Beiträge zur Geschichte, Theorie und Praxis der Zeicheninstrumente, insbesondere der Ellipsographen; von Prof. Ernst Fischer. (Schluſs der Abhandlung S. 217 d. Bd.) Mit Abbildungen auf Tafel 14 und 20. Ernst Fischer, über Zeicheninstrumente. Der bereits in der Zeitschrift für Vermessungswesen, 1876 S. 459 von Jordan erwähnte Centrograph, welchen der Mechaniker Stanley in London ausgestellt hatte, gestattet die Beschreibung von Kreisbögen dadurch, daſs der Zeichenstift im Scheitel eines Winkels sitzt, dessen Schenkel an zwei gegebenen Punkten des Kreisbogens, welche durch die Kanten schwerer Gewichte festgelegt sind, vorüber geführt werden. Im Vergleiche zu dem vorher besprochenen Curvenlineal dürfte eine geringere Bequemlichkeit wohl entschieden hervortreten; dagegen ist der Apparat Stanley's aber voraussichtlich wohlfeiler, weil leichter den mathematischen Anforderungen entsprechend herzustellen. Am meisten empfehlenswerth zur Construction ist aber das Zirkelparallelogramm von Peaucellier, ein Apparat, welcher seit einigen Jahren die Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat, obzwar derselbe bereits vor etwa 20 Jahren erfunden wurde, aber allgemeine Beachtung erst dann fand, als sich zu Anfang des vorigen Jahrzehnts die Erfindung in Ruſsland wiederholte und ihre Wichtigkeit für die praktische Mechanik von Fachmännern (und zwar besonders von Seiten Tchebicheff's) erkannt worden war. Das Zirkelparallelogramm wird in verschiedenen Formen angewendet: Fig. 5 und 6 Taf. 20 zeigen in den starken Linien die ursprünglichen Formen, Fig. 7 eine andere, welche auf der Londoner Ausstellung durch ein Modell vertreten war. Andere Formen sind dem Apparate von Hart und Kempe gegeben worden; sie werden als hier weniger wichtig übergangen. Wir beginnen die nähere Erklärung mit Bezug auf Fig. 5 Taf. 20. A und D sind in der Papierebene 2 feste Punkte, um welche sich die von den starken Linien gebildete Figur dreht. KMZN ist ein Rhombus mit der Seitenlänge c; seine Ecken werden von Gelenken gebildet und zwei dieser Ecken, M und N, haben von A den gleichen Abstand b. Die Ecke K beschreibt um D einen Kreisbogen vom Radius r. Nun ist erstens ersichtlich, daſs immer die 3 Punkte A, K und Z auf einer Geraden liegen, was wohl keines Beweises bedarf. Ferner ist zweitens AK × AZ eine Constante. Man hat: \overline{M\,U^2}=b^2-1/4\,(A\,Z+A\,K)^2, andererseits: \overline{M\,U^2}=c^2-1/4\,(A\,Z-A\,K)^2, daher durch Subtraction: AK\times AZ=b^2-c^2 . . . . . . . . . . (1) Daſs auch Z in Folge dieser eben angegebenen Beziehungen einen Kreis beschreibt, ist aus folgender Betrachtung zu erkennen: Die Linie AKZ schneidet den von K um D mit dem Radius r beschriebenen Kreis auſser in K auch in S. In Folge der Aehnlichkeit der Dreiecke ASQ und AKP hat man die bekannte Relation: AS × AK = AP × AQ. Setzt man nun, wie in Fig. 5 angegeben, AD = a, so wird hiermit, weil AQ = a + r und AP = a – r ist: AS\times AK=a^2-r^2, also in Verbindung mit (1) \frac{A\,Z}{A\,S}=\frac{b^2-c^2}{a^2-r^2} . . . . . . . . . . (2) Weil aber zufolge dieser Gleichung AZ und AS für beliebige Lagen in constantem Verhältnisse stehen, so beschreiben S und Z ähnliche Figuren, deren Aehnlichkeitspunkt A ist. Man erkennt, daſs Z in der That einen Kreis beschreibt, dessen Radius R mit Rücksicht auf das Verhältniſs der Abmessungen der ähnlichen Figuren, welches aus der Gleichung (2) sich ergibt, gleich ist: R=r\,\frac{b^2-c^2}{a^2-r^2} . . . . . . . . . . (3) Fig. 5 bezieht sich auf den Fall b > c, a > r; jedoch ist die Gültigkeit der Entwicklung nicht davon abhängig, daſs diese Ungleichungen erfüllt sind, wenn man negative Strecken zuläſst. Ist a < r, so liegt der Aehnlichkeitspunkt A im Inneren der Kreise und R wird dem entsprechend von Formel (3) negativ angegeben, indem es eben in der That eine wesentlich entgegengesetzte Richtung erhält. Fig. 6 bezieht sich auf den Fall b < c und a < r und auch hierfür gelten dieselben Formeln. Die Bezeichnungen in dieser Abbildung sind dieselben wie in Fig. 5, so daſs es nicht schwer hält, die Richtigkeit der obigen Entwickelung auch für diese Annahme festzustellen. a = r gibt in beiden Fällen R = ∞, d.h. der Punkt Z beschreibt alsdann eine Gerade, eine Eigenschaft des Apparates, die sich namentlich für den Maschinenbau sehr nützlich erweist (vgl. Peaucellier's Geradführung 1875 217 * 362). Betrachten wir nun Fig. 7 Taf. 20, so besteht anscheinend eine wesentliche Abweichung gegen Fig. 5 und 6. Allein wenn man KMN durch die punktirten Linien MZ und NZ zu einem Rhombus KMZN ergänzt, springt die Aehnlichkeit mit Fig. 6 in die Augen. Der Punkt Z würde einen zu dem von K beschriebenen ähnlichen Kreis beschreiben, desgleichen Z1, wenn nur Viereck Z1M1AN1 ∾ ZMAN ist, wozu gehört, daſs c1 : c = b1 : b. Bezeichnen wir das Verhältniſs mit v, so ist also: c_1:c=b_1:b=v, sowie AZ_1:AZ=v . . . . . . . . . . (4) In Fig. 7 ist v = 2. Die Formeln (1) und (3), in denen anstatt b2 – c2 jetzt wegen c > b besser c2 – b2 zu schreiben ist, was nur auf das Vorzeichen der Strecken Einfluſs hat, geben durch Einführung der Relation (4): AK × AZ1 = (c1 + b1) (c – b) = s1d und daraus: R=r\,\frac{(c_1+b_1)\,(c-b)}{r^2-a^2}=r\,\frac{s_1\,d}{r^2-a^2}, . . . . . . . . . . (5) worin s1 und d Abkürzungen für „Summe“ und „Differenz“ bedeuten. In ähnlicher Weise, wie Fig. 7 als eine Abänderung der Fig. 6 betrachtet werden kann, ist es möglich, auch Fig. 5 umzustellen u.s.w. Wenden wir uns nun