Beitrag zur technischen Thermodynamik. Von Jos. Hübers in Charlottenburg. Beitrag zur technischen Thermodynamik. Führt man der Gewichtseinheit eines Gases die Wärmemenge dQ zu, so dient nach Zeuner ein Teil dieser Wärme (dW) zur Erhöhung der Temperatur, ein zweiter Teil (dJ) dient zur Vermehrung der Spannung, der potentiellen Energie, während ein dritter Teil (dL) in kinetische Energie übergeht, d.h. äussere Arbeit leistet. Als Ausgangspunkt für alle thermodynamischen Untersuchungen erhält Zeuner daher die Gleichung dQ = dW + dJ + dL, deren Glieder in speziellen Fällen auch Null oder negativ werden können. Auf das Mariotte-Gay-Lussac'sche Gesetz und die Zustandsgleichung der Gase \frac{v\,p}{T}=const bezogen, äussert sich dW in einer Aenderung von T dJ in einer Aenderung von p und dL in einer solchen von v. Es ist dW = d (T2 – T1) dJ = vdp dL = pdv. Stellt in nebenstehender Figur die Kurve AB eine willkürliche Zustandsänderung dar, bei welcher sich sämtliche drei Grössen v, p und T ändern, dann gilt die allgemeine Gleichung dQ = dW + dJ + dL oder dQ = d (T2 – T1) + vdp + pdv. Die Fläche ABCD ist in diesem Falle ein Mass für die zur Vermehrung der potentiellen Energie aufgewandten Wärme, während die Fläche ABEF ein Mass ist der in kinetische Energie übergegangenen Wärme. Bleibt nun bei der Wärmezuführung 1. die Spannung konstant, so findet eine Vermehrung der potentiellen Energie nicht statt. Das Glied dJ = vdp wird in diesem Falle mit p = const Null, fällt mithin aus der Gleichung fort, so dass dQ = dW + dL = dW + pdv. Bleibt 2. das Volumen konstant, so findet eine äussere Arbeitsleistung nicht statt. dL = pdv wird mit v = const Null und mithin dQ = dW + dJ = dW + vdp. Textabbildung Bd. 313, S. 168 Fig. 1. Textabbildung Bd. 313, S. 168 Fig. 2. Textabbildung Bd. 313, S. 168 Fig. 3. So einfach auch diese Berechnung der bei konstanter Spannung und konstantem Volumen zugeführten Wärme erscheint, so wird dagegen trotzdem in der bisherigen Theorie ein Fehler begangen, der die grössten Irrtümer veranlasst hat. Nachdem Zeuner die allgemeine Gleichung dQ = dW + dJ + dL abgeleitet hat, zieht er die beiden Glieder dW + dJ zu einem Gliede dU zusammen und bezeichnet mit dU im Gegensatz zu dL diejenige Wärme, die zu innerer Arbeit verbraucht wird. Bei der Berechnung der spezifischen Wärme bei konstantem Volumen erhält Zeuner sodann die Gleichung dQ = dU, weil hier keine äussere Arbeit geleistet wird, und bei der Berechnung der spezifischen Wärme bei konstanter Spannung erhält er nach Clausius dQ = dU + dL also (nach der Definition von dU = dW + dJ) dQ = dW + dJ + dL. Es ist diese Berechnung nicht richtig. In derselben wird irrtümlich angenommen, dass die sogen. innere Arbeit bei der Wärmezuführung unter konstantem Volumen gleich ist der inneren Arbeit bei der Wärmezuführung unter konstanter Spannung. Es ist dieses nicht der Fall; denn bei der Wärmezuführung unter konstantem Volumen findet eine Vermehrung der potentiellen Energie statt, es ist die innere Arbeit in diesem Falle gleich dW + dJ = dW + vdp, bei der Zuführung der Wärme bei konstanter Spannung findet eine