Wirkungsweise und Berechnung der Turbinen. Mit Abbildungen. Wirkungsweise und Berechnung der Turbinen. Die Thatsache, dass keine der bisher veröffentlichten Turbinentheorien die anderen zu verdrängen vermocht hat, ermuthigt mich zu dem Versuche, die Wirkungsweise und die Berechnung der Turbinen einzig und allein aus den Grundgesetzen der Mechanik herzuleiten. Die Entwickelungen, welche sich auf diesem sicheren Grunde aufbauen, gestalten sich äusserst einfach und leicht verständlich; ausserdem führen sie zu Ergebnissen, die von den herrschenden Anschauungen stark abweichen, ihnen fast in allen Punkten widersprechen. Allgemeines über Turbinen. § 1. Die Aufgabe, welche eine Turbinentheorie zu lösen hat. Eine Wassermenge m hat nach Durchfallen der Höhe H die Geschwindigkeit c erlangt und so das Arbeitsvermögen \frac{m\,c^2}{2} in sich aufgespeichert. Dieses Arbeitsvermögen soll mit möglichst geringem Verlust an die Turbinenschaufel und durch diese an die Turbine übergeführt werden. § 2. Die möglichen Arten der Turbinen. Textabbildung Bd. 298, S. 180 Fig. 1. Das Arbeitsvermögen des Wassers können wir an die Turbine nur durch Grössenänderung der Geschwindigkeit c überführen. Die Geschwindigkeit c hat Grösse und Richtung. Man kann daher 1) Turbinen bauen, in denen eine unmittelbare Grössenänderung der Geschwindigkeit stattfindet, und 2) Turbinen, in denen eine Richtungsänderung der Geschwindigkeit stattfindet, welche allerdings auch zur Grössenänderung von c führen muss. Die erstere Art bezeichnet man als „Stossturbinen“. Sie geben bekanntlich im Maximum einen ideellen hydraulischen Wirkungsgrad von nur 50 Proc. Die zweite Art bezeichnet man schlichtweg als „Turbinen“. Sie erzielen die Richtungsänderung der Geschwindigkeit durch gekrümmte Schaufeln und gestatten hohe hydraulische Wirkungsgrade. Nur sie sollen behandelt werden. § 3. Die Wirkungsweise der Turbinen mit Richtungsänderung der Geschwindigkeit. Die Vorstellung von der Wirkungsweise der Turbinen ist für alle Berechnungen von grundlegender Bedeutung und muss daher eingehend erörtert werden. Ein Mensch folge im Laufe mit einer in der rechten Hand an einem Stiele gehaltenen Platte der Bahn einer Kugel. (Die Erdbeschleunigung denke man sich aufgehoben.) Die nöthige Geschicklichkeit vorausgesetzt, kann der Mensch durch fortgesetzte Drehung der Platte die Kugel in einer beliebigen Bahn führen. Bei diesem Vorgange übt die Kugel in jedem Augenblicke auf die Platte einen gewissen Druck aus, welchen diese ihrerseits auf den Menschen überträgt. Die Kugel gibt so einen bestimmten Theil ihres Arbeitsvermögens an den Menschen ab. In der Fig. 1 ist über der Bahnlinie der Kugel das entsprechende Arbeitsdiagramm angedeutet. Die Platte hatte bei dem durch das Diagramm dargestellten Arbeitsvorgange zwei Bedingungen zu erfüllen: 1) musste sie in einer bestimmten Bahnlinie geführt werden; 2) musste sie fähig sein, Arbeit aufzunehmen. In einer Turbine muss nun für jedes Wassermolekül je eine besondere arbeitaufnehmende Platte vorhanden sein. Denken wir uns (Fig. 2), dass zwischen dem durch das Laufrad fliessenden Wassermoleküle m und der Schaufel eine Platte gleite, so hat diese erstens