Die Drahtseilbahnen. Von Regierungsbaumeister Stephan. Die Drahtseilbahnen. Die technische Literatur enthält eine grosse Anzahl Beschreibungen ausgeführter Drahtseilbahnanlagen, die jedoch meistens nur die allgemeine Lösung der gestellten Aufgabe besprechen und auf konstruktive Einzelheiten nur soweit eingehen, als es zum Verständnis des Ganzen erforderlich ist. Mitteilungen über die Berechnung und diekonstruktive Ausgestaltung der Einzelheiten sind dagegen verhältnismässig selten. In der vorliegenden Abhandlung soll nun versucht werden, die für den Bau einer Drahtseilbahn nötigen Konstruktionsangaben und Berechnungen zusammenzustellen, was auch für weitere Kreise von Interesse sein wird, da verschiedene Vervollkommnungen der letzten Jahre das Anwendungsgebiet dieser Art Transport-Errichtungen sehr erweitert haben. Bevor auf konstruktive Einzelheiten eingegangen wird, mögen die infolge des Eigengewichtes und der Belastung in einem ausgespannten Seil auftretenden Kräfte und die Form, welche ersteres hierbei annimmt, kurz erörtert werden. Im allgemeinen wird das Seil auf zwei ungleich hohen Stützen aufliegen. Sieht man von seiner elastischen Formänderung ab, die stets innerhalb so geringer Grenzen bleibt, dass ihr Einfluss auf das in der Praxis meist abgekürzte Endergebnis verschwindet, dann gilt für das nur durch sein Eigengewicht belastete Seil bekanntlich die Gleichung y=\frac{h}{2}\,\left(e^{\frac{x}{h}}+e^{-\frac{x}{h}}\right) oder unter Benutzung der Hyperbelfunktionen y=h\,\frakfamily{Cos}\,\frac{x}{h} . . . . 1) bezw. umgekehrt \frac{x}{h}=\frakfamily{Ar Cos}\,\frac{y}{h}; . . . . . . 1a) hierin ist h die Entfernung des Scheitels der Kettenlinie von einer wagerechten Nullinie (Fig. 1). Textabbildung Bd. 319, S. 421 Fig. 1. Die an einer beliebigen Stelle des Seiles wirkende Spann- kraft ergibt sich, wenn sein Gewicht, bezogen auf 1 m Länge, mit q bezeichnet wird, zu S = q . y . . 2) Sie wird also am grössten an der oberen Auflagerstelle, während am Scheitel die kleinste, wagerecht gerichtete Spannkraft H = q . h . . . . . . 2a) auftritt. Bedeutet ferner: \frakfamily{F} den Material-Querschnitt des Seiles in qcm, Kz die Zugfestigkeit des Seilmaterials in kg/qcm, \frakfamily{S} den Sicherheitsgrad, der bei der grössten Beanspruchung innegehalten wird, γ das spezifische Gewicht des Drahtes in kg/cdm, ξ den Verseilungsfaktor, der angibt, wieviel länger die verwendeten Drähte sind als das fertige Seil, so besteht der Zusammenhang S_{\mbox{max}}=\frac{F\,\cdot\,K_z}{\frakfamily{S}} und 10\,q=\frakfamily{F}\,\gamma\,\xi Durch Verbindung beider Gleichungen erhält man S_{\mbox{max}}=q\,\cdot\,\frac{10}{\frakfamily{S}\,\xi}\,\frac{K_z}{\gamma} . . . 3) Aus dem Vergleich mit Gleichung 2) ergibt sich y_1=\frac{10\,K_z}{\frakfamily{S}\,\xi\,\gamma}=C . . . 4) das ist diejenige Länge, die das senkrecht herabhängende Seil haben müsste, um die Spannkraft Smax in seinem obersten Querschnitt hervorzurufen. Man erhält ferner mit den Bezeichnungen der Fig. 1 y2 = y1 – b . . . . . . 