näher zur Ausführung eines Zirkels nach Fig. 7 Taf. 20, so ist zunächst ersichtlich, daſs die Drehpunkte A und D sich auf einer Platte (dem Fuſse des Zirkels) befinden müssen, daſs zur Veränderung des Abstandes AD = a für A eine Schlittenführung eingerichtet und daſs endlich damit eine mikrometrische Bewegung zur feinen Einstellung bestimmter a verbunden sein muſs. Das Gelenk Z1 kann mit Bleistift- oder Reiſsfedereinsatz versehen werden. In der Wahl der Abmessungen besteht, wie es beim ersten Blicke auf den Ausdruck von R den Anschein hat, eine groſse Freiheit, weil sehr verschiedene Werthsysteme r, (c1 + b1), (c – b) und a dasselbe R berechnen lassen. Da aber zwischen jenen Gröſsen aus der Figur zu entnehmende Bedingungen bestehen, so wird die Amplitude der möglichen R beschränkt sein. Wird man nun derjenigen Construction den Vorzug geben, welche diese Amplitude am gröſsten hat, so ist doch nächstdem noch besonders die mögliche Länge der zu beschreibenden Bögen von Wichtigkeit. Mit Rücksicht hierauf leiten wir die geometrischen Bedingungen der Construction im Folgenden ab: Eine erste Bedingungsgleichung folgt aus der Einführung des kleinsten möglichen R bei r > a in die Formel (5). R0 bezeichne das kleinste R für r > a, so ist: R_0=r\,\frac{s_1\,d}{r^2-{a_0}^2}, . . . . . . . . . . (6) worin a0 der kleinste mögliche a-Werth ist. a0 kann deshalb nicht Null sein, weil A und D sich nicht als mathematische Punkte ausführen lassen und man von einer Anordnung beider Drehpunkte über einander der Umständlichkeit halber absehen wird. Auſser dieser Bedingung für a0 besteht noch die geometrische: r +a_0\geq d, . . . . . . . . . . (7) wie ein Blick auf Dreieck KMA lehrt, wenn man zugleich beachtet, daſs c – b = d und bei gegebenem r und a0 der gröſste Werth der Seite KA = r + a0 ist. Ob es möglich ist, von derjenigen Stellung Nutzen zu ziehen, bei welcher r + a0 = d, also der Zirkel zusammengeklappt ist, hängt von der Anordnung und Gestalt der Schienen ab. Wir wollen diese Möglichkeit voraussetzen. Denken wir uns nun a wachsend, so wird R ebenfalls gröſser werden. Da man aber den Apparat besonders für flache Bögen nöthig hat, so muſs a jedenfalls sehr nahe gleich r oder besser gleich r werden können, wofür R = ∞ ist. Wächst a weiter, so nimmt R wieder ab, die Bögen werden convex und schlieſslich wird ein zweiter Mindestwerth von R erreicht werden. In dieser Weise kommen wir, wenn das kleinste R für a > r mit Rm bezeichnet wird, zu der Bedingung: R_m=r\,\frac{s_1\,d}{{a_m}^2-r^2}, . . . . . . . . . . (8) worin am der gröſste mögliche a-Werth. Hierzu gesellt sich die geometrische Bedingung: r+a_m\,\leq\,\frac{s_1}{v}, . . . . . . . . . . (9) indem im Dreiecke KMA jederzeit KA nicht gröſser als c + b sein kann. Eine weitere Bedingung folgt daraus, daſs zur Bequemlichkeit der Construction und der Handhabung des Zeichenstiftes der Punkt Z1 auſserhalb AK liegen muſs. Die Entwickelung zur Gleichung (5) gibt AZ1 = s1d : AK und, setzt man den Ausdruck rechter Hand gröſser als AK, so wird: A\,K\,<\,\sqrt{S_1\,d}. Nun ist der gröſste Werth von AK gleich r + am; man erhält damit die Bedingung: r+a_m\,<\,\sqrt{s_1\,d} . . . . . . . . . . (10) Man bemerkt leicht, daſs vorstehende Entwickelung unmittelbar für Fig. 7 gilt, wenn man v = 1 annimmt; nur fällt die Gleichung (9) ganz weg. Bei der Anwendung der Formeln auf Fig. 5 ist auch v = 1 zu setzen, die Gleichung (9) aber beizubehalten, da dieselbe die Bedingung ausdrückt, daſs eben AK < AZ bleiben muſs. Zu diesen Bedingungen treten nun die Ausdrücke, welche die Bogenlänge charakterisiren. Denkt man sich Z1 in Bewegung, so nimmt AK fortwährend ab, wenn man mit der dem Falle AK = a + r entsprechenden Lage beginnt. Die Bewegung von Z1 läſst sich beiderseits dieser Anfangslage fortsetzen, bis AK = c – b = d wird; alsdann ist der Zirkel wieder zusammengeklappt. Die Länge von AZ1 ist alsdann c1 + b1 = s. Nun liegt der Centriwinkel des durch Z1 von der Anfangslage aus beschriebenen Bogens in dem Dreiecke AZ1T, welches in Fig. 7 wegen Mangel der Angabe des Kreismittelpunktes T nicht sichtbar ist, an der Ecke T gegenüber der Seite AZ1 = s1. Die Nachbarseiten sind TZ1 = R und TA = aR : r. Bezeichnet man diesen Winkel mit T, so ist nun nach einer bekannten trigonometrischen Formel: cos\,T=\frac{R^2+(a^2\,:\,r^2)\,R^2-{s_1}^2}{2\,(a\,:\,r)\,R^2} wofür man entweder nach Multiplication mit r2 im Zähler und Nenner, oder unter Einsetzung von Ausdruck (5) für R, erhält: cos\,T=\frac{R^2\,(a^2+r^2)-r^2\,{s_1}^2}{2\,a\,r\,R^2}=\frac{(r^2+a^2)\,d^2-(r^2-a^2)^2}{2\,a\,r\,d^2} . . . . . . . . . . (11) Bildet man mittels des zweiten Werthes für cos T nach der Formel cos T = 1 – 2sin 2½ T den Werth für sin ½ T so folgt ohne Rücksicht auf das Vorzeichen: sin\,1/2\,T=\frac{r-a}{2\,\sqrt{a\,r}}\,\sqrt{\frac{(r+a)^2}{d^2}-1} und 4\,R\,sin\,1/2\,T=2\,s_1\,\sqrt{\frac{r}{a}\,\left(1-\frac{d^2}{(r+a)^2}\right)} . . . . . . . . . . (12) Für sehr flache Bögen ist 4 R sin ½ T aber der ganzen von Z1 beschriebenen Bogenlänge nahezu gleich und, da für solche auſserdem a nahezu = r ist, hat man die Länge flacher Bögen: L=s_1\,\sqrt{4-(d^2\,:\,r^2)} . . . . . . . . . . (13) Andererseits hat man für R0, wenn r + a0 = d ist, cos T = 1, T = 0 und also die Bogenlänge Null; jedoch wächst sie mit wachsendem a0 ungemein rasch, weil der Differentialquotient nach a von 4 R sin ½ T für r + a0 = d unendlich groſs ist. Der Ausdruck für cos T zeigt, daſs cos T = Null