eine Geschwindigkeit w der Schaufel entlang und zweitens noch die Geschwindigkeit v der Schaufel. In Wirklichkeit hat also die Platte die Geschwindigkeit c, d.h. sie fliesst den absoluten Wasserweg entlang. Textabbildung Bd. 298, S. 181 Fig. 2. Dieses gedachte Plättchen erfüllt auch die beiden Bedingungen: 1) in einer bestimmten Bahnlinie geführt zu werden; 2) fähig zu sein, Arbeit aufzunehmen. Arbeitsfähig ist das Plättchen, weil es sich gegen eine bewegliche oder, schärfer ausgedrückt, von ihm selbst bewegte Schaufel stützt. Diese arbeitaufnehmenden Platten sind nun in der Turbine nicht nur in der Vorstellung, sondern auch in der Wirklichkeit vorhanden: nur eine Wasserschicht berührt die Schaufel, alle anderen, zu dieser parallelen, übertragen ihre Arbeit auf die mit ihnen in gleicher Richtung, in Richtung des absoluten Wasserweges fliessenden vorhergehenden, arbeit aufnehmenden Schichten. Textabbildung Bd. 298, S. 181 Fig. 3. Für eine einzelne Wasserkugel kann man über dem absoluten Wasserwege nach Fig. 1 das Arbeitsdiagramm construiren. In Wirklichkeit haben wir in der Turbine continuirliche Wasserfäden (die wir zu einem mittleren vereinigt annehmen). Daher wird auf dem ganzen absoluten Wasserwege gleichzeitig Arbeit geleistet, d.h. in jedem Augenblicke die Arbeit A (Fig. 1). Für die Schaufel, welche die Summe aller arbeitaufnehmenden Platten repräsentirt, kann man aber auch ein Arbeitsdiagramm construiren (Fig. 3). Dieses ist im Beharrungszustande der Turbine ein Rechteck. Seine Höhe hängt selbstverständlich von dem Inhalte des Arbeitsdiagrammes A (Fig. 1) ab. Dieses ist für den hydraulischen Wirkungsgrad der Turbine maassgebend. In dem Laufrade können zwei Richtungen streng unterschieden werden: 1) Die arbeitsfähige Richtung, d. i. die Richtung, in welcher die Schaufel sich bewegt; 2) die arbeitsunfähige Richtung, d. i. die Richtung senkrecht zur Bewegungsrichtung der Schaufel. Berechnung der Turbinen. I. Abschnitt. Die Arbeitsleistung des Wassers in Folge des Arbeitsvermögens\frac{m\,{c_e}^2}{2}. § 4. Grundgesetz der Turbinen. Die vom Wasser abgegebene Arbeit ist gleich der vom Laufrade aufgenommenen. § 5. Arbeitsabgabe des Wassers. Der Abhandlung sind für den ersten Abschnitt folgende Annahmen zu Grunde gelegt: Das Wasser werde als reibungslose Flüssigkeit angesehen. Der Einfluss der Höhe des Laufrades werde vernachlässigt. Die Schaufel gehöre einer axialen Freistrahlturbine an. 1) Die Art und Weise der Arbeitsabgabe des Wassers. Der durch die Schwerkraft beschleunigten Wassermenge muss das Arbeitsvermögen durch Verzögerung wieder entzogen werden. Eine Verzögerung des Wassers ist aber nur in der arbeitsfähigen Richtung der Schaufel möglich, d.h. in Fig. 4 kann nur die arbeitsfähige Componente ce cos αe verkleinert werden. Textabbildung Bd. 298, S. 181 Fig. 4. Wir stellen vorläufig die Forderung auf, dass die arbeitsunfähige Componente cesin αe unverändert bleibt. Dies ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass alle Arbeit, welche durch Richtungsänderung der Geschwindigkeit frei wird, auch thatsächlich in statu nascendi an die Schaufel abgegeben wird. Die Fig. 4 stellt diesen Vorgang dar. (Siehe später: Der Grad der Arbeitsfähigkeit der Bahn.) 2) Die Grösse der Arbeitsabgabe des Wassers. Bezeichnen ce und ca die Geschwindigkeiten, mit welchen das Wasser in das Laufrad eintritt bezieh. austritt, so ist die von ihm geleistete Arbeit: A_w=\frac{m}{2}\,({c_e}^2-{c_a}^2). § 6. Arbeitsaufnahme des Rades. 