Vermehrung der potentiellen Energie dagegen nicht statt, die innere Arbeit ist in diesem Falle gleich dW und nicht gleich dW + dJ oder gleich dU nach der von Zeuner gegebenen Definition von dU. Es ist nun dW + dJ = dW + dL. Es ist cp = cv, d.h. die spezifische Wärme bei konstanter Spannung ist gleich der spezifischen Wärme bei konstantem Volumen. Was nun den Wert k=\frac{c_p}{c_v} anbetrifft, so ist nicht \frac{c_p}{c_v}=k, sondern \frac{d\,Q}{d\,Q-d\,J}=\frac{d\,Q}{d\,Q-v\,d\,p}=\frac{d\,Q}{d\,W}=k und ebenso \frac{d\,Q}{d\,Q-d\,L}=\frac{d\,Q}{d\,Q-p\,d\,v}=\frac{d\,Q}{d\,W}=k. Ganz allgemein ist, \frac{d\,Q}{d\,W}=k=1,41 für vollkommene Gase. Bezeichnet man mit ct die bei der Wärmezuführung in beiden Fällen zur Temperaturerhöhung dienende Wärme dW, so ist \frac{c_p}{c_t}=k\mbox{ und }\frac{c_v}{c_t}=k Es soll hier besonders hervorgehoben werden, dass die spezifische Wärme bei konstantem Volumen cv durch direkte Messungen bisher noch nicht ermittelt ist. Zeuner schreibt darüber: „Was nun die spezifische Wärme bei konstantem Volumen anbetrifft, so ist eine direkte Messung derselben bis jetzt noch nicht gelungen, wohl aber hat man nach verschiedenen Versuchsmethoden das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmen cp und cv, für welches im weiteren k=\frac{c_p}{c_v} benutzt werden soll, ermittelt.“ Man hat durch die verschiedenen Versuchsmethoden nicht das Verhältnis von \frac{c_p}{c_v}, sondern, wie bereits gezeigt, das Verhältnis von \frac{d\,Q}{d\,Q-d\,L}=\frac{d\,Q}{d\,W}=\frac{c_p}{c_t}, sowie das Verhältnis von \frac{d\,Q}{d\,Q-d\,J}=\frac{d\,Q}{d\,W}=\frac{c_v}{c_t}, ermittelt. Man hat das Verhältnis der ganzen zugeführten Wärme dQ zu der lediglich zur Temperaturerhöhung dienenden Wärme dW gefunden. Dass die spezifische Wärme bei konstantem Volumen gleich ist der spezifischen Wärme bei konstanter Spannung und zwar in den Grenzen, in denen die Gase das Mariotte-Gay-Lussac'sche Gesetz befolgen, das geht des weiteren aus folgender Betrachtung hervor. Der Zustand eines Gases im Punkte A sei gegeben durch \frac{v_1\,p_1}{T_1}. Wird nun diesem Gase das eine Mal von A bis B unter konstanter Spannung, und das andere Mal von A bis C unter konstantem Volumen Wärme zugeführt, bis sich Volumen bezw. Spannung verdoppelte, so stehen nach dem Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetz an den Punkten B und C dieselben Zustandsgleichungen, nämlich \frac{2\,v_1\,p_1}{2\,T_1}. Die Temperatur stieg sowohl vom Punkte A bis B, als auch vom Punkte A bis C von T1 auf 2T1. Die zur Erhöhung der Temperatur nötige Wärme ist in beiden Fällen dW = d (2T1 – T1) = dT1. Vom Punkte A bis B wurde Arbeit geleistet, es wurde kinetische Energie erzeugt. Die geleistete Arbeit ist gleich pdv. Textabbildung Bd. 313, S. 169 Fig. 4. Auch vom Punkte A bis C wurde Arbeit geleistet, welche in der Vermehrung der potentiellen Energie besteht. Es ist diese Arbeit gleich vdp. Es ist die Fläche ABDE = ACFG. Das eine Mal von A bis B ist dQ = dT 1 + pdv, das andere Mal von A bis C ist dQ = dT 1 + vdp. Soll das Mariotte-Gay-Lussac'sche Gesetz irgend welchen Sinn haben, so