Eine einfache Methode der Zerlegung periodischer Kurven in Sinuswellen ungerader Ordnung.Nach C. Runge, Zeitschrift für Mathematik und Physik 1903, XLVIII, S. 443 und Silvanus P. Thompson, The Electrician 5. Mai 1905, S. 78. Eine einfache Methode der Zerlegung periodischer Kurven in Sinuswellen ungerader Ordnung. Die Fouriersche Reihe lautet allgemein: y = A0 + A1 sin α + A2 sin 2 α + A3 sin 3 α - - -            + B1 cos α + B2 cos 2 α + B3 cos 3 α - - -. Jede periodische Kurve lässt sich in diesen Ausdruck auflösen. Wenn die erste Halbperiode der periodischen Kurve der zweiten Halbperiode gleich ist (Werte, die um 180° resp. \frac{\gamma}{2} verschoben sind, sind, abgesehen vom Vorzeichen, gleich), sind in der Reihe die Glieder gerader Ordnung nicht vorhanden, wie man sich leicht überzeugen kann. Die Nullinie und den Nullpunkt wählen wir so, dass auch A0 verschwindet und die Ordinaten bei 0° und 180° den Wert Null haben. Die Gleichung der gegebenen Kurve ist somit folgende: y = A1 sin α + A3 sin 3 α  + A5 sin 5 α - - - -    + B1 cos α + B3 cos 3 α + B5 cos 5 α - - - -. In der Neuzeit, wo der Oszillograph sehr vervollkommnet ist und mit ihm viel gearbeitet wird, hat die Form dieser Reihe in der Elektrotechnik grosse Bedeutung erlangt, weshalb eine Methode zur raschen Auffindung der Koeffizienten A und B hier ausführlich beschrieben werden soll. Will man irgendwelche beliebige Koeffizienten An und Bn finden, so bildet man bekanntlich \int_0^{2\,\pi}\,y\,\mbox{sin}\,n\, \alpha\,d\, \alpha=\int_0^{2\,\pi}\mbox{sin}\,\n\, \alpha\,(A_1\,\mbox{sin}\, \alpha+A_3\,\mbox{sin}\,3\, \alpha...+B_1\,\mbox{cos}\, \alpha+B_3\,\mbox{cos}\,3\, \alpha...)\,d\, \alpha \int_0^{2\,\pi}\,y\,\mbox{cos}\,n\, \alpha\,d\, \alpha=\int_0^{2\,\pi}\mbox{cos}\,\n\, \alpha\,(A_1\,\mbox{sin}\, \alpha+A_3\,\mbox{sin}\,3\, \alpha...+B_1\,\mbox{cos}\, \alpha+B_3\,\mbox{cos}\,3\, \alpha...)\,d\, \alpha Da nun \int_0^{2\,\pi}\,\mbox{sin}\,s\, \alpha\,\mbox{sin}\,n\, \alpha\,d\, \alpha=0 \int_0^{2\,\pi}\,\mbox{cos}\,s\, \alpha\,\mbox{cos}\,n\, \alpha\,d\, \alpha=0 \int_0^{2\,\pi}\,\mbox{sin}\,s\, \alpha\,\mbox{cos}\,n\, \alpha\,d\, \alpha=0 fallen rechts alle Glieder fort bis auf \int_0^{2\,\pi}\,A_n\,\mbox{sin}^2\,n\, \alpha\,d\, \alpha=\pi\,A_n \int_0^{2\,\pi}\,B_n\,\mbox{cos}^2\,n\, \alpha\,d\, \alpha=\pi\,B_n und es wird A_n=\frac{1}{\pi}\,\int_0^{2\,\pi}\,y\,\mbox{sin}\,n\, \alpha\,d\, \alpha B_n=\frac{1}{\pi}\,\int_0^{2\,\pi}\,y\,\mbox{cos}\,n\, \alpha\,d\, \alpha d.h. An resp. Bn ist gleich dem doppelten Mittelwert von y sin n α resp. y cos n α. Man hat also jeden Punkt der gegebenen Kurve mit sin n α resp. cos n α, wo α der zu dem Punkt gehörige, bestimmte Winkel ist, zu