Die Kettenschaltgetriebe am mechanischen Webstuhle. Von Prof. Siegm. Edelstein. (Fortsetzung von S. 231 d. Bd.) Die Kettenschaltgetriebe am mechanischen Webstuhle. Mit Rücksicht auf das Ausgeführte sollen daher die ziemlich kleinen Werte der Zapfenreibungen am Hebelzapfen und an dem Kettenbaumzapfen nicht in Betracht kommen, bezw. durch eine kleine Erhöhung des Wertes der errechneten Kettenspannung als kompensiert gedacht werden. Es folgt zunächst aus der Gleichgewichtsbedingung am BremshebelVergl. Weisbach, Mechanik III, S. 917.: QL + Gs = Na – Nfb dass der Bremsdruck N=\frac{Q\,L+G\,s}{a-b\,f} und der Bremswiderstand W=N\,\cdot\,f=\frac{Q\,L+G\,s}{a-b\,f}\,\cdot\,f wird. Aus WD = Kd folgt endlich k=W\frac{D}{d}=(Q\,L+G\,s)\,\frac{D}{d}\,\frac{f}{a-b\,f} . . . . . 7) Der Ausdruck (Q\,L-G\,s)\,\frac{D}{d} in Gleichung 7 stellt den auf den Kettenbaumdurchmesser reduzierten Belastungszug dar, welcher durch entsprechende Aenderung von Q oder L eine Kompensation für die fortschreitende Aenderung von d erhalten muss um eine gleichbleibende Kettenspannung – nach früherem – zu erzielen. Für einen momentanen Zustand kann dieser Wert als konstant angesehen werden und es erhellt, dass die Grösse der Kettenspannung nun noch von f und \frac{1}{a-b\,f} abhängig ist. Der Wert des Bruches \frac{f}{a-b\,f} erfährt bei wachsendem f wie erkenntlich eine Erhöhung, die etwas mehr als bei proportionalem Anwachsen beträgt, es genügt diese Erkenntnis vollständig, um sofort festzustellen, dass 1. Die Kettenspannung eine wesentlich von dem Reibungskoeffizienten abhängige Grösse ist – die Charakteristik der Reibungsbremse – und in Konsequenz dieser Tatsache, dass 2. Die Kettenspannung einen rechnerisch nicht genau feststellbaren und daher auch praktisch nicht genau fixierbaren, d.h. in solcher Art einstellbaren Wert erhält, dass man gegen eine Ueberschreitung desselben vollkommen gesichert wäre. Es erhellt dies einfach aus dem Grunde, weil die Grösse dieses so einflussnehmenden Koeffizienten von einer Reihe äusserer Umstände (Luftfeuchtigkeit, Oberflächenbeschaffenheit usw.) abhängig ist, während andererseits eine Ueberschreitung der Kettenspannung durch eintretendes Anwachsen dieses Koeffizienten nicht in der Anordnung selbst verhindert erscheint. 3. Aus dem unter 2 angeführten Grunde ist aber auch die Kettenspannung je nach den äussern Umständen verschieden gross, d.h. Schwankungen unterworfen, die ganz beträchtlich werden können, wodurch eine der wesentlichsten Anforderungen an eine gut arbeitende Kettenbaumbremse nicht erfüllt erscheint. 4. Die von der Kettenspannung verrichtete mechanische Arbeit beim Abwickeln der Kette setzt sich an der Bremse in Reibungsarbeit und in fernerer Folge in Wärme um; da nun dieser Prozess nicht umkehrbar ist so ist der Einrichtung dadurch die Möglichkeit benommen, den Kettenbaum etwa in dem Falle wieder etwas zurückzudrehen, wenn die Kettenfäden nachgelassen werden, wie dies beim Schliessen des Faches nach erfolgter Fachaushebung der Fall ist. Es wird durch diesen Umstand das beim Fachöffnen erforderliche Verlängern der Kettenfäden wohl durch Abwickeln vom Kettenbaume erreicht, allein diese Abwickelmenge wird nicht wieder – beim Fachschliessen – zurückgenommen. Die Bremse entbehrt des Spielvermögens, wodurch eine grössere Schwankung in der Kettenspannung während des Webeprozesses resultiert. 