muss, da die Zustandsgleichungen an den Punkten B und C dieselben sind, die von A bis B zuzuführende Wärmemenge gleich sein der von A bis C zuzuführenden Wärmemenge. Es ist dT1+ pdv = dT1 + vdp. Das Mariotte'sche Gesetz. Dass man bisher die zur Vermehrung der potentiellen Energie dJ = vdp erforderliche Wärme vernachlässigt hat, das lehrt eine Betrachtung des Mariotte'schen Gesetzes. Mariotte fand durch Versuche, dass sich bei gleichbleibender Temperatur bei den sogen. vollkommenen Gasen die Drucke umgekehrt wie die Volumen verhalten, d.h. dass pv = p1v1, wenn T = const. Diese Zustandsänderung mit gleichbleibendem T = T1 erfolgt nun nach der bisherigen Theorie nur dann, wenn für jede unendlich kleine Ausdehnung dv dem Gase die der Arbeit pdv entsprechende Wärmemenge Q = AdU zugeführt wird, oder wenn bei einer Zusammendrückung von v2 auf v1 die Arbeit U zwar als Verdichtungsarbeit auf das Gas übertragen, gleichzeitig aber eine der Verdichtungsarbeit äquivalente Wärmemenge Q demselben entzogen wird, etwa durch Kühlwasser. Als Beispiel für diese Art der Berechnung diene folgendes (Keck, Mechanische Technologie, Bd. 2 S. 339): „1 kg Luft habe die Temperatur t1 = 10° mit T = 283°, den Druck p1 = 50000 kg/qm = 5 at, also den Rauminhalt v1 = RT1 : p1 = 0,16567 cbm. Bei einer Ausdehnung auf v2 = 5v1, wobei unter Gleicherhaltung der Temperatur T = T1 der Druck auf ⅕p1 abnimmt, wird von dem Gase die Arbeit U = 50000 . 0,16567 l (5) = 13323 mkg geleistet, d.h. eigentlich nur übertragen, denn geleistet wird die Arbeit aus der zuzuführenden Wärme Q=\frac{13323}{424}=31,42 W.-E.“ „Presst man das Gas wieder zusammen, und entzieht fortwährend soviel Wärme, dass die absolute Temperatur stets 283° bleibt, so muss man obige 13323 mkg Arbeit aufwenden, die aber in Form von 31,42 W.-E. an das etwaige Kühlwasser übergeht.“ (!!) Die Behauptung, dass die isothermische Zustandsänderung mit gleichbleibendem T = T1 nur dann erfolgen kann, wenn für jede unendlich kleine Ausdehnung dv dem Gase die der Arbeit pdv entsprechende Wärmemenge dQ = AdU zugeführt wird, ist unrichtig; denn für jede unendlich kleine Ausdehnung dv nimmt die Spannung um den unendlich kleinen Betrag dp ab, d.h. es verschwindet ein Betrag an potentieller Energie vdp, der aber als kinetische Energie pdv wiedergewonnen wird. Das Mariotte'sche Gesetz kann auch folgendermassen ausgedrückt werden: Derselbe Arbeitsbetrag, der bei der Expansion eines Gases bei gleichbleibender Temperatur an potentieller Energie verloren geht, wird an kinetischer Energie wiedergewonnen, oder der bei der Kompression aufgewandte Arbeitsbetrag an kinetischer Energie geht über in potentielle Energie. Textabbildung Bd. 313, S. 169 Fig. 5. Ein Blick auf nebenstehende Figur überzeugt uns von der Richtigkeit des Gesagten. Besitzt ein Gas im Punkte A eine hohe Spannung und expandiert dann bis B, so ist ein durch die Fläche ABEF dargestellter Arbeitsbetrag vdp an potentieller Energie verloren gegangen, während ein der Fläche ABCD entsprechender Arbeitsbetrag an kinetischer Energie zurückgewonnen wurde. Es ist vdp = pdv. Es ist die Fläche ABEF