Die Bemessung der Auslassteuerung der Dampfmaschinen auf Grund der Ausströmungsgesetze. Von W. Schüle, Breslau. Die Bemessung der Auslassteuerung der Dampfmaschinen auf Grund der Ausströmungsgesetze. I. Teil. Nach den zahlreichen Versuchen, die zur Bestätigung der Ausströmungstheorie der Wasserdämpfe geführt haben, ist diese als eine genügend sichere Grundlage für die rechnerische Behandlung der Ausströmungsvorgänge bei den Dampfmaschinen zu betrachten.Schon Grashof hat die Behandlung dieser Aufgabe beabsichtigt, jedoch nicht mehr zur Ausführung gebracht. Vergl. „Theoretische Maschinenlehre“, Bd. I, S. 699, oben, Schlussbemerkung zu § 122. Das Ziel der folgenden Ausführungen ist die Behandlung der Ausströmungs-Periode und zwar zunächst des ersten Teiles derselben, der Vorausströmung (Druckausgleich-Periode) in solcher Weise, dass der bislang rein empirisch anzunehmende Verlauf der Ausströmlinie im Dampfdiagramm in rationeller Weise vorausbestimmt werden kann. Die Berücksichtigung aller ausschlaggebenden Verhältnisse, wozu in erster Linie die allmähliche Eröffnung der Abschlussorgane durch einen beliebigen Steuerungsantrieb und der beträchtliche Feuchtigkeitsgehalt des austretenden Dampfes gehören, ist dabei unerlässlich, wenn die Resultate Anspruch auf allgemeinere Gültigkeit haben und unmittelbare Verwendbarkeit besitzen sollen.Durch die Abhandlung von F. W. Gutermuth: „Die Abmessungen der Steuerungskanäle der Dampfmaschinen“, Zeitschr. d. V. deutsch. Ingen. 1904, No. 10, wurde an den Ergebnissen vorliegender Arbeit, die übrigens dem Verfasser bei Erscheinen jener schon fertig vorgelegen haben, nichts geändert. Vergl. auch Fussbemerkung 7. Die Frage der zulässigen Dampfgeschwindigkeit in den Auslasskanälen wird damit gleichzeitig erledigt und es wird eine sachgemässe Vorausberechnung der Kanalquerschnitte und der Länge der Vorausströmperiode, unter Berücksichtigung der besonderen Antriebsverhältnisse der Auslassteuerungen von Fall zu Fall ermöglicht. Das Nachstehende schliesst sich an eine Abhandlung des Verfassers in D. p. J. 1903, 318, S. 355 u. f.: „Ueber die Ausströmung der gesättigten Wasserdämpfe“ an, die als Vorarbeit anzusehen ist und auf die mehrfach verwiesen werden muss. Die Aufgabe im allgemeinen. Textabbildung Bd. 320, S. 1 Fig. 1. An der Stelle a des Dampfdiagrammes Fig. 1 beim Kolbenweg x4 und Kurbelwinkel α& beginnt die Ausströmung des Dampfes ins Freie oder in den Kondensator. Bei Exzenterantrieb der Ventile oder Schieber öffnet sich der Kanal von A an (Fig. 1 unten) allmählich, bis er bei B seinen vollen Durchgangsquerschnitt F erreicht. Von B bis C ist er ganz offen, von C bis D schliesst er allmählich und ist bei Zugeschlossen. Diesem Bewegungsvorgang, der sich bei allen Steuerungsantrieben in ähnlicher Weise abspielt, entspricht die ihrem allgemeinsten Verlauf nach wohlbekannte Form a b cd der Ausströmlinie im Dampfdiagramm. Die Aufgabe, die Druckabnahme von a bis d als Funktion des Kolbenweges oder besser des Kurbelwinkels darzustellen, zerfällt demgemäss in drei Teile: 1. Teil, Strecke ab. Allmähliches Oeffnen des Auslasskanals, in verschiedener Weise je nach dem Steuerungsantrieb. – Dieser Teil ist der wichtigste, weil er den stärksten Druckabfall enthält. 