5. Einen nicht unwesentlichen Umstand bildet ferner das Moment, dass die Anordnung der Bremse stets in der gleichen Arbeitsstellung bleibt, wodurch keine immer wiederkehrende Neueinstellung benötigt wird, eine Eigenschaft dieser Bremse, die sie für mechanischen Betrieb in einfacher Weise befähigt und die nur deshalb hervorhebenswert erscheint, weil andere Einrichtungen von Kettenablassapparaten gerade hierin eine Schwierigkeit ergeben. Nach diesen Feststellungen möge nunmehr der Wert des Faktors \frac{f}{a-b\,f} näher ins Auge gefasst werden. Der Nenner dieses Bruches bleibt solange positiv, als a > b f ist, er erreicht bei a = b f den Wert 0 und würde für a < b f selbst negativ werden. Die Grenze a – b f = 0 würde eintreten, wenn a = bf f=\frac{a}{b} tg\,\varrho=\frac{a}{b} wobei ρ den Reibungswinkel darstellt zwischen dem Bremsklotzmaterial und der Scheibe. Für diesen Fall wäre aber K=\frac{Q\,L+G\,s}{a-b\,f}\,\frac{D}{d}\,\cdot\,f=\infty d. h. die Bremse würde die Kette überhaupt nicht abwickeln lassen, es würde bei der geringsten Belastung auf den Bremsklotz die Scheibe an jeder Drehung im Sinne des Kettenablasses gehindert, die Scheibe wäre nicht mehr gebremst, sondern durch eine Klemmungsvorrichtung gesperrt. Da dieser Fall selbstverständlich unbrauchbar ist, so folgt daraus die Konstruktionsbedingung für die Hebelanordnung \begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& > & \,f\\ & > & tg\,\varrho \end{array} Verbindet man den Angriffspunkt des Bremsdruckes N, den Punkt A mit dem Hebelzapfenmittel z, so muss der Winkel a, den die Gerade A z mit N einschliesst, grösser sein als ρ ≮ α > ≮ ρ Die Notwendigkeit, ≮ α grösser als den Reibungswinkel zu machen, stellt sonach eine Bedingung für die Lage des Hebelzapfens fest und bleibt in der angeführten Beziehung so lange aufrecht, als b selbst positiv bleibt. Wird dagegen b negativ gemacht, d.h. liegt der Hebelzapfen über dem Angriffspunkte A, etwa in z', so ist a + bf in jedem Falle positiv und kann daher b welchen Wert immer einnehmen, insolange die Drehrichtung des Kettenbaumes ungeändert bleibt. Selbstverständlich bleibt eine solche Wert Veränderung von b nicht ohne anderweitigen Einfluss. Man erkennt, dass dieser den Hebelarm der Reaktion des Bremswiderstandes vorstellende Wert die Kettenspannung vergrössert, wenn er in seinem algebraischen Werte anwächst, also von – b über 0 in + b übergeht. Seien die Werte der Kettenspannung entsprechend mit k 1 für Hebelarm – b k 0 „ „ 0 k2 „ „ + b bezeichnet, so ist k_1=\left[(Q\,L+G\,s)\,\frac{D}{d}\,f\right]\,\cdot\,\frac{1}{a+b\,f} k_1=C\,\frac{1}{a+b\,f} k_0=C k_2=C\,\frac{1}{a-b\,f} wenn (Q\,L+G\,s)\,\frac{D}{d}\,f=C gesetzt wird. Daraus folgt, dass: k_1\,:\,k_2\,:\,k_3=\frac{1}{a+b\,f}\,:\,1\,:\,\frac{1}{a-b\,f} Textabbildung Bd. 319, S. 263 Fig. 7. Das Gesetz dieser Abhängigkeit ist durch eine einfache graphische Konstruktion leicht ersichtlich zu machen. Es ist K=\frac{C}{a+b\,f} K (a + bf) = C die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel Fig. 7. Trägt man auf der Geraden o x zunächst den Wert a auf und von dem