gleich ABCD. Nach dem angeführten Beispiel wird die ganze Arbeit 13323 mkg bei der Ausdehnung des Gases von der zugeführten Wärme geleistet, während die verschwundene potentielle Energie keine Arbeit leistete! Textabbildung Bd. 313, S. 169 Fig. 6. Bei der Kompression aber wurde die Vermehrung der Spannung, die Vergrösserung der potentiellen Energie ohne jeglichen Arbeitsaufwand gewonnen, denn presst man das Gas zusammen, so muss man nach dem angeführten Beispiel allerdings 13323 mkg Arbeit aufwenden, die aber sämtlich in Form von 31,42 W.-E. an das etwaige Kühlwasser übergeht. Die ganze Arbeit geht also als Wärme an das Kühlwasser über, und dient nicht etwa zur Vermehrung der potentiellen Energie!! Diese wird umsonst gewonnen!! Aus der angeführten Berechnung geht hervor, dass bei der bisherigen Theorie die Vermehrung der Spannung, der potentiellen Energie, nicht als Arbeitsleistung aufgefasst wird. Nach dem Mariotte'schen Gesetz ist die Isotherme die Expansions- und Kompressionskurve!! Selbstverständlich ist die Isotherme als Expansions- und Kompressionskurve nur in den Grenzen anzunehmen, in denen das Mariotte-Gay-Lussac'sche Gesetz gültig ist, d.h. sofern die Gase vollkommene sind, des weiteren nur unter der Bedingung, unter denen man jetzt die Adiabate annimmt, d. i. unter der Bedingung, dass die Wandung des Cylinders und des Kolbens vollkommene Nichtleiter der Wärme sind, dass keine Wärme entsteht weder durch die Reibung des Kolbens an der Cylinderwandung, noch durch die Reibung des Gases selbst an der Wandung. Die Zustandsgleichung der Gase muss voll und ganz zur Geltung kommen. Es darf vor allen Dingen, falls eine Erwärmung des Gases nicht eintreten soll, die Druck Vermehrung nicht plötzlich und stossweise erfolgen, denn bei einer stossweisen Vermehrung der Spannung werden die Atome des Gases vermöge ihrer Elastizität gegen die Wandungen an- und von denselben wieder zurückprallen, es wird eine Schwingung der Atome und infolgedessen eine ganz beträchtliche Wärmeentwickelung eintreten. Regnault hat durch Versuche gefunden, dass bei einer Druckvermehrung um etwa 50 at die Temperatur des Gases um etwa 1° steigt, und zieht daraus den Schluss, dass die Gase das Mariotte'sche Gesetz nur in gewissen Grenzen befolgen. Nach der jetzigen Theorie beträgt bei einer Druckvermehrung um etwa 10 at die Steigerung der Temperatur ungefähr 279°! (S. 2. Beispiel S. 341, Keck, Mechanik, Bei 2.) Betrachten wir die bisherige Annahme, dass bei der Kompression die Temperatur steigt, während sie bei der Expansion sinkt, so finden wir, dass diese Annahme unter den oben bereits erwähnten Bedingungen, dass die Wandungen des Cylinders keine Wärme aufnehmen, und dass wir es mit einem sogen. vollkommenen Gase zu thun haben u.s.w., dem Gesetz der Erhaltung der Kraft direkt widerspricht. Um die Veränderung des im Punkte A etwa durch \frac{v_1\,p_1}{T_1} bestimmten Gases, das im Punkte B eine höhere Spannung und höhere Temperatur besitzen soll, zu erreichen, wurde von A bis B die sogen. Kompressionsarbeit aufgewandt. Es soll nun diese Arbeit zweierlei zur Folge haben, so dass man