachtetberechnet 0,00120,0012 0,00140,00134 0,00140,00147 0,00160,00159 0,00180,00170 0,0020,00180 36,6 beobachtetberechnet 0,00160,0016 0,00180,00179 0,00190,00196 0,0020,00212 0,00210,00226 0,00220,00240 29,2 beobachtetberechnet 0,00190,0019 0,00210,00212 0,00230,00233 0,00250,00251 0,00260,00269 0,00270,00285 21,8 beobachtetberechnet 0,00260,0026 0,00290,00287 0,00320,00318 0,00350,00344 0,00380,00368 0,0040,00390 14,4 beobachtetberechnet 0,00400,0040 0,00470,0047 0,00530,00490 0,00580,00529 0,00620,00565 0,00660,00600 10,8 beobachtetberechnet 0,00480,0048 0,00570,00537 0,00650,00588 0,00710,00635 0,00770,00679 0,00830,0072 Mineralfett endlich zeigt nach Tabelle V dasselbe Verhaltungsgesetz. Die absoluten Werthe des Reibungscoefficienten sind allerdings höher: aber andererseits ist das Schmiermittel fähig, einen Druck bis zu 44 k/qc aufzunehmen, ein Werth, welcher über alle die für andere Schmiermittel erhaltenen Zahlen hinausgeht, und bei diesem hohen Drucke kommt der Reibungscoefficient dem überhaupt niedrigst bestimmten sehr nahe. Die Schwankungen zwischen den beobachteten und berechneten Endzahlen sind, mit Ausnahme wiederum der geringsten Pressungen, sehr gering. Diese Ergebnisse stimmen mit den Erfahrungen jener Eisenbahn-Ingenieure überein, welche das Mineralfett den Oelen besonders in Fällen vorziehen, wo schwere Zapfendrücke zu erwarten stehen. Das fünfte Gesetz, daſs der Coefficient um 0m,5 Geschwindigkeit herum constant bleibt, ist nur eine Folgerung aus dem vorhergehenden. Der sechste Satz – betreffend die Veränderlichkeit der Reibung mit der Temperatur – ist bereits in seinen allgemeinen Ergebnissen durch Thurston u.a. ausgesprochen und auch durch die 9. Urtabelle des Tower'schen Berichtes zum Ausdrucke gebracht worden. Es gibt diese Tabelle die Reibungscoefficienten wieder, welche an einem mittels eines Schmalzölbades geschmierten Zapfen, bei Temperaturen von 48,9° bis 15,6°, unter einer unverändert bleibenden Belastung von 7,03 k/qc bei Geschwindigkeiten von 0,53 bis 2m,13 beobachtet wurden. In der Urtabelle ist das Gesetz einigermaſsen verhüllt, da die Grade nach Fahrenheit angegeben sind; es wurden dieselben daher in der hier beigegebenen Tabelle VI für Centigrade umgerechnet. Tabelle VI. Tempe-ratur End-zahlen Reibungscoefficienten bei einer secundlichen Geschwindig-keit von 0m,533 0m,800 1m,07 1m,33 1m,60 1m,86 2m,13 2m,39 48,9 beobachtet 0,0024 0,0029 0,0035 0,0040 0,0044 0,0047 0,0051 0,0054 43,4 beobachtet 0,0026 0,0032 0,0039 0,0044 0,005 0,0055 0,0059 0,0064 berechnet 0,00271 0,00327 0,00394 0,00448 0,00496 0,00530 0,00575 0,00610 37,8 beobachtet 0,0029 0,0037 0,0045 0,0051 0,0058 0,0065 0,0071 0,0077 berechnet 0,00311 0,00375 0,00453 0,00516 0,00569 0,00608 0,00660 0,00699 32,2 beobachtet 0,0034 0,0043 0,0052 0,0060 0,0069 0,0077 0,0085 0,0093 berechnet 0,00364 0,00439 0,00532 0,00608 0,00668 0,00714 0,00775 0,00820 26,7 beobachtet 0,0040 0,0052 0,0063 0,0073 0,0083 0,0093 0,0102 0,0112 berechnet 0,00440 0,00531 0,00641 0,00732 0,00806 0,00861 0,00934 0,00989 21,1 beobachtet 0,0048 0,0065 0,008 0,0092 0,0103 0,0115 0,0124 0,0133 berechnet 0,00556 0,00672 0,00811 0,00928 0,01012 0,01089 0,01182 0,01252 15,6 beobachtet 0,0059 0,0084 0,0103 0,0119 0,0130 0,0140 0,0148 0,0156 berechnet 0,00752 0,00909 0,01110 0,01252 0,01379 0,01473 0,01599 