Kegelschnitt-Zirkel von Dr. Carl Hildebrandt in Braunschweig. Mit Abbildungen. Kegelschnitt-Zirkel. Patent No. 56560. Klasse 42: Instrumente. Wir haben in einer AbhandlungDingl. polytechn. Journal, 1885. Bd. 255. S. 188 ff. schon früher darauf hingewiesen, wie sich die Constructeure immer und immer wieder bemüht haben, sogenannte Ellipsenzirkel zu erfinden und dass sie sich durchaus nicht entmuthigen Hessen, wenn ihre Versuche nicht den gewünschten Erfolg hatten, sondern dass sie das Misslingen stets auf Rechnung der nicht gelungenen Lösung geschrieben haben. Wenn wir dann ferner die Angabe machten, dass sich die Constructionen oder Vorschläge für Ellipsographen schon sicher nach Hunderten beziffern, so bleiben nach Ausscheidung des unbrauchbaren Materials nur jene auf dem Problem der Cardanischen Kreise beruhenden übrig, und wenige andre, welche wirklich ihren Ausgang auf dem Kegel selbst nehmen. Wir haben von beiden Gattungen im oben genannten Aufsatze Charakteristiken gegeben und dort auch, unseres Wissens zum ersten Mal, die auf epicyclischer und hypocyclischer Rollung beruhenden Systeme in geometrisch-kinematischer Weise entwickelt und graphisch dargestellt. Die Form des Kegelschnittzeichners, bei welchem die Mantellinie – ersetzt durch einen Stift – die Figur selbst zeichnet, haben wir in Fig. 18 Taf. 20Universalkegelschnittzeichner von G. Oldenburger in Bochum. des citirten Bandes dargestellt. Eine solche Form ist die allein richtige, um gute Demonstrationsversuche anstellen zu können. – Wenn wir früher (s. Citat 1) bemerkten: die älteste Idee, Kegelschnittzeichner zu construiren, dürfte in dem 1821 bekannt gemachten Instrument von Märtens zu suchen sein, so sind wir unterdessen eines andern belehrt worden: A. v. Braitnmühl hat nachgewiesen,Hist. lit. Abthlg. der Zeitschr. f. Math. u. Phys. XXV. 5. „dass die Idee, u. z. gerade jene, ein Instrument zu construiren, das den Kegelschnitt aus dem Kegel selbst erzeugt, nicht etwa erst unsrer Zeit angehört, sondern bereits über 300 Jahre alt ist“.s. Kästner, Geschichte der Mathematik, Bd. II. S. 98. Der Beleg hierfür findet sich in dem eben angeführten Handbuch, wonach ein Patrizier aus Venedig, Franciscus Barocius, in einem im Jahre 1586 in seiner Vaterstadt erschienenen Buche über Asymptoten ein solches Instrument angibt, v. Braunmühl fand dieses Buch auf der Münchener Staatsbibliothek und bemerkt, „dass in demselben S. 30 und 31 zwei verschiedene Instrumente abgebildet sind, denen allerdings eine sehr lückenhafte Beschreibung beigegeben ist; aber Abbildung und Beschreibung vereint, lassen doch den Gebrauch der Instrumente erkennen“. Das eine dieser Instrumente ist von Barocius erfunden, das zweite von Tiene, und dem Barocius von Jacobus Contarenus mitgetheilt. Barocius nennt den letzteren den Archimedes seines Jahrhunderts. Beide Instrumente beruhen auf dem Gedanken, dem kegelbeschreibenden Stifte diejenige Ebene entgegenzuhalten, auf welcher der Stift den gewünschten Kegelschnitt gesetzmässig erzeugen muss. – Nebenbei sei hier bemerkt, dass v. B. in der citirten Notiz auch des Jesuitenpaters Christoph Scheiner (1573–1650), des Erfinders des Pantographen (man vergl. unsre Abhandlung über den Pantographen in Carl's Repertorium, 1866 und die da erwähnte Schrift Scheiner's: „Pantographicae seu ars delineandi“), gedenkt und uns mittheilt, dass dieser bekannte Mathematiker und Astronom ein ähnliches Instrument durch einen seiner Schüler Namens Joh. Georg Schönberger in dessen Dissertation „Exegeses fundatorum gnomonicorium“, Ingolstadii 1614, zeichnen und beschreiben Hess. – Es versteht sich wohl von