wird, also Halbkreise beschrieben werden für: a^2=r^2+1/2\,d^2\,\pm\,\sqrt{2\,d^2\,(r^2+1/2\,d^2)} . . . . . . . . . . (14) Das obere Vorzeichen bezieht sich, weil es a > r gibt, auf convexe Bögen; das untere Vorzeichen würde zu reellen a nur führen, wenn r ≧ d angenommen wäre; es entspricht, weil a < r wird, concaven Bögen. Der Ausdruck für cos T zeigt ferner, daſs Vollkreise beschrieben werden, also cos T = –1 ist, wenn: a=r\pm d, . . . . . . . . . . (15) worin das obere und untere Vorzeichen convexen bezieh. concaven Bögen entsprechen. Vollkreise werden auch beschrieben, wenn: a > r + d bei convexen bezieh. a < r – d bei concaven Bögen (16) ist, wie am einfachsten die Figur zeigt. Mit Hilfe der im Vorhergehenden entwickelten Bedingungsgleichungen und Ausdrücke läſst sich nun bereits ganz im Allgemeinen Einiges aufstellen, was bei der Construction eines Zirkels nach Fig. 7 zu beachten ist. Es sind dies folgende vier Sätze: 1) Die Formel (13) zeigt, daſs die Länge flacher Bögen von s1 = c1 + b1, also von der Gröſse des Zirkels abhängt. War diese Beziehung selbstverständlich, so zeigt doch dieselbe Formel ferner das nicht unmittelbar einleuchtende Ergebniſs: 2) Die Länge flacher Bögen nimmt zu, wenn r gegenüber d = c – b wächst. Die Betrachtung von Formel (6) lehrt weiter: 3) Zugleich mit dem Anwachsen der Länge flacher Bögen in Folge Anwachsens von r relativ zu d nimmt der Minimalradius R0 concaver Bögen ab. Dagegen folgt aus Formel (8) in Verbindung mit (9) und (10): 4) Im gleichen Falle nimmt der Minimalradius Rm convexer Bögen zu. Hiernach ist es nicht zweckmäſsig, den Zirkel vorherrschend auf convexe Bögen einzurichten. Man wird denselben vielmehr in erster Linie für concave Bögen construiren und damit zugleich möglichst lange flache Bögen erzielen. Um nun aber auch convexe Bögen in besonderen Fällen construiren zu können, muſs r nötigenfalls veränderlich eingerichtet werden, was keine Schwierigkeiten bedingt. Zur Berechnung eines concaven Zirkels hat man nach dem Vorigen folgende Relationen: R_0=r\,\frac{s_1\,d}{r^2-{a_0}^2} . . . . . . . . . . aus (6) r+a_0\geq d . . . . . . . . . . aus (7)    2\,r < (s_1:v) . . . . . . . . . . aus (9), indem nämlich am mindestens etwas gröſser als r angenommen werden muſs; ferner ebenso: 2\,\,<\,\sqrt{s_1\,d} . . . . . . . . . . aus (10)    L=s_1\,\sqrt{4-(d^2\,:\,r^2)} . . . . . . . . . . aus (13). Setzt man dazu als Bedingung, daſs man mit R0 Halbkreise oder mehr bis zu Vollkreisen beschreiben könne, so sind r und d so zu wählen, daſs a02 zwischen den Grenzen liegt: r^2+1/2\,d^2-\sqrt{2\,d^2\,(r^2+1/8\,d^2)}\,\geq\,{a_0}^2\,\geq\,(r-d)^2 . . . . . . . . . . aus (14) und (15). Die Relationen für R0 und L geben nach Elimination von s1: d=2\,r\,:\,\sqrt{1+\frac{L^2}{{R_0}^2}\,:\,\left(1-\frac{{a_0}^2}{r^2}\right)^2} . . . . . . . . . . (17) und ferner gibt die Relation für R0 mit der Beziehung 2\,<\,\sqrt{s_1\,d} in gleicher Weise: r2 (4r – R0) < –R0 a02. Da a0 jedenfalls klein ist, kann man rechts Null setzen und hat dann sofort: 4r < R0. Der Gang der Rechnung wird nun folgender: Man nimmt mehrere r nach Maſsgabe der Ungleichung 4r < R0, berechnet dazu die d mittels der Gleichung (17), prüft die Befriedigung der Relation r + a0 ≧ d, sieht ferner zu, ob für R0 mindestens Halbkreise beschrieben werden und berechnet nun s1 aus der Gleichung (13) und v < (s1 : 2r). Beispiel: Gegeben L = 600mm, R0 = 300, a0 = 10. Es wird also r < 75; wir nehmen hier sofort r = 70, da kleinere r, wie sich zeigt, für kleine R eine kleinere Bogenlänge ergeben. Weiter ist nun d=140\,:\,\sqrt{1+4\,:\,(1-1/49)^2}, welcher Werth kleiner als 75 + 10 ist, wie es sein soll. Die Substitution der Werthe von r und d in die nächste der oben aufgeführten Ungleichungen ergibt: 4900+1897-\sqrt{7589\,(4900+474)}\,\geq\,100\,\geq\,71. Da der Ausdruck linker Hand sich auf 410 reducirt, so erhellt, daſs mit dem Radius 300 zwar nicht Vollkreise, aber doch weit mehr als Halbkreise beschrieben werden können. Die genauere Rechnung gibt 280° Centriwinkel und 1465 Bogenlänge. Weiter ist S_1=600\,:\,\sqrt{4-(61,6\,:\,70)^2}=334,0 und v < (334,0:140). Zur Berechnung eines convexen Zirkels hat man folgende Relationen: Weil r jedenfalls etwas gröſser als a0 anzunehmen ist, damit ganz flache Bögen bequem ohne Rücksicht auf ihre Krümmung zu beschreiben sind, hat man: r > a0 und 2r > d aus Formel (7). Ferner wird: R_m=r\,\frac{s_1\,d}{{a_m}^2-r^2} . . . . . . . . . . aus (8)    r+a_m\,\leq\,\frac{s_1}{v} . . . . . . . . . . aus (9), r+a_m\,<\,\sqrt{s_1\,d} . . . . . . . . . . aus (10)    L=s_1\,\sqrt{4-(d^2\,:\,r^2)} . . . . . . . . . . aus (13). Als Bedingung, daſs Halbkreise bis Vollkreise von Rm beschrieben werden können, hat man: r^2+1/2\,d^2+\sqrt{2\,d^2\,(r^2+1/8\,d^2)}\,\leq\,a\,m^2\,\leq\,(r+d)^2. Gegeben sind auch jetzt in der Regel L und Rm; die anderen Gröſsen sind zu wählen. Da jedoch der früher berechnete concave Zirkel durch geändertes r zugleich als convexer Zirkel gebraucht werden soll, so sind demnach bereits s1 und d gegeben, v aber noch nach Maſsgabe einer Ungleichung zu wählen. Beispiel. Es war: d = 61,6, s1 = 334,0 und v < (334,0:140). Die ersten der obigen Ungleichungen führten zu r > 31. Wir nehmen r = 35. Gröſsere r würden Rm stark vergröſsern, ohne auch L wesentlich zu vergröſsern. Es wird nun ferner: 35+a_m\,<\,\sqrt{334,0\,\times\,61,6}, d. i. 134,4 und am kann hiernach 100 noch überschreiten. Für am = 100 werden, da 100 > 35 + 61,6 ist, noch Vollkreise beschrieben – auch gerade noch bei a = 96,6 mit R = 89. Für v wird erhalten: v < (334,0:135). Wir setzen v = 2, welcher Werth theilweise geringere Maſse gibt als v = 1 und damit dem Zirkel ein schlankeres Ansehen verleiht. Man hat nun: s = 167,0 = c + b.    c = 114,3.    