Punkte m0, wenn o m0 = a, die Werte f . b nach rechts oder links, je nachdem ob b positiv oder negativ wird, so geben die Ordinaten die zugehörigen Kettenspannungen, wenn die Hyperbel H nach dem Gesetze K (a + b f) = C konstruiert wurde. k1, k0, k2 stellen dann die oben bezeichneten Werte dar. Aus dem Kräftespiel dieser Anordnung ist einleuchtend, dass die Abwickelrichtung des Kettenbaumes den algebraischen Wert des Hebelarmes b umkehrt, dass also für die Kettenspannungsrichtung K' der positive Hebelarm b negativ und umgekehrt der negative Hebelarm in einen positiven umgewandelt wird. Diese Zeichenänderung vollzieht sich eigentlich in dem Drehungssinne des Bremswiderstandsmomentes gegenüber dem Drehungssinne des Belastungsmomentes, und da es eine natürliche Bedingung für eine möglichst zweckmässige Ausnutzung der Kettenbaumbremse ist, die Bremsbelastung möglichst auszuwerten, so resultiert aus diesem Umstände eine weitere Konstruktionsbedingung, dahingehend, dass der Hebelzapfen stets so angeordnet werde, dass der Drehungssinn des Bremswiderstandsmomentes N f . b im Sinne des Belastungsmomentes Q L gelegen sei. Dadurch wird b in der Formel \frac{f}{a-b\,f} als negative Grösse auftreten und die Kettenspannung bei gleicher Bremsbelastung gesteigert sein, in Fig. 7 also k2 statt k1, im entgegesetzten Falle, erzielt werden. Allerdings muss man hierbei b numerisch genügend klein wählen, um nicht Gefahr zu laufen, dass bei einem etwaigen stärkeren Anwachsen von f eine Verklemmung der Bremse, ein Festbremsen des Kettenbaumes eintrete, was, wie früher gezeigt wurde, der Fall wäre, wenn bf = a wird; man wird daher bei möglichst sicherer Annahme des Maximalwertes von f den Hebelarm b kleiner als \frac{a}{f} machen müssen. Ebenso einfach wie der Einfluss der Hebellänge b bei konstant angenommenem Wert von f lässt sich auch die Wertveränderung der Kettenspannung für einen veränderlichen Reibungskoeffizienten graphisch veranschaulichen. Es ist nach Gleichung 7 K=(Q\,l+G\,s)\,\frac{D}{d}\,\frac{f}{a-b\,f} und wenn wir (Q\,L+G\,s)\,\frac{D}{d}=C_0 als konstant festlegen und den veränderlichen Faktor \frac{f}{a-b\,f}=y setzen, wobei bezüglich d auf das oben Ausgeführte hingewiesen sei, so können wir schreiben K = Co . y Es handelt sich nunmehr bloss darum, die Abhängigkeit zwischen y und f festzustellen. Es ist y=\frac{f}{a-b\,f} woraus y a – b f y = f a y – b f y – f = 0 Behufs Zerlegung dieses Trinoms fügen wir beiderseits den Summanden \frac{a}{b^2} hinzu. Es ist dann, wenn wir vorerst beide Seiten der Gleichung durch b dividieren: \frac{a}{b}\,y-f\,y-\frac{f}{b}+\frac{a}{b^2}=\frac{a}{b^2} Nun ist \frac{a}{b}\,y-f\,y-\frac{f}{b}+\frac{a}{b^2}=\left(\frac{a}{b}-f\right)\,\left(\frac{1}{b}+y\right) daher übergeht die Gleichung in die Form \left(\frac{a}{b}-f\right)\,\left(\frac{1}{b}+y\right)=\frac{a}{b^2} . . . . . 