selbst, dass dem Constructeur der Sonnenuhren auch die Erzeugung der Kegelschnitte aus dem Kegel selbst ein naheliegender Gedanke sein musste. Wenn wir, scheinbar etwas zu weitschweifend, erst jetzt in den engeren Rahmen unserer heutigen Mittheilungen eintreten, so entschuldigt uns gewiss der Umstand, dass der neue Hildebrandt'sche Kegelschnittzeichner in erster Linie auf dem Principe „der Erzeugung aus dem Kegel selbst“ beruht, und dass es uns nahe liegen musste, damit im engsten Zusammenhange stehende Ergänzungen des historischen und constructiven Theiles unsrer früheren Arbeit über Kegelschnittzeichner um so weniger aus dem Auge zu lassen, als auf diese Weise in einer Zeitschrift immer das gesammte Material über einen Gegenstand, nachgeschlagen werden kann. – Die Einrichtung des Hildebrandt'schen Kegelschnittzirkels beruht auf folgenden bekannten Sätzen: 1) Jeder Umdrehungskegel wird von einer Ebene je nach ihrer Lage in einem Kreise, einer Ellipse; Parabel oder Hyperbel geschnitten. 2) Beschreibt man in den Kegel diejenigen beiden Kugeln, welche Kegel und Schnittebene zugleich berühren, so sind ihre Berührungspunkte mit der Ebene identisch mit den Brennpunkten des betreffenden Kegelschnittes. (Quetelet-Dandelin'scher Satz.) Durch die Anwendung dieses zweiten Lehrsatzes bringt der Erfinder ein bisher noch nicht für Zwecke von Kegelschnittzirkel-Constructionen beachtetes Gesetz in die räumliche Erscheinung, und es sind aus unsrer einfachen Fig. 1 nicht nur der Kegel, die schneidende Ebene und die beiden berührenden Kugeln, sammt deren Berührungspunkten (Brennpunkten des Kegelschnitts), sondern auch die den Zirkel gestaltenden Theile (durch stärkeres Ausziehen der betreffenden Linien) sofort ersichtlich. Diese schematische Darstellung macht aber die elementare Constructionsfigur 2 sofort verständlich: Der Fuss a des Instruments trägt an seinem unteren Ende eine Schraube F (bei sehr kleinen Kegelschnittzirkeln und diese – so hoffen wir – werden sich nach Dr. Hildebrandt's Angaben anfertigen lassen, statt der Schraube nur einen feinen Stift), welche den Focus I repräsentirt; das obere Ende von a steht vermittelst eines gewöhnlichen Zirkelscharniers mit einem Bolzen c in Verbindung. Zieht man von M, dem Mittelpunkte des Scharniers, eine Gerade nach F, so stellt diese den zur Zeichnungsebene senkrechten Kugelradius vor. Läuft nun die Achse des Bolzens c durch den Mittelpunkt M zur Kegelspitze und läuft von da aus die Erzeugende des Kegels an der Kugel tangirend fort, und dabei auf der Zeichnungsebene ihre Spur hinterlassend, so ist der Kegelschnitt dargestellt. – Der Erfinder hat diese Operationen in sinnreicher und praktischer Weise zur Ausführung gebracht: Ueber den im Scharnier befestigten cylindrischen Bolzen ist eine Hülse geschoben. die bei e (Detailfigur 3) einen Schlitz hat. Man denke sich nun den kreisringförmigen Bügel f von rectangulärem Querschnitt durch diesen Schlitz in den Bügel c geschoben und lasse denselben darin gleiten, so wird jeder Punkt des Bügels einen Kreis, und – bei Drehung der Hülse d um die Achse von c – einen zu dem vorigen mit seiner Ebene senkrecht stehenden Kreis beschreiben; dasselbe geschieht auch mit jedem Punkte, welcher, ausserhalb des Bügels liegend, mit diesem fest verbunden ist. Wird somit der nach M radial gerichtete Steg h als ein Stück mit dem Bügel f construirt, so gilt das eben Gesagte für alle Punkte dieses Steges; trägt endlich der Steg eine zu ihm senkrechte Hülse i, so repräsentirt deren Achse die mathematische Erzeugende des Kegels, welche die beschriebene Bewegung mitmachen muss. Die Hülse i enthält den in ihr