b = 52,7. d = 61,6 = c – b.    c1 = 228,6.    b1 = 105,4. L reducirt sich stark gegen den früheren Werth; es wird etwas über 310. Wir vergleichen nun die Construction nach Fig. 7 Taf. 20 mit einer solchen nach Fig. 5. Nimmt man hier wie im Beispielsfalle s = b + c = 334,0 und d = b – c = 61,6, so erhält man einen Zirkel, der gewiſs ebenso brauchbar als derjenige nach Fig. 7 ist. Wollte man aber bei Fig. 7 die Bedingung, daſs AZ1 < AK sein soll, weglassen, so würde Fig. 7 im Vortheile sein; denn bei Fig. 5 kann diese Bedingung nicht wegbleiben, weil die Lage von Z unbestimmt wird, sobald K durch U hindurchgeht. Bei Fig. 6 ist von der eben erwähnten Bedingung überhaupt nicht die Rede. Scheut man etwas gröſsere Breite des Zirkels nicht, so ist die Construction nach Fig. 6 zu empfehlen. Wir wollen dieselbe noch etwas eingehender betrachten. Faſst man wieder zuerst concave Bögen ins Auge, so sind die Relationen zu beachten: R_0=r\,\frac{s\,d}{r^2{a_0}^2} . . . . . . . . . . aus (6)    r+a_0\geq d . . . . . . . . . . aus (7) 2\,r < s . . . . aus (9)       L=s\,\sqrt{4-(d^2\,:\,r^2)} . . . . . . aus (13) r^2+1/2\,d^2-\sqrt{2\,d^2\,(r^2+1/8\,d^2)}\,\geq\,{a_0}^2\,\geq\,(r^2-d^2) . . . . . . . . . . aus (14) und (15). Die Formeln für R0 und L geben wie früher unter (17): d=2\,r\,:\,\sqrt{1+\frac{L^2}{{}R_0^2}\,:\,\left(1-\frac{{}a_0^2}{r^2}\right)^2} Führt man die Beziehung 2r < s in R0 ein, so folgt mit Rücksicht auf den kleinen Betrag von a0 die Beziehung d < ½R0. Da nun sehr nahe d=2\,r\,:\,\sqrt{1+(L^2\,:\,{R_0}^2)} ist, so hat man r\,<\,1/4\,R_0\,\sqrt{1+(L^2\,:\,{R_0}^2)}. Hieraus folgt vorerst r; dann berechnet man aus der eben aufgeführten Gleichung (17) den Werth d und schlieſslich aus s=L\,:\,\sqrt{4-(d^2\,:\,r^2)} den Werth s. Letztere beiden Werthe sind für nicht zu kleine r vom Betrage desselben nahezu unabhängig. Bestimmend für die Wahl von r wird daher nur die Länge der Bögen für kleine Radien und hier wird r möglichst groſs gefordert. Wünscht man für R0 geradezu Vollkreise, so ist zu setzen: a0 = r – d, d.h. r=a_0\,:\,\left(1-\frac{2}{\sqrt{1+(L^2\,:\,{R_0}^2)}}\right) Ist es nach der obigen Ungleichung für r zulässig, r noch gröſser als nach der letzten Gleichung anzunehmen, vermeidet man dies aber als überflüssig, so kommt es nun den convexen Bögen zu Gute. Beispiel. Gegeben: L = 600mm, R0 = 300, a0 = 10. Es wird r\,<\,75\,\sqrt{1+4}, d. i. 168; dagegen r=10\,:\,(1-2\,:\,\sqrt{1+4}), d. i. 95. Nehmen wir daher rund r = 100, so erhalten die Bögen mit kleinen Radien jede wünschenswerthe Länge. Es wird nun: d=200\,:\,\sqrt{1+4\,:\,0,99^2}=88,7.    s=600\,:\,\sqrt{4-0,887^2}=334,7. c=211,7.    b=123,0. Nach Formel (9) kann als gröſstes a erhalten werden: 334,7 – 100, d. i. 234,7. Hierfür ist: R_m=100\,\frac{334,7\,\times\,88,7}{234,7^2-100^2}=66. Nicht nur für dieses, sondern auch für noch gröſsere R werden Vollkreise beschrieben, so lange nämlich a ≧ 100 + 88,7. Zu a = 188,7 gehört R = 116. Zur Erleichterung der Uebersicht über die Wirksamkeit des Zirkels hat Helmert folgende Tabelle berechnet: a R Centriwinkel Bogenlänge   10  11,3   300  301 360° – 18851890   38,9   350 144° 38'   883   50,8   400 113° 26'   792   63,7   500   82° 32'   720   83,8 1000   36° 52'   643 100 ∞ –   0'   600 113,9 1000   32° 54'   574 126,3   500   63° 38'   555 141,1   300 103°   6'   540 157,6   200 155°   0'   541 163,9   176 177° 38'   546 167,3   165 190° 54'   550 172,6   150 213° 47'   560 180,3   132 254° 34'   587 188,7234,7   116    66 360° –   729  415 Der Umfang der Wirksamkeit für convexe R ist hier so bedeutend, daſs es überflüssig wäre, noch ein zweites, kleines r dem Apparate beizufügen. Wir haben nunmehr sämmtliche Apparate aufgeführt, welche zur Herstellung von geraden Linien und Kreisen dienen, und wir könnten eigentlich damit unsere Betrachtungen schlieſsen; denn geometrische Zeichnungen bestehen zum gröſsten Theile aus geraden Linien und Kreisen. Dieselbe Beschränkung kann man bei allen gewöhnlichen Constructionen der theoretischen Geometrie wahrnehmen. Es ist nachgewiesen worden, daſs jedes Problem, welches nur eine einzige Lösung zuläſst, sobald die nothigen Maſse graphisch gegeben sind, mit dem Lineale allein gelöst werden kann, d.h. allein durch Zeichnung von geraden Linien ohne Anwendung des Zirkels, und daſs jegliche Aufgabe quadratischer Natur, d.h. eine solche, bei welcher zwei, aber nicht mehr Lösungen möglich sind, mit Hilfe von Lineal und Zirkel gelöst werden kann. Diese Bemerkungen werden vielleicht genügen, um darzuthun, daſs in der theoretischen Geometrie die Wichtigkeit der geraden Linie und des Kreises weit überwiegend ist. Auf der anderen Seite besitzen die gerade Linie und der Kreis eine Eigenschaft gemeinsam, welche denselben unter allen ebenen Curven eigentümlich und welche für alle praktischen Anwendungen der Geometrie unschätzbar ist: sie sind die einzigen in derselben Ebene liegenden (oder nicht gefalteten) Linien, voll denen jeder beliebige Theil jedem anderen genau angepaſst werden kann. In sehr vielen mechanischen Einrichtungen ist diese Eigenthümlichkeit unentbehrlich und sie ist in allen Fällen von Vortheil, in