Der Arbeitswert der Heizgase und seine Ausnutzung. (Fortsetzung von S. 115 d. Bd.) Der Arbeitswert der Heizgase und seine Ausnutzung. Wir wollen uns jetzt einen Wärmeträger denken, welcher bei der konstanten Temperatur Tq der Wärmequelle die Wärmeenergiemenge dQq aufnimmt. Die Zustandsänderung des Wärmeträgers ist in unserem Koordinatensystem durch die zur Temperaturachse senkrechte Strecke \overline{A\,B} gegeben (Fig. 4); man nennt sie eine Isotherme. In B trennen wir den Wärmeträger von der Wärmequelle und lassen ihn eine Zustandsänderung durchmachen, bei welcher er weder Wärme aufnimmt noch abgibt. Es soll also während dieser Zustandsänderung stets dQ = Tdτ = 0 sein. Das ist, so lange T von Null verschieden bleibt, nur möglich, wenn stets dτ = 0, d.h. die Zustandsänderung muss durch eine Linie dargestellt werden, welche stets senkrecht zur τ-Achse ist. Man nennt derartige Zustandsänderungen, weil auf ihnen der Wärmeträger in eine Hülle eingeschlossen sein muss, durch welche gar keine Wärme hindurchgeht, adiabatische, und die sie darstellenden Linien Adiabaten. Die Richtung, in der wir den Körper auf der durch B gehenden Adiabaten sich bewegen lassen, soll die nach den kleineren Temperaturen sein. Ist die Temperatur des Wärmeträgers bis auf den durch \overline{C\,b} dargestellten Wert Ts gesunken, so wird er mit einer Wärmesenke von der Temperatur Ts in Berührung gebracht, und ihm bei dieser Temperatur so viel Wärme d Qs entzogen, bis seine Entropie wieder ihren anfänglichen Wert erreicht hat. Der Zustand des Wärmeträgers muss dann durch den Punkt D dargestellt sein, wenn D der Schnittpunkt der durch C gehenden Isothermen und der durch A gehenden Adiabaten ist. Nun wird ohne Aenderung der Entropie seine Temperatur erhöht. Aus dieser Bedingung folgt mit Hilfe der Definition der Entropie, Gleichung 2, dass während dieser Zustandsänderung auch dQ = 0 sein muss, d.h. der Körper ändert sich wieder längs einer Adiabaten. Hat der Wärmeträger auf diese Weise wiederum die Temperatur Tq erreicht, so ist er auch wieder in A angekommen, d.h. sein Zustand ist wieder genau seinem Anfangszustande gleich, der Wärmeträger hat somit einen Kreisprozess durchgemacht. Textabbildung Bd. 319, S. 133 Fig. 4. Aus dem Diagramm ergibt sich, dass dQq = [ABba] grösser ist als dQs = [D C b a]; es ist also während des Kreisprozesses Wärmeenergie verschwunden. Haben nun mit Ausnahme der Wärmeenergie und der mechanischen Arbeit alle im Prozess etwa vorhanden gewesenen Energieformen ihre Werte ungeändert behalten; ist z.B. eine etwaige elektrische Ladung des Wärmeträgers sowohl wie ihr Potential ungeändert geblieben, so muss nach dem Energieprinzip die verschwundene Wärmeenergie in mechanische Arbeit verwandelt worden sein, und wir erhalten somit dL = dQq – dQs Aus der Definition der Entropie, sowie dem dieser Definitionentsprechend entworfenen Diagramm entnehmen wir dQq = Tq . dτ und dQs = Ts dτ. Vereinigt man beide Gleichungen mit einander und mit der darüber stehenden, so erhält man \frac{d\,Q_q}{d\,Q_s}=\frac{T_q}{T_s} und d\,L=d\,Q_q\,\cdot\,\frac{T_q-T_s}{T_q}. Es sind somit die beiden Gleichungen von Clausius mit Hilfe der graphischen Darstellung leicht gewonnen worden. Textabbildung Bd. 319, S. 133 Fig. 5. Ein Kreisprozess dieser Art, in welchem der Wärmeträger zwei Isothermen und zwei Adiabaten