2. Teil, Strecke bc. Kanal ganz offen. Da in b sehr häufig der Druckausgleich noch nicht beendet ist, so bildet dieser Abschnitt meist in seinem ersten Teil, oft auch weiterhin eine unmittelbare Fortsetzung der Periode ab. Die Kolbenbewegung spielt dabei eine um so grössere Rolle, je näher der Punkt d gegen die Hubmitte liegt. Von dem Punkt des beendigten Druckausgleichs an, wenn ein solcher überhaupt eintritt, findet Hinausschieben des Dampfes durch den Kolben unter Ueberwindung der Strömungswiderstände in Kanälen und Rohrleitungen statt. 3. Teil Strecke cd. Kanal schliesst allmählich. Dabei erhebt sich kurz vor dem Abschluss unter Umständen der Druck wieder merkbar. Diesem Abschnitt kommt geringere Bedeutung zu, falls der Druck wenigstens beim Punkt c hinreichend ausgeglichen ist. Für sämtliche Abschnitte ist zu bemerken, dass sich das Strömungsgesetz von dem Augenblick an völlig ändert, wo der Druck im Dampfzylinder kleiner als das 1.7fache des äusseren Druckes wird, also des Atmosphärendruckes bei Auspuff-, der Kondensatorspannung bei Kondensationsbetrieb. Dieser Umstand hat zur Folge, dass für Auspuffmaschinen die Aufgabe im allgemeinen schwieriger wird als für Kondensationsmaschinen, bei denen die Dampfspannung im Zylinder sehr häufig das erwähnte Vielfache der Kondensatorspannung nicht oder nicht viel unterschreitet. Die Berechnung der Druckabnahme. Vom Vorausströmungspunkt A ab fällt der Druck im Zylinder aus zwei Ursachen, einerseits, weil der Zylinderdampf nach Mass der zunehmenden Kanaleröffnung und des vorhandenen Ueberdruckes allmählich aus dem Zylinder abströmt, andererseits, weil das Dampfvolumen des Zylinders bis zum Hubwechsel wächst und der Dampf dabei weiter expandiert. Vom Totpunkt an tritt umgekehrt eine stetige Kompression der Zylinderrückstände ein. Die Bewegung des Kolbens wirkt also von a bis t fördernd, von t ab hemmend auf den Druckausgleich. – Es ist zwar möglich, diesen zwei Ursachen des Druckabfalls gleichzeitig gerecht zu werden. Zunächst dürfte ein einfacherer Weg vorzuziehen sein. Die durch die Volumenänderungen in der Nähe des Totpunktes bewirkten Druckänderungen sind nämlich verhältnismässig gering, und daher gegenüber dem Druckabfall infolge Abströmens oft von untergeordneter Bedeutung. Man kann deshalb bei der Entwicklung der Formeln zunächst von dem Einfluss der Expansion absehen und den Druckabfall auf Grund der Ausströmung bei gleichbleibendem Gesamtinhalt gesondert bestimmen. Zu diesem Wert ist dann die überschlägig zu ermittelnde Drucksenkung infolge der Kolbenbewegung hinzuzuzählen. Ist also Gi das Dampfgewicht, das sich beim beliebigen Kurbelwinkel φ < φa noch im Zylinder befindet, so ist von φa bis φ abgeströmt das Gewicht G = Go – Gi, wenn bei A Go kg Dampf, vom Gesamtvolumen Vo im Zylinder enthalten waren. Während die Kurbel sich um den Winkel dφ, in der Zeit dt, dreht, strömt also aus: dG = – dGi. Nun ist: G_i=\frac{V_0}{v_i} wenn vi das spezifische Volumen beim Winkel φ ist. Daraus folgt: d\,G_i=-V_0\cdot d\,\left(\frac{1}{v_i}\right). Von der Zustandsänderung des Zylinderrückstandes ist nur bekannt, dass sie unter Wärmezufuhr vor sich geht, also sicher nicht adiabatisch ist, da