welchen Genauigkeit der Form erfordert wird; denn sie bietet ein einfaches Mittel dar, um festzustellen, daſs Genauigkeit erzielt worden ist. Es gibt nur eine gefaltete Curve, welche dieselbe Eigenschaft zeigt, nämlich die Schraubenlinie, und gerade weil bei ihr ebenfalls ein jeder Theil von einem anderen gedeckt werden kann, wird die Einrichtung von Schraube und Mutter möglich, weshalb diese Curve für die Mechanik von so groſsem Nutzen ist. Ungeachtet dieser Vorzüge der geraden Linie und des Kreises ist es doch gelegentlich, sowohl in der theoretischen wie angewandten Geometrie, unumgänglich, auch andere Curven zu ziehen. Es ist durchaus nicht eine leichte Sache, gute Methoden zur Verzeichnung von Curven aufzufinden. Selbst wenn die Theorie einer Curve ziemlich genau bekannt ist, ist es oft unmöglich, auf Grund dieser Theorie eine Art anzugeben, wie die Curve auf mechanischem Wege beschrieben werden könnte, und nicht jede von der Theorie vorgeschlagene Methode muſs so beschaffen sein, daſs sie praktisch genau arbeitet. Unter allen Curven scheint nach dem Kreise die Ellipse am einfachsten und leichtesten zu zeichnen zu seinVgl. die betreffenden Zeichnungen in Ernst Fischer: Vorlegeblätter zum Linearzeichnen. 3 Hefte mit je 12 Tafeln in Farbendruck, nebst Text. (München 1876.); aber einige Autoritäten in diesem Fache empfehlen dem Zeichner nicht, den Versuch zu machen, eine wahre Ellipse herzustellen, sondern eine Nachahmung von einer Ellipse aus 6 bis 7 Kreisbögen, deren Mittelpunkte und Radien in geeigneter Weise gewählt worden sind, zusammenzusetzen. Man sagt, daſs eine solche Nachahmung selbst ein wohlgeübtes Auge befriedigt, obgleich es offenbar ist, daſs, während die Krümmung einer Ellipse sich beständig ändert, die Krümmung der nachgeahmten Curve in den Punkten, in denen die Kreisbögen zusammentreffen, plötzlich wechselt. Peaucellier's Gelenkverbindung, welche oben näher betrachtet wurde, mag vielleicht später diesen Theil der Geometrie umgestalten. Schon weiſs man, daſs jeder Kegelschnitt und einige der wichtigeren Curven 3. und 4. Grades durch Gelenkverbindungen oder zusammengesetzte Zirkel, wie Peaucellier sie genannt hat, verzeichnet werden können und daſs diese Vorrichtungen nicht zu umständlich sind, um sicher zu arbeiten. Die Ellipse ist nun in unseren graphischen Constructionen neben dem Kreise und den cyclischen Curven wohl die am häufigsten vorkommende. Namentlich häufig in ihrer Eigenschaft als schräge Projection des im Ingenieurbaue und in der Architektur ja so unendlich häufig wiederkehrenden Kreises. Verleitet durch die leichten und hübschen Verfahren zur Erzeugung von Kreislinien mittels des Zirkels, haben die Constructeure sich immer wieder und wieder bemüht, sogen. Ellipsenzirkel – oder um den in diesem Namen liegenden Widerspruch zu vermeiden – EllipsographenVgl. T. Rittershaus: Ueber Ellipsographen in den Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleißes, 1874 * S. 269 ff. zu erfinden, welche für die Ellipse dasselbe leisten sollten, wie für den Kreis der Zirkel. Sie sind sich dabei des prinzipiellen Unterschiedes, welcher in der Aufgabe gegenüber des Verzeichnens eines Kreises liegt und der eine wirklich brauchbare Lösung fast absolut unmöglich macht, selten oder nie bewuſst geworden. Sie haben sich durch das stete Scheitern aller dieser Versuche durchaus nicht entmuthigen lassen, sondern den schlechten Erfolg vielmehr stets auf Rechnung der nicht gelungenen Lösung geschrieben. Ja, sie haben sich in den meisten Fällen nicht einmal bemüht, vorher in der Literatur nachzusehen, ob nicht etwa ihre Idee bereits anderswo Fleisch und Bein gewonnen. Deshalb begegnen wir in technischen Zeitschriften so häufig Constructionen oder Vorschlägen für Ellipsographen, deren Zahl sich schon sicher nach Hunderten beziffert; doch sind an wirklich verschiedenen Constructionen höchstens einige zehn vorhanden, welche sich aber wieder ohne Ausnahme in 4 Hauptklassen eintheilen lassen. Eine Unterordnung der verschiedenen Constructionen unter die allgemeinen kinematischen Prinzipien haben wir Rittershaus in der eben citirten Schrift zu verdanken und schlieſsen uns dessen Ausführungen hier an, wobei auf die a. a. O. befindlichen Literaturnachweise, sowie auf dessen vorzügliche Constructionszeichnungen verschiedener Ellipsographen besonders hingewiesen sei. Wenn ein Kreis innerhalb eines anderen rollt, so beschreiben sämmtliche Punkte des Rollkreises Hypocycloiden; ist der Durchmesser des rollenden Kreises halb so groß als der des ruhenden, so gehen sämmtliche Curven in Ellipsen überHierauf beruht ein Eilipsograph, welchen A. Slaby in den Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleißes, 1876 * S. 327 beschrieben hat., und zwar speciell diejenigen der Umfangspunkte in Ellipsen mit der kleinen Halbachse Null, während die groſse Achse gleich dem Durchmesser des ruhenden Kreises wird und mit diesem zusammenfällt (vgl. Fig. 8 Taf. 20). Ist R der ruhende Kreis, materiell aus einem Brette geschnitten, so daſs in demselben der Kreis r von halb so groſsem Durchmesser rollen kann, so beschreibt der innerhalb liegende Punkt p die Ellipse e, der auſserhalb liegende P die Ellipse E; und zwar besitzt die erstere pm als groſse und pa als kleine, die letztere Pm als groſse und Pa als kleine Halbachse. Liegt der beschreibende Punkt also innerhalb des rollenden Kreises, so ist die Summe der Halbachsen der erzeugten Ellipse = pa + pm gleich