1) Bedingung der Arbeitsaufnahme. Unsere Rechnungen beziehen sich auf den Beharrungszustand, in welchem eine ganz bestimmte Wassermenge m in der Secunde durch das Laufrad fliesst und in jeder Zelle eine bestimmte Kraft k durch die Verzögerung p der arbeitsfähigen Componente erzeugt gemäss der Gleichung: k = m . p. Dieser Kraft k muss die Belastung der Turbine entsprechen. Da k und m constant sind, ist die Verzögerung p eine gleichförmige. 2) Grösse der Arbeitsaufnahme. Die Schaufel habe die Geschwindigkeit v und lege in der Zeit t den Weg a zurück (Fig. 3) unter der Kraft k. Dann ist die vom Rade aufgenommene Arbeit A R = k . a. Nun ist aber a = v . t, k = m . p, mithin folgt AR= m . p . a = m . p . v . t. Den Weg jedes Moleküles der Wassermenge m gibt Fig. 4 wieder. Unter der gestellten Forderung, dass die Componente cecos αe die ganze Arbeit, welche ihrer Verkleinerung auf cacos αa entspricht, völlig an die Schaufel abgegeben hat (d. i. cesinαe constant), gilt die Formel: p=\frac{c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a}{t} und somit: A_R=\frac{m\,(c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a)\,.\,v\,.\,t}{t} A_R=m\,.\,v\,(c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a). Die Kraft k hätte man auch aus dem Arbeitsdiagramm über dem absoluten Wasserwege finden können. Doch ist dieser Weg hier nicht angezeigt. Die vom Wasser abgegebene Arbeit ist gleich der vom Rade aufgenommenen, mithin ist: \frac{m}{2}\,({c_e}^2-{c_a}^2)=m\,.\,v\,(c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a) oder \frac{1}{2}\,({c_e}^2-{c_a}^2)=v\,(c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a) Ferner gilt noch die Gleichung: cesin αe = ca sin αa, wie oben erwähnt wurde. Zu dieser letzten Gleichung sei noch erwähnt, dass sie die Annahme repräsentirt: Die Turbine ist entsprechend den Gleichungen: k = m . p p=\frac{c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a}{t} belastet. § 7. Wechselwirkung zwischen Rad und Wasser. Arbeitsabgabe und Arbeitsaufnahme stehen in der engsten Wechselwirkung. Das Wasser schreibt daher dem Rade und das Rad dem Wasser bestimmte Bedingungen vor. 1) Die Bedingung, welche das Wasser vorschreibt. Das Wasser gibt sein Arbeitsvermögen durch Arbeitsleistung ab. Letztere wird möglich durch Richtungsänderung der Geschwindigkeit. Stosswirkungen sind hierbei zu vermeiden. Daher sind im absoluten Wasserwege alle plötzlichen Richtungsänderungen zu vermeiden. Genügt der absolute Wasserweg dem stosslosen Wasserflusse, so genügt dieser Bedingung auch die aus demselben richtig, nach dem Gesetze der Relativbewegung construirte Schaufel. (Die Formel für den „stosslosen Eintritt“ des Wassers ist für die Arbeitsberechnung völlig werth- und zwecklos.) 