5) Wird noch in die aus der Figur folgende Beziehung x 1 + x 2 = a die Gleichung 1a) eingesetzt, so hat man die Bestimmungsgleichung für h: \frac{a}{h}=\frakfamily{Ar Cos }\frac{y_1}{h}+\frakfamily{Ar Cos }\,\frac{y_2}{h} . . . . 6) Hieraus lässt sich mit Hilfe der Regula falsi die Ordinate des tiefsten Seilpunktes unter Verwendung der in der „Hütte“ abgedruckten Tafeln der Hyperbelfunktionen leicht bestimmen. Ist dies geschehen, so ergibt sich seine wagerechte Entfernung von den Aufhängungspunkten aus Gleichung 1a) und nach Gleichung 1) kann dann die ganze Kurve aufgezeichnet werden. Textabbildung Bd. 319, S. 421 Fig. 2. Da in Gleichung 4) nur Zahlen vorkommen, welche die Konstruktion des Seiles und das Drahtmaterial betreffen, so gilt die ermittelte Seilkurve für alle Seile von gleicher Konstruktion und Materialbeschaffenheit, die mit demselben Sicherheitsgrad verlegt werden; y1 kann demnach als Seilkonstante bezeichnet werden. Zu beachten ist noch, dass bei einem stark geneigten Seil (Fig. 2) der dem Parameter h entsprechende Scheitelpunkt C ausserhalb der Strecke A B liegt. Die Gleichung, nach der h berechnet wird, lautet dann x1 – x2 = a bezw. \frac{a}{h}=\frakfamily{Ar Cos }\frac{y_1}{h}-\frakfamily{Ar Cos }\,\frac{y_2}{h} . . . 6a) Textabbildung Bd. 319, S. 421 Fig. 3. Ergibt Gleichung 6) keinen Wert für h, so ist Gleichung 6a) zu benutzen. Das Verfahren ist für die Praxis jedoch zu umständlich, wenn man auch graphische Tabellen zu Hilfe nehmen wollte, wie sie z.B. von Babu konstruiert sind.Annales des mines, 1895, S. 621 ff. Für praktische Rechnungen benutzt man den Umstand, dass die Seillänge sich nur wenig von der geraden Verbindungslinie l der beiden Auflagerpunkte A und B unterscheidet (Fig. 3) und dass infolgedessen das gesamte Seilgewicht mit grosser Annäherung zu q . l erhalten wird. Die Gleichgewichtsbedingungen für das System ergeben dann, dass die Horizontalkomponente der Seilspannung H an beiden Auflagern und folglich im ganzen Seil dieselbe ist, ferner die Beziehungen: V1+ V2 = q l und V_1\,\cdot\,a=H\,b+q\,l\,\frac{a}{2}. Aus beiden Gleichungen folgen die Vertikalkomponenten der Seilspannung: V_1=\frac{q\,l}{2}+H\,\frac{a}{b} V_2=\frac{q\,l}{2}-H\,\frac{a}{b} . . . . 7) Wird nun in der Entfernung a1 vom Punkte A ein Schnitt geführt, so ergibt die Momentengleichung für den Punkt C: V_1\,a_1-H\,(b\,\frac{a_1}{a}+f)-q\,l\,\frac{a_1}{a}\,\cdot\,\frac{a_1}{2}=0, woraus man nach Einsetzung von V1 den Durchhang an der betreffenden Stelle erhält: f=\frac{q\,l}{2\,H}\,\left(a_1-\frac{{a_1}^2}{a}\right) oder nach einer einfachen Umformung f=\frac{q\,l}{2\,H}\,\cdot\,\frac{a_1\,a_2}{a} . . . . . 8) Der Durchhang in der Mitte bei C' ist demnach f_1=\frac{1}{8}\,\frac{q}{H}\,\frac{l}{a}\,a^2 . . . . 