8) Das ist wieder die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel, deren Ordinaten \xi=\frac{a}{b}-f \eta=\frac{1}{b}+y und deren rechte Konstante \frac{a}{b^2} lautet. In Fig. 8 ist diese Hyperbel \xi\,\eta=\frac{a}{b^2} verzeichnet, indem auf der Abszissenachse die Strecke O\,D=\frac{a}{b} und auf der Ordinatenachse die Strecke O\,B=\frac{1}{b} aufgetragen wurde, Der Eckpunkt A des Parallelogramms O B A D ist dann ein Punkt dieser Kurve, deren andere Punkte in bekannter Weise gefunden werden können. Wenn nun von A auf der Geraden A B nach links verschiedene Werte von f maassstäblich aufgetragen werden, z.B. A m = f1, so ist der Abschnitt m p auf der zugehörigen Ordinate der gesuchte Wert für y. Textabbildung Bd. 319, S. 264 Fig. 8. Man erkennt sofort das Anwachsen des Faktors y=\frac{f}{a-b\,f} bei steigenden Werten von f. Legt man durch A eine Gerade A E, so dass B\,E=\frac{1}{b} und daher tg ∡ E A B = \frac{E\,B}{B\,A}=\frac{1}{a} wird, so schneidet diese Gerade auf der Ordinate das Stück m po von B A aus gemessen ab, welches jenem Werte von y entspricht, der erhalten wird, wenn der Hebelarm b = 0 wird, denn es ist dann y=\frac{f}{a-0} \frac{y}{f}=\frac{1}{a}= tg ∡ \overline{E\,A\,B} Wechselt b das Vorzeichen, gemäss einer Umkehrung des Drehungssinnes des Kettenbaumes, so erscheinen die Werte y als die Abschnitte n q, die man erhält, wenn f auf B A über A hinaus aufgetragen wird, nach z.B. n und in diesem Punkte die Ordinate n q auf B n senkrecht nach abwärts errichtet wird. Es ergibt sich dies aus der Gleichung 8, wenn in derselben statt b der Wert – b eingeführt wird, sie lautet dann \left(\frac{a}{-b}-f\right)\,\left(-\frac{1}{b}+y\right)=\frac{a}{b^2} oder umgeschrieben \left(\frac{a}{b}+f\right)\,\left(\frac{1}{b}-y\right)=\frac{a}{b^2} . . . . 9) Man erhält dieselbe Hyperbel wie vorher, nur ist jetzt \xi=\frac{a}{b}+f und \eta=\frac{1}{b}-y zu setzen, woraus sich die obigen Feststellungen für die Ablesung der Werte y ergeben. Auch hier schneidet, wie leicht ersichtlich, die Gerade EAE' die Werte von y ab, welche bei b = 0 erhalten würden. Die Gerade EE' berührt die Hyperbel als Tangente im Punkte A, wie aus der Tangentengleichung der Kurve hervorgeht. Es ist y=\frac{f}{a-b\,f} \frac{d\,y}{d\,f}=\frac{a-b\,f+b\,f}{(a-b\,f)^2}=\frac{a}{(a-b\,f)^2} für den Punkt A ist die Richtungstangente \frac{d\,y}{d\,f}=\frac{a}{(a-o)^2}=\frac{1}{a} Aus dem Kurvenverlaufe in Fig. 8 ist aber auch deutlich der Einfluss kennbar, den die Grösse des Reibungskoeffizienten auf die Differenz ausübt, um welche ein positives oder negatives b die Werte der Kettenspannung gegenüber jenem bei b = 0 ermässigt oder erhöht; denn nimmt man an, dass die Grösse b eine Veränderung erfahre, so bleibt die Hyperbel Hp trotzdem die gleiche, es wechselt nur der Maasstab, in dem sie zu verwerten ist. Sowohl die Grösse \frac{a}{b} als auch jene \frac{1}{b} ändern sich proportional und da sich somit die Hyperbel auch für den neuen Wert von b gleichartig einstellt, so ändert sich das Bild nur insofern, als die Länge f, die man von A aus aufträgt, dem neuen Maasstab angepasst werden muss. Sinkt also beispielsweise der Wert b auf die Hälfte seines ursprünglichen Wertes, so bedeutet dies, dass die Strecke \frac{a}{b} sowohl als auch jene \frac{1}{b} doppelt so gross zu bemessen wären als ursprünglich, bei Zugrundelegung der gleichbleibenden Fig. 8, daher der Maasstab nur halb so gross aufzufassen sei als vorher. Daraus ergibt sich aber weiter, dass der innerhalb der gleichen Werte wie früher sich bewegende Reibungskoeffizient jetzt auch nur innerhalb der nur halb