dem Durchmesser des rollenden Kreises, liegt aber der beschreibende Punkt auſserhalb, = Pm – Pa, also die Differenz der Halbachsen gleich diesem Durchmesser. Auf diesem sehr bekannten Satze, mit dem sich zuerst der Mathematiker Cardano beschäftigt hat und welcher daher als das Problem der Cardani'schen Kreise bezeichnet wird, beruhen fast neun Zehntel sämmtlicher Constructionen von Ellipsographen. Dieselben sind aber in sehr verschiedener Weise zur Ausführung gebracht. Eine namentlich sehr häufig wiederkehrende Form ist der sogen. Kreuzzirkel, zuerst von Bion im J. 1723 beschrieben, bei welchem, wie aus Fig. 9 Taf. 20 zu ersehen, die Ellipse in der Weise erzeugt wird, daſs zwei Punkte einer Stange, welche auch den beschreibenden Stift trägt, in – meist rechtwinklig – sich kreuzenden Geraden geführt werden. Das Führungskreuz ist aus Holz oder Messing gefertigt und mit kleinen Stiften versehen, mit welchen es auf das Papier festgelegt wird; in den beiden Führungen gleiten kurze Pfannen, welche durch Zapfen mit zwei Schiebern verbunden sind, die auf der Stange festgeklemmt werden. Groſse und Gestalt der zu beschreibenden Ellipse ändern sich je nach der Entfernung der beiden geführten Punkte und dieser vom beschreibenden Stifte und zwar sind die beiden letzteren Gröſsen die Halbachsen. Diese Grundconstruction ergibt sich aber aus dem Problem der Cardani'schen Kreise., indem daraus zu folgern ist: 1) Zwei Punkte einer Ebene bewegen sich auf den Schenkeln eines Winkels, dessen Ebene mit jener zusammenfällt; irgend ein dritter Punkt der bewegten Ebene beschreibt eine Ellipse. 2) Zwei Punkte einer Ebene bewegen sich der eine auf einem Kreise, dessen Ebene mit der bewegten zusammenfällt und dessen Radius gleich dem Abstande der beiden geführten Punkte, der andere Punkt auf einem Durchmesser dieses Kreises; irgend ein dritter Punkt der bewegten Ebene beschreibt eine Ellipse. 3) Ein Kreis rollt in einem doppelt so groſsen; irgend ein Punkt der Ebene des ersteren beschreibt eine Ellipse. Die Zusammengehörigkeit dieser drei Fälle wurde bereits 1820 von Jopling erkannt, welcher dieselben auch in ähnlicher Weise neben einander stellte (vgl. Mechanics' Magazine, 1820 S. 216). Von allen drei Arten finden sich Beispiele und nicht etwa nur je einzelne, sondern jedes in einer ganzen Reihe von constructiven Durchführungen. Die Halbachsen der beschriebenen Ellipsen sind sofort immer zu erkennen. Für alle außerhalb des Rollkreises liegenden Punkte haben die Halbachsen der Ellipse eine constante Differenz, für alle innerhalb desselben liegenden Punkte eine constante Summe und zwar beide Mal gleich dem Durchmesser dieses Kreises. Daraus folgt aber weiter, daſs jeweilig congruente Ellipsen beschrieben werden von sämmtlichen Punkten eines zum Rollkreise concentrischen Kreises. Es zerfällt also die ganze Ebene in concentrische Kreise und die Punkte je eines solchen Kreises beschreiben congruente Ellipsen, welche alle einen gemeinsamen Mittelpunkt haben. Als Verallgemeinerung des zuerst angegebenen Satzes kann aber der folgende gelten: Bewegen sich zwei Punkte einer Ebene auf zwei congruenten Ellipsen mit gemeinsamem Mittelpunkte und ist die Entfernung jener Punkte gleich der Summe (bezieh. Differenz) der Halbachsen, multiplicirt mit dem Sinus des Winkels, den die groſsen Achsen mit einander bilden, so beschreibt irgend ein dritter Punkt der bewegten Ebene eine Ellipse. – Mit den festen congruente Ellipsen werden beschrieben von allen Punkten eines Kreises, dessen Durchmesser gleich der Summe der Halbachsen ist. Wird die eine Halbachse Null, so geht der betreffende Kreis über in den rollenden und die beiden Punkte bewegen sich auf Ellipsen mit der kleinen Halbachse Null und der groſsen gleich dem Durchmesser des rollenden Kreises. Werden die Halbachsen einander gleich, so schrumpft der Kreis in einen Punkt zusammen, den Mittelpunkt des rollenden Kreises, und die einzig übrig bleibende Ellipse ist ein Kreis mit dem Durchmesser gleich der Summe der Halbachsen. Bisher waren beide Bahnen für die bewegten Punkte Kreise bezieh. Ellipsen. Es gibt aber noch zwei Paare, welche ebenfalls charakteristische und – wenigstens verhältniſsmäſsig – einfache Curven sind: Rollt nämlich eine Epicycloide oder eine Hypocycloide auf einer Geraden, so beschreibt jedesmal der Mittelpunkt des Grundkreises eine Ellipse. Diese beiden Fälle sind in Fig. 10 und 11 Taf. 20 dargestellt. AB ist jedesmal die Gerade, auf welcher die Cycloide rollt. Bewegt sich nun die Epicycloide E in Fig. 10 so durch den Punkt P, daſs sie in demselben beständig von AB berührt wird, so beschreibt M, der Mittelpunkt des Grundkreises, die verzeichnete Ellipse mit den Halbachsen R1 + 2r1 und R1, wenn R1 lind r1 die Radien von Grundkreis und Rollkreis bezeichnen. In Fig. 11 ist H die Hypocycloide und M0 beschreibt die Ellipse, R und R – 2r sind die Halbachsen. Was nun die constructive Ausführung der Ellipsographen betrifft, so verweisen wir zunächst auf die oben citirte Abhandlung von Rittershaus; im Uebrigen werden wir einige dort nicht betrachtete Instrumente vorführen. Interessant ist die Angabe von Eichberg (1852), den Ellipsographen dazu dienstbar zu machen, beim Einwölben elliptischer Bögen, sowie beim Vorzeichnen derselben auf dem Reiſsboden die genaue Form der Ellipse, zugleich aber und namentlich auch die Richtung der Normalen, also die Richtung der Steinfuge zu geben. Das Instrument besteht, dem Zwecke