Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. Von Dr. ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Fortsetzung von S. 631 d. Bd.) Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. B. Gleichmässige Oberflächenbelastung von p kg/qcm.p kann auch eine Massenkraft, senkrecht zur Mittelfläche gerichtet, sein; z.B. das Eigengewicht h . γ kg/qcm, wenn hcm die Plattendicke und γ kg/qcm das spezifische Gewicht des Plattenmaterials bedeuten. a) Volle Scheibe mit gleichmässiger Oberflächenbelastung. Die hierfür gültigen Gleichungen sind von vielen angegeben. Sie lauten (vergl. C. Bach, Elast, und Fest., 4. Aufl., S. 557, Gleichung 9) mit b = 0 und p1 = 0). z=\frac{a}{32}\,x^4+\frac{C_1}{4}\,x^2+\frac{C_2}{2}\,ln\,x+C_3 . . . 27) \frac{dz}{dx}=\frac{a}{8}\,x^3+\frac{C_1}{2}\,x+\frac{C_2}{x} . . . 28) Radialspannung: \sigma_x=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{3\,m+1}{m+1}\,\frac{a}{8}\,x^2+\frac{C_1}{2}-\frac{m-1}{m+1}\,\frac{C_2}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{m+3}{m+1}\,\frac{a}{8}\,x^2+\frac{C_1}{2}-\frac{m-1}{m+1}\,\frac{C_2}{x^2}\right] Hierin bedeuten: C1, C2, C3 Konstante a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3} Sonderfälle. 1) Die Scheibe liegt am äusseren Umfang x = Ra frei auf (Fig. 12). Hierbei ist die Radialspannung σx in allen Punkten des äusseren Randes (x = Ra, λ beliebig) gleich Null; ferner muss die Neigung \frac{dz}{dx} der Mittelfläche gegen die xy-Ebene in der Plattenmitte Null sein und schliesslich sei angenommen, dass der äussere Umfang der Mittelfläche bei der Durchbiegung in der xy-Ebene verbleibe. Mit diesen Bedingungen nehmen die Integrationskonstanten in den Gleichungen 27) bis 29) folgende Werte an: C2 = 0 . . . . . . . . . . . 30) C_1=-\frac{a}{4}\,\frac{3\,m+1}{m+1}\,{R_a}^2 . . . . 31) C_3=\frac{a}{32}\,\frac{5\,m+1}{m+1}\,{R_a}^4 Biegungspfeil in der Plattenmitte: z'=\frac{3}{16}\,\frac{(m-1)\,(5\,m+1)}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,{R_a}^4\,\cdot\,\alpha . . 32) Zur Berechnung der Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche der Scheibe erhält man die Gleichungen, wenn man die Werte 30) und 31) in Gleichung 29) einführt. \left\{{{\sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\frac{3\,m+1}{m+1}\,[x^2-{R_a}^2]}\atop{\sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[\frac{m+3}{m+1}\,x^2-\frac{3\,m+1}{m+1}\,{R_a}^2\right]}}\right Beispiel: Scheibe mit Ra = 28 cm Halbmesser. x = 0 7 14 21     28 cm Abstand von der Mitte σx = – 1990 – 1866 – 1495 – 871       0 σy = – 1990 – 1918 – 1704 – 1345 – 844 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 14 durch die mit a bezeichneten Kurven dargestellt. Die grösste Spannung tritt in der Plattenmitte auf. 2) Die Scheibe ist am äusseren Umfang x = Ra vollkommen eingespannt (Fig. 13). Textabbildung Bd. 319, S. 650 a Platte frei aufliegend, b Platte eingespannt; Fig. 14a. Spannungsmaasstab zu den Figuren 12–26, ausgenommen Fig. 22. Hierbei ist die Neigung der Mittelfläche gegen die xy-Ebene in x = 0 und x = Ra gleich Null; ferner sei angenommen, dass z = 0 sei in x = Ra. Mit diesen Bedingungen nehmen die Konstanten in den Gleichungen 27) bis 29) folgende Werte an: C2 = 0 . . . 33) C_1=-\frac{a}{4}\,{R_a}^2 . 34) C_3=\frac{a}{32}\,{R_a}^4 Biegungspfeil in der Plattenmitte: z'=\frac{3}{16}\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,{R_a}^4\,\cdot\,\alpha . . . 