8a) Man sieht, die Seilkurve ist eine Parabel, die leicht aus den drei Punkten A, B, C' mit Hilfe der bekannten Tangentenkonstruktion aufgezeichnet werden kann, wenn H gegeben ist. Gewöhnlich besteht jedoch die Bedingung, dass eine bestimmte Spannkraft S nicht überschritten werden soll, die sich sehr bequem aus der für die Kettenlinie geltenden Gleichung 2) ergibt: S = H + qb. Dabei ist allerdings vorausgesetzt, dass der Scheitelpunkt der Kettenlinie mindestens nahezu in derselbenHöhe liegt wie der untere Stützpunkt, doch bleibt der Fehler, wie aus der unten folgenden Zusammenstellung hervorgeht, bei Tragseilen mit den Neigungen 1 : 5 bis 1 : 2 stets sehr klein. Hiermit geht Gleichung 8a) über in f_1=\frac{1}{8}\,\frac{q}{S-q\,b}\,\frac{l}{a}\,a^2 oder nach Einsetzung von Gleichung 3) und 4): f_1=\frac{1}{8}\,\frac{1}{C-b}\,\frac{l}{a}\,a^2 . . . 9) Für die in Frage kommenden Seile sind die hier notwendigen Konstruktionsangaben in der nachstehenden Tabelle nach den Mitteilungen von Felten & Guilleaume zusammengestellt. Seilkonstanten. Konstruktion des Seiles Bruchfestigkeitdes StahlesKz Spezifisches Ge-wicht des Stahl-drahtes γ Verseilungs-faktor ξ Sicherheits-grad \frakfamily{S} SeilkonstanteC=\frac{10\,K_z}{\frakfamily{S}\,\xi\,\gamma} Litzenseil im Albertschlag (6 Litzen von je7 Drähten) mit Hanfseele 120001500018000   1,233 10 125015601870 Spiralseil   60001200014500 7,8   1,075   6  6 119023902880 Verschlossenes Seil   6000  950012000   1,150   6 115018202300 Simplexseil   6000  9500 1,07   6 12001900 Bei 10 bezw. 6-facher Sicherheit, die meist genommen wird, ist dann die Seilkonstante die in der letzten Spalte angegebene Zahl. Wird mit grösserer oder kleinerer Sicherheit gerechnet, so ist der angegebene Wert von C entsprechend zu reduzieren. Die Parabel schliesst sich der Kettenlinie um so genauer an, je kleiner das in Betracht kommende Stück der Kettenlinie ist, d.h. je kleiner die Spannweite des Seiles ist. Bei geringen Neigungen kann b dem Wert C gegenüber vernachlässigt werden, ebenso ist dann das Verhältnis sehr nahe gleich 1, so dass man unter der Voraussetzung einer Neigung \frac{b}{a}\,<\,\frac{1}{5} die vereinfachte Formel für den Durchhang in der Mitte erhält: f_1=\frac{1}{8}\,\frac{1}{C}\,a^2 . . . . . 10) Um für grosse Spannweiten den Fehler festzustellen, den die Ersetzung der Kettenlinie durch die Parabel verursacht, wurden beide Kurven eines Spiralseiles von Kz = 12000 kg/qcm bei sechsfacher Sicherheit für eine Spannweite a = 1000 m berechnet und zwar für verschiedene b. Das Ergebnis ist in der folgenden Tabelle niedergelegt. b 100 200 300 400 500 600 700 m Parameter der Kettenlinie h 2268,6 2185,9 2084,1 1969,6 1848,2 1723,3 1598,8 m Seine Entfernung vom Punkte A : x1   711,4   931,4 1110,6 1260,3 1378,9 1467,6 1528,6 „ Seine Entfernung vom Punkte B : x2   288,6     68,6 110,6   260,3   378,9   467,6   528,6 „ Durchhang der Kettenlinie in der Mitte fk   58   57 63   69   76   85   96 „ Durchhang der Parabel in der Mitte fp     55,0     58,2   62,5     67,8     74,0      81,7     90,5 „ Fehler in v. H. des Parabelwertes   – 5,5     + 2,1   – 0,8     – 1,8     – 2,7     – 4,0   – 6,1 Die abgekürzte Gleichung 10) würde für alle b den Wert f1 = 52⅓ m ergeben, also bereits bei den geringen Neigungen mit einem Fehler von 10 v. H. des Eigenwertes behaftet sein, der allerdings bei kleinen Spannweiten bis zu etwa 400 m keine erhebliche Rolle spielt. Bei den ganz grossen Neigungen rührt der im Mittel etwa 5 v. H. betragende Fehler davon