so weit verzeichneten Grenzen aufzutragen kommt und die ihm entsprechenden Kettenspannungen, dann dem neuen Maassstab entsprechend gefunden werden. Wäre das Abhängigkeitsgesetz zwischen f und K nun ein einfaches Proportionalitätsverhältnis, dann wären auch die neuen Ablesungen gleichwertig wie früher, da aber die Ablesungen nicht an einer Geraden, entsprechend dem einfachen Proportionalitätsverhältnis stattfinden, sondern zwischen der Geraden B A und Hyperbelästen, so ergibt sich sofort die Tatsache, dass innerhalb näher liegender Grenzen die Differenzen nicht so gross ausfallen, wie innerhalb weiter gesteckter, und einem doppelt so grossen f entspricht augenscheinlich eine mehr als doppelte Grösse K Je näher der äusserste Punkt m dem Punkte A rückt, um desto weniger äussert sich die verhältnismässige Abweichung der Kettenspannung bei vorhandenem, d.h. von 0 verschiedenem Werte des Hebelarmes b gegenüber dem Werte derselben für b = 0. Aus den eben dargelegten Beziehungen geht hervor, dass die Anordnung je nach dem Drehungssinn des Kettenbaumes eine verschieden grosse Kettenspannungergibt und dass sie in bestimmten Fällen in eine den Kettenbaum vollkommen festhaltende Klemmvorrichtung übergehen kann. Behufs möglichster Herabminderung der Kettenspannungsschwankungen sucht man den Reibungskoeffizienten tunlichst konstant zu erhalten, indem man die Bremsflächen schmiert, dadurch wird der Reibungskoeffizient zwar weniger schwanken aber auch bedeutend sinken, so dass die erzielte Kettenspannung kleiner ausfällt bezw. zur Erzielung einer bestimmten Spannung mehr Belastungszug notwendig ist. Textabbildung Bd. 319, S. 265 Fig. 9. In der Praxis macht man hierbei, um den Reibungsfaktor zu erhöhen, von einer Anordnung der Bremskörper Gebrauch, die in Fig. 9 zur Anschauung gebracht ist. Der Bremsklotz hat einen keilartigen Querschnitt und die Bremsscheibe ist mit einer entsprechenden Rille versehen. Die Wertvergrösserung des Reibungsfaktors ergibt sich folgenderweise. Ist N der auf den Bremsklotz wirkende Belastungsdruck, so ist, wenn N' den erzielten Normaldruck auf die Bremsscheibenseitenflächen bedeutet und a den halben Keilwinkel vorstellt: \frac{N}{2}=N'\,\mbox{sin}\,\alpha+N'\,f\,\cdot\,cos\,\alpha woraus N'=\frac{N}{2\,(\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha)} und 2 N' f = W' der jetzt eintretende Reibungswiderstand W'=\frac{N\,f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha} Bei konformer Anwendung der früheren Bezeichnungen ist \begin{array}{rcl}Q\,L+G\,s&=&N\,a-^2N'\,f\,b\\ &=&N\,a-\frac{N\,f,b}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha} \end{array} und N=\frac{Q\,L+G\,s}{a-b\,\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha}} woraus W'=\frac{Q\,L+G\,s}{a-b\,\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha}}\,\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha} und k=\frac{Q\,L+G\,s}{a-b\,\frac{f}{\mbox{sin}\,a+f\,\mbox{cos}\,\alpha}}\,\cdot\,\frac{D}{d}\,\cdot\,\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha} resultiert. Analog der Gleichung 7 umgeformt, ergibt sich K=(Q\,L+G\,s)\,\frac{D}{d}\,\frac{\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha}}{a-b\,\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha}} . . . 