entsprechend, aus Latten mit Drahtstiften. Die Nuth für den geführten Punkt a (Fig. 12 Taf. 20) ist an dem lothrechten Pfosten ab des Lehrgerüstes oder, wenn hier kein Platz ist, am wagerechten Balken eingeschnitten. Die Normale ist dadurch gegeben, daſs man eine Latte pc angebracht hat, welche stets durch den beschreibenden Punkte und den Pol p geht. Es ist nämlich die Latte de, welche den einen Punkt auf seinem Kreise führt, um ihre eigene Gröſse bis zum Pole verlängert (de = ep) und hier ist die die Normale vorstellende Latte angeschlossen. Das Ganze ist recht einfach und jedenfalls sehr zweckentsprechend und die sehr hübsche Idee, in der durch den Pol gehenden Stange zugleich die Normale anzubringen, dürfte auch für andere Ellipsographen die leichteste Lösung der Frage sein, wie die Ellipse mit der gewöhnlichen Ziehfeder, welche bekanntlich stets tangential geführt werden muſs, auszuziehen sei. Bemerkenswerth ist dann die Construction von HenryVgl. Annales des ponts et chaussées, 1872 S. 459., bei welcher, wie bei Eichberg durch eine besondere Stange in jedem Augenblicke die Normale bestimmt wird. Dies ist für den ganzen Apparat hier wesentlich; derselbe soll nämlich weit weniger zur Zeichnung, als vielmehr zur Ausmessung von Ellipsenbögen dienen (Appareil donnant le développement d'un arc quelconque d'ellipse). Es ist daher statt des Bleies oder der Feder ein Meſsrädchen angebracht; dasselbe muſs aber bei richtiger Messung stets tangential, d.h. mit seiner Ebene senkrecht zur Normalen geführt werden, und dazu eben dient jene Stange. Henry hat der Beschreibung seines Instrumentes vortreffliche Zeichnungen beigegeben. Die älteste Idee, Kegelschnittzeichner zu construiren, dürfte wohl die sein, die Erzeugende des Kegels selbst die Zeichnung vollführen zu lassen. In einer im J. 1821 erschienenen Schrift beschreibt der damalige Superintendant Märtens zu Halberstadt ein von ihm erfundenes Instrument, welches nach der eben angegebenen Idee ausgeführt, aber sehr schwerfällig ist. Märtens beschreibt zunächst sehr ergötzlich die Art, wie er durch die eigentümliche Gestalt des Schattens seiner Studirlampe auf die Idee gekommen, seinen sogen. Conisector zu construiren. Märtens will übrigens ganz richtig sein Instrument weit weniger als Zeicheninstrument betrachtet wissen, als vielmehr als ein Unterrichtsmodell, um dem Schüler die Entstehung und den Zusammenhang der Kegelschnitte anschaulich zu machen, und dazu ist dasselbe in der That ebenso geeignet, wie das ihm nachgebildete von Oldenburger, welches weiter unten beschrieben wird. Hier muſs zunächst noch eines Instrumentes gedacht werden, welches überall da recht brauchbar ist, wo es sich weniger darum handelt, eine genaue Ellipse, als vielmehr darum, eine Curve zu beschreiben, welche dem Auge als Ellipse erscheint, und dies dürfte in allen graphischen Künsten die Regel sein. Wir meinen den so genannten Ellipsograph von Davies. Derselbe ist einem gewöhnlichen Zirkel sehr ähnlich; nur trägt der eine feste Fuſs eine um eine wagerechte Achse drehbare Kreisscheibe, welche den zweiten Fuſs veranlaſst, an derselben zu tangiren, folglich an der Berührungsstelle eine Ellipse, mit dem Stifte oder der Feder aber eine der Ellipse parallele Curve zu beschreiben. Eine solche Curve erscheint aber dem Auge nicht wesentlich verschieden von einer Ellipse und kann dieselbe in den meisten Fällen ersetzen. Es erübrigt uns nun nur noch einige gröſsere ausgeführte Constructionen zu beschreiben, nämlich den Universal-Kegelschnittzeichner von Oldenburger, sowie die Ellipsographen von Toulmin und Browne. Mit Hilfe des von G. Oldenburger in Bochum angegebenen Apparates, Universal-Kegelschnittzeichner genannt, sollen alle vier Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel, gezeichnet werden können; derselbe soll vornehmlich als Anschauungsmittel beim Unterrichte dienen. Seine Einrichtung Fig. 18 Taf. 20 beruht darauf, daſs der Schreibstift auf dem Mantel eines Kegels geführt wird, während das Zeichenbrett in den verschiedenen Neigungen zur Kegelachse, durch welche die Natur des beschriebenen Kegelschnittes bedingt wird, festgestellt werden kann. In dem Brettchen a befinden sich zwei schwalbenschwanzförmig eingelassene Schieberlineale b, an welchen das Zeichenbrett c durch Gelenke befestigt ist. Mittels des Schieberlineals und der Gelenke kann dem Zeichenbrette c, das von m bis p geschlitzt ist, um bei seiner Drehung der Spindel s freien Durchgang zu gestatten, jede gewünschte Lage gegeben werden; in der Figur 18 befindet sich c in der Stellung für die Ellipse. Das Zeichenbrett c wird durch zwei geschlitzte Stützlatten l, welche mittels Schrauben z an c angedrückt werden, in der gewünschten Lage erhalten. Auf dem Brettchen a steht die Spindel s. welche die Kegelachse verkörpert und um die sich die Hülse h, gestützt durch den Klemmring k, drehen kann. Diese Hülse h bildet mit dem Gehänge g, der Stange t und dem Griffe d ein Stück. Das Gehänge g trägt an zwei Zapfen das Rohr r, welches in der gegebenen Stellung durch den Bügel i und die Klemmschraube y gehalten wird. In diesem Rohre kann sich die Schreibnadel n, die bei ihrer Drehung um die Achse s den ideellen Kegel beschreibt, in der Richtung der Rohrachse frei bewegen. Die Schreibnadel ist durch kleine Gewichte w beschwert, welche den Schreibstift x fest auf die mit Papier besteckte Zeichenebene drücken. Wenn dem Kegel eine andere Gestalt gegeben werden soll, so braucht