her, dass in die Gleichung 9) an Stelle der Entfernung des Scheitels der Seilkurve von der Aufhängung, welche ausserhalb des betrachteten Stückes liegt (vergl. Fig. 2), das zu kleine Maass b eingesetzt wurde. Der Fehler würde bei weichen Seilen von K2 = 6000 kg/qcm, die in solchen Fällen allerdings wohl kaum zur Verwendung gelangen, noch grösser ausfallen. Da derartige Neigungen ganz aussergewöhnlich sind, so genügt für die Berechnung des Seildurchhanges stets die Gleichung 9), deren Wert bei ungewöhnlich starken Neigungen um 3 bis 6 v. H. zu vergrössern ist. Die Parabel schliesst sich dann der Kettenlinie sehr gut an. Auch für die Berechnung der schwächer gespannten und daher stärker durchhängenden Zugseile genügt Gleichung (9) vollkommen, nur bei Spannweiten über 600 m ist es nötig, den so erhaltenen Wert um etwa 5 v. H. zu vergrössern. Bei Neigungen unter 1 : 5 macht sich derselbe Einfluss bemerkbar, dem dadurch mit guter Annäherung Rechnung getragen werden kann, dass erst aus Gleichung 10) ein vorläufiger Wert des Durchhanges ermittelt und dann um \frac{b}{2} vermehrt in Gleichung 9) von der Seilkonstanten C in Abzug gebracht wird. Selbstverständlich gilt diese Regel nur für grosse Spannweiten, bei kleinen und auch noch mittleren genügt Gleichung 10) ohne jede Korrektur. Textabbildung Bd. 319, S. 423 Fig. 4. Bei der Berechnung eines Seilabschnittes, der wesentlich unter dem oberen Aufhängungspunkt des ganzen Seiles liegt, ist ausser dem Maass b noch die senkrechte Entfernung des Anfangspunktes A von der Befestigungsstelle von der Konstanten C in Abzug zu bringen. Die Länge eines zwischen zwei, um die Strecke l von einander entfernten Stützpunkten ausgespannten Seiles ergibt sich nach der für die Parabel geltenden Näherungsformel L=l\,\left[1+\frac{2}{3}\,\left(\frac{2\,f_o}{l}\right)^2\right], worin f0 der lotrecht zu l gemessene Durchhang ist. Wird der senkrechte Durchhang mit f bezeichnet, so ist f_o=f\,\frac{a}{l} und somit L=l+\frac{8}{3}\,\frac{f^2}{l}\,\left(\frac{a}{l}\right)^2 . . . . 11) Durch die auf dem Seil laufenden Wagen wird der oben ermittelte Durchhang noch vergrössert. Das hier gewichtslos gedachte Seil stellt sich unter der Wirkung einer Einzellast P so ein, dass die drei Kräfte P, S1, S2 im Gleichgewicht sind (Fig. 4); dies ergibt folgende Gleichungen: S1 sin (α + γ) + S2 sin (β – γ) = P . . 12a) S1 cos (α + γ) = S2 cos (β – γ) . . . 12b) P\,a_1=S_2\,\frac{a}{\mbox{cos}\,\gamma}\,\mbox{sin}\,\beta bezw. P\,a_2=S_1\,\frac{a}{\mbox{cos}\,\gamma}\,\mbox{sin}\,\alpha . . . . 13) Ferner bestehen die geometrischen Beziehungen: tg\,\gamma=\frac{b}{a} . . . . 14) f'=a_1\,\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\mbox{cos}\,\gamma\,\mbox{cos}\,(\alpha+\gamma)} und f'=a_2\,\frac{\mbox{sin}\,\beta}{\mbox{cos}\,\gamma\,\mbox{cos}\,(\beta-\gamma)} . . . . 15) Aus der Verbindung der Gleichungen 13) und 15) folgt mit Berücksichtigung von Gleichung 12b): f'=\frac{P}{S_1\,\mbox{cos}\,(\alpha+\gamma)}\,\cdot\,\frac{a_1\,a_2}{a}=\frac{P}{S_2\,\mbox{cos}\,(\beta-\gamma)}\,\cdot\,\frac{a_1\,a_2}{a} oder f'=\frac{P}{H}\,\frac{a_1\,a_2}{a} . . . 