10) da Gleichung 10 in die Form der Gleichung 7 übergeht, wenn für \frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha}=f' gesetzt wird. Aus der Beziehung f'=\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha} ist zu ersehen, dass, sobald (sin α + f cos α) einen Bruchwert unter 1 ergibt, die Kettenspannung gegen die frühere Anordnung erhöht erscheint. Dieser Wert kann aber auch ersichtlicherweise über 1 anwachsen, dann ist die erzielte Kettenspannung noch kleiner als bei Anwendung von Bremscheiben ohne Rille. Der Nenner sin α + f cos α ist im allgemeinen innerhalb der in der Praxis gebräuchlichen Annahmen von α und bei den auftretenden Reibungskoeffizienten ein echter Bruch, so dass tatsächlich eine erhöhte Kettenspannung erreicht wird. So ergibt sich bei f = 0.5 (Holz auf Eisen) und α = 20, 25, 30, 35 und 40° dieser Wert aus der Zusammenstellung: α cos α f cos α sin α sin α + f cos α \frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha} 20° 0,93969 0,46985 0,34205 0,81190 0,615 25° 0,90631 0,45315 0,42262 0,87577 0,571 30° 0,86603 0,43301 0,50000 0,93301 0,536 35° 0,81915 0,40958 0,57358 0,98316 0,509 40° 0,76604 0,38302 0,64279 1,02581 0,487 Man erkennt, dass die Steigerung des Reibungswertes nur unbeträchtlich ist und nur bei dem Winkel 20° bis 25° etwa 20 v. H. beträgt, dagegen sogar eine Minderung dieses Wertes eintritt, wenn α = 40° genommen wird. Für kleinere Reibungskoeffizienten f wird dieser Fall erst später erreicht. Immerhin kann bei entsprechender Wahl der Grössen der Mehrbetrag in die Wagschale fallen. Ist z.B. α = 10°, f = 0,3, so ist f' = 0,64. Der Maximalwert des Nenners (sin α +f cos α) ist bestimmt aus n = sin α + f cos α \frac{d\,n}{d\,\alpha}=\mbox{cos}\,\alpha-f\,\mbox{sin}\,\alpha \frac{d_2\,n}{d\,\alpha^2}=-\mbox{sin}\,\alpha-f\,\mbox{cos}\,\alpha für cos α = f sin α \frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\mbox{cos}\,\alpha}=\frac{1}{f} cotg α = f = tg ρ wenn ρ der Reibungswinkel ist. Dass dieser Wert ein Höchstwert ist, erhellt aus dem negativen Werte von \frac{d^2\,n}{d\,\alpha^2}, da α und f positive Grössen sind. Der auftretende Reibungskoeffizient ist für diesen Fall zu berechnen aus \begin{array}{rcl}f'&=&\frac{f}{\mbox{sin}\,\alpha+f\,\mbox{cos}\,\alpha}\\ &=& \frac{\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}\,\alpha}}{\mbox{sin}\,\alpha+\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{\mbox{sin}\,\alpha}}\\ &=&\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{sin}^2\,\alpha+\mbox{cos}^2\,\alpha}=\mbox{cos}\,\alpha \end{array} da nun \mbox{cos}\,\alpha=\frac{\mbox{cotg}\,\alpha}{\sqrt{1+\mbox{cotg}^2\,\alpha}} so ist f'=\frac{f}{\sqrt{1+f^2}} Bis zu diesem Werte kann der in die Rechnung einzuführende Reibungskoeffizient herabsinken, wenn eine Rille angeordnet wird, deren Keilwinkel die entsprechende Grösse erhält. Ist z.B. f = 0,5 so wird dies erreicht bei α = α' cotg α' = tg ρ = 0,5 α' = 63° und es beträgt dann f'=\frac{f}{\sqrt{1+f^2}}=\frac{0,5}{\sqrt{1+0,25}}=\,\sim\,0,45 Der Reibungswert fällt daher bei α = 63° auf den Wert f' = 0,45 gegen f = 0,5. Für α = 90°, entsprechend der glatten Scheibe, ist f'=\frac{f}{1+0}=f wie früher. (Fortsetzung folgt.)