35) Zur Berechnung der Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche der Scheibe erhält man hiermit nach Gleichung 29): Beispiel: Scheibe mit Ra = 28 cm Halbmesser. Radialspannung: \sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[\frac{3\,m+1}{m+1}\,x^2-{R_a}^2\right] Ringspannung: \sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[\frac{m+3}{m+1}\,x^2-{R_a}^2\right] x = 0 7 14 21        28 cm Abstand von der Mitte. σx = – 784 – 660 – 286 + 336 + 1209 σy = – 784 – 712 – 498 – 139 +   362 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 14 durch die mit b bezeichneten Kurven dargestellt. Die grösste Spannung, hier eine Radialspannung, tritt an der Einspannungsstelle auf. Will man den Einfluss des Freiaufliegens und der vollkommenen Einspannung auf den Spannungszustand vergleichen, so kann hierzu Fig. 14 dienen; die Linienzüge b, gültig für Freiaufliegen, und die Linienzüge b, gültig für vollkommene Einspannung, sind äquidistant. Wäre der äussere Rand weder ganz frei beweglich, noch vollkommen eingespannt, so verliefen die Spannungslinien für σx und σy zwischen a und b, ebenfalls äquidistant, und zwar näher bei a oder b, je nachdem der äussere Plattenrand mehr als freiaufliegend oder mehr als vollkommen eingespannt angesehen werden darf. b) Gelochte Scheibe mit gleichmässiger Oberflächenbelastung. Um die Gleichungen für diesen Fall zu finden, denke man sich die Scheibe durch einen konaxialen Zylinder vom Halbmesser x geschnitten; die Schubkraft S an der Schnittfläche befindet sich dann im Gleichgewicht mit den durch sie hervorgerufenen Schubspannungen. Ein Ringelement der Schnittfläche hat einen Halbmesser x und eine Höhe d λ, auf die Oberfläche 2 πx . dλ wirkt überall die Schubspannung τy in gleicher Grösse, die ganze auf das Ringelement entfallende Schubkraft ist also d S = τy . 2 π x . d λ somit die Schubkraft S an der Schnittfläche S=\int_{\lambda=\frac{h}{2}}^{\lambda=+\frac{h}{2}}\,\tau_y\,\cdot\,2\,\pi\,x\,\cdot\,d\,\lambda Nun hat für eine Scheibe, gleichviel ob voll oder gelocht, die Schubspannung τy den Wert (vergl. C. Bach, Elast, und Fest., 4. Aufl. S. 554): \tau_y=-\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{a}\,\frac{h^2-4\,\lambda^2}{8}\,\left(\frac{d^3z}{dx^3}+\frac{1}{x}\,\frac{d^2z}{dx^2}-\frac{1}{x^2}\,\frac{dz}{dx}\right) . 36) Damit erhält man aus der vorhergehenden Gleichung, da in der Schnittfläche x und z als Unveränderliche anzusehen sind: S=2\,\pi\,x\,\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left(\frac{d^3z}{dx^3}+\frac{1}{x}\,\frac{d^2z}{dx^2}-\frac{1}{x^2}\,\frac{dz}{dx}\right) . 37) Der Wert der Schubkraft S ist dem besonderen Fall entsprechend einzusetzen (siehe die nachfolgenden Beispiele). Die Integration erfolgt genau ebenso, wie in C. Bach, Elast, und Fest., 4. Aufl., S. 556 ausführlich angegeben. Gleichung 37 ist schon auf S. 610 als Gleichung I aufgeführt worden. Während man bei einer Scheibe mit konzentrischer Last den Belastungskreis als Auflagerkreis und den Auflagerwiderstand als Belastung ansehen kann, sodass zwischen einer inneren und äusseren Stützung kein Unterschied besteht, muss bei einer gleichmässig an der Oberfläche belasteten Scheibe wohl unterschieden werden, ob sie am äusseren oder am inneren Umfang gestützt ist. Der Anstrengungs- und Formänderungszustand ist im folgenden für äussere Stützung unter I, für innere unter II untersucht. Besondere Fälle. 1) Gelochte Scheibe am äusseren Rand unterstützt, über die Oberfläche gleichmässig mit p kg/qcm belastet (Fig. 15). Auf einen Kreis von Halbmesser x um die Scheibenmitte wirkt die Schubkraft S = (x 2 – R i 2 ) π . p Setzt man diesen Wert in Gleichung 37) ein und integriert, so erhält man, wenn die Integrationskonstanten C1 C2 C3 sind: z=\frac{a}{32}\,x^4-\frac{a\,{R_i}^2}{8}\,x^2\,(ln\,x^2-2)+\frac{C_1}{4}\,x^2+\frac{C_2}{2}\,ln\,x^2+C_3 . . . 