Die günstigsten Kurbelwinkel für stationäre Mehrkurbelmaschinen. Von Reinhold Rüdenberg, Hannover. (Fortsetzung von S. 420 d. Bd.) Die günstigsten Kurbelwinkel für stationäre Mehrkurbelmaschinen. Am übersichtlichsten wird die ganze Rechnung werden bei der Anwendung auf ein Beispiel. Um gleich eine bequeme Kontrolle der Ergebnisse zu ermöglichen, wähle ich Diagramme, für welche die zuerst erwähnte graphische Bestimmung der besten Kurbelwinkel bereits vorliegt. In Z. d. V. d. J. 1901, Seite 831 ff. veröffentlicht Budil die Tangentialdruck-Diagramme einer stehenden Zweizylinder-Verbundmaschine, deren Kurbelwinkel er zu 138° angibt, wenn die Niederdruck-Kurbel voreilt. Dieser Winkel wurde weh Probieren gefunden. Sehen wir nun, was die Rechnung liefert. Um die harmonische Analyse der Diagramme bis zum fünften Gliede genau durchzuführen, genügt die Messung von zwölf gleichmässig über die Periode verteilten Ordinaten, die das Bild der Kurve auch tatsächlich ziemlich gut wiedergeben. Die Einzeldiagramme sind in Fig. 3 kopiert. Die Analyse wurde nach dem von Prof. RungeZeitschrift für Mathematik und Physik, 1903, Bd. 48, Seite 443. angegebenen Schema durchgeführt, das die Amplituden der Harmonischen nach kurzer Rechnung liefert. Sie sind in Tabelle 1 zusammengestellt. Dieselbe Tabelle zeigt auch die schematische Berechnung der Werte an und bn; sie gehen durch einfache Operationen nach Gleichung 11 aus A, B . . . hervor. Wir hätten uns nun die Kurve (f (α) = Σn an cos n α + Σn bn sin α) als Funktion von α aufzuzeichnen. Wie Prof. Runge gezeigt hat,Theorie und Praxis der Reihen, 1904 Seite 155. lässt sich dasselbe bequeme Rechenschema, das oben zur Analyse der Kurven benutzt wurde, unverändert auch zu deren Synthese verwenden, d.h. zur Berechnung von zwölf Ordinaten der Tabelle 1. n = 1 2 3 4 5 A, B C, D + 1,22 + 3,32+ 0,95 + 3,62 – 4,30 + 2,54– 8,10 – 4,75 – 0,57 – 2,24– 0,87 – 2,54 – 4,94 + 3,34– 1,63 – 0,35 – 0,65 +0,32– 0,08 + 0,25 A × DB × C +   4,42+   3,16 + 20,40– 20,60 +   1,45+   1,95 +   1,73–   5,44 – 0,16– 0,02 Differenz Δ– n . Δ = an +   1,26–   1,26 + 41,00– 82,00 –   0,50+   1,50 +   7,17– 28,68 – 0,14+ 0,70 A × CB × D +   1,16+ 12,01 + 34,80– 12,08 +   0,50+   5,69 +   8,05–   1,17 + 0,05+ 0,08 Summe Σ– n . Σ = bn + 13,17– 13,17 + 22,72– 45,44 +   6,19– 18,57 +   6,88– 27,52 + 0,13– 0,65 f (α) = Kurve aus den Zahlenwerten für an und bn. Hierdurch ist der Verlauf der Kurve annähernd festgelegt, besser ist es jedoch, durch doppelte Anwendung des Schemas 24 Punkte zu berechnenEbendaselbst, Seite 157., namentlich, wenn dieKurve, wie im vorliegenden Falle, ziemlich verwickelten Bau besitzt (Fig. 4). Es würde ja genügen, den Verlauf der Kurve in der Nähe der Durchschnittspunkte mit der Nullinie zu kennen, doch macht die übliche Berechnung nur weniger Ordinaten an diesen Stellen weit mehr Mühe als die gesamte Rechnung nach dem erwähnten Schema. Textabbildung Bd. 319, S. 437 Fig. 3. Aus Fig. 4 geht hervor, dass für unsere Maschine zwei Winkel bestehen, die wir als günstig bezeichnen dürfen, sie