Kinetik und Kinetostatik des Schubkurbelgetriebes. Von Dr. ing. Hermann Meuth, Karlsruhe. (Schluss von S. 570 d. Bd.) Kinetik und Kinetostatik des Schubkurbelgetriebes. Die Reaktionen und ihr Ausgleich beim Mehrkurbelgetriebe. Zum Schlusse sollen noch einige mehr referierende Bemerkungen über die kinetostatischen Verhältnisse folgen. Zu dem Verlauf der Reaktionen des Zahlenbeispiels der Einkurbelmaschine ist zu bemerken, dass die aus der Bewegung entstehenden Kräfte in allen Fällen die auf das Kurbellager und auf die Kreuzkopfführung wirkenden Kolbendrücke derart beeinflussen, dass die Schwankungen der Gesamtreaktionen während einer Umdrehung geringer werden. Zur Beurteilung der Heftigkeit von Stössen durch den Wechsel der Kräfte in ihrer Grösse und Richtung und zur Bestimmung der Stellen grösster Abnutzung ist beim Kurbellager eine vektorielle Darstellung der Resultierenden aus den wagerechten und senkrechten Lagerreaktionen geeignet.s. Wehage, Ueber den ruhigen Gang der Dampfmaschinen mit Kurbelwelle. Z. d. V. d. I. 1884, S. 664. Die von den Geschwindigkeitsschwankungen der Kurbel herrührenden Lagerdrucke sind in dem vorliegenden Falle unbeträchtlich. Auch das Drehmoment an der Kurbel wird nur in geringem Masse durch die Schwankungen der Winkelgeschwindigkeit beeinflusst und zwar in dem Sinne, dass hauptsächlich die Schwankungen mit dem dreifachen Kurbelwinkel vergrössert werden. Was die Reaktionen des Mehrkurbelgetriebes betrifft, so bietet die Bestimmung derselben keine weiteren Schwierigkeiten. In ganz analoger Weise wie beim Einkurbelgetriebe ist als Grundlage für die Untersuchung der kinetischen und kinetostatischen Verhältnisse die lebendige Kraft des ganzen Getriebes aufzustellen, welche sich als Summe der lebendigen Kräfte der einzelnen Getriebe ergibt. Unter Einführung von Phasenwinkeln α1, α2, α3 usw., welche den Kurbelversetzungen entsprechen, ist bei n gleichen Getrieben die gesagte lebendige Kraft L=\frac{r^2}{2}\,\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2\,\left[M_1+n\,\left\{\frac{M_2}{2}+\left(1-a+\frac{b}{2}\right)\,M_3\right\right -\left(\frac{M_2}{2}+\left(a-\frac{b}{2}\right)\,M_3\right)\,\mbox{cos}\,2\,(\varphi+\alpha_1+\alpha_2+..)+\frac{\lambda}{2}\,(M_2+a\,M_3) \left\left\left(cos\,(\varphi+\alpha_1+\alpha_2+...)-\mbox{cos}\,3\,(\varphi+\alpha_1+\alpha_2+...)\right)\right\}\right] Die Behandlung des äusseren Kraftfeldes bei Mehrkurbelmaschinen ist schon auf S. 503 angedeutet. Auf dem in den ersten Abschnitten bezeichneten Wege lassen sich Geschwindigkeit und Beschleunigung der Drehbewegung bestimmen und in gleicher Weise wie beim ebenen Einkurbelmechanismus auch die Gesamtreaktionen aufstellen. Die Frage des Ausgleichs der Reaktionen gewinnt beim Mehrkurbelgetriebe deshalb an Interesse, weil es bei einer bestimmten Anzahl der Kurbeln möglich ist, ohne Anwendung von Zusatzmassen einen vollständigen Ausgleich der freien Kräfte und Momente zu erzielen. Die erste praktische Lösung dieses Problems rührt von SchlickZ. d. V. d. I. 1894, S. 1090. her. Die analytische Behandlung desselben, welche sich bei Schubert: „Zur Theorie des Schlickschen Problems“ und bei Lorenz: „Dynamik der Kurbelgetriebe“ findet, führt die dynamische Aufgabe auf den Fall des Gleichgewichts der den einzelnen Kurbelstellungen entsprechenden Massenkräfte und deren Momente in wagerechter und senkrechter Richtung zurück.Die graphische Behandlung der Gleichgewichtsbedingungen zeigt Taylor im „Journal of the American Society of Naval Engineers“.Siehe das Referat darüber von Fränzel, Z. d. V. d. I. 1898, S. 907. Der Einfluss