durchläuft, wird, weil er zuerst von Carnot ersonnen ist, ein Carnot scher Kreisprozess genannt. Derselbe ist deshalb von grösster Bedeutung, weil er von allen erdenkbaren Kreisprozessen derjenige ist, welcher aus einer gegebenen Wärmeenergiemenge dQq zwischen den beiden äussersten Temperaturen Tq und Ts die meiste Arbeit zu liefern imstande ist. Der Beweis hierfür lässt sich sofort aus dem T-τ-Diagramm ablesen. Es seien (Fig. 5) \overline{A\,a}=\overline{B\,b}=T_q und \overline{D\,a}=\overline{C\,b}=T_s die beiden äussersten im Prozess überhaupt zulässigen Temperaturen. Es werde nun das eine Mal die Wärmeenergiemenge dQq bei der konstanten Temperatur Tq, also längs \overline{A\,B} vom Wärmeträger aufgenommen; das andere mal bei steigender Temperatur längs der Kurve \overline{E\,B}, so dass \overline{B\,b}=\overline{A\,a}=T_q auch wieder die grösste Temperatur ist, welche in diesem Prozess vorkommt. Damit dQq = [A B b a] = [E B b e] wird, damit also in beiden Prozessen dieselbe Wärmeenergie dQq aufgenommen wird, muss, wie man ohne weiteres einsieht \overline{e\,b}\,>\,\overline{a\,b} sein. Verlaufen nun sämtliche sonstigen Zustandsänderungen in beiden Prozessen wie in einem Carnotschen, findet also nicht nur die Wärmeabgabe an die Wärmesenke in beiden bei der konstanten Temperatur Ts statt, sondern sind auch die Temperaturänderungen zwischen Ts einerseits und Anfangs- und Endtemperatur bei der Wärmeaufnahme andererseits adiabatische, also im Diagramm alles bis auf \overline{E\,B} gerade Linien, so gibt die Zeichnung, dass im zweiten Prozess die der Fläche [F D a e] entsprechende Wärmeenergie mehr an die Wärmesenke abgegeben wird als im ersten. Da aber in beiden Prozessen dieselbe Wärmeenergie aufgenommen wurde, so kann der erste um [F D a e] mehr Arbeit leisten als der zweite. Ersetzt man auf dieselbe Weise eine oder mehrere der geraden Linien des Carnotschen Prozesses durch gekrümmte, so erhält man stets ein entsprechendes Bild; stets wird die an die Wärmesenke abgegebene Wärmeenergiemenge grösser als beim Carnotschen Prozess und somit die gewonnene Arbeitsmenge kleiner, d.h. der Carnotsche Prozess liefert zwischen gegebenen äussersten Temperaturgrenzen aus einer bestimmten Wärmeenergiemenge das Maximum an Arbeit. Eine weitere, sehr wichtige Eigenschaft des Carnotschen Prozesses ist die, dass er von den besonderen Eigenschaften des Wärmeträgers vollständig unabhängig ist. Das ergibt sich bei seiner Ableitung aus dem T-τ-Diagramm ganz von selbst; denn es wird ja nirgends etwas von diesen Eigenschaften erwähnt; es sind also nirgends besondere Eigenschaften vorausgesetzt worden. Neben diesen guten Eigenschaften des Carnotschen Prozesses muss aber auch die sehr unangenehme erwähnt werden, dass er in der Praxis nicht ausgeführt werden kann. Er dient nur als Masstab, als Muster für die Güte der wirklich ausgeführten Prozesse; gerade so, wie man ja vielfach vollkommene Starrheit der Baumaterialien voraussetzt, während sie doch alle mehr oder weniger biegsam sind. Es war oben gesagt worden, dass die Entropie eine zahlenmässig angebbare Eigenschaft eines jeden Körpers sei, gerade so wie sein Volumen usw. Um das noch deutlicher zu erkennen, wollen wir jetzt die beiden Körper, zwischen denen der Wärmeübergang stattfindet, also z.B. Wärmequelle und Wärmeträger gesondert betrachten und zunächst den allerdings