werden aber wahrscheinlich nicht beide gleich gut sein. Um dies zu entscheiden, kann man die gesamte Kurve integrieren und das absolute Minimum aufsuchen (Fig. 2a), man kann aber auch schneller durch folgende Ueberlegung zum Ziele kommen. Die grösste Ueberschussfläche im resultierenden Drehkraft-Diagramm würde bei gleicher Amplitude aller Harmonischen offenbar durch die erste hervorgerufen, da sie von allen die grösste Basis hat. Es wird also günstig sein, diese möglichst klein zu halten, und da die erste Harmonische in allen Einzeldiagrammen ein ziemlich gleich starkes Sinusglied bildet, so wäre eine Kurbelversetzung von rund 180° am besten. Weil auch noch andere Schwingungen vorhanden sind, so wird der beste Winkel nicht 180° sein, dagegen ist von den beiden günstigen der absolut günstigste der, welcher am nächsten nach 180° hin liegt. Aus Fig. 4 ist also der günstigste Kurbelwinkel zu 222° abzulesen, dabei haben wir die Hochdruckkurbel als voreilend angenommen. Wie oben bemerkt, wurde durch Probieren 138° Voreilung der Niederdruckkurbel gefunden. Rechnen wir dies um, so erhalten wir 360° – 138° = 222°, also genau denselben Wert, den die Rechnung liefert. Textabbildung Bd. 319, S. 438 Fig. 4. Um den Unterschied der Diagramme zu zeigen, sind in Fig. 5 die Kurven aus der oben erwähnten Quelle wiederholt für die Winkel a = 90°, 270°, 222°. Auch für den Winkel 53°, der ein relatives Minimum liefert, ist die Kurve neu hinzugezeichnet. Man sieht, auch dieser Winkel liefert ein recht brauchbares Diagramm. Textabbildung Bd. 319, S. 438 Fig. 5. Bei der Konstruktion der Drehkraft-Diagramme tritt eine Schwierigkeit auf. Es ist nötig, zu derselben die Kurbelwinkel vorher zu kennen, die aber andererseits erst durch das als bekannt angenommene Diagramm festgelegt werden sollen. Es ist daher am besten, man zeichnet sich die Kurven für die meist gebräuchlichen Winkel von 90°, bezw. 120° bei 3 Kurbeln, auf und legt diese der Rechnung zu Grunde. Durch die Abweichungen von diesen Winkeln kommen natürlich Fehler in das Resultat, die man herausschaffen kann, wenn man die ganze Arbeit wiederholt. Dies ist aber im allgemeinen nicht nötig, da die Unterschiede nur sehr klein sind. Bei Zweikurbelmaschinen kann man auch bei einiger Uebung annähernd vorher schätzen, ob der beste Winkel grösser oder kleiner als 90° wird, unddies von vornherein berücksichtigen; bei Dreikurbelmaschinen ist das allerdings nicht möglich und man ist auf die Konstruktion der Diagramme mit 120° Versetzung angewiesen. Natürlich muss Massendruck, Kolbengewicht ungleiche Indikatordiagramme etc. stets im Drehkraft-Diagramm berücksichtigt werden. An der Hand der hergeleiteten Gleichungen wollen wir nun einige Sonderfälle untersuchen. Eine wichtige Frage ist die: Welche Beziehung muss zwischen den beiden zu kombinierenden Drehkraft-Diagrammen bestehn, damit 90° günstigster Kurbelwinkel wird? Durch Einsetzen in die Minimumsgleichung erhält man: f\,(90^{\circ})=\left\{\left{{+a_1\,\cdot\,\mbox{cos}\,90^{\circ}+a_2\,\mbox{cos}\,2\,\cdot\,90^{\circ}+...