Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. Von Dr. ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Fortsetzung von S. 653 d. Bd.) Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. II) Gelochte Scheibe am inneren Rand unterstützt, über die Oberfläche hin gleichmässig mit p kg/qcm belastet (Fig. 21). Die hier gültigen Gleichungen sind nicht dieselben, wie die Gleichungen 38) bis 40), die anzuwenden sind, wenn die Platte am äusseren Rand gestützt wird. Man erhält sie wie folgt: Die Schubkraft an einem Kreis vom Halbmesser x um die Scheibenmitte ist S = (Ra2 – x2) π . p Setzt man diesen Wert in Gleichung 37) ein und integriert, so erhält man, wenn die Integrationskonstanten mit k1, k2 und k3 bezeichnet werden. z=-\frac{a}{32}\,x^4+\frac{a\,{R_a}^2}{8}\,x^2\,(ln\,x^2-2)+\frac{k_1}{4}\,x^2+\frac{k^2}{2}\,ln\,x^2+k_3 . . 51) \frac{dz}{dx}=-\frac{a}{8}\,x^3+\frac{a\,{R_a}^2}{4}\,x\,(ln\,x^2-1)+\frac{k_1}{2}\,x+\frac{k_2}{x} . . 52) Textabbildung Bd. 319, S. 667 Fig. 21. Damit liefert Gleichung 4) in C. Bach, Elasttizität und Festig- 4. Aufl., S. 553: Radialspannung: \sigma_x=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[-\frac{3\,m+1}{m+1}\,\frac{a\,x^2}{8}+\frac{a\,{R_a}^2}{4}\,\left(ln\,x^2+\frac{m-1}{m+1}\right)+\frac{k_1}{2}-\frac{m-1}{m+1}\,\frac{k_2}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_x=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[-\frac{m+3}{m+1}\,\frac{a\,x^2}{8}+\frac{a\,{R_a}^2}{4}\,\left(ln\,x^2-\frac{m-1}{m+1}\right)+\frac{k_1}{2}+\frac{m-1}{m+1}\,\frac{k_2}{x^2}\right] 53) a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,\alpha Die Werte der Konstanten k1, k2 und k3 sind von der Art und Weise abhängig, wie die Scheibe an den beiden Rändern befestigt ist, wobei folgende Sonderfälle unterschieden werden können: 1) Die beiden Ränder der Scheibe sind frei beweglich (Fig. 21). Die gleichen Bedingungen wie unter I, 1) S. 651 liefern zufolge Gleichung 53): k_1=\frac{3\,m+1}{m+1}\,\frac{a}{4}\,({R_a}^2+{R_i}^2)-\frac{a\,{R_a}^2}{2}\,\left[\frac{m-1}{m+1}+\frac{{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2-{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\right] . 54) k_2=\frac{3\,m+1}{m-1}\,\frac{a}{8}\,{R_a}^2\,{R_i}^2-\frac{m+1}{m-1}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,\frac{a\,{R_a}^2}{4}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2} . 55) Der Biegungspfeil, d.h. die Senkung des äusseren Scheibenumfangs gegenüber dem inneren ist: -z'=\frac{a}{16}\,\left[-\frac{{R_a}^4-{R_i}^4}{2}+2\,{R_a}^2\,\left\{{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2\right\right \left\left-{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2-2\,({R_a}^2-{R_a}^2)\right\}+\frac{k_1}{4}\,({R_a}^2-{R_i}^2)+\frac{k_2}{2}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right\] . . . . 56) worin für die Konstanten k1 und k2 der Wert aus Gleichungen 54) und 55) und a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,\alpha einzusetzen ist. Beispiel: Ra =28 cm; Ri = 14. Vergl. das Beispiel zu I, 1) S. 651. Die Gleichungen 54) und 55) liefern k_1=-9510\,\cdot\,\frac{a}{4}; k_2=-325000\,\frac{a}{8}. Textabbildung Bd. 319, S. 667 Fig. 22. Damit erhält man aus Gleichung 53) zur Berechnung der Spannungsverteilung an der Ober- und Unterfläche der Scheibe: Radialspannung: \sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[-2,54\,x^2+1568\,(ln\,x^2+0,538)-9510+\frac{174200}{x^2}\right] Ringspannung: \sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[-1,46\,x^2+1568\,(ln\,x^2-0,538)-9510-\frac{174200}{x^2}\right] Damit wird im Abstand x = 14 21 28 cm von der Mitte σx = 0 + 146 0 mal ± \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} σy = – 3260 – 1850 – 1280   „           „ Die Spannungsverteilung ist in Fig. 21 dargestellt. Wie stets bei frei beweglichen Rändern, ist die grösste Spannung eine Ringspannung, gegenüber der die Radialspannungen zurücktreten. Die grösste Spannung tritt am inneren Plattenrand auf. Beispiel: Ra = 28 cm; Ri = 1,5. Wie vorhin findet man: k_1=-\frac{a}{4}\,9310; k_2=-\frac{a}{8}\,30000. x = 1,5 2 3 5 7 14 21     28 cm σx = 0 – 2230 – 3573 – 2837 – 2165 – 606 – 13       0 σx = – 16072 – – 8358 – 5794 – 4462 – 2239 – 1302 – 877 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Das Spannungsbild Fig. 22 zeigt auffallend das rasche Anwachsen der Ringspannung gegen den inneren Rand hin, wenn die Bohrung der Scheibe klein ist. Auch bemerkt man, wenn die Fig. 21 und 22 verglichen werden, wie die Spannungsverteilung um so ungleichmässiger wird, je kleiner die Bohrung im Verhältnis zum äusseren Umfang ist. 2) Die Scheibe ist am äusseren Umfang eingespannt, am inneren frei beweglich (Fig. 23). Textabbildung Bd. 319, S. 668 Dieselben Bedingungen, wie unter I, 2) S. 651 liefern gemäss Gleichungen 52) und 53): k_2=\frac{a}{8}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2}\,\left(\frac{5\,m+1}{m+1}\,{R_a}^2+\frac{3\,m+1}{m+1}\,{R_a}^2-2\,{R_a}^2\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right) . 