38) \frac{dz}{dx}=\frac{a}{8}\,x^3-\frac{a\,{R_i}^2}{4}\,x\,(ln\,x^2-1)+\frac{C_1}{2}\,x+\frac{C_2}{x} . 39) Damit liefert Gleichung 4) in C. Bach, Elast, und Fest., 4. Aufl., S. 553: Radialspannung: \sigma_x=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{3\,m+1}{m+1}\,\frac{ax^2}{8}-\frac{a\,{R_i}^2}{4}\,\left(ln\,x^2+\frac{m-1}{m+1}\right)+\frac{C_1}{2}-\frac{m-1}{m+1}\,\frac{C_2}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{m+3}{m+1}\,\frac{ax^2}{8}-\frac{a\,{R_i}^2}{4}\,\left(ln\,x^2-\frac{m-1}{m+1}\right)+\frac{C_1}{2}+\frac{m-1}{m+1}\,\frac{C_2}{x^2}\right] a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,\alpha Diese Gleichungen gelten, wenn die Scheibe am äusseren Umfang gestützt ist; im übrigen kann sie an den beiden Rändern frei beweglich oder eingespannt sein. 1) Die beiden Ränder der Scheibe sind frei beweglich (Fig. 15). Textabbildung Bd. 319, S. 651 Fig. 15. Dann muss die Radialspannung σx = 0 sein in x = Ri und x = Ra Setzt man noch fest, dass der äussere Scheibenumfang auf der xy-Ebene bleibe, so ist auch z' = 0 für x = Ra. Diese drei Bedingungen führen zu folgenden Werten der Integrationskonstanten in den Gleichungen 38) bis 40): C_1=-\frac{3\,m+1}{m+1}\,\cdot\,\frac{a}{4}\,({R_a}^2+{R_i}^2)+\frac{a\,{R_i}^2}{2}\,\left[\frac{m-1}{m+1}+\frac{{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2-{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\right] . 41) C_2=-\frac{3\,m+1}{m+1}\,\cdot\,\frac{a}{8}\,{R_a}^2\,{R_i}^2+\frac{m+1}{m-1}\,\cdot\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,\cdot\,\frac{a\,{R_i}^2}{4}\,\cdot\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2} . . . 42) Der Biegungspfeil in x = Ri ist: z'=\frac{3}{16}\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,\alpha\,\left[\left(\frac{5\,m+1}{m+1}+2\,\frac{3\,m+1}{m-1}\,\times\,\right\right \left\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^4-{R_i}^4}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)\,\cdot\,({R_a}^4-{R_i}^4)-4\,{R_i}^2\,\left(\frac{3\,m+1}{m+1}\right \left\left+\frac{m+1}{m-1}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{({R_a}^2-{R_i}^2)^2}\,\left(ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right)^2\right)\,\cdot\,({R_a}^2-{R_i}^2)\right] 43) Beispiel; Ra = 28, Ri = 14; Ra2 ± Ri2 = 784± 196 = 980 besw. 588; ln\,\frac{{R_a}^2}{R_i}=1,375; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; m=\frac{10}{3}; nach Gleichung 41) und 42). \begin{array}{rcl}C_1&=&-2,54\,\cdot\,980\,\frac{a}{4}+\frac{a}{2}\,196\,\left[0,538+\frac{784\,\cdot\,6,657-196\,\cdot\,5,282}{588}\right]\\ &=&+514\,\cdot\, \frac{a}{4}\end{array} \begin{array}{rcl}C_2&=&-4,71\,\cdot\,784\,\cdot\,196\,\frac{a}{8}+186\,\cdot\,\frac{784\,\cdot\,196}{588}\,\frac{a}{4}\,196\,\cdot\,1375\\ &=&-461000\,\frac{a}{8} \end{array} Mit diesen Werten erhält man aus Gleichung 40) zur Berechnung der Spannungen an der Ober- und Unterfläche der Scheibe die Gleichungen: \left\{{{\sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[2,54\,x^2-392\,(ln\,x^2+0,538)+514+\frac{284000}{x^2}\right]}\atop{\sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[1,46\,x^2-392\,(ln\,x^2-0,538)+514-\frac{284000}{x^2}\right]}}\right woraus: Abstand von der Mitte 14 21 28 cm σx = 0 – 393 0 σy = – 2327 – 1574 – 1058 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 15 bildlich dargestellt; wie immer bei vollständig frei beweglichen Rändern, treten die Radialspannungen gegenüber den Ringspannungen