die durchschnittliche Zylindertemperatur höher liegt als die Dampftemperatur während der Ausströmung. Man wird nicht weit fehlgehen, wenn man das Hyperbelgesetz zwischen Druck und spezifischem Volumen, wie es während der Expansionsperiode häufig genug, bei gesättigtem Dampfe, gilt, auch für die hier vorliegende Fortsetzung zu gründe legt.Näheres über die Begründung und die Unterschiede in den Ergebnissen bei Annahme von p . v = konstant und p . vk = konstant vergl. D. p. J. 1903, 318, S. 355 u. f. Dann ist also: povo = pivi, wenn po und vo für den Beginn der Ausströmung gelten. Hiermit wird d\,\left(\frac{1}{v_i}\right)=\frac{1}{v_0}\,d\,\left(\frac{p_i}{p_0}\right), somit d\,G=-\frac{V_0}{v_0}\,d\,\left(\frac{p_i}{p_0}\right). Ist nun weiter f der Eröffnungsquerschnitt während der Zeit dt, beim beliebigen Kurbelwinkel φ, so entströmt dem Zylinder während dieser Zeit infolge des Ueberdruckes gemäss der allgemeinen Ausflussformel das Dampfgewicht d\,G=\alpha\,\psi\cdot f\cdot \sqrt{\frac{p_i}{v_i}}\cdot dt, mit a als Kontraktionskoeffizient und ψ = konstant für \frac{p_i}{p_a}\,>\,1,7. Für \frac{p_i}{p_a}\,<\,1,7 ist dagegen ψ eine von \frac{p_i}{p_a} abhängige, sehr stark veränderliche Grösse. Mit ω als Winkelgeschwindigkeit der Kurbel wird dt=\frac{1}{\omega}\,d\,\varphi, somit d\,G=\frac{\alpha\,\psi\,f}{\omega}\,\sqrt{\frac{p_i}{v_i}}\cdot d\,\varphi. Nun ist aber wegen pivi = povo auch \sqrt{\frac{p_i}{v_i}}=\frac{p_i}{p_o}\,\sqrt{\frac{p_0}{v_0}}, somit d\,G=\frac{\alpha\,\psi\,f}{\omega}\,\sqrt{\frac{p_0}{v_0}}\cdot \frac{p_i}{p_o}\,d\,\varphi. Durch Gleichsetzen mit dem früher für dG erhaltenen Ausdruck wird -\frac{V_0}{v_0}\,d\,\left(\frac{p_i}{p_o}\right)=\frac{\alpha\cdot \psi\cdot f}{\omega}\,\sqrt{\frac{p_0}{v_0}}\cdot \frac{p_i}{p_o}\cdot d\,\varphi, somit \frac{1}{\frac{p_i}{p_o}}\cdot d\,\left(\frac{p_i}{p_o}\right)=-\frac{\alpha\,\psi}{\omega\cdot V_o}\,\sqtz{p_o\,v_o}\cdot f\,d\,\varphi. Für ψ = konstant ergibt die Integration also: ln\,\frac{p_i}{p_o}=-\frac{\alpha\,\psi}{\omega}\cdot \frac{F}{V_o}\,\sqrt{p_o\,v_o}\cdot \int_{\varphi_a}^{\varphi}\,\frac{f\,d\,\varphi}{F} . . . . . I) In dieser Gleichung, welche die Lösung enthält, lässt sich der Quotient \frac{F}{\omega\cdot V_o} mit F als grösstem Kanalquerschnitt wesentlich einfacher und sehr übersichtlich darstellen. Wir setzen u=\frac{O\cdot c_m}{F} worin O die nutzbare Kolbenfläche, cm die mittlere Kolbengeschwindigkeit ist. Dieser Wert u, eine für jede Maschine von gegebenen Abmessungen und gegebener Umdrehungszahl n fest bestimmte Zahl, wird gewöhnlich als „Dampfgeschwindigkeit“ in den Kanälen (für unseren Fall in den Auslasskanälen) bezeichnet, obwohl natürlich der Dampf sowohl während der Vorausströmung als später ganz andere und zwar viel grössere Geschwindigkeiten annimmt. Schärfer wäre a als „Kontinuitätsgeschwindigkeit“ anzusprechen, da mit dieser mittleren Geschwindigkeit der austretende Dampf wirklich, gemäss dem Kontinuitätsgesetz der unelastischen Flüssigkeiten, durch die Kanäle strömen würde, wenn er sich wie eine solche verhielte, Weiter ist nun Vo = 2 R . O . (1 + so – v), mit R als Kurbelradius der Maschine, so als schädlichem Raum und v als Restweg der Vorausströmung