leicht auf und ab beweglichen Zeichenstift k, der mit Blei- oder Glasspitze versehen sein kann und unter dem Druck seines Eigengewichtes auf der Zeichenfläche gleitet. Den Gebrauch der fein ausgezogenen Glasröhrchen zu Schreib- oder Zeichenfedern (besonders gut zum Zeichnen von „Horizontalcurven“) haben wir ebenfalls in unserer anfangs citirten Abhandlung hervorgehoben. Textabbildung Bd. 282, S. 242Fig. 1.Textabbildung Bd. 282, S. 242Fig. 2.Textabbildung Bd. 282, S. 242Fig. 3. Die Feststellung des Bügels f im Schlitz e will der Erfinder durch eine oben angebrachte Schraube g erreichen. Wir würden die seitliche Anbringung in g1 (Fig. 3) vorziehen, da man Druckschrauben wohl immer auf die Breitseiten der Flächen wirken lässt. – Um eine Verschiebung der Hülse d (Hohlcylinder) längs des Bolzens c zu verhindern, ist in den letzteren eine Hohlkehle eingedreht (Fig. 3), in welche von aussen ein federnder Stift m eingreift. Setzt man nun den Fuss vermittelst der Schraube oder Spitze F in den einen Brennpunkt der zu zeichnenden Curve ein, hält ihn in dieser Stellung fest und führt die ein Ganzes bildenden, fest verbundenen Glieder i, h, f, d um den Bolzen c als Drehachse herum, so beschreibt der Zeichenstift den Mantel eines Umdrehungskegels, dessen Achse zusammenfällt mit der Achse des Bolzens und dessen Spitze C (Fig. 2) durch den Durchschnittspunkt derselben mit dem Zeichenstift gebildet wird. Das untere Ende B des letzteren beschreibt folglich bei voller Umdrehung auf der ebenen Zeichenfläche einen Kegelschnitt, dessen einer Brennpunkt, da MF = MD ist, durch den Punkt F dargestellt wird, und dessen grosse Achse = AB ist. (Damit der Fuss sich nicht um seine eigene Achse drehe, kann an seinem unteren Ende der Zeiger n angebracht werden – mit Bügel f in derselben Ebene liegend – der vermittelst der Spitze o genau auf die Linie AB eingestellt werden kann.) – Da nicht allein die Richtung des Bolzens c, sondern auch die des Zeichenstiftes K (vermittelst, des verschiebbaren Bügels) beliebig festgestellt werden kann, so beschreibt der Stift K die Oberflächen aller möglichen Rotationskegel, welche von der durch Mittelpunkt M und Radius MF = MD dargestellten Kugel berührt werden. In Folge dessen ist man im Stande, Kegelschnitte von jeder beliebigen Excentricität und Form zu zeichnen. Zugleich folgt aber hieraus, dass der Zirkel gestattet, nicht nur Ellipsen, sondern auch Parabeln und Hyperbeln zu zeichnen. Ausser Fig. 2 veranschaulichen Fig. 4 bis 8 einige von den unendlich vielen möglichen Fällen. Textabbildung Bd. 282, S. 243 Fig. 4. Textabbildung Bd. 282, S. 243 Fig. 6. Fig. 4: Parabel (CA parallel zur Zeichenfläche). Fig. 5: Hyperbel, deren zweiter Ast vom zweiten Ende des Zeichenstiftes beschrieben wird. Fig. 6: Ellipse als Schnittfigur einer Cylinderfläche (K parallel c eingestellt) und einer Ebene. Textabbildung Bd. 282, S. 243 Fig. 5. Fig. 7: Ellipse mit beliebig kleinen Achsen (hierbei bilden Bolzenachse und Steg einen stumpfen Winkel, also liegt die Spitze des Kegels unterhalb der Zeichenebene). Dieser Fall ist besonders hervorzuheben, da von den vorhandenen Kegelschnittzirkeln es noch keiner ermöglicht, jede Art von Kegelschnitten und zugleich beliebig kleine Ellipsen zu zeichnen. Fig. 8: Kreis. Soll im technischen Zeichnen zugegebenen Achsen, beziehungsweise Brennpunkten und Achsen der betreffende Kegelschnitt, z.B. eine Ellipse gezeichnet werden – ein Fall, der in der Praxis am häufigsten vorkommen dürfte –, so ist klar, dass es nach Einsetzung des Fusses a in den einen Brennpunkt und Einstellung des Zeichenstiftes K auf den einen Endpunkt B der grossen