nur denkbaren, aber auch um so fruchtbareren Fall annehmen, der Wärmeübergang fände ohne irgend welche Temperaturdifferenz zwischen beiden Körpern statt. Als Beispiel wollen wir uns einen Vorwärmer denken, an welchem die Heizgase nach dem Gegenstromprinzip, der Bewegungsrichtung des Wassers entgegengesetzt gerichtet, entlang strömen. Es wird dann das Wasser, von seiner niedrigsten Temperatur anfangend, allmählich wärmer werden, während die ausserhalb des Vorwärmerrohres strömenden Heizgase in demselben Masse ihre Temperatur verlieren. Haben wir künstlichen Zug, so kann die Temperatur der Heizgase bis auf die Anfangstemperatur des Wassers fallen. Es wird dann zu beiden Seiten eines bestimmten Flächenstückchens des Vorwärmerrohres, d.h. innen im Wasser und aussen in den Heizgasen dieselbe Temperatur herrschen, die natürlich für ein demjenigen Ende des Vorwärmers, an welchem das Wasser eintritt, näher gelegenes Flächenstück niedriger ist, als für ein dem anderen Ende näher gelegenes; jedenfalls haben aber Wasser und Heizgase, welche ein bestimmtes Flächenstück gerade berühren, dieselbe Temperatur. Geht nun durch irgend ein Flächenstück des Vorwärmers während einer beliebigen Zeit die Wärmeenergiemenge dQ hindurch, so ändert sich die Entropie der Heizgase um d\,\tau_h=-\frac{d\,Q}{T}, während die des Wassers um d\,\tau_w=\frac{d\,Q}{T} zunimmt. Da nach den getroffenen Voraussetzungen in beiden Gleichungen dQ und T dieselben Werte haben, so erhalten wir also dτh= – dτw . . . . . 3) Da der Wärmeübergang in diesem Falle, wo Wasser und Heizgase dieselbe Temperatur haben, nach dem Satz von Clausius auch in umgekehrter Richtung erfolgen kann, nämlich vom Wasser zu den Heizgasen, wenngleich das in der Praxis niemals erwünscht sein würde, so nennt man solche Vorgänge umkehrbare, und wir können das eben gefundene Resultat in die Worte fassen: Bei umkehrbaren Wärmeübergängen sind die Entropieänderungen der beiden Körper, zwischen denen der Wärmeübergang stattfindet, einander entgegengesetzt gleich. Vielfach schreibt man Gleichung 3 auch so dτh + dτw = 0 und sagt dann: die Entropieänderung bei umkehrbaren Vorgängen sei Null. Dieser Satz ist zwar aus Gleichung 3 mathematisch richtig abgeleitet, hat aber physikalisch ebensowenig Sinn, wie wenn man die Tatsache, dass in einem doppeltwirkenden Dampfzylinderdas Hubvolumen der Vorderdampfseite um ebenso viel abnimmt, wie das der Hinterdampfseite zunimmt, zum Ausdruck bringen wollte, indem man sagt: die Aenderung des Cylindervolumens sei Null. Das ist mathematisch ebenfalls ganz richtig, sagt uns aber über die Vorgänge im Zylinder gar nichts. Vielmehr muss zum Ausdruck gebracht werden, dass sich jeder der beiden Teile die Volumens durch die Bewegung des Kolbens um eine gewisse Grösse ändert, zwischen denen eine ganz bestimmte Beziehung besteht, nämlich dass die Aenderungen einander entgegengesetzt gleich sind. Ebenso ist es mit der Entropie. In der Praxis hat man niemals solche umkehrbare Vorgänge; es ist deshalb zu untersuchen, was aus Gleichung 3 wird, wenn der Vorgang ein nichtumkehrbarer ist. Nach dem Satz von Clausius über die Bewegungsrichtung der Wärme muss stets die Temperatur der Wärmequelle Th, der Heizgase, um in dem eben benutzten Beispiel des Vorwärmers zu bleiben, grösser sein als die der Wärmesenke Tw, des Wassers. Wir erhalten auch hier