multiplizieren und den Mittelwert der so erhaltenen neuen Kurve zu bilden. Dabei brauchen wir uns nun nur auf die erste Halbperiode zu beschränken, da die zweite Halbperiode der neuen Kurve der ersten, diesmal inkl. Vorzeichen, gleich ist. (Es ist nämlich sin (180 + α) . n = – sin α. n, die Ordinaten der zweiten Halbperiode werden somit positiv). Die Halbperiode wird nun in 2 m gleiche Teile geteilt, wodurch man die Ordinaten erhält y1y2y3 ... y2 m-1 und A_n=\frac{2}{\pi}\,(y_1\,\mbox{sin}\,n\, \alpha_1+y_2\,\mbox{sin}\,n\, \alpha_2...+y_f\,\mbox{sin}\,n\, \alpha_f...+y_{2\,m-1}\,\mbox{sin}\,n\, \alpha_{2\,m-1}) B_n=\frac{2}{\pi}\,(y_1\,\mbox{cos}\,n\, \alpha_1+y_2\,\mbox{cos}\,n\, \alpha_2...+y_f\,\mbox{cos}\,n\, \alpha_f...+y_{2\,m-1}\,\mbox{cos}\,n\, \alpha_{2\,m-1}) Hierin ist a_1=\frac{\pi}{2\,m}=a;\ a_2=2\,\frac{\pi}{2\,m}=2\, \alpha;\ a_f=f\,\frac{\pi}{2\,m}=f\, \alpha. Hier sei bemerkt, dass wir höhere Harmonische als (2 m – 1)ter Ordnung nicht finden können; also n ≦ 2 m – 1. Beim Ausrechnen der Klammerausdrücke zeigt es sich nun, dass sich dieselben Multiplikationen vielfach wiederholen. Sucht man diese aus und ordnet sie in ein Schema, so findet man, dass die Ausrechnung ausserordentlich vereinfacht wird. Zunächst werden alle Paare von Ordinaten, deren zugehörige Winkel Supplementwinkel sind, mit demselben Faktor multipliziert; denn es ist: sin α = sin (180 – α); sin α1 = sin α2 m – 1 allgemein: sin n αf = sin n α2 m – f = sin (n π – n αf) cos α = – cos (180 – α) cos α1 = – cos α2 m – 1allgemein:cos n αf = – cos n α2 m – f = – cos (n π – n αf) da n ungerade ist. Danach können wir für die Ausrechnung der Koeffizienten irgendwelcher ungeraden Ordnung die korrespondierenden y zusammenfassen. y 1 y 2 y 3 yf y m–1 y m y 2 m – 1 y 2 m – 2 y 2 m – 3 y 2 m – f y m + 1 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– s 1 s 2 s 3 s f s m–1 s m Summe yf + y2 m – f d 1 d 2 d 3 d f d m–1 dm Differenz yf – y2 m – f In den Ausdrücken für An und Bn geht somit die Zahl der Summanden auf die Hälfte herunter. A_n=\frac{2}{\pi}\,(s_1\,\mbox{sin}\,n\,\alpha_1+s_2\,\mbox{sin}\,n\,\alpha_2...+s_f\,\mbox{sin}\,n\,\alpha_f...+s_m\,\mbox{sin}\,n\,\alpha_m) B_n=\frac{2}{\pi}\,(d_1\,\mbox{cos}\,n\,\alpha_1+d_2\,\mbox{cos}\,n\,\alpha_2...+d_f\,\mbox{cos}\,n\,\alpha_f...