2) Bedingungen, welche das Laufrad vorschreibt. Textabbildung Bd. 298, S. 182 Fig. 5. In einer Turbine ist das Arbeitsdiagramm über dem von der Schaufel zurückgelegten Weg stets ein Rechteck, weil wir den Beharrungszustand voraussetzen; das Diagramm über dem absoluten Wasserwege kann dabei noch jede beliebige Form haben. Für dieselben αe und αa werden die verschiedenen Krümmungsgesetze des absoluten Wasserweges eine verschiedene Höhenlage der Zellenkraft k zur Folge haben (Fig. 5). Für einen parabolischen Wasserweg zum Beispiel vertheilt sich, wie sich leicht beweisen lässt, die Arbeit gleichmässig über den absoluten Wasserweg, wodurch die Zellenkraft eine günstige Lage erhält. Wir haben bisher stillschweigend den Wasserstrom jeder Zelle in einen einzelnen Wasserfaden concentrirt gedacht. In Wirklichkeit müssen wir darauf Rücksicht nehmen, dass die einzelnen Wassertheilchen auch unter einander in Gleichgewicht stehen müssen. Je nach der Form des absoluten Wasserweges werden sich die Moleküle so gegen einander verschieben, dass der Gleichgewichtszustand erhalten bleibt. In Hinsicht auf die gegenseitige Verschiebung der Wassertheilchen ist die parabolische Wasserbahn zu empfehlen. (Siehe Prof. Fink's Abhandlung über die Turbinen.) 3) Die gemeinsamen Bedingungen. Hat man aus allen auf dem absoluten Wasserwege abgegebenen Kräften den Angriffspunkt der Mittelkraft gefunden, so weiss man, dass durch diesen Punkt die Zellenkraft k geht und dass für diesen Punkt das in den Grundgleichungen stehende v gilt. Bei den Axialturbinen hat dieser Angriffspunkt allerdings keine wesentliche Bedeutung, wohl aber bei den noch zu besprechenden Radialturbinen. § 8. Der absolute Wasserweg. Zwischen der Kraft k einer Turbinenzelle und der durchmessenden Wassermenge m besteht die Gleichung k = m . p. In dieser Gleichung kann p noch den Charakter einer Verzögerung oder einer Beschleunigung tragen. 1) Beschleunigungswirkung des Wassers. Textabbildung Bd. 298, S. 182 Fig. 6. Bei der Verzögerungswirkung des Wassers blieb, eine volle Ausnutzung der arbeitsfähigen Componente ce cos αe vorausgesetzt, die senkrechte arbeitsunfähige Componente constant. Das Schema dieses Vorganges ist in Fig. 6a wiederholt, während in Fig. 6b das Schema für die Beschleunigungswirkung des Wassers gegeben ist. Bei letzterer sucht die Richtungsänderung der Geschwindigkeit die arbeitsfähige Componente zu vergrössern, also gewissermaassen zu beschleunigen. Die einer bestimmten Richtungsänderung entsprechende „Beschleunigung“ wird in statu nascendi als Arbeit an die Turbinenschaufel abgeführt. Textabbildung Bd. 298, S. 182 Fig. 7a. Textabbildung Bd. 298, S. 182 Fig. 7b. Textabbildung Bd. 298, S. 182 Fig. 8. Fig. 7a und 7b geben je einen absoluten Wasserweg für die Arbeitsleistung durch Verzögerungs- und durch Beschleunigungswirkung. Die Beschleunigungswirkung gibt ausserordentlich ungünstige Schaufelformen, ebenso eine Combination von Verzögerungs- und Beschleunigungswirkung (Fig. 8). Auf beide Fälle soll daher nicht näher eingegangen werden, zumal die Rechnung analog dem Verfahren für die Verzögerungswirkung jederzeit leicht durchzuführen ist. 2) Die Verzögerungswirkung des Wassers. In § 6 wurde gefunden: AR= mv (cecos αe – ca cos αe). An erhält einen maximalen Werth für αe = 0° und αa = 90°. Da der Eintrittswinkel αe mit seltenen Ausnahmen (Peltonrad) von 0° verschieden ist, wird man wenigstens stets αa = 90° wählen. Der senkrechte Austritt des Wassers kann so als die Bedingung maximalen Wirkungsgrades angesehen werden. § 9. Die Kraft k in jeder Turbinenzelle. 