in Teilen des Kolbenhubes. Hiermit wird nun unser Wert \frac{F}{\omega\cdot V_o}=\frac{O\cdot c_m}{u}\cdot \frac{30}{\pi\cdot n}\cdot \frac{1}{2\,R\cdot O\cdot (1+s_o-v)} und mit c_m=\frac{2\,R\cdot n}{30} \frac{F}{\omega\cdot V_o}=\frac{1}{\pi\cdot u\cdot \cdot (1+s_o-v)} Hiermit geht Gleichung I) über in: ln\,\frac{p_i}{p_o}=-\alpha\,\psi\cdot \frac{\sqrt{p_o\,v_o}}{\pi\cdot u\cdot (1+s_o-v)}\cdot \int\,\frac{f}{F}\,d\,\varphi II) Von den Abmessungen der Dampfmaschine kommt jetzt in der Gleichung nur noch der Wert u vor, der Kolbenfläche, Hub, Tourenzahl und Kanalweite in sich enthält. Die „Kontinuitätsgeschwindigkeit u“ besitzt also in der Tat die Bedeutung für den Druckausgleich, auch aus theoretischen Gründen, die man ihr in den bisherigen empirischen Aufstellungen erfahrungsgemäss beizulegen hatte. Ueber die Uebereinstimmung der Werte von u, wie sie bei dem Druckausgleich nach vorstehender Gleichung sich ergeben, mit den bekannten Erfahrungszahlen von 20 bis 40 m, wird weiter unten ausführlich gehandelt. Zunächst ist die Gleichung II in bezug auf ihre Konstanten ψ, √povo und x eingehender zu erörtern. Es ist nach der Lehre vom Dampfausfluss (Theorie von Zeuner) \psi=\left(\frac{2}{m+1}\right)^{\frac{1}{m-1}}\cdot \sqrt{2\,g\cdot \frac{k}{k-1}\,\frac{m-1}{m+1}}                      = konstant für \frac{p_i}{p_a}\,>\,1,7. Hierin ist k = 1,035 + 0,1 x (x = spezifische Dampfmenge, 1 – x = Feuchtigkeitsgehalt des Dampfes) m < k Ausflussexponent, wenn Widerstände beim Ausfluss auftreten. Dieser Ausdruck, in dem sich der Einfluss von m und x (Widerstände und Dampfnässe) schwer übersehen lässt, kann mit beträchtlicher Annäherung gesetzt werden \psi=\frac{1}{1,63}\,\sqrt{\frac{g}{1,+\zeta}}=\frac{1,92}{\sqrt{1+\zeta}} mit ζ als hydraulischem Widerstandskoeffizienten im gewöhnlichen Sinne.D. p. J. 1903, 318, S. 355. Mit m=\frac{(1+\zeta)\cdot k}{1+\zeta\cdot k} ist nämlich: \frac{k}{k-1}\cdot \frac{m-1}{m+1}=\frac{1}{2\cdot (1+\zeta)}\cdot \frac{1}{1-\frac{k-1}{2\,k\cdot (1+\zeta)}} ein Ausdruck, der sich für die Werte von k und ζ, die in Frage kommen, sehr wenig von \frac{1}{2\cdot (1+\zeta)} unterscheidet. Desgleichen kann für \left(\frac{2}{m+1}\right)^{\frac{1}{m-1}} mit Werten von m zwischen 1,135 und 1,05, wie sie vorkommen können, der Mittelwert \frac{1}{1,63} gesetzt werden. – Aus dem vereinfachten Ausdruck für ψ folgt, dass die Feuchtigkeit 1 – x auf diesen Wert nur verschwindend kleinen Einfluss haben kann. Für √povo schreiben wir ferner, mit vo = x . so, wobei so das spezifische Volumen des trocken gesättigten Dampfes ist (Dampftabellen), √povo= √x . √poso Der Wert √poso ist für Wasserdampf innerhalb nicht gar zu weiter Grenzen fast konstant. Man erhält z.B. für po = 40000 kg/qm (4 atm)√poso = ∾ 137 10000131 3000127 (0,3 atm) Für die Spannungen, wie sie beim Beginn der Vorausströmung auftreten, kann also mit völlig genügender Näherung √poso = ∾ 133 gesetzt werden. Der Wert x ist ja auch im Einzelfalle nicht scharf bestimmbar. Um so weniger Zweck hätte äusserste Genauigkeit bei √poso. Wir setzen also √povo = 133 √x für alle Dampfspannungen. Mit diesen Vereinfachungen, durch die die Genauigkeit der Rechnung kaum beeinflusst wird, die jedoch