wieder aus der Definition der Entropie d\,\tau_h=-\frac{d\,Q}{T_h} und d\,\tau_w=\frac{d\,Q}{T_w} Textabbildung Bd. 319, S. 134 Fig. 6. Jetzt hat zwar dQ auch wieder in beiden Gleichungen denselben Wert, aber weil Th > Tw, ist dτh < dτw Der Unterschied beider lässt sich leicht aus dem Temperatur-Entropie-Diagramm herleiten (Fig. 6). Wir zerlegen die von den Heizgasen abgegebene Wärmeenergiemenge dQ = [A B b a] durch die der Temperatur Tw entsprechende Isotherme C D, und ebenso die vom Wasser aufgenommene d Q = [A' B' b' a'] durch die der Entropieänderung \overline{a'\,c'}=\overline{b\,a} entsprechende Adiabate \overline{C'\,c'} in je zwei Teile. Dann ist nach Voraussetzung [A B b a] = [A' B' b' a'] nach Konstruktion [C D a b] = [A' C c' a'] folglich durch Subtraktion [A B C D] = [C' B' b' c'] Damit erhält man nun: d\,\tau_w=\overline{a'\,b'}=\overline{a'\,c'}+\overline{c'\,b'}=\overline{b\,a}+\frac{[C'\,B'\,b'\,c']}{\overline{B'\,b'}} =-d\,\tau_h+\frac{[A\,B\,C\,D]}{T_w}. Durch Vergleich mit Fig. 4 erkennt man, dass [A B C D] ein in entgegengesetzter Richtung durchlaufener Carnotscher Prozess ist, d.h. es ist [B A D C] das Maximum an Arbeit, welches bei umkehrbarem Wärmeübergang von den Heizgasen an das Wasser gewonnen werden könnte. Bezeichnen wir dieses mit d Lm, so erhalten wir d\,\tau_w=-d\,\tau_h-\frac{d\,L_m}{T_w}=-\left(d\,\tau_h+\frac{d\,L_m}{T_w}\right) . 4) Es ist also bei nicht umkehrbarem Wärmeübergange die Entropieänderung der Wärmesenke, wenn wir vom Vorzeichen absehen, gleich der Entropieänderung der Wärmequelle vermehrt um die durch die Temperatur der Wärmesenke dividierte Arbeit, welche im Maximum aus der übergehenden Wärmemenge bei umkehrbarem Uebergang zwischen den Temperaturen der Wärmequelle und Wärmesenke gewonnen werden kann. Die Verschiedenheit des Vorzeichens gibt nur an, dass die Wärmequelle Wärme verliert, während die Wärmesenke sie aufnimmt, dass die Entropie des einen Körpers zunimmt, während die des anderen abnimmt. Setzt man in Gleichung 4 den Wert von dLm aus Gleichung 1 ein und beachtet die Definition der Entropie, Gleichung 2, so erhält man eine IdentitätFliegner: Züricher Vierteljahrschrift 46, 1901, S. 94.. Um Gleichung 4 im folgenden anwenden zu können, müssen wir sie noch etwas verallgemeinern, denn die Heizgase haben nur an einer bestimmten Stelle des Vorwärmers, allgemein der Heizfläche, eine konstante Temperatur; betrachtet man aber die Heizgase als Ganzes, so ändert sich ihre Temperatur von Stelle zu Stelle der Heizfläche. Wir wollen voraussetzen, eine Dampfmaschine würde betrieben mit einer Flüssigkeit, deren Molekelwärme O sei. Dieselbe vollführt dann einen Carnotschen KreisprozessSchreber: Theorie der Mehrstoffdampfmaschinen. S. 25., d.h. die Wärmeaufnahme durch die Flüssigkeit findet bei konstanter Temperatur statt, während die Heizgase sich an der Kesselwand von der Rosttemperatur bis auf die Temperatur der Kessels abkühlen, wenn wir zunächst noch eine hierzu hinreichend grosse Heizfläche voraussetzen. Textabbildung Bd. 319, S. 135 Fig. 7. Textabbildung Bd. 319, S. 135 Fig. 8. Es sei [A B b a] (Fig. 7) der Wärmegehalt der Heizgase; die Kurve A B gebe die Beziehung zwischen der Temperatur und der Entropie derselben. Diese Beziehung ist natürlich von der Zusammensetzung der Heizgase abhängig; sie wird weiter unten im Anschluss an bestimmte