Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. Von Dr. ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Fortsetzung von S. 612 d. Bd.) Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. b) Gelochte Scheibe mit konzentrierter Belastung. Man kann bei solchen Scheiben ebenso sehr den grösseren Umfang 2 π Ra als Auflagerkreis, und den kleineren 2 π Ri als Belastungskreis, wie umgekehrt 2 π Ra als Belastungskreis und 2 π Ri als Auflagerkreis auffassen, da die Gesamtbelastung beider Umfange die gleiche ist. 1. Innerer und äusserer Rand sind frei beweglich (Fig. 5). Textabbildung Bd. 319, S. 629 Fig. 5. Die hier giltigen Grenzbedingungen sind in D. p. J. 1903, 318, S. 786, angegeben: 1) und 2): in Gleichung 3) ist σx = 0 für x = Ra und x = Ri 3): es sei in Gleichung 1) z = 0 für x = Ra. Damit wird c_1=-\frac{b}{2}\,\left[\frac{m-1}{m+1}+ln\,{R_i}^2+\frac{{R_a}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right] 15) c_2=-\frac{b}{4}\,\frac{m+1}{m-1}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2} . . . . . 16) z'=\frac{3}{4}\,\frac{m^2-1}{\pi\,m^2}\,\frac{P\,{R_a}^2}{h^3}\,\alpha\,\left[\frac{3\,m+1}{m+1}\,\left(1-\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2}\right)+\frac{m+1}{m-1}\,\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,\left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)^2\right] . . . . . 17) Beispiel 1: Ra = 28 cm; Ri = 1,5; 1-\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2}=1-\frac{2,25}{784}=1-\frac{1}{348,4}\,\sim\,1; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 0,811; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=5,846;\ m=\frac{10}{3}. Aus Gleichung 15) und 16) folgt: c_1=-\frac{b}{2}\,7,195; c_2=-\frac{b}{4}\,\frac{m+1}{m-1}\,13,1, womit Gleichung 3) liefert: Radialspannung: \sigma_x=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2+0,538-7,195+\frac{13,1}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2-0,538-7,195-\frac{13,1}{x^2}\right] Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche der Scheibe: Abstand von der Mitte: x =   1,5 7 14 21 28 cm σx =   0 2,51 1,32 0,67 0 mal ± \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2} σy = 12,76 4,11 2,52 1,68 1,09           „ Die Spannungsverteilung ist in Fig. 5a durch die Kurve a bildlich dargestellt. Die grösste Spannung ist hier eine Ringspannung und tritt am inneren Lochrand auf. Die Radialspannungen treten gegenüber den Ringspannungen stark zurück, wie immer bei vollständig frei beweglichen Rändern. Textabbildung Bd. 319, S. 629 Fig. 5a. Wie früher bei den vollen Scheiben mit konzentrierter Last, so soll auch hier ein Bild davon gegeben werden, in welcher Weise sich die Spannungsverteilung ändert, wenn die Bohrung der Scheibe grösser gewählt wird, während die übrigen Verhältnisse gleich bleiben. Beispiel 2: Ra = 28 cm; Ri = 14 cm; 1-\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2}=1-\frac{196}{784}=1-\frac{1}{3,96}=0,748; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=1,375. Nach Gleichung 15) und 16) wird c_1=-\frac{b}{2}\,\cdot\,7,658; c_2=-\frac{b}{4}\,\cdot\,\frac{m+1}{m-1}. Die Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche wird nach Gleichung 3): x = 14 16 21 28 cm σx = 0 0,17 0,216 0 mal ± \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2} σy = 4,752 4,066 2,932 2               „ Die Spannungsverteilung ist in Fig. 5a durch die Kurve b bildlich dargestellt. Beispiel 3: Ra = 28; Ri = 21; 1-\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2}=1-\frac{441}{784}=1-\frac{1}{1,78}=0,439; ln Ri2 = 6,082; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=0,575. Nach Gleichung 15) und 16): c_1=-\frac{b}{2}\,\cdot\,7,93; c_2=-\frac{b}{4}\,\frac{m+1}{m-1}\,\cdot\,578. Für die Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche erhält man nach Gleichung 3): x = 21 24 28 cm σx = 0 0,04 0 mal ± \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,\cdot\,m}\,\frac{P}{h^2} σy = 3,696 3,118 2,548         „ Die Spannungsverteilung ist in Fig. 5a durch die Kurve c dargestellt. Die Radialspannungen sind hier verschwindend klein. Die Radialspannungen verschwinden in gelochten Scheiben mit freien Rändern umsomehr gegenüber den Ringspannungen, je mehr sich das Verhältnis