}\atop{+b_1\,\cdot\,\mbox{sin}\,90^{\circ}+b_2\,\mbox{sin}\,2\,\cdot\,90^{\circ}+...}}\right\right\}=0 \left\{\left{{-a_2+a_4-a_6+-...}\atop{+b_1-b_3+b_5-+...}}\right\right\}=0 Diese Beziehung, die auf eine ähnliche zwischen den Konstanten A, B, C, D führt, wird, wie man leicht sieht, im allgemeinen nicht erfüllt werden, daher ist der Kurbelwinkel von 90° fast stets verbesserungsfähig. Sind die beiden Diagramme genau gleich, z.B. bei Zwillingsmaschinen, so ist (siehe Formel 11): An = Cn; Bn= Dn . an = 0; bn =– nn (An2 + Bn2) + f(α) = b1 sin α + b2 sin 2α + b3 . sin 3a + . : . = 0 diese Kurve für f (α) schneidet die Abszissenachse für α = 0° und 180° sicher, das entspricht aber einem Maximum der Abweichungen (weil b2 gross und negativ ist)' Die anderen Schnittpunkte, also die günstigen Winkel, hängen wieder von de: Grösse der A und B ab. 90° wäre nur dann der beste Winkel, wenn b1– b3+ b5– + . . . = 0. Bei gleichen Diagrammen beider Kurbeln ist dies z. B. der Fall, wenn die vorderen und hinteren Diagrammhälften genau kongruent sind, denn dann verschwinden die ungeraden Glieder jedes für sich. Die geradzahligen Harmonischen werden jetzt durch 90° Versetzung am besten ausgeglichen. Will man sich die Mühe der Auswertung der Funktion f(α) ersparen, aus der die Kurbelwinkel zu berechnen waren, so kann man dieselbe oft mit einiger Annäherung vereinfachen, nämlich dann, wenn die zweite Harmonische das stärkste Gewicht hat, also wenn dem a2 und b2 gegenüber die anderen Amplituden zu vernachlässigen sind. Man erhält dann als Lösung der Gleichung: a2 cos 2α + b2 sin 2α = 0 tg\,2\alpha=-\frac{a_2}{b_2}=-\frac{A_2\,D_2-B_2\,C_2}{A_2\,C_2+B_2\,D_2} . 13) woraus nun α sehr einfach zu berechnen ist. Dies Verfahren liefert meist keine sehr guten Werte, doch kann es von Nutzen sein, wenn man z.B. bei Wechselstromgeneratoren, die zum Pendeln neigen, eine bestimmte Schwingung möglichst unterdrücken will, um sich vor Resonanz zu schützen. Denn auf ähnliche Weise kann man auch irgend eine andere Oberschwingung zu einem Minimum machen; ganz vernichten kann man sie natürlich nicht, Wenn sie nicht zufällig in beiden Diagrammen von genau gleicher Stärke wäre. Auch ist zu beachten, dass die so vermiedene Schwingung bei einer Füllungsänderung des Dampfzylinders doch wieder zum Vorschein kommen wird, Wenn auch nur in massiger Stärke. Ist nun schon bei einer Zweikurbelmaschine die Verbesserung des Ausgleichs der Schwankungen im Drehmomente eine recht gute, so wird dieselbe bei Kombination von drei Kurbeln noch weit besser, entsprechend der grösseren Mannigfaltigkeit der Anordnungen. Die günstigten Winkel berechnen wir wieder nach unserem Ausgleichsgesetz. Analog dem obigen mögen die Drehkraft-Diagramme der drei Kurbeln durch folgende Fouriersche Reihen dargestellt werden: Kurbel„„ I:II:III: F (φ) = A0 + Σn An cos n φ + Σn Bn sin n φG (φ) = C0 + Σn Cn cos n φ + Σn Dn sin n φH (φ) = E0 + Σn En cos n φ + Σn Fn sin n φ 14) Der Nacheilwinkel von Kurbel II gegen I sei α, der von III gegen I sei β. Dann ist die resultierende Drehkraft: T (φ) = F (φ) + G (φ – α) + H (φ – β), die sich wieder in einen Ausdruck entwickeln lässt von der Form T (φ) = T0 + Σn Tn . sin (n φ + ψn), wobei jetzt Tn eine Funktion von a und β ist und zwar: Tn2 = An2 + Bn2 + Cn2 + Dn2 + En2 + Fn2 . 