+d_m\,\mbox{cos}\,n\,\alpha_m) Eine weitere Vereinfachung ergibt sich durch die Ueberlegung, dass α1 und αm–1 α2 und αm–2 usw. Komplementwinkel sind. Die Kosinus können durch die Sinus ersetzt werden. Allgemein ist sin n αf = ± cos n αm – f = ± cos n (90 – αf + für n = 1, 5, 9 .. – für n = 3, 7, 11 .. Es wird somit: B_n=\frac{2}{\pi} (± d1 sin n αm – 1 ± d2 sin n αm – 2... ±dm –1 sin n α1) + für n = 1, 5, 9 – für n = 3, 7, 11 Ein Schema für die Ausrechnung von A1 und B1 würde nun folgende Gestalt annehmen: A 1 B 1 sin α1sin α2sin α3.....sin αm–2sin αm–1sin αm s1s2s3.....sm–2sm–1sm dm–1dm–3dm–2.....d2d10 \frac{\Sigma}{m}=A_1 \frac{\Sigma}{m}=B_1 Hierin sind die s und d jeweilig mit dem in derselben Horizontalreihe stehendem Sinus multipliziert gedacht z.B. für s3:        s3 × sin α3,              für dm–2: dm–2 sin α2. Bei der Bestimmung der höheren Harmonischen treten die Sinus der n-fachen Winkel auf: sin 3 af, sin 5 af..... sin naf, worin f = 3,5,.... bis m. Jeder dieser Sinus lässt sich indes durch einen in der ersten Kolumne vorkommenden ausdrücken. Es ist sin 3 α1 = sin α3      sin 5 α1 = sin α5 sin 3 α2 = sin α6      sin 5 α2 = sin α10, allgemein sin nαf = sin αn . f Man braucht demnach im Schema bei Ausrechnung der höheren Harmonischen keine Sinus-Kolumnen mehr aufzuführen. Es müssen nur die 5 und ei nach unten resp. oben verschoben werden und zwar allgemein um (n – 1) f Parallelreihen. Jedesmal, wenn dabei die Reihen y2 m, 2 y2 m, 3 y2 m überschritten werden, wechselt das Vorzeichen. Das Schema wird ferner noch sehr vereinfacht, wenn man supplementäre Koeffizienten zusammenfasst. A 1 A2m – 1; A 3 A2m – 3.... A n A 2m – n B 1 B2m – 1; B 3 B2m – 3.... B n B 2m – n Es ist z.B.: A2m – 1 = s1 sin (2 m – 1) α1 + s2 sin (2 m – 1) α2 + ... sin (2 m – 1) α1        = sin (π – α1) = sin α1 sin (2 m – 1) α2    = sin (2 π – α2) = – sin α2 demnach: A2m – 1= s1 sin α1 – s2 sin α2 + s3 sin α3 – s4 sin α4...           A1 = (s1 + s3 + s5...) + (s2 + s4 + s6...) = Sa + Sb A2m – 1 = (s1 + s3 + s5...) – (s2 + s4 + s6...) = Sa – Sb (Die 5 mit den entsprechenden Sinus multipliziert gedacht). Allgemein ist: A_n=\frac{\Sigma\,s_t\,\mbox{sin}\,n\,\alpha_t}{m}     A_{2m-n}=\frac{\Sigma\,s_f\,\mbox{sin}\,(2m-n)\,\alpha_f}{m} B_n=\frac{\Sigma\,d_t\,\mbox{cos}\,n\,\alpha_t}{m}     B_{2m-n}=\frac{\Sigma\,d_f\,\mbox{cos}\,(2m-n)\,\alpha_f}{m} worin f = 1, 2, 3... m sin nαf = ± sin (2 m – n)αf = ± sin (f . π – nαf)                        + wenn f ungerade                        – wenn f gerade cos nαf = ∓ cos (2 m – n)αf = ∓ cos (f . π – nαf)                       – wenn f ungerade                       + wenn f gerade Die An und A2m – n resp. Bn und B2m – n unterscheiden sich demnach nur durch die Vorzeichen der geraden resp. ungeraden Glieder oder man kann die supplementären Koeffizienten bilden nach der Form Sa + Sb und Sa – Sb. Schliesslich lässt sich für die Harmonischen, deren Ordnungszahl n mit m einen gemeinschaftlichen Teiler hat, noch eine Vereinfachung ausführen. Es sei n . z = m, worin z eine ganze Zahl