der Schwankungen der Geschwindigkeit im Kurbelkreis tritt nicht in die Gleichgewichtsbedingungen ein, d.h. der Ausgleich der Massenkräfte und Momente bleibt bestehen, wie gleichförmig oder ungleichförmig sich auch die Welle dreht. Dem Ausgleich der Reaktionen, welche allein durch die Bewegung entstehen, stellt Prof. Heun, in Berücksichtigung des Umstandes, dass man es bei den z.B. eine Schiffsmaschine stützenden Teilen nicht mit einem starren Körper zu tun hat, vielmehr mit einem Körper, der mannigfacher Formänderungen fähig ist, den Ausgleich der Gesamtreaktionen mit Einschluss der aus den äusseren Kräften resultierenden Stützdrucke und deren Momente gegenüber. Es kann in diesem Falle nicht mehr von einem Ausgleich in dem Sinne gesprochen werden, dass die Summe der Reaktionen und deren Momente = o wird, sondern dass die notwendig bestehenbleibenden Reaktionen in ihrer Gesamtwirkung auf das Fundament möglichst wenig Schwankungen zeigen. Diese Forderung nach einem Minimum der Reaktionsschwankungen bedingt ein bestimmtes Verhältnis der Kurbelwinkel und -abstände, sowie der bewegten Massen, welches im allgemeinen von demjenigen verschieden sein wird, welches dem reinen Massenausgleich entspricht. Zur Bestimmung der Kurbelversetzungswinkel liesse sich in ähnlicher Weise wie im letzteren Falle eine analytische Beziehung aufstellen, indem man die erste und zweite Ableitung der Summe der Reaktionen nach den Kurbelversetzungswinkeln = o setzt; dabei verschwinden jetzt nicht mehr die Glieder, welche die Winkelbeschleunigung enthalten. Jedoch führt ein solches Verfahren nicht zum Ziel. Es gibt eben bei fast allen Aufgaben der Technik keine absoluten Maxima und Minima im mathematischen Sinne, es ist vielmehr die Menge der zu erfüllenden Bedingungen so zu berücksichtigen, dass schliesslich als Kompromiss ein mit allen Bedingungen verträgliches Maximum oder Minimum zustande kommt. Man wird deshalb für den Ausgleich der freien Massenkräfte und Momente zunächst die Kurbelwinkel und Abstände und die Massen bestimmen und dieselben nachträglich so abändern, dass die Gesamtreaktionen am Kurbellager und am Kreuzkopf keine zu grossen Schwankungen zeigen und dass dabei gleichzeitig denjenigen Forderungen einigermassen entsprochen wird, welche mit Rücksicht auf den Betrieb der Maschine, die Lebensdauer ihrer Teile, insbesondere der Lager, die leichte Manövrierfähigkeit, die Steuerungsverhältnisse, das Gesamtgewicht, die Raumverhältnisse und die Herstellung zu erfüllen sind. LorenzDynamik der Kurbelgetriebe, S. 97. und BedingSchiffsschwingungen, Ursachen und Kritik der Mittel zu ihrer Verminderung, Z. d. V. d. I. 1899, S. 981.Siehe auch Rüdenberg, Die günstigsten Kurbelwinkel für stationäre Maschinen, D. p. J. 1904, 319, S. 417 u. ff. haben speziell die Frage untersucht, welche Kurbelwinkel einem günstigen Massenausgleich und gleichzeitig einem möglichst gleichförmigen Drehmoment an der Welle entsprechen. Dadurch wird nicht bloss eine gleichmässige Geschwindigkeit der Welle erreicht, sondern auch ein möglichst gleichmässiger Verlauf des Gesamtreaktionsmomentes am Kreuzkopf in bezug auf das Wellenmittel, welches dem Drehmoment an der Kurbel gleich ist und durch welches die Maschine in einer zur Wellenachse senkrechten Ebene zu kippen strebt. In gleicher Weise sollten die Kurbelwinkel für einen günstigen Massenausgleich mit denjenigen in Einklang gebracht werden, bei welchen die Gesamtreaktionen am Kurbellager einen gleichmässigen Verlauf zeigen. Letztere Forderung erscheint für die Maschine von der gleichen Bedeutung wie die des reinen