15) + 2 (An Cn + Bn Dn) cos n α – 2 (An Dn – Bn Cn) sin n α + 2 (An En + Bn Fn) cos n β – 2 (An Fn – Bn En) sin nβ + 2 (Cn En + Dn Fn) cos n (β – α) – 2 (Cn Fn – Dn En) sin n (β – α). Führen wir wieder die folgenden Abkürzungen ein: an = – n (An Dn – Bn Cn), bn = – n (An Cn +Bn Dn)cn = – n (An Fn – Bn En), dn = – n (An En +Bn Fn)en = – n (Cn Fn – Dn En), fn = – n (Cn En +Dn Fn) 16) und differentiieren wir ΣnTn2 nach α und nach β. so erhalten wir: \frac{\delta\,m^2}{\delta\,\alpha}= \left\{\left{{+\Sigma_n\,a_n\,\mbox{cos}\,n\,\alpha+\Sigma_n\,b_n\,\mbox{sin}\,n\,\alpha}\atop{-\Sigma_n\,e_n\,\mbox{cos}\,n\,(\beta-\alpha)-\Sigma_n\,f_n\,\mbox{sin}\,n\,(\beta-\alpha)}}\right\right\}=0 \frac{\delta\,m^2}{\delta\,\beta}= \left\{\left{{+\Sigma_n\,c_n\,\mbox{cos}\,n\,\beta+\Sigma_n\,d_n\,\mbox{sin}\,n\,\beta}\atop{+\Sigma_n\,e_n\,\mbox{cos}\,n\,(\beta-\alpha)+\Sigma_n\,f_n\,\mbox{sin}\,n\,(\beta-\alpha)}}\right\right\}=0 \left\{\left{{+\Sigma_n\,a_n\,\mbox{cos}\,n\,\alpha+\Sigma_n\,b_n\,\mbox{sin}\,n\,\alpha}\atop{+\Sigma_n\,c_n\,\mbox{cos}\,n\,\beta+\Sigma_n\,d_n\,\mbox{sin}\,n\,\beta}}\right\right\}=0 17) Die letzte Gleichung entsteht durch Addition der beiden ersten. Dieses Gleichungssystem ist natürlich inbezug auf die drei Winkel zwischen den Kurbeln: α, β und β – α gleichwertig. Um in übersichtlicher Weise die Lösungen für α und β zu finden kann man es schreiben: f (α) + g (β) = 0f (α) – h (β – α)= 0g (β) + h (β – α) = 0 17a) Textabbildung Bd. 319, S. 439 Fig. 6. wobei die Bedeutung dieser Funktionen ohne weiteres klar ist; jede stellt uns eine Fouriersche Reihe dar, die man sich nach den oben angeführten Regeln aufzeichnen kann. Am besten zeichnet man die drei Kurven + f (α), – g (β) und+ h (β – α) nebeneinander und schreibt sich die Winkel α, β und (β – α) die zu gleichen Ordinaten aller Kurven gehören, in einer Tabelle nieder. Jede der drei Gleichungen gibt uns eine Beziehung, die zwischen je zwei Winkeln herrschen muss und diese Abhängigkeit der Winkel von einander lässt sich aus der Tabelle ersehen. Uebersichtlicher wird das Ganze, wenn man die Tabelle graphisch darstellt; sie liefert drei Kurvensysteme, die man sämtlich in den Koordinaten α und β darstellen kann, am einfachsten so, dass man die jeweiligen (β – α) von einer um 45° geneigten Geraden abträgt, dann erhält man direkt β abhängig von α. Wie dies gemeint ist wird aus Fig. 6 ersichtlich sein. Unsere günstigsten Kurbelwinkel liegen nun gleichzeitig auf diesen drei Kurven, man findet sie also, indem man die Schnittpunkte aufsucht, die natürlich für alle drei Kurven gemeinsam sein müssen. Das dritte Kurvensystem hätte auch fortgelassen werden können, es dient nur zur Kontrolle. Es wird gut sein auch für diesen komplizierteren Fall ein Beispiel kurz durchzurechnen. (Schluss folgt.)