Ra : Ri der Einheil nähert. Man erkennt auch sofort, dass die grösste Spannung stets am inneren Umfang auftritt. Die Spannungsverteilung ist um so gleichmässiger, je grösser der Durchmesser der Bohrung im Vergleich zum äusseren Plattendurchmesser ist. 2. Gelochte Scheibe am äusseren Rand eingespannt, am inneren frei beweglich (Fig. 6). Textabbildung Bd. 319, S. 630 Wegen der Einspannung am äusseren Umfang muss in Gleichung 2) \frac{dz}{dx}=0 sein für x = Ra; am inneren freien Rand ist überall die Radialspannung Null, daher in Gleichung 3) σx = 0 zu setzen für x = Ri und jeden Wert von λ; von dem äusseren Umfang der Mittelfläche werde angenommen, dass er bei der Durchbiegung in der xy-Ebene verbleibe, dass also in Gleichung 1) z = 0 sei für x = Ra. Diese drei Bedingungen liefern für die Konstanten: c_1=-\frac{b}{2}\,\cdot\,\frac{1}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2}\,\left[\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2+{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2-\frac{m-1}{m+1}\,({R_a}^2-{R_i}^2)\right] . 18) c_2=-\frac{b}{4}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2}\,\left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}-\frac{2\,m}{m+1}\right) . 19) Textabbildung Bd. 319, S. 630 für die Durchbiegung des inneren Scheibenumfanges gegenüber dem äusseren: z'=\frac{3}{4}\,\frac{m^2-1}{\pi\,m^2}\,\frac{P}{h^3}\,\frac{\alpha}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2} \left[\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^4+2\,{R_a}^2\,{R_i}^2-\frac{3\,m+1}{m+1}\,{R_i}^4\right \left-\frac{4\,m}{m+1}\,{R_a}^2\,{R_i}^2\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}+{R_a}^2\,{R_i}^2\,\left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)^2\right] . 20) Beispiel: Ra = 28 cm, Ri = 14; 1-\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2}=1-\frac{196}{784}=1-\frac{1}{3,96}=0,748; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=1,375. Nach Gleichung 18) und 19): c_1=-\frac{b}{2}\,5,71; c_2=+\frac{b}{4}\,40,9. Hiermit und nach Gleichung 3): Radialspannung: \sigma_x=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2+0,538-5,71-\frac{22}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2-0,538-5,71+\frac{22}{x^2}\right] Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche: x = 14 21 22,3     28 cm von der Mitte σx = 0 – 0,86 – 0,984 – 1,457 σy = + 0,856 + 0,116 0 – 0,437 mal \pm\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 6a abgebildet. Die grösste Spannung ist eine Radialspannung, sie tritt an der Einspannstelle am äusseren Umfang 2 π Ra auf. Ueber den Ort der grössten Beanspruchung und dessen Abhängigkeit von der Grösse des Belastungskreises im Vergleich zur Bohrung ist folgendes zu bemerken: Bei verhältnismässig kleiner Bohrung erfolgt die grösste Beanspruchung am inneren Lochrand durch Ringspannungen σy. Von einem gewissen Verhältnis Ra : Ri ab tritt die grösste Beanspruchung am äusseren eingespannten Umfang auf und zwar durch Radialspannungen σx. Zur Veranschaulichung dieser Verhältnisse dienen die Fig. 6–8, welche die Spannungsverteilung für drei verschiedene Grössen der Bohrung wiedergeben, nämlich für Ri = 14, 7 und 1,5, während Ra stets 28 cm ist. Fig. 8a gibt die zu Fig. 8 gehörige Formänderung wieder. Die Durchbiegung an mehreren Stellen der Platte ist berechnet und stark vergrössert aufgetragen. 3. Gelochte Scheibe am inneren Rand eingespannt, am äusseren frei beweglich (Fig. 9). Textabbildung Bd. 319, S. 630 Fig. 9. Am äusseren Rand ist keine Radialkraft vorhanden, daher in Gleichung 3) σx = 0 für x = Ra; der innere Rand ist eingespannt, also in Gleichung 2) \frac{dz}{dx}=0 für x = Ri und schliesslich sei angenommen, dass der äussere Umfang der Mittelfläche bei der Durchbiegung in der xy-Ebene bleibe, d.h. dass in Gleichung 1) z = 0 sei für x = Ra. Mit diesen drei Bedingungen erhält man: c_1=-\frac{b}{2}\,\frac{1}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2} \left[{R_a}^2\,\cdot\,ln\,{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2\,\cdot\,ln\,{R_i}^2+\frac{m-1}{m+1}\,({R_a}^2-{R_i}^2)\right] . 21) c_2=\frac{b}{4}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2}\,\left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}+\frac{2\,m}{m+1}\right) . 