Achse nur noch einer Drehung des Bolzens c bedarf, um zu bewirken, dass nach einer halben Umdrehung der Zeichenstift durch den andern Endpunkt A gehe. Ferner ist ersichtlich, dass sich die Entstehung der Kegelschnitte sowie der Uebergang von einer Curvenart zur andern klar veranschaulichen lässt, und dass es eben so leicht ist, ganze Schaaren von Kegelschnitten zu zeichnen. Sollen z.B. die zu zwei gegebenen Brennpunkten zugehörigen Schaaren confocaler KegelschnitteWir gestatten uns auf die Tafeln „Confocale u. focale Kegelschnitte“ Heft II. Taf. 4 u. 5 in unserem Farbendruck-Vorlagenwerk: Ernst Fischer, Vorlegeblätter zum Linearzeichen, Th. Ackermann, München 1873–76. 36 Tafeln mit Text, hinzuweisen. gezeichnet werden, so braucht man nur dafür zu sorgen, dass bei feststehendem Fuss die leicht zu bestimmende Spitze C sich jedesmal auf der Linie CF1 befinde. In Folge dessen ist der Zirkel auch mit Vortheil anwendbar als Veranschaulichungsmittel („Wandtafelzirkel“ mit Schraube F) im darstellend geometrischen und stereometrischen Unterricht. – Um im technischen Zeichnen die Curven direct mit Tusche zu zeichnen, ersetzt man die Reissbleifedern durch kleine, mit Rillen versehene Glasspitzen. – Gegenüber dem in der Patentschrift Nr. 40355 beschriebenen Kegelschnittzirkel gewährt der vorliegende Zirkel den Vortheil, dass der Fusspunkt F des Fusses a für jede gezeichnete Curve auch wirklich den einen Brennpunkt derselben darstellt, während dies für den eben erwähnten Zirkel durchaus nicht der Fall ist. Die Resultate des letzteren sind nur insofern richtig, als die erhaltenen Curven thatsächlich Kegelschnitte sind; die Lage der Brennpunkte ist jedoch bei den erhaltenen Linien eine durchaus andere, als bei Einstellung des Zirkels angenommen wurde. In Folge dessen gestattet dieser auch nicht, zu gegebenen Achsen einen Kegelschnitt zu zeichnen. Ferner ist für jeden einzelnen Fall die Höhe des Fusses besonders zu bestimmen, während sie bei vorliegendem Instrument einfür allemal für jede Curve dieselbe ist. Endlich erlaubt jener Zirkel nicht – wie schon erwähnt –, Ellipsen zu zeichnen mit beliebig kleinen Achsen (Fig. 7). – Textabbildung Bd. 282, S. 243Fig. 7.Textabbildung Bd. 282, S. 243Fig. 8. Die Hülse i, in welcher der Schreibstift k gleitet, ist mit dem Stege h rechtwinklig so verbunden, dass Schreibstift und Bolzen c in einer Ebene liegen, dass also beide bei gehöriger Verlängerung sich stets schneiden (Spitze des Kegels). Diese Verbindung zwischen Steg und Hülse lässt sich aber leicht so abändern, dass letztere um den Steg als Achse drehbar ist und in jeder beliebigen Stellung mit demselben befestigt werden kann. Alsdann liegen beide nicht mehr in einer Ebene, sondern windschief im Raum. Dann kann aber auch der Schreibstift beim Herumführen um den Bolzen c nicht mehr die Erzeugende eines Kegels sein, sondern er beschreibt bei seiner Umdrehung den Mantel eines windschiefen (oder einschaligen Rotationshyperboloides (Fig. 9), von welchem der Rotationskegel nur ein specieller Fall ist. – Nun sind bekanntlich die Schnittfiguren eines windschiefen Rotationshyperboloides mit einer Ebene genau dieselben, wie zwischen Rotationskegel und Ebene. Ferner gilt für diese Fläche auch der Dandelin'sche Satz von den beiden Berührungskugeln in genau derselben Weise wie beim Kegel. Textabbildung Bd. 282, S. 244 Fig. 9–10. Wird also jene geringfügige Aenderung an dem Apparate angebracht, so ist derselbe sofort geeignet, auch diese geometrischen Thatsachen zu veranschaulichen. Die Construction bleibt im Uebrigen vollständig dieselbe. – Die Fig. 10 bis 12 veranschaulichen', wie durch