Massenausgleichs, denn die Grösse der Gesamtreaktionen bedingt die Grösse der Formänderungen des Maschinengestells und damit auch der elastischen Unterlage. Daraus könnten die Vibrationen ihre Erklärung finden, welche auf Dampfern selbst bei weitgehendem Massenausgleich noch beobachtet werden können. Die Ursache dieser restierenden Schwingungen führt SchlickUntersuchungen über die Vibrationserscheinungen bei Dampfern. Leipzig, 1903. auf kleine Abweichungen in den Steigungswinkeln der einzelnen Schraubenflügel des Propellers zurück. Diese Vermutung hat einige Wahrscheinlichkeit für sich. Die zu ihrer Unterstützung angeführte Erscheinung aber, dass die Schwingungen ausbleiben, wenn die Schrauben abgekuppelt sind, begründet ebensowohl die Vermutung, dass die Deformationen der Maschine und ihres Fundamentes den Schiffskörper zu Vibrationen veranlassen können; denn nach Abkupplung der Schrauben ist das Kraftfeld aus der Maschine entfernt und damit die Ursache für das Zustandekommen der elastischen Deformationen. Eine genaue rechnerische Verfolgung der Erscheinungen zur Bestätigung der einen oder anderen Ansicht ist kaum möglich. Ueber den Einfluss der Reaktionen lässt sich aber vergleichsweise ein allgemeines Urteil gewinnen, wenn man deren Grösse und Verlauf kennt. Es sind zu diesem Zwecke für eine vierzylindrige Schnellzugslokomotive die Gesamtreaktionen in den Achslagern in Richtung der Kolbenbewegung ermittelt und in Fig. 23–25 auf der Basis des abgewickelten Kurbelkreises dargestellt, und zwar einmal für den Fall, dass die vier Kurbeln in Kreuzstellung angeordnet sind, und dann für eine nach dem Schlickschen Verfahren ausgeglichene Maschine mit entsprechenden Kurbelversetzungswinkeln, jedoch gleichen Zylinderabständen wie im ersteren Fall, und mit den für den Ausgleich erforderlichen Massen. Der Verlauf der Gesamtreaktionen auf ein Achslager in wagerechter Richtung während einer Umdrehung ist für die Schlicksche Maschine sowohl mit Rücksicht auf die absolute Grösse der Reaktionen wie auf deren Wechsel wesentlich ungünstiger, wie bei der Maschine, deren Kurbeln in Kreuzstellung angeordnet sind. In der Tat haben auch Probefahrten auf der badischen StaatsbahnZ. d. V. d. I. 1904, S. 1087 und D. p. J. 1901, 319, S. 465. mit vierkurbeligen Schnellzugslokomotiven – Kurbeln in Kreuzstellung – bei einer Fahrgeschwindigkeit bis zu 140 km in der Stunde einen durchaus ruhigen Lauf der Maschinen, wozu vor allem der grosse Radstand beitrug, ergeben, trotzdem die Zylinder in einem für den Massenausgleich ungünstigen Sinne – Niederdruckzylinder aussen – angeordnet sind. Textabbildung Bd. 320, S. 587 Fig. 23. Kurbeln in Kreuzstellung.Fig. 24. Massenausgleich.Fig. 25. Grundriss des Triebwerkes. Gewichte der hin- und hergehenden Massen eines Triebwerkes = 250 kg. Gewichte der äusseren Triebwerke je = 250 kg; inneren = 480. Horizontaldrücke im Achslager einer vierzylindrigen Lokomotive bezw. Zug- und Druckkräfte im Rahmen. (Fahrgeschwindigkeit 120 km i. d. Stde.); (Druckmasstab: 1 mm = 150 kg.) Tabelle zur Auflösung von Tangentialdruckdiagrammen in die Reihe T = A0 + A1 cos φ + A2 cos 2 φ + A3 cos 3 φ + A4 cos 4 φ + A3 cos 5 φ + A6 cos 6 φ + B1 sin φ + B2 sin 2 φ + B3 sin 3 φ + B4 sin 4 φ + B5 sin 5 φ + B6 sin 6 φ. Konstantenbestimmung durch Auswahl 12 charakteristischer Punkte innerhalb einer vollen Umdrehung (24 Teile). Textabbildung Bd. 320, S. 588 Punkte des abgewickelten Kurbelkreises; No.; in Vielfachen von π. Anhang. Häufig vorkommende trigonometrische Beziehungen. \mbox{sin}^2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(1-\mbox{cos}\,2\,\varphi) \mbox{sin}^3\,\varphi = \frac{1}{4}\,(3\,\mbox{sin}\,\varphi-\mbox{sin}\,3\,\varphi) \mbox{sin}\,2\,\varphi\,\mbox{sin}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,\varphi-\mbox{cos}\,3\,\varphi) \mbox{sin}\,3\,\varphi\,\mbox{sin}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,2\,\varphi-\mbox{cos}\,4\,\varphi) \mbox{sin}\,4\,\varphi\,\mbox{sin}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,3\,\varphi-\mbox{cos}\,5\,\varphi) \mbox{sin}\,3\,\varphi\,\mbox{sin}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,\varphi-\mbox{cos}\,5\,\varphi) \mbox{sin}\,4\,\varphi\,\mbox{sin}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,2\,\varphi-\mbox{cos}\,6\,\varphi) \mbox{sin}\,\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi = \frac{1}{2}\,\mbox{sin}\,2\,\varphi \mbox{sin}\,2\,\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,3\,\varphi+\mbox{sin}\,\varphi) \mbox{sin}\,3\,\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,4\,\varphi+\mbox{sin}\,2\,\varphi) \mbox{sin}\,4\,\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,5\,\varphi+\mbox{sin}\,3\,\varphi) \mbox{sin}\,2\,\varphi\,\mbox{cos}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,\mbox{sin}\,4\,\varphi \mbox{sin}\,3\,\varphi\,\mbox{cos}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,5\,\varphi+\mbox{sin}\,\varphi) \mbox{sin}\,4\,\varphi\,\mbox{cos}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,6\,\varphi+\mbox{sin}\,2\,\varphi) \mbox{cos}^2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(1+\mbox{cos}\,2\,\varphi) \mbox{cos}^3\,\varphi = \frac{1}{4}\,(3\,\mbox{cos}\,\varphi+\mbox{cos}\,3\,\varphi) \mbox{cos}\,2\,\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,3\,\varphi+\mbox{cos}\,\varphi) \mbox{cos}\,3\,\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,4\,\varphi+\mbox{cos}\,2\,\varphi) \mbox{cos}\,4\,\varphi\,\mbox{cos}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,5\,\varphi+\mbox{cos}\,3\,\varphi) \mbox{cos}\,3\,\varphi\,\mbox{cos}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,5\,\varphi+\mbox{cos}\,\varphi) \mbox{cos}\,4\,\varphi\,\mbox{cos}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{cos}\,6\,\varphi+\mbox{cos}\,2\,\varphi) \mbox{cos}\,2\,\varphi\,\mbox{sin}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,3\,\varphi-\mbox{sin}\,\varphi) \mbox{cos}\,3\,\varphi\,\mbox{sin}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,4\,\varphi-\mbox{sin}\,2\,\varphi) \mbox{cos}\,4\,\varphi\,\mbox{sin}\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,5\,\varphi-\mbox{sin}\,3\,\varphi) \mbox{cos}\,2\,\varphi\,\mbox{sin}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,\mbox{sin}\,4\,\varphi \mbox{cos}\,3\,\varphi\,\mbox{sin}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,5\,\varphi-\mbox{sin}\,\varphi) \mbox{cos}\,4\,\varphi\,\mbox{sin}\,2\,\varphi = \frac{1}{2}\,(\mbox{sin}\,6\,\varphi-\mbox{sin}\,2\,\varphi) –––––––––– Berichtigung. Die Gleichung 1 b) 486 muss lauten: \frac{d^2\,\varphi}{d\,t^2}\,\left[\left(M_1+\frac{M_2}{2}+M_3\,(1-a+\frac{b}{2})\right)\,r^2\right +\frac{r^2\,\lambda}{2}\,(M_2+a\,M_3)\,\mbox{cos}\,\varphi-\frac{r^2}{2}\,\left(M_2+(2\,a\right \left\left-b)\,M_3\right)\,\mbox{cos}\,2\,\varphi-\frac{r^2\,\lambda}{2}\,(M_2+a\,M_3)\,\mbox{cos}\,3\,\varphi\right] +\frac{1}{2}\,\left(\frac{d\,\varphi}{dt}\right)^2\,\left[-\frac{r^2\,\lambda}{2}\,(M_2+a\,M_3)\,\mbox{sin}\,\varphi+r^2\,(M_2\right +(2\,a-b)\,M_3)\,\mbox{sin}\,2\,\varphi+\frac{3\,r^2\,\lambda}{2}\,(M_2 \left+a\,M_3)\,\mbox{sin}\,3\,\varphi\right]=Q . . . 1 b)