stark zurück. Die grösste Ringspannung tritt am inneren Rand auf. 2) Die Scheibe ist am äusseren Rand vollkommen eingespannt, am inneren frei beweglich (Fig. 16). In diesem Fall ist die Neigung der Meridianlinie der Scheibe \frac{dz}{dx}=0 in x = Ra; ferner ist am inneren Lochrand in x = Ri die Radialspannung σx = 0 und schliesslich sei festgesetzt, dass der äussere Umfang der Mittelfläche bei der Durchbiegung in der xy-Ebene verbleibe, d.h. dass z' = 0 sei für x = Ra. Die Integrationskonstanten C1 und C2 in der Gleichung 40) nehmen mit diesen Bedingungen folgende Werte an: C_2=-\frac{a}{8}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2}\,\left({R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2-2\,{R_i}^2\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right) . . 44) C_1=-\frac{a}{4}\,\frac{1}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2} \left(\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^4+2\,\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2\,{R_i}^2+\frac{m+3}{m+1}\,{R_i}^4\right \left-{R_i}^2\,(\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2+{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2)\right) . 45) Durchbiegung des inneren Plattenumfangs gegenüber dem äusseren: -z'=\frac{a}{32}\,({R_a}^4-{R_i}^4)-\frac{a\,{R_i}^2}{8}\,\left({R_a}^2\,ln\,{R_a}^2\right \left-{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2-2\,({R_a}^2-{R_i}^2)\right) +\frac{C_1}{4}\,({R_a}^2-{R_i}^2)+\frac{C_2}{2}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2} . 46) wobei die Werte 44) und 45) zu benutzen sind und a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,\alpha zu setzen ist. Beispiel: Ra = 28 cm; Ri = 14; Ra2 = 784; Ri2 = 196; Ra4 = 614700; Ri4 = 38420; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=1,375. Hiermit geben Gleichungen 44) und 45): C_1=+\frac{a}{4}\,\cdot\,1548; C_2=-\frac{a}{8}\,\cdot\,87300; die Spannungsverteilung folgt sodann aus Gleichung 40) zu: \left\{{{\sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[2,54\,x^2-392\,(ln\,x^2+0,538)+1548+\frac{46900}{x^2}\right]}\atop{\sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[1,46\,x^2-392\,(ln\,x^2-0,538)+1548-\frac{46900}{x^2}\right]}}\right x = 14 21      28 cm von der Mitte σx = 0 + 180 + 778 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} σy = – 266 – 63 + 234   „         „ Beispiel: Ra = 28; Ri = 7. Auf demselben Wege erhält man: x = 7 14 21       28 cm von der Mitte σx = 0 – 125 + 352 + 1141 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} σy = – 913 – 474 – 126 +   342   „          „ Beispiel: Ra = 28; Ri = 1,5. x = 1,5 7 14 21       28 cm         von der Mitte σx = 0 – 619 – 276 + 337 + 1203 σy = – 1513 – 734 – 501 – 141 +   359 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Fig. 16 bis 18 geben das Bild der Spannungsverteilung in den letzten drei Beispielen. Ueber den Ort der grössten Beanspruchung und dessen Abhängigkeit von dem Verhältnis des inneren und äusseren Plattendurchmessers lassen die Fig. 16 bis 18 folgendes erkennen: Bei verhältnismässig weiter Bohrung ist die Platte am äusseren Umfang am stärksten gespannt und zwar in radialer Richtung durch σx. Bei verhältnismässig kleiner Bohrung dagegen tritt die grösste Spannung am innerenRand, an der Bohrung selbst auf, und zwar ist die grösste Spannung eine Ringspannung σy. 3) Die Scheibe ist am äusseren Rand frei beweglich, am inneren eingespannt (Fig. 19). Textabbildung Bd. 319, S. 652 Fig. 16. Textabbildung Bd. 319, S. 652 Fig. 17. Textabbildung Bd. 319, S. 652 Fig. 18. In diesem Fall ist am