man nur das Rohr r zu drehen oder den Klemmring k an einem höheren Punkte der Stange s festzuschrauben. Vor dem Gebrauche des Apparates wird zuerst die Zeichenebene gerichtet, dann die eine bezieh. die andere Seite des Zeichenbrettes c mit einem in der Mitte gelochten Papiere versehen, um so über den Stift s gesteckt werden zu können, schlieſslich der Klemmring k aufgeschoben und darauf die Hülse h mit dem eigentlichen Schreibapparate aufgesetzt. Soll der – an einem Unterrichtsapparate wohl unerhebliche – Uebelstand der Durchlochung des Papieres vermieden werden, so steht nichts entgegen, die Hülse h, statt auf einer centralen Spindel, auf einer weit gespreizten Gabel verschiebbar zu lagern, innerhalb welcher das Zeichenbrett hinreichend Platz findet und die Drehung der Schreibnadel ungestört vor sich gehen kann. Mit Hilfe des in Fig. 13 Taf. 20 veranschaulichten Toulmin'schen EllipsographenVgl. Scientific American, 1875 Bd. 33 S. 230. lassen sich Ellipsen (mit der Kreisform beginnend bis zur flachsten Ellipse) genau und schnell beschreiben. A sind parallele Stangen, welche einen Wagen B tragen; durch diesen geht die Hauptachse C des Instrumentes, mit welcher der Zeichenstiftträger D verbunden ist; der letztere trägt verschiebbar den Bleistift oder die Reiſsfeder. Der Drehungsarm E geht durch den Kopf der Hauptachse und kann durch eine Stellschraube in jeder beliebigen Lage gesichert werden. Auf den Drehungsarm E ist der Kreuzkopf F aufgesteckt; derselbe trägt die Bewegungsstangen G, welche um fest auf den Gestellen angebrachte Nadeln drehbar sind. An den Gestellen befinden sich Mittelpunktspitzen zum Aufstellen über jeder gewünschten Linie, in welcher die kleine Achse der zu zeichnenden Ellipse liegen soll. Wie das Instrument arbeitet, ist am besten aus der Abbildung zu ersehen. Der in Fig. 14 bis 17 Taf. 20 abgebildete Ellipsograph von A. W. Browne in Bloomfield, N. J.Vgl. Scientific American. 1873 Bd. 29 S. 22., beruht auf dem S. 268 entwickelten Prinzipe, nach welchem die Ellipse sich als verlängerte bezieh. verkürzte Hypocycloide eines Rollkreises vom halben Durchmesser des Grundkreises bildet. Hiernach ist die Einrichtung dieses Apparates sofort verständlich. Um das mit dem Stifte A festgehaltene Rad D werden die im Arme EH gelagerten Planetenräder G und J herumgeführt. J hat halb so viel Zähne als D, während die Zähnezahl von G, welches nur als Zwischenrad dient, beliebig ist. Es wird sich demnach die Achse B bei jedem Umlaufe um A 2mal in entgegengesetzter Richtung umdrehen, mithin dieselbe Bewegung ausführen wie der Mittelpunkt des in einem doppelt so groſsen Grundkreise rollenden Rollkreises. Der mit dieser Achse in Verbindung gebrachte Schreibstift C (oder Reiſsfeder Fig. 15) wird daher jedenfalls eine Ellipse beschreiben, deren Achsenverhältniſs jeden Werth von Null bis 1 annehmen, welche daher alle Formen zwischen Kreis und Gerade durchlaufen kann. Die Arme E und H sind durch ein Gelenk F verbunden und können unter beliebigem Winkel gegen einander festgestellt werden, womit sich dann der Abstand der Achse B vom Mittelpunkte A verändern läſst. Ebenso kann der Arm des Schreibstiftes C mit Hilfe der Einsatzstücke Fig. 14 verlängert und verkürzt werden. Wie aus der Theorie des Instrumentes sich sehr leicht ergibt, ist der Radius AB gleich der halben Summe, der Radius BC gleich der halben Differenz der Halbachsen der zu ziehenden Ellipse, wonach sich die Einstellung des Instrumentes leicht bewerkstelligen läſst. Mit diesem Instrumente ist man im Stande, Ellipsen von den verschiedensten Achsenverhältnissen zu beschreiben (natürlich innerhalb gewisser Grenzen, welche von dem Umfange bezieh. der Gröſse des Instrumentes abhängen) und ebenso können die Hauptachsen auf jedem beliebigen rechtwinkeligen Geradenpaare liegen. Um das Instrument der Gröſse des Achsenpaares anzupassen, werden die Längen der groſsen und der kleinen Achse addirt und die Summe durch 4 dividirt, wodurch man den Abstand erhält, in welchem die Mittelpunkte A und B aufzustellen sind; die Länge der kleinen Achse wird dann von der Länge der groſsen abgezogen und der erhaltene Rest ebenfalls durch 4 dividirt, wodurch sich der Abstand ergibt, in welchem die Bleistiftspitze von dem Centrum B sich zu befinden hat. Um eine bestimmte Ellipse, mit ihrer groſsen Achse auf einer gegebenen Geraden liegend, zu beschreiben, wird der sogen. Richt- oder Visirstab K (Fig. 16 und 17) auf die 3 Spitzen des Instrumentenfuſses in A gesetzt, so daſs die auf K und dem Fuſse angebrachten Sternchen übereinstimmen. Das Centrum B und die Schreibspitze C werden beide an die Kante des Richtstabes gebracht und die drei Punkte in A auf der gegebenen Geraden, zu welcher die Kante des Richtstabes senkrecht ist, angemerkt. Der Richtstab wird dann weggenommen und die Ellipse beschrieben. Zum Schlusse fügen wir noch einige Literaturnachweise über Kegelschnittzeichner an: Robicek's Kegelschnittzeichner, insbes. Parabolograph in D. p. J. 1830 38 * 81. Thallmayer's Ellipsograph u. dgl. 1878 227 * 337. * 430. * 592. 228 * 106. S. W. Balch's Eilipsograph im Scientific American, 1879 Bd. 41 * S. 324. L. Bigge's bez. L. Abbot's Eilipsograph in D. p. J. 1882 245 * 253 bez. 1885 255 * 20. L. Burchard's Ellipsenzirkel in Carl's Repertorium, 1877 Bd. 13 * S. 528. Drzewiecki's Kegelzirkel für die direkte Construction der Kegelschnittslinien mit der Reiſsfeder; von M. Kuhn in Carl's Repertorium, 1874 Bd. 10 * S. 420.