16) worin H ∾ Smax – q b die konstante wagerechte Komponente der Seilspannung ist. Man sieht, dass die Last P beim Bewegen auf dem gewichtslosen Seil eine Parabel beschreibt, die sich aus dem Durchhang in der Mitte f_2=\frac{1}{4}\,\frac{P}{q}\,\frac{a}{C-b} . . . 16a) sofort besimmmen lässt. Auch hier ist zutreffenden Falles noch der lotrechte Abstand des Anfangspunktes des in Frage stehenden Seilabschnittes von der oberen Befestigungsstelle des Seiles von C abzuziehen. Textabbildung Bd. 319, S. 423 Fig. 5. Mit Gleichung 9) erhält man den Zusammenhang zwischen f2 und f1: \frac{f_2}{f_1}=\frac{2\,P}{q\,l}. Befinden sich auf dem Seil mehrere Einzellasten P1, P2, P3 in gewissen, annähernd gleichen Abständen c (Fig. 5), so erfolgt offenbar der grösste Durchhang dann, wenn eine Last, z.B. P2 in der Mitte, im Punkte D steht. Die Last P1 bewirkt dann, dass die Mitte sich um die Strecke f_m=\frac{P_1}{H}\,\cdot\,\frac{\left(\frac{a}{2}+c_1\right)\,\left(\frac{a}{2}-c_1\right)}{a}\,\cdot\,\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}+c_1} oder f_m=\frac{1}{4}\,\cdot\,\frac{P_1}{q\,(C-b)}\,\cdot\,\frac{\frac{a}{2}-c_1}{a}\,\cdot\,a senkt. Nun ist P_1\,\cdot\,\frac{\frac{1}{2}\,a-c_1}{\frac{1}{2}\,a} die Belastung, die Punkt D erhalten würde, wenn die Last P1 auf die beiden Stützpunkte A und D eines starren Balkens A D verteilt würde, im übrigen hat die Gleichung für fm dieselbe Form wie Gleichung 16a). Dasselbe gilt für die Last P3 usw. Man erhält hieraus die Regel, die Parabel, welche den Weg der Lasten bezeichnet, wird aus dem nach Gleichung 16a) ermittelten Durchhang in der Mitte konstruiert, wenn P die Belastung der Mitte bedeutet, die sich durch Reduktion aller Einzellasten auf die Mitte ergibt. Das Verfahren ist äusserst einfach, doch kommt man bei grossen Spannweiten, auf denen die Wagen dicht hintereinander verkehren, schneller zu einem, nur wenig zu kleinen Ergebnis, wenn man das Seil durch eine kontinuierliche Last q'=\frac{\Sigma\,P}{l} belastet denkt und dann nach Gleichung 9) berechnet. Damit die Bahn sich in Tälern dem Gelände nach Möglichkeit anschliesst, werden die Unterstützungspunkte in einer Parabel angeordnet, die flacher ist als die Seilkurve, welche der betreffenden Spannweite des Tales und der Seilkonstruktion entspricht. Die Parabel muss nur so bestimmt werden, dass ein Abheben des Seiles von den Stützen unmöglich ist, auch wenn durch einen Zufall nur auf einer Hälfte des Seiles Wagen stehen, während die andere leer ist. (Fig. 6). Es muss also der Unterschied der aus Gleichung 11) hervorgehenden Bogenlängen L und der geradlinigen Stützpunktentfernungen l auf der unbelasteten Seite noch grösser sein als der Unterschied der durch die Einzellasten vergrösserten Parabelbögen auf der Lastseite gegen die ursprünglichen Bögen. Dies ergibt die Beziehung \underset{leer}{\Sigma}\,(L-l)\,>\,\underset{voll}{\Sigma}\,(L'-L) . . . 