Kohlensorten berechnet werden. \overline{B\,b} ist die Rosttemperatur; \overline{A\,a} die atmosphärische, 273 + 20°. Am Kessel können sich die Heizgase bis zur Temperatur Cc = Tf abkühlen, so dass also die Wärmeenergie [A C c a] zum Schornstein hinausgeht, während [C B b c] an die Flüssigkeit abgegeben wird. Um die Arbeit zu berechnen, welche mehr gewonnenwerden könnte, wenn dieser Uebergang umkehrbar wäre, bedenken wir, dass in diesem Falle nach Gleichung 3 die Entropieänderungen der Heizgase und des Kesselinhaltes einander gleich wären; auf das Vorzeichen wollen wir vorläufig keine Rücksicht nehmen. Die im Maximum zu gewinnende Arbeit ist somit auf Grund der Bedeutung des Temperatur-Entropie-Diagrammes und mit Berücksichtigung des Energieprinzipes gleich der Differenz der Flächen [C B b c] und [C E b c], also gleich dem dreieckartigen Stück [C B E]. Die Fläche [C B b c] ist die Wärme, welche die Heizgase abgeben, wenn sie sich von \overline{B\,b}=T_r bis auf \overline{C\,c}=T_f abkühlen. Sind die Heizgase G Molen und ist die Molekelwärme derselben a + b T, so istSchreber: D. p. J., 1903, 318, 433, ff. [CBbc] = G (Tr – Tf) (a+\frac{b}{2}\,[T_r+T_f]). Die Entropieänderung der Heizgase während dieser Temperaturänderung ist \overline{c\,b}=\Delta\,\tau_h, folglich ist [C\,E\,b\,c]=\overline{C\,c}\,\cdot\,\overline{c\,b}=T_f\,\cdot\,\Delta\,\tau_h. Somit erhält man [CBE] = G (Tr – Tf)           (a+\frac{b}{2}\,[T_r+T_f])-\Delta\,\tau_h\,\cdot\,T_f. Da nun infolge der Abkühlung der Heizgase die, Fläche [CBE] der bei der Besprechung des Carnotschen Prozesses als positiv festgelegten Richtung entgegengesetzt umlaufen wird, so müssen wir sie hier auch als negativ einführen und erhalten somit Δτf = – Δτh -\frac{G\,(T_f-T_r)\,(a+b/2\,[T_r+T_i])-\Delta\,\tau^h\,\cdot\,T}{T_f} oder \Delta\,\tau_f=+G\,\frac{T_r-T_f}{T_f}\,(a+\frac{b}{2}\,[T_r+T_f]). . 5) Diese Entropieänderung Δτf ist natürlich von c zu zählen. Multiplizieren wir Gleichung 5 rechts und links mit Tf und berücksichtigen Gleichung 2, so erhalten wir wieder die Identität, dass die von der Flüssigkeit aufgenommene gleich der von den Heizgasen abgegebenen Wärmeenergie ist. Haben wir in Gleichung 5 den Fall berücksichtigt, dass die Temperatur der Wärmequelle veränderlich ist, so müssen wir jetzt noch einen Schritt weiter gehen und den Fall untersuchen, dass auch die Wärmesenke eine veränderliche Temperatur hat. Wir beschränken uns hierbei gleich auf den für die Praxis wichtigen Fall, dass das Wasser erst von der atmosphärischen Temperatur bis auf die Kesseltemperatur erwärmt wird und dann verdampft. Wir haben also nur während der Erwärmung des Wassers veränderliche, nachher konstante Temperatur. Aus Gleichung 4 erhält man: Tw . dτw= – (Tw dτh + dLm). Nach der Definition des Temperatur-Entropie-Diagramms stehen zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens Flächen und da aus denselben Gründen wie soeben die im Maximum bei umkehrbarem Wärmeübergang von den Heizgasen an das Wasser zu gewinnende Arbeit dLm durch die Fläche [ABECA] dargestellt wird, so gibt diese Gleichung nach dem Diagramm (Fig. 8), unter Vernachlässigung des Vorzeichens [ACca] + [CDdc] = [ACca] + [CEbc] + [ABECA] = [A B b a]. Bezeichnen wir nun die Flüssigkeitswärme des Wassers mit q, die vom Schmelzpunkt des Eises gezählte Entropie desselben, wie sie in den