1) Berechnung der Geschwindigkeit der Kraft k. Die Geschwindigkeit, mit welcher der Angriffspunkt der Kraft sich bewegen muss, berechnet man aus den Grundgleichungen: \frac{1}{2}\,({c_e}^2-{c_a}^2)=v\,(c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a) cesin αe = ca sin αa. In diesen Gleichungen sind v, ca, αe und an noch willkürlich zu wählende Grössen. 2) Der Grad der Arbeitsfähigkeit der vorgeschriebenen Bahn. Die bisher in Rechnung gezogene Kraft jeder Turbinenzelle k=m\,.\,p=m\,\frac{c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a}{t} oder für senkrechten Austritt des Wassers k=m\,\frac{c_e\,cos\,\alpha_e}{t} setzt eine entsprechende Belastung der Turbine voraus. Bei einer abweichenden Belastung trifft die Annahme ca sin αa = ce sin αe oder für senkrechten Austritt des Wassers ca = ce sin αe nicht mehr zu, d.h. die arbeitsfähige Componente wird dann nicht mehr ausschliesslich durch Arbeitsleistung verkleinert. Wenn die Bedingung casin αa= cesin αe bezieh. ca = ce sin αe erfüllt ist, so hat die Schaufel den höchsten Grad der Arbeitsfähigkeit. Denken wir uns die Turbine bis zum Stillstehen festgebremst, so wirkt die Schaufel als feste Bahn; die von ihr aufgenommene Arbeit ist gleich 0 und ca ist gleich ce. Dasselbe gilt annähernd für das Durchgehen der Turbine. Beim Stillstehen und Durchgehen der Turbine hat die Schaufel also den niedrigsten Grad der Arbeitsfähigkeit. Zwischen dem höchsten Grade und den niedrigsten Graden der Arbeitsfähigkeit liegen nun noch unendlich viele mittlere Grade, bei denen die Richtungsänderung der Geschwindigkeit theils durch Arbeitsleistung, theils durch Wirkung einer festen Bahn begleitet wird. Dementsprechend liegen zwischen ca = ce sin αe und ca = ce noch unendlich viele mittlere Werthe von ca. Die entwickelten Formeln gelten nur für den höchsten Grad der Arbeitsfähigkeit, lassen sich jedoch leicht verallgemeinern. Den Grad der Arbeitsfähigkeit der Schaufel bezeichnen wir mit φ. Die Hauptfactoren der Turbinenwirkung sind gefunden: fünf beliebig zu wählende Grössen αe, αa, v, ca und φ. Ueber die geeignetste Wahl dieser Grössen wird in jedem besonderen Falle den gegebenen Verhältnissen gemäss entschieden werden müssen, meistens werden sich jedoch folgende Annahmen empfehlen: a) Senkrechter Austritt des Wassers: αa = 90°. b) Höchster Grad der Arbeitsfähigkeit: ca = ce sin αe. Für diese beiden Voraussetzungen ergibt sich aus den Grundgleichungen: \frac{1}{2}\,({c_e}^2-{c_a}^2)=v\,(c_e\,cos\,\alpha_e-c_a\,cos\,\alpha_a) c_e\,sin\,\alpha_e=c_a\,sin\,\alpha_a der Reihe nach: \frac{1}{2}\,({c_e}^2-{c_e}^2\,sin^2\,\alpha_e)=v\,c_e\,cos\,\alpha_e \frac{1}{2}\,{c_e}^2\,cos^2\,\alpha_e=v\,c_e\,cos\,\alpha_e v=\frac{1}{2}\,c_e\,cos\,\alpha_e. αe wählt man so klein wie möglich und erhält dann unmittelbar die Geschwindigkeit v. Die folgende Abhandlung ist unter den als zweckmässig erkannten Annahmen durchgeführt. (Schluss folgt.)