0,01693 Hiernach scheinen die Zahlen das Gesetz zum Ausdrucke zu bringen, daſs der Reibungscoefficient ungefähr im umgekehrten Verhältnisse zur Temperatur steht. Die unter dieser Annahme berechneten Werthe sind deshalb den unmittelbar beobachteten zur Seite gestellt. In der Hauptsache stimmen die Werthe sehr gut überein. Nur in den beiden letzten Spalten bei 2m,13 und 2m,39 Geschwindigkeit sind wiederum gröſsere Abweichungen zu verzeichnen; auch hier sind wieder die berechneten Werthe kleiner als die beobachteten, genau wie früher bei den Untersuchungen über den Einfluſs der Geschwindigkeiten. Es unterstützt dies wieder die Annahme, daſs für hohe Geschwindigkeiten der Apparat in Folge der Schwingungen Werthe gibt, welche etwas zu hoch liegen. Bei 15,6° andererseits sind die berechneten Zahlen erheblich höher als die beobachteten, selbst in den beiden letzten Spalten, obgleich dann die Abweichungen nicht mehr so groſs sind. Aber im Allgemeinen ist die Uebereinstimmung genügend, um den Satz, daſs der Reibungscoefficient annähernd umgekehrt proportional der Temperatur sich ändert, als annehmbar hinzustellen. W. R. Browne sucht nun auch die von ihm aufgestellten Sätze zum Theile auf theoretischem Wege zu begründen. Er geht dabei von der Annahme aus, daſs die Oberflächen des Zapfens und des Lagers von einander durch eine tragende Oelschicht getrennt sind, welche hinreichend dick sein muſs, um die unmittelbare Berührung beider Theile zu verhindern. Diese Schicht wird im Allgemeinen in zwei Ringe getheilt, welche in einander gleiten und sich fortwährend von einander abzuscheren suchen; ein Ring haftet an dem bewegten Zapfen, ein Ringstück an der Lagerschale. In Wirklichkeit haben wir es aber mit unendlich vielen Ringschichten zu thun mit allmählich in einander übergehenden Geschwindigkeiten, welche in Folge der Zusammenhangskraft der einzelnen Flüssigkeitstheilchen über einander hingleiten. An der Lagerschale ist die Geschwindigkeit Null, während die Schicht unmittelbar an der Metallfläche des Zapfens die Geschwindigkeit desselben selbst angenommen hat. Auch der Druck in den einzelnen Ringen ändert sich. Der specifische Druck im Scheitel des Zapfens oder, allgemeiner ausgedrückt, in der Mantellinie, durch welche die Resultirende der Kräfte hindurchgeht, erweist sich bei normal zur Kraftlinie geschnittenen Schalen mehr als doppelt so groſs als der mittlere Drucke während der Druck nach den Seiten hin stetig bis auf die Festigkeit der Flüssigkeit selbst abnimmt (vgl. Tower 1884 252 * 15). Die Zapfenreibung ist also in der Hauptsache auf die Zusammenhangskraft der Flüssigkeitsmoleküle des betreffenden Schmiermittels zurückzuführen. Nennen wir P den mittleren Werth dieses Cohäsionswiderstandes, und zwar wenn die bewegten Oeltheile sich um die Länge s verschieben, dann ist P × s die Arbeit, welche zur Ueberwindung dieses Widerstandes nöthig ist, in so fern nur zwei Theilchen in Betracht gezogen werden. V möge die Oberflächengeschwindigkeit des Zapfens bezeichnen und t die Zeit, in welcher die sich mit dieser Oberflächengeschwindigkeit bewegenden Oeltheilchen den Weg s zurücklegen- dann ist s = V × t und die aufgewendete Arbeit = P × V × t. Ist noch m die Masse des Theilchens und v die Geschwindigkeit, welche der während der Zeit t wirkende Widerstand P diesem Massentheilchen gibt, wenn