verschiedene Lagen der schneidenden Ebene zum Hyperboloide die verschiedenen Arten der Kegelschnitte zu gewinnen sind. (Um eine Parabel zu erhalten, braucht man nur, genau wie beim Kegel, den Apparat so einzustellen, dass der Schreibstift nach halber Umdrehung parallel zur Zeichenebene zu liegen kommt.) Es ist klar, dass durch verschiedene Einstellung von Bolzen c, Bügel f und Hülse i zu einander die verschiedenartigsten Hyperboloide vom Schreibstift beschrieben werden können, vom Grenzfalle des Kegels bis zu dem der Ebene. – Textabbildung Bd. 282, S. 244 Fig. 11. Wenn auch die Verwendbarkeit des Zirkels im technischen Zeichnen hierdurch nicht gerade erhöht wird, so dürfte es doch für den geometrischen Unterricht von grossem Werth sein, einen Apparat zur Hand zu haben, der folgende Thatsachen veranschaulicht: 1) Dreht sich eine gerade Linie um eine festliegende, nicht mit ihr in einer Ebene befindliche Gerade, so beschreibt sie den Mantel eines windschiefen Rotationshyperboloides. 2) Die Schnittfigur dieses Hyperboloides mit einer Ebene ist ein Kreis, eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel, je nach der Lage der schneidenden Ebene. 3) Der Satz von den beiden Berührungskugeln gilt auch vom Rotationshyperboloid. Textabbildung Bd. 282, S. 244Fig. 12. 4) Der Rotationskegel ist. ein Specialfall des Rotationshyperboloides; er tritt auf, wenn die erzeugende Gerade mit der festliegenden Achse in eine Ebene gebracht wird. 5) Auch die Ebene ist ein Specialfall des Rotationshyperboloides; dieser Fall tritt auf, wenn die beiden Geraden unter 90° windschief zu einander liegen; der Zeichenstift beschreibt dabei eine gerade Linie. (Man beachte gerade in diesem Falle, dass der Stift sich seiner Länge nach bewegen kann.) Da beim Grant'schen ZirkelG. B. Grant aus Boston nennt denselben „Conischer Zirkel“, übrigens vergl.: Dingl. polytechn. Journ., 1886 262 * 518. Die beigegebene Fig. 15 Taf. 32 ist nur skizzenhaft, besonders die Zeichnung der Curven entspricht uns nicht. Bolzen c und Hülse i beständig in wirklicher Verbindung mit einander stehen, so ist es nicht möglich, ihn so umzugestalten, dass er zur Veranschaulichung obiger Thatsachen geeignet würde. Auch hieraus dürfte hervorgehen, dass das zu Grunde liegende Princip bei Hildebrandt's Zirkel in völlig andrer Weise aufgefasst und ausgenutzt worden ist, und dass daher auch dessen praktische Ausführung sich von der des Grant'schen wesentlich unterscheidet. Eine Hereinziehung des Grant'schen Zirkels in die Betrachtung war nothwendig wegen der bei flüchtigem Anschauen auftretenden Aehnlichkeit desselben mit dem Hildebrandt'schen. Bei genauerer Betrachtung sieht man aber sofort ein, dass hier das Princip nur ganz im Allgemeinen zutrifft, wie dies ja auch bei OldenburgerVergl. unsere Abhandlung, Dingl.: 1885 255 *, welche die exakte Zeichnung Fig. 18 Taf. 20 des Oldenburger'schen Universalkegelschnittzeichners gibt. der Fall ist. Die Constructiones sind aber vollständig verschieden und es muss die des neuen Zirkels besonders noch deswegen hervorgehoben werden, weil dieselbe auch gestattet, verschiedene geometrische Aufgaben, zu deren Lösung nicht allein gerade Linien und Kreise, sondern Kegelschnitte erforderlich sind, leicht und elegant auszuführen. Wenn uns nun Herr Hildebrandt darauf aufmerksam macht, dass z.B. die verschiedenen Fälle des Apollonischen Problems (Apollonius von PergäWir haben dieses Problem in unserem Werke „Linear zeichnen“, Th. Ackermann, München, 1873–76 sowohl in der Methode des Apollonius (jede Aufgabe durch Anwendung der vorhergehenden zu lösen), als auch in synthetischer Weise (Potenzcentrum, Potenzlinie und Aehnlichkeitsachsen) durchgeführt: Heft I, Taf. 1–6; Heft III, Taf. 1 u. 2.) mittels seines Zirkels sehr bequem zu lösen sein werden, so denkt sich derselbe z.B. Ellipsen statt der Kreise und damit das Problem so erweitert, dass drei Kegel mit gemeinsamer Spitze schief geschnitten werden u.s.w. Ein Gleiches gilt dann übrigens auch von dem Problem des MalfattiIbid. Heft II, Taf. 1.. Hierdurch würde aber eine auf den ersten Blick frappante Aehnlichkeit des neuen Conographen mit dem Kegelzirkel von DrzewieckiVergl. D. Th. Carl's Repertorium etc., München Oldenbourg. 1874 10 * 420. nicht zum Nachtheile des ersteren ausfallen; um so mehr wird dann auch zu beachten sein, wenn der Erfinder unter Anwendung seines Zirkels eine grosse Anzahl von Constructions-Aufgaben der elementaren Geometrie zu lösen verspricht, wie Dreieckconstructionen, z.B. aus Grundlinie, Summa der anderen Seiten und Höhe u.s.w. Wenn der Erfinder gezögert hat, eine Reissfeder statt des direct die Curve beschreibenden Stiftes anzubringen, weil dies bereits bei Drzewiecki u.a. geschehen, so müssen wir dies als einen zu hohen Grad von Bescheidenheit ansehen. Die Reissfeder besorgt nur die Projection der im Geiste schon vollendet dastehenden Curve auf die Papierfläche. Herr Hildebrandt hat uns wohl schon Constructionszeichnungen seines Zirkels, mit Reissfeder, vorgelegt, allein wir verschieben die Veröffentlichung derselben noch einstweilen, bis wir ein fertiges Exemplar des Zirkels besitzen. Die Ausführung der Hildebrandt'schen Zirkel hat Herr O. Günther, Werkstatt für Präcisions-Mechanik in Braunschweig, übernommen, und zwar sollen kleinste Exemplare (Fusshöhe 2½ cm); die sich speciell für die Hand des Studierenden eignen werden und grosse Wandtafelzirkel ausgeführt werden. Die kleinsten Exemplare erhalten die Schraube zur Befestigung nach unserem Vorschlag. Die grossen Zirkel, deren einen Dr. Hildebrandt auf der Versammlung deutscher Mathematiker und Naturforscher in Braunschweig vorführte (Fusshöhe MD = 20 cm), sind im Fusse mit einem pneumatischen Luftdruckhalter versehen, derselbe ist sehr zweckmässig: Eine Gummiplatte wird durch Dreh Vorrichtung in die Höhe geschoben, so dass ein luftleerer Raum entsteht und der Apparat sich auf diese Weise festsaugt. Wenn wir noch erwähnen, dass man mit dem neuen Kegelzirkel sehr langgestreckte Curven zeichnen kann, bei denen also die Brennpunkte sehr nahe an die Enden der grossen Achse zu liegen kommen – denn die Spitze des Zeichenstiftes, bezieh. die Reissfeder, kann bei Hitdebrandt's Construction sehr nahe an den Brennpunkt F heranrücken–, so dürfte dies ein nicht zu unterschätzender Vortheil sein. Wird noch ein Zeiger mit federnder Nadel, wie bei Drzewiecki, angebracht, welcher in jedem beliebigen Punkte der Curve die Normale scharf bestimmen lässt, so wäre das Vollkommenste erreicht. Besonders wichtig erscheint uns aber der Hildebrandt'sche Zirkel noch dadurch zu werden, dass derselbe auch zum Zeichnen von Durchdringungscurven eines Kegels mit krummen Oberflächen, also im Unterrichte in der darstellenden Geometrie an Mittelschulen, benützt werden kann: Man braucht den Apparat, der dann selbstverständlich mit dem oben erwähnten Luftdruckhalter versehen sein muss, nur auf die betreffende Oberfläche festgesaugt zu stellen und der Stift wird die gewünschte Curve auf dem Cylinder (hohl oder voll), auf der Kugel, dem Ellipsoide u.s.w. vorreissen. Die genannten Oberflächen müssen natürlich ebenfalls die dem Unterrichtszwecke entsprechenden, der Zirkelgrösse angepassten Dimensionen haben. München, im October 1891. Ernst Fischer.