in Hinsicht der praktischen Benutzbarkeit der Formeln fast unerlässlich sein dürften, erhalten wir: \begin{array}{rcl}ln\,\frac{p_i}{p_o}&=&-\alpha\cdot \frac{1,92}{\sqrt{1+\zeta}}\cdot \frac{133\,\sqrt{x}}{\pi\,u\cdot (1+s_0-v)}\,\int_{\varphi_a}^{\varphi}\,\frac{f}{F}\,d\,\varphi \\ &=&-\frac{256\,\alpha\,\sqrt{\frac{x}{1+\zeta}}}{\pi\,u\cdot (1+s_0-v)}\,\int_{\varphi_a}^{\varphi}\,\frac{f}{F}\,d\,\varphi\mbox{ oder mit} \end{array} k=\alpha\,\sqrt{\frac{x}{1+\zeta}} . . . . . . . . . . . III) log\,\frac{p_i}{p_0}=-\frac{111\,k}{\pi\cdot u\cdot (1+s_o-v)}\cdot \int_{\varphi_a}^{\varphi}\,\frac{f}{F}\,d\,\varphi . . IV) Textabbildung Bd. 320, S. 4 Fig. 2. Textabbildung Bd. 320, S. 4 Fig. 3. Das Integral \int_{\varphi_a}^{\varphi},\frac{f}{F}\,d\,\varphi lässt sich sehr übersichtlich darstellen. Tragen wir die freien Kanalquerschnitte f als Ordinaten zu den Kurbelwinkeln φ als Abszissen auf, so erhalten wir ein Ventilerhebungsdiagramm (bzw. Schiebereröffnungskurve) das sich bei gegebenem Steuerungsschema leicht aufzeichnen lässt (besonders einfach für gewöhnlichen Exzenterantrieb und für unrunde Scheibe). In Fig. 2 und 3 ist dann \int_{\varphi_a}^{\varphi}\,f\,d\,\varphi der Inhalt der Fläche OCD. Wird diese planimetriert, so ist mit fm als „mittlerem Eröffnungsquerschnitt während des Kurbelwinkels φ – φa“ f_m\cdot (\varphi-\varphi_a)=\int_{\varphi_a}^{\varphi}\,f\,d\,\varphi somit \int_{\varphi_a}^{\varphi}\,d\,\varphi=\frac{f_m}{F}\cdot (\varphi-\varphi_a) worin φ und φa im Bogenmass, oder =\pi\cdot \frac{f_m}{F}\cdot \frac{(\varphi-\varphi_a)^{\circ}}{180}, worin φ und φa im Gradmass einzusetzen sind. – Aus Fig. 3 ist ersichtlich, wie man fm zu ermitteln hat, wenn der Kanal schon eine Zeit lang offen ist. Für letzteren Fall ist übrigens: \frac{f_m}{F}=\frac{{f_m}'}{F}\cdot \frac{\varphi_b-\varphi_a}{\varphi-\varphi_a}+\frac{\varphi-\varphi_b}{\varphi-\varphi_a} Daher wird nun: log\,\frac{p_i}{p_o}=-\frac{111\,k}{u\cdot (1+s_o-v)}\cdot \frac{f_m}{F}\cdot \frac{(\varphi-\varphi_a)^{\circ}}{180} V) Nach dieser einfachen Gleichung kann nun der Druckabfall für einen beliebigen Kurbelwinkel φ während der Ausströmung und zwar bei jedem beliebigen Steuerungsantrieb berechnet werden, sobald nur die Kontinuitätsgeschwindigkeit für den Auslass- und das Erhebungsdiagramm bekannt ist. Da es bei diesem nur auf den Verhältniswert \frac{f_m}{F} ankommt, so ist der Längen- und der Höhenmasstab von keinem Einfluss, kann also nach Belieben gewählt werden. Die Stelle B der Erhebungslinie (Fig. 2 und 3), wo die Eröffnung des Auslassorgans die Kanalweite gerade erreicht, muss aber bekannt sein. Gleichung V berücksichtigt den Einfluss der Kolbenbewegung nichtDiese Frage wird in einem späteren Abschnitt eingehend behandelt werden. Vorläufig genügt eine überschlägige Schätzung des fraglichen Betrages, wie sie in den nachfolgenden Beispielen angewendet wird. und gilt nur bis zu der Spannungsgrenze, wo der innere Druck das rd. 1,6 bis 1,7 fache des äusseren Druckes erreicht. Demgemäss beschränkt sich ihre Anwendung in der Hauptsache auf Kondensationsmaschinen. Um für einen bestimmten Fall die Rechnung ausführen zu können, muss die Konstante k bekannt sein. (Fortsetzung folgt.)