es sich frei vom Ruhezustande aus bewegt, so stellt ½mv2 den Arbeitsinhalt dar, welcher in dem Theilchen enthalten ist. Folglich gilt: 1/2\,m\,v^2=P\,V\,t, daher v=\sqrt{\frac{2\,P\,V}{m}}\,\sqrt{t}. Bezeichnet mf die Kraft, welche an der Zapfenoberfläche wirken muſs, um den Cohäsionswiderstand zu überwinden, so ist f diejenige Kraft, welche das Massentheilchen 1 innerhalb der Zeit t in die Geschwindigkeit v versetzt. Es folgt daher: mft = mv oder f = v : t. Setzt man den obigen Werth für v ein, so erhält man: f=\sqrt{\frac{2\,P\,V}{m}}\,\sqrt{\frac{1}{t}}=\sqrt{\frac{2\,P}{m\,s}}\,V, wenn für t der Werth (s : V) eingesetzt wird. Wäre P constant, so würde f direkt wie V wachsen; aber der Druck P ist, wie oben bemerkt, nicht unveränderlich, sondern es kann vor der Hand nach den Versuchen angenommen werden, daſs sich P direkt mit t verändert, oder umgekehrt wie V. Setzt man P = C : V, dann erhält man die Gleichung: f=\sqrt{\frac{2\,C}{M\,s}}\,\sqrt{V}. Die Σmf wird den Gesammtwiderstand darstellen, welcher in irgend einem Augenblicke an der Oberfläche des Zapfens zu überwinden ist, und man sieht, daſs dieser Widerstand mit der Quadratwurzel der Geschwindigkeit wächst, also übereinstimmend mit den durch die Tabellen I bis V gegebenen Versuchen. Die gefundene Formel befindet sich aber auch in Uebereinstimmung mit den Gesetzen, welche Eingangs erwähnt wurden: 1) Der Reibungscoefficient ist viel kleiner als bei der „gewöhnlichen, der trockenen“ Reibung, weil der Scherwiderstand einer Flüssigkeit wie Oel sehr gering ist. 2) Der wirkliche Reibungswiderstand ist unabhängig vom Drucke. Dies folgt aus dem Satze, daſs die Flüssigkeiten nahezu unzusammendrückbar sind; die äuſsere Kraft drückt die ruhenden und die bewegten Theilchen nicht näher an einander; es bedarf also keiner Steigerung der Arbeit, dieselben zu trennen. 3) Der Widerstand wächst unmittelbar mit der Berührungsfläche, unabhängig vom Drucke, weil derselbe nur von der Adhäsion zwischen bewegten und ruhenden Schichten herkommt und diese Adhäsion sich über die ganze trennende Oberfläche erstreckt. Die Verminderung des Reibungscoefficienten mit steigender Temperatur ist weniger der geringfügigen Ausdehnung des Oeles bei Erwärmung, als der verminderten Zusammenhangskraft der Flüssigkeiten bei erhöhten Temperaturen zuzuschreiben, wie ja auch die vergröſserte Ausfluſsgeschwindigkeit bei erhöhter Temperatur beweist (vgl. Lepenau u.a. 1884 251 * 33). Die im Vorausgehenden aufgestellte Formel ist aber nur unter der Voraussetzung richtig, daſs ein Ausquetschen des Oeles, welches ja der äuſsere Druck immer nach allen Richtungen hin vom Scheitel aus hervorbringt, vernachlässigt werden könnte. Die hierdurch hervorgerufene Oelgeschwindigkeit bedingt eine Verzögerung des Zapfens. Bei hohen Geschwindigkeiten kommt diese geringe Verzögerung nicht in Betracht, wohl aber bei kleinen Zapfengeschwindigkeiten, und deshalb findet bei kleineren Geschwindigkeiten eine Abnahme des Reibungscoefficienten bei erhöhter Geschwindigkeit statt; der verhältniſsmäſsige Einfluſs dieser Rückströmung vermindert sich rasch. Im Allgemeinen darf aber die entwickelte Theorie für die gewöhnlich vorkommenden Fälle als zutreffend angenommen werden; jedenfalls verdient sie bei späteren Untersuchungen über diese wichtige Frage berücksichtigt zu werden. E. M.