22) Durchbiegung des inneren Scheibenumfangs gegenüber dem äusseren: z'=\frac{3}{4}\,\frac{m^2-1}{\pi\,m^2}\,\frac{P}{h^3}\,\frac{\alpha}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^4} \left[\frac{3\,m+1}{m+1}\,{R_a}^4-2\,{R_a}^2\,{R_i}^2-\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^4\right \left-\frac{4\,m}{m+1}\,{R_a}^2\,{R_i}^2\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}-{R_a}^2\,{R_i}^2\,\left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)^2\right] . 23) Beispiel: Ra = 28 cm; Ri = 14; Ra2 – Ri2 = 784 – 196 = 588; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=1,375; Ra4 = 614655; Ri4 = 38416; \left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)^2=1,89. Nach Gleichung 21) und 22): c_1=-\frac{b}{2}\,\cdot\,6,85; c_2=+\frac{b}{4}\,\cdot\,504. Göeichung 3) liefert hiermit: Radialspannung: \sigma_x=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,\cdot\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2+0,538-6,85-\frac{271}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,\cdot\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2-0,538-6,85+\frac{271}{x^2}\right] Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche: x = 14 21 28 cm Abstand von der Mitte, σx = + 2,413 + 0,845 0 mal ± \frac{3}{4}\,\cdot\,\frac{m+1}{\pi\,\cdot\,m}\,\frac{P}{h^2} σy = + 0,723 + 0,691 + 0,385       „ Die Spannungsverteilung ist in Fig. 9 abgebildet. Die grösste Spannung ist eine Radialspannung; sie tritt an der Einspannungsstelle am inneren Umfang 2 π Ri auf. 4. Gelochte Scheibe am inneren und äusseren Rand eingespannt (Fig. 10). Wegen der Einspannung an beiden Rändern ist in Gleichung 2) \frac{dz}{dx}=0 zu setzen für x = Ri und x = Ra; von dem äusseren Umfang 2 π Ra der Mittelfläche sei angenommen, dass er bei der Durchbiegung in der xy-Ebene bleibe, dass also in Gleichung 1) z = 0 sei für x = Ra. Mit diesen Bedingungen ergibt sich: c_1=-\frac{b}{2}\,\left[\frac{{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2-{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}-1\right] . . 24) c_1=+\frac{b}{4}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2} . . . . 25) Durchbiegung des inneren Randes der Platte gegenüber dem äusseren: z'=\frac{3}{4}\,\frac{m^2-1}{\pi\,m^2}\,\frac{P\,{R_a}^2}{h^3}\,\alpha\,\left[\left(1-\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2}\right)-\frac{{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,\left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)^2\right] . 26) Beispiel: Ra= 28 cm; Ri = 14; 1-\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=1-\frac{196}{784}=1-\frac{1}{3,96}=0,748; Ra2 – Ri2 = 588; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=1,375; \left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)^2=1,89. Hiermit nach Gleichung 24) u. 25): c_1=-\frac{b}{2}\,\cdot\,6,13; c_2=+\frac{b}{4}\,\cdot\,360, womit Gleichung 3) gibt: Textabbildung Bd. 319, S. 631 Fig. 10. Textabbildung Bd. 319, S. 631 Fig. 11. Radialspannung: \sigma_x=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,\cdot\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2+0,538-6,13-\frac{194}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=\mp\,\frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,\cdot\,m}\,\frac{P}{h^2}\,\left[ln\,x^2-0,538-6,13+\frac{194}{x^2}\right] Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche: x = 14 16 21      28 cm Abstand von der Mitte σx = + 1,309 + 0,81 – 0,05 – 0,817 mal ± \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2} σy = + 0,387 – + 0,046 – 0,247                „ Die Spannungsverteilung ist in Fig. 10 abgebildet. Beispiel: Ra = 28; Ri= 1,5. Nach Gleichung 24) und 25) ist: c_1=-\frac{b}{2}\,\cdot\,5,67 und c_2=+\frac{b}{4}\,\cdot\,13,18. Damit liefert Gleichung 3): x = 1,5 4 7 14 21 28 cm σx = + 7,471 + 2,805 + 1,39 – 0,114   – 0,934 – 1,516 σy = + 2,246 + 2,995   + 2,176 + 0,890 + 0,11 – 0,458 mal ± \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 11 abgebildet. Die Figur lässt deutlich erkennen, wie rasch die Radialspannung gegen den inneren Rand der Platte hin ansteigt, wenn Ri klein ist gegenüber Ra. Weiteres Beispiel s. Fig. 30a. (Fortsetzung folgt.)