17) Nun ist nach Gleichung 11) L-l=\frac{8}{3}\,{f_1}^2\,\frac{a^2}{l^3}, worin l=\sqrt{a^2+b^2}\,\sim\,a\,\left(1+\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}\right) und f_1=\frac{1}{8}\,\frac{1}{C-b}\,l\,\alpha einzusetzen ist. Hieraus folgt L-l=\frac{1}{24}\,\left(\frac{1}{C-b}\right)^2\,\cdot\,\frac{a^3}{\left(1+\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}\right)}. Ebenso ist L'-L=\frac{8}{3}\,\frac{a^2}{l^3}\,\left[(f_1+f_2)^2-{f_1}^2\right], wobei für die wirkliche Seilkurve mit Knickpunkten die etwas zu grosse Umhüllungsparabel gesetzt wird, was die Sicherheit der Rechnung erhöht. Mit f_1=\frac{1}{8}\,\frac{1}{C-b}\,a^2\,\left(1+\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}\right) und f_2=f_1\,\frac{2\,P'}{q\,a\,\left(1+\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}\right)} ergibt sich: L'-L=\frac{1}{24}\,\left(\frac{1}{C-b}\right)^2\,\cdot\,\frac{4\,P'}{q}\,\cdot\,\frac{a^2}{\left(1+\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}\right)^2}\,\left(1+\frac{P'}{q\,a\,\left(1+\frac{1}{2}\,\frac{h^2}{a^2}\right)}\right) Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Gleichung 17) erhält man mit der Umformung \frac{1}{1+\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}}=1-\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}. die Bedingungsgleichung Textabbildung Bd. 319, S. 424 Fig. 6. q\,\underset{leer}{\Sigma}\,a^3\,\left(1-\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}\right)\,>\,4\,\underset{voll}{\Sigma}\,P'\,a^2\,\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\,\left[1+\frac{P'}{q\,\alpha}\,\left(1-\frac{1}{2}\,\frac{b^2}{a^2}\right)\right]. . . . 18) Hierin bedeutet P' die auf die Mitte reduzierte Belastung jeder Spannweite. (Die Werte \frac{b^2}{a^2} können häufig vernachlässigt werden). Es folgt aus der Gleichung, dass die Stützenentfernungen auf dem steileren Ast grösser zu nehmen sind als auf der anderen flacheren Seite, welche Notwendigkeit auch Fig. 6 deutlich zeigt, deren Höhen in einem wesentlich grösseren Maasstab gezeichnet sind als die Längen. Der Einfachheit halber wurde bei der Rechnung noch vorausgesetzt, dass die Spannvorrichtung für das Seil nicht wirkt und dass die Seilspannung an allen Stellen die gleiche ist, was die Sicherheit ebenfalls erhöht. Da man auch bei geringen Förderleistungen auf einer Bahn, die für eine dichtere Wagenfolge gebaut ist, den Wagenabstand möglichst gleichmässig hält, so genügt es, wenn man das Seil in dem vorliegenden Fall nur mit der Hälfte oder bei grossen Strecken mit einem Drittel aller Wagen, die bei der Volleistung auf dem betreffenden Seilabschnitt stehen würden, sich belastet denkt. In der Praxis begnügt man sich meist mit der Regel, die Stützpunkte nicht tiefer zu legen als in einer Parabel, deren Durchhang bei Litzenseilen nicht grösser als\frac{1}{2} des der Seilspannung entsprechenden ist, während bei Spiral- und Simplexseilen \frac{2}{3} und bei den verhältnismässig schweren verschlossenen Seilen \frac{3}{4} des grössten Durchhanges genommen werden. Bei falscher Wahl der Stützenentfernungen kann jedoch schon hierbei ein Abheben eintreten und andererseits ist es bisweilen unter Benutzung der Gleichung 18) möglich, die Seilkurve noch mehr dem Gelände anzupassen. (Fortsetzung folgt.)