sie in Bezug auf ihre Wirkung in zwei Teile zerlegen kann. Sie bewirkt 1. eine Vermehrung der potentiellen Energie; 2. nach Annahme der bisherigen Theorie eine Erhöhung der Temperatur. Für den ersten Teil der Arbeit ist die Fläche ABCD ein Mass. Der zweite Teil der Kompressionsarbeit, welcher eine Erwärmung des Gases zur Folge hatte, ist in der Fläche ABCD nicht enthalten. Lässt man sodann das Gas wieder expandieren, so wird Arbeit wiedergewonnen, indem die potentielle Energie abnimmt und sich in kinetische Energie umsetzt. Für die wiedergewonnene Arbeit ist die Fläche ABCD wiederum ein Mass. Textabbildung Bd. 313, S. 170 Fig. 7. Es sinkt ferner die Temperatur und zwar ganz „überraschend“ bei einer Druckverminderung um 5 at schon um 103° C. (Keck, Mechanik, Bd. 2 S. 341). Es geht also Wärme, d.h. Arbeit verloren. Wozu wird diese benutzt? Molekularkräfte, chemische Kräfte o. dgl. sind nach der Definition der vollkommenen Gase nicht vorhanden. Die Wandungen nahmen auch keine Wärme auf. Bei der auf die Kompression folgenden Expansion wird nach der bisherigen Theorie zwar derselbe Zustand des Gases wieder erreicht, der während der Kompression in Wärme übergegangene Teil der aufgewandten Arbeit verschwindet jedoch bei der Expansion spurlos. Der Satz: „Kompressions- und Expansionsarbeit sind einander gleich“, gilt unter der Annahme, dass die Molekularkräfte des Gases = 0, dass ferner die Wandung des Cylinders weder Wärme aufnehmen noch abgeben, und die Druckvermehrung oder Verminderung nicht stossweise erfolgt, nur für die Isotherme, wo p1 : c2 = v2 : v1, d.h. wo der Vermehrung der potentiellen Energie ein ebenso grosser Aufwand an kinetischer Energie und der Abnahme der potentiellen Energie ein gleich grosser Zuwachs an kinetischer Energie entspricht. Wirkungsgrad einer Maschine. Um den Wirkungsgrad einer Maschine zu finden, den man mit einem vollkommenen Gas ohne Anwendung des Regenerativprinzips erreichen kann, können wir uns jegliche Wärmezuführung zusammengesetzt denken aus einer Zuführung unter konstantem Volumen und einer Zuführung unter konstantem Druck. Bei der Zustandsänderung vom Punkte A bis B können wir uns denken, dass die Wärme bis C unter konstanter Spannung, und dann von C bis B unter konstantem Volumen zugeführt wird. Textabbildung Bd. 313, S. 170 Fig. 8. Bei der Zuführung unter konstanter Spannung ist nun \eta=\frac{c_p}{c_p-c_t}=0,291 und bei der Zuführung unter konstantem Volumen ist \eta=\frac{c_v}{c_v-c_t}=0,291, d.h. der höchste in einer Maschine ohne Anwendung des Regenerativprinzips zu erreichende Wirkungsgrad beträgt 29,1%. Es wird dieser Wirkungsgrad in einer Maschine ohne Anwendung des Regenerativprinzips niemals erreicht werden, denn die oben angeführte Berechnung gilt nur unter der Annahme, dass die Molekularkräfte gleich Null, dass die Wandung des Cylinders und der Kolben keine Wärme aufnehmen und für dieselbe undurchdringlich sind, dass ferner durch Anprallen der Moleküle an die Wandungen keine Wärme erzeugt wird. Es folgt hieraus, dass man bestrebt sein muss, bei den Maschinen möglichst das Regenerativprinzip anzuwenden.