Dampftabellen steht, mit τ und unterscheiden die der atmosphärischen Temperatur entsprechenden Werte dieser Grössen durch den Index 0 von den zur Kesseltemperatur gehörigen Werten, welche den Index 1 bekommen sollen, so erhalten wir: (q_1-q_0)+\overline{C\,c}\,\cdot\,\overline{c\,d}=G\,\cdot\,(T_r-T_0)\,(a+\frac{b}{2}\,[T_r+T_0]) C c ist die Kesseltemperatur Tk. Ferner ergibt die Zeichnung \overline{c\,d}=\overline{a\,d}-\overline{a\,c}=\overline{a\,d}-(\overline{o\,c}-\overline{o\,a}). =\Delta\,\tau_w-(\tau_1-\tau_0). Daraus ergibt sich schliesslich durch einfaches Umstellen \Delta\,\tau_w=\frac{G\,(T_r-T_0)\,(a+b/2\,[T_r+T_0])-(q_1-q_0)}{T_k}+(\tau_1-\tau_0) . . . . . . 6) Da die in dieser Gleichung vorkommende Kesseltemperatur Tk vollständig unabhängig von den Temperaturen der Heizgase ist, so lässt sich der letzte noch nötige Schritt, um der Praxis vollständig gerecht zu werden, ohne weiteres vornehmen. In der Praxis werden bekanntlichniemals, auch nicht bei Anwendung künstlichen Zuges die Heizgase bis auf die atmosphärische Temperatur herunter abgekühlt, sondern verlassen die Heizfläche mit einer bedeutend höheren Temperatur Cc = T'k (Fig. 9). Für diesen Fall müssen wir schreiben \Delta\,\tau_w=\frac{G\,(T_r-T'_k)\,(a+b/2\,[T_r+T'_k])-(q_1-q_0)}{T_k}+(\tau_1-\tau_0). . . . . . . 7) Kommt das Wasser nicht mit atmosphärischer Temperatur in den Kessel, sondern schon bis auf T'0 = D'c vorgewärmt, so treten an Stelle von q0 und τ0 die T'0 entsprechenden Werte q'0 und τ'o. Textabbildung Bd. 319, S. 136 Fig. 9. Damit haben wir den in Dampfmaschinen vorkommenden Fall erreicht. Der Wärmeübergang von den Heizgasen an den Kessel findet nach der in Fig. 9 gegebenen Weise statt. An Hand der Fig. 5 hatten wir nachgewiesen, dass, wenn der Wärmeträger die Wärme längs \overline{A\,B} aufnimmt, er mehr Arbeit zu leisten imstande ist, als wenn die Wärmeaufnahme längs E B stattfindet, trotzdem die höchste vorkommende Temperatur in beiden Fällen dieselbe ist. Nehmen wir nun an, die Wärmequelle sei in beiden Fällen imstande, die Wärmeenergie bei konstanter Temperatur abzugeben, so haben wir im ersten Falle umkehrbare, im zweiten dagegen nichtumkehrbare Wärme aufnähme und wir erhalten den Satz, dass bei umkehrbarer Wärmeaufnahme mehr Arbeit aus einer bestimmten Menge Wärmeenergie gewonnen werden kann als bei nicht umkehrbarer. Nehmen wir in Fig. 9 an, die Abgabe der nicht verwandelten Wärmeenergie an die Wärmesenke fände längs einer Isothermen \overline{D\,H} statt, so sieht man, dass vom Wasser mehr Wärmeenergie abgegeben werden muss, als von den Heizgasen abgegeben würde, wenn sie direkt ausgenutzt werden könnten; es ist [DHfc] > [DGbc]. Da auch hier ein nichtumkehrbarer Wärmeübergang, von den Heizgasen an das Wasser, vorkam, so finden wir wieder denselben Satz, dass nichtumkehrbare Wärmeübergänge zu geringerer Ausbeute an Arbeit, zu Arbeitsverlusten Anlass geben. Dieser Satz hat, wie man sich durch Zeichnung weiterer Fälle leicht überzeugen kann, allgemeine Gültigkeit und wir bekommen somit die für die Praxis ungemein wichtige Regel: nichtumkehrbare Wärmeübergänge, d.h. solche zwischen Körpern von verschiedener Temperatur sind möglichst zu vermeiden und, wo sie sich nicht vermeiden lassen, ist der nicht zur Arbeitsleistung ausgenutzte Temperaturunterschied möglichst klein zu machen. (Fortsetzung folgt.)