ist. n\,\alpha_1=\frac{m}{z}\,\alpha_1=\frac{\pi}{2\,z};\ n\,\alpha_2=2\,\frac{\pi}{2\,z};\ n\,\alpha_3=3\,\frac{\pi}{2\,z}; n\,\alpha_z=\frac{z\cdot \pi}{2\,z}=\frac{\pi}{2} sin n α1 = sin n α2 z – 1 = – sin n α2 z + 1 = – sin n α4 z – 1. Für diese Harmonischen lassen sich demnach die s und d noch zusammenfassen. An Hand dieser Auseinandersetzungen lässt sich jedes beliebige Schema aufstellen. Die Genauigkeit wird umso grösser, in je grössere Anzahl von Teilen die Halbperiode geteilt wird. Bei einer Einteilung von 2 m = 18 ist die Genauigkeit schon recht gut, weshalb für diese Zahl das Schema S. 816 nebst einem Zahlenbeispiel angeführt werden soll. Die Kurve, die dem Zahlenbeispiel zugrunde liegt, ist die folgende. Textabbildung Bd. 320, S. 815 Fig. 1. Auf die Vorzeichen muss bei der Ausrechnung des Schemas besonders geachtet werden. Will man die höheren Harmonischen nicht bis zur siebzehnten bestimmen, sondern sich mit denen geringerer Ordnung begnügen, so braucht man im Schema nur die Harmonischen der höheren Ordnungen wegzulassen und erhält so die verlangten Harmonischen mit der Genauigkeit, die dem Schema entspricht. Viel Arbeit wird dabei allerdings nicht gewonnen. Will man indes mit geringerer Genauigkeit fürlieb nehmen, so braucht man die Halbperiode nur in entsprechend weniger Teile zu teilen, z.B. in zwölf für die Bestimmung der elften Harmonischen und sich dafür ein neues Schema herzustellen. Dieses wird viel einfacher und man erspart bei der Ausrechnung viel an Zeit. Da indes die Fehler je nach Gestalt der zu analysierenden Kurve beträchtlich werden können, so empfiehlt es sich bei dem angegebenen Schema zu bleiben, dessen Ausrechnung mit Hilfe des Rechenschiebers etwa 1 ½ Stunden erfordert. Zum Schlusse sei noch eine einfache Kontrolle für die Richtigkeit der Ausrechnung angeführt. Es ist bei dem angegebenen Schema y = (A1 + A17) sin α + (A3 + A15) sin 3 α + (A5 + A13) sin 5 α         + (A7 + A11) sin 7 α + A9 sin 9 α         + (B1 – B17) cos α + (B3 – B15) cos 3 α + (B5 – B13) cos 5 α         + (B7 – B11) cos 7 α + B9 cos 9 α. Für irgend einen Wert von α muss das gefundene y mit der Kurve übereinstimmen. Es genügt, wenn man zwei Punkte kontrolliert und zwar die für α = 30° und α = 90°. Setzt man diese Werte in die Gleichung ein, so ergibt sich: y3 = (A1 + A5 – A7 – A11 + A13 + A17) sin 30° + A3 – A9 + A15         + (B1 – B5 – B7 + B11 + B13 – B17) sin 60° y9 = A1 + A5 + A9 + A13 + A17 – A3 – A7 – A11 – A15. Im Zahlenbeispiel: y3 = (74 – 4,98 – 3,85 – 6,63 – 0,71 – 0,108) 0,5 – 11,43                                                                           + 5 – 0,795          + (2,09 + 11,37 – 4,66 + 1,01 – 4,1 + 1,74) . 