äusseren Umfang x = Ra die Radialspannung σx = 0; am inneren Rand x = Ri besitzt die Meridianlinie eine zur x-Achse parallele Tangente, es ist also \frac{dz}{dx}=0 für x = Ri. Von dem äusseren Umfang der Mittelfläche werde angenommen, dass er bei der Biegung in der xy-Ebene verbleibe, sodass in Gleichung 38) z = 0 zu setzen ist für x = Ra. Mit diesen Bedingungen erhält man: C_2=+\frac{a}{8}\,\frac{{R_a}^2+{R_i}^2}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2}\, \left(\frac{3\,m+1}{m+1}\,{R_a}^2-\frac{5\,m+1}{m+1}\,{R_i}^2-2\,{R_i}^2\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right) . 47) C_1=-\frac{a}{4}\,\frac{1}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2}\,\left(\frac{3\,m+1}{m+1}\,{R_a}^4\right -2\,\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2\,{R_i}^2+3\,\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^4 \left-2\,{R_i}^2\,({R_a}^2\,ln\,{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2)\right) . 48) Die Senkung des inneren Randes gegenüber dem äusseren kann aus Gleichung 46) berechnet werden, wobei C1 und C2 aus 47) und 48) einzuführen sind und a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,\alpha ist. Textabbildung Bd. 319, S. 652 Fig. 19. Beispiel: Ra = 28 cm, Ri = 14; Ra2 = 784; Ri2= 196; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}=1,375; Ra4 = 614700; Ri4 = 38400. Mit diesen Werten und mit m=\frac{10}{3} geben Gleichungen 47) und 48): C_1=+\frac{a}{4}\,913; C_2=+\frac{a}{8}\,112400. Die Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche der Scheibe folgt aus Gleichung 40): Radialspannung: \sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[2,54\,x^2-392\,(ln\,x^2+0,538)+913-\frac{60500}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[1,46\,x^2-392\,(ln\,x^2-0,538)+913+\frac{60500}{x^2}\right] x = 14 17 21 25     28 cm       von der Mitte σx = – 1184 – 992 – 700 – 324       0 σy = – 350 – – 474 – 388 – 263 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 19 eingetragen. Die grösste Spannung tritt im vorliegenden Fall an dem inneren eingespannten Rand auf und ist eine Radialspannung. 4) Der äussere und innere Rand ist eingespannt (Fig. 20). Wegen der Einspannung am inneren und äusseren Umfang ist in Gleichung 39) für x = Ri und Ra einzusetzen \frac{dz}{dx}=0. Damit liefert diese Gleichung: C_1=-\frac{a}{4}\,({R_a}^2+{R_i}^2)-\frac{a}{4}\,2\,{R_i}^2\,\left(1-\frac{{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2-{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\right) . 49) C_2=+\frac{a}{8}\,{R_a}^2\,{R_i}^2-\frac{a}{8}\,2\,{R_i}^2\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2} . 50) Textabbildung Bd. 319, S. 653 Fig. 20. Setzt man fest, dass der äussere Umfang 2 π Ra bei der Durchbiegung in der xy-Ebene bleibe, so findet man die Senkung des inneren Scheibenumfangs gegenüber dem äusseren aus Gleichung 46), wenn man in diese Gleichung die Werte 49) und 50) einführt. Beispiel: Ra = 28, Ri = 14. Nach Gleichungen 49) und 50) ist C_1=+\frac{a}{4}\,1415 und C_2=+\frac{b}{8}\,12900. Hiermit liefert Gleichung 40: \left\{{{\sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[2,54\,x^2-392\,(ln\,x^2+0,538)+1415-\frac{6940}{x^2}\right]}\atop{\sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[1,46\,x^2-392\,(ln\,x^2+0,538)+1415-\frac{6940}{x^2}\right]}}\right Hieraus: x = 14 17 21 28 cm von der Mitte σx = – 406 – 305 – 74 + 576 mal ± \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} σy = – 124 – 140 – 94 + 170   „          „ Die Spannungsverteilung ist hiernach in Fig. 20 aufgezeichnet. (Fortsetzung folgt.)