57) \frac{k_1}{2}=\frac{a}{8}\,(3\,{R_a}^2-2\,{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2)-\frac{k_2}{{R_a}^2} . 58) Textabbildung Bd. 319, S. 668 Fig. 25. Die Senkung des inneren Plattenrandes gegenüber dem äusseren erhält man aus Gleichung 51), wenn man dort die Werte von k1 und k2 aus Gleichungen 57) und 58) einführt und a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3} einsetzt. Beispiel: Ra = 28, Ri = 14. Nach Gleichungen 57) und 58) ist: k_2=+135200\,\cdot\,\frac{a}{8} und \frac{k_1}{2}=-8250\,\frac{a}{8}. Damit liefert die Gleichung 53): x = 14 16 21 24 28 cm σx = 0 + 346 + 845 + 962 + 965 σy = – 724 – 500 –   39 + 156 + 297 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 23 abgebildet. Beispiel: Ra = 28, Ri = 7. k_2=-104100\,\frac{a}{8}; \frac{k_1}{2}=-7958\,\cdot\,\frac{a}{8} x = 7 10 14 21 25 σx = 0 + 413 + 950 + 1430 + 1492 + 1423 mal ± \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{9}{h^2} σy = – 3922 – 2274 – 1090 – 40                            + 425               „ Die Spannungsverteilung ist in Fig. 24 abgebildet. 3) Die Scheibe ist am äusseren Umfang frei beweglich, am inneren eingespannt (Fig. 25). Die gleichen Bedingungen wie unter 1, 3) auf S. 652 liefern zufolge der Gleichungen 57) und 58): k_1=+\frac{a}{4}\,\frac{1}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2}\,\left[\frac{m+3}{m+1}\,{R_a}^4+2\,\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2\,{R_i}^2 +\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^4-2\,{R_a}^2\,({R_a}^2\,ln\,{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_i}^2\,ln\,{R_a}^2)\right] . 59) k_2=+\frac{a}{8}\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2+\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2}\,\left[\frac{m-1}{m+1}\,{R_a}^2+{R_i}^2+2\,{R_a}^2\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}\right] . 60) Die Senkung des äusseren Plattenrandes gegenüber dem inneren erhält man aus Gleichung 51), wenn man darin die Werte von k1 und k2 aus Gleichungen 59) und 60) einführt und a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3} einsetzt. Beispiel: Ra = 28 cm, Ri = 14; nach Gleichung 59): k_1=-\frac{a}{4}\,8960 und nach Gleichung 60): k_2=+\frac{a}{8}\,480000. Damit gibt Gleichung 53): \left\{{{\sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[-2,54\,x^2+1568\,(ln\,x^2+0,538)-8960-\frac{258000}{x^2}\right]}\atop{\sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[-1,46\,x^2+1568\,(ln\,x^2-0,538)-8960+\frac{258000}{x^2}\right]}}\right x = 14 16 21 25 28 cm von der Mitte σx = – 1653 – 1088 – 285 – 25 0 σy = – 500 – 486 – 320 – 242 – 177 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 25 abgebildet. 4) Die Scheibe ist am äusseren und inneren Umfang vollkommen eingespannt (Fig. 26). Textabbildung Bd. 319, S. 668 Fig. 26. Dieselben Bedingungen wie unter I, 4) S. 653 liefern gemäss Gleichung 52): k_1=\frac{a}{4}\,(3\,{R_a}^2+{R_i}^2)-\frac{a}{4}\,2\,{R_a}^2\,\frac{{R_a}^2\,ln\,{R_a}^2-{R_i}^2\,ln\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2} . 61) k_2=-\frac{a}{8}\,{R_a}^2\,{R_i}^2+\frac{a}{8}\,2,{R_a}^2\,\frac{{R_a}^2\,{R_i}^2}{{R_a}^2-{R_i}^2}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2} . 62) Die Senkung des äusseren Plattenrandes gegenüber dem inneren erhält man aus Gleichung 51), wenn man darin die Werte von k1 und k2 aus Gleichungen 61) und 62) einführt und a=6\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3} einsetzt. Beispiel: Ra = 28; Ri = 14. Nach Gleichung 61): k_1=-\frac{a}{4}\,8615 und nach Gleichung 62): k_2=+\frac{a}{8}\,409000. Damit gibt Gleichung 53): \left\{{{\sigma_x=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[-2,54\,x^2+1568\,(ln\,x^2+0,538)-8615-\frac{220200}{x^2}\right]}\atop{\sigma_y=\mp\,\frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2}\,\left[-1,46\,x^2+1568\,(ln\,x^2-0,538)-8615+\frac{220200}{x^2}\right]}}\right x = 14 16 21 28 cm von der Mitte σx = – 1115 – 595 + 145 + 394 σy = – 350 – 289 – 60 + 120 mal ∓ \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{p}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 26 abgebildet, Weiteres Beispiel s. Fig. 30b. (Schluss folgt.)