0,866 y3 = 28,08 gegen 28,2 der Kurve. y9 = 74 – 4,98 – 5 – 0,71 – 0,108 + 11,43 – 3,85 – 6,63 + 0,795 y9 = 65 gegen 65,2 der Kurve. Schema für die Zerlegung periodischer Kurven in die höheren Harmonischen ungerader Ordnung bis zur 17ten. y 1 y 2 y3 .... y 8 y 9 y 17 y 16 y15 .... y 10 ––––––––––––––––––––––––––– s 1 s 2 s3 .... s8 s 9 Summe. d 1 d 2 d3 .... d 8 d 9 Differenz. s1 + s5 – s7 = r1 s1 – s3 + s5 – s7 + s9 = v d1 – d5 – d7 = e1 – d2 + d4 – d6 + d8 = u s2 + s4 – s8 = r2 d2 – d4 – d8 = e2       s3 – s9 = r3 Lfd. No. Sinus-Ausdrücke Cosinus-Ausdrucke A1 u. A17 A3 u. A15 A5 u. A13 A7 u. A11 A 9 B1 u. B17 B3 u. B15 B5 u. B13 B7 u. B11 B 9 1 sin 10° s 1 – s 7 – s 5 d 8 – d 2 d 4 2 sin 20° s 2 – s 4 – s 8 d 7 – d 5 d 1 3 sin 30° s 3 r 1 s 3 – s 3 d 6 e 2 d 6 d 6 4 sin 40° s 4 s 8 s 2 d 5 d 1 – d 7 5 sin 50° s 5 s 1 s 7 d 4 d 8 – d 2 6 sin 60° s 6 r 2 – s 6 s 6 d 3 e 1 – d 3 – d 3 7 sin 70° s 7 – s 5 s 1 d 2 – d 4 – d 8 8 sin 80° s 8 s 2 – s 4 d 1 d 7 d 5 9 sin 90° = 1 s 9 r 3 s 9 – s 9 v – d 6 u Summe d. 1. Kol.      „    „   2.   „ Summe...Differenz.. 9 A19 A17 9 A39 A15 9 A59 A13 9 A79 A11 9 A9 9 B19 B17 9 B39 B15 9 B59 B3 9 B79 B11 9 B9 Zerlegung der Kurve Fig. 1 nach obigem Schema    5    8 28,2 63 60   54,7   83,6   66,6 65,2    9 12,3 15,3 22,2 38,2   76,4   95,3   94,2 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Summe: 14 20,3 43,5 85,2 98,2 131,1 178,9 160,8 65,2 Differenz: – 4 – 4,3 12,9 40,8 21,8 – 21,7 – 11,7 – 27,6 14    + 98,2 – 178,9 = – 66,7 14 – 43,5 + 98,2 – 178,9 + 65,2 = – 45 20,3 + 85,2 – 160,8 = – 55,3 43,5 –   65,2 = – 21,7 – 4    – 21,8 + 11,7 = – 14,1 – 4,3 – 40,8 + 27,6 = – 17,5 + 4,3 + 40,8 + 21,7 – 27,6 = 39,2. Lfd. No. Sinus-Ausdrücke Cosinus-Ausdrucke A1 u. A17 A3 u. A15 A5 u. A13 A7 u. A11 A 8 B1 u. B17 B3 u. B15 B5 u. B13 B7 u. B11 B 9 1 0,1736 2,43 – 31,02 –17,07 –14,8 0,75 7,1 2 0,342 6,95 – 29,15 – 55,0 – 4,0 – 7,45 – 1,367 3 0,500 21,75 – 33,35 21,75 – 21,75 – 10,85 – 8,75 – 10,85 – 10,85 4 0,643 54,9 103,4 13,05 14,02 – 2,575 7,53 5 0,766 75,2 10,72 137 31,24 – 21,15 3,29 6 0,866 113,5 – 47,9 – 113,5 113,5 11,17 – 12,2 – 11,17 – 11,17 7 0,94 168 – 92,3 13,15 – 4,04 – 38,4 25,95 8 0,985 158,2 20,0 – 84,0 – 3,94 – 11,5 21,45 9 1,0 65,2 –21,7 65,2 – 65,2 – 45 21,7 39,2 Summe d. 1. Kol.     „       „  2.    „ 332,58333,55 – 55,05– 47,9 – 25,65– 19,25    47,13– 12,45   1,5517,25    12,95– 12,2 – 69,65– 32,7 25,4916,44 Summe...Differenz.. 666,13– 0,97 – 102,95    – 7,15 – 44,9– 6,4 34,6859,58 – 45    18,8– 15,7   0,7525,15 – 102,35  – 36,95 41,93  9,05 39,2 Division durch 9 74– 0,108   – 11,43  – 0,795 – 4,98– 0,71 3,856,63 – 5    2,09– 1,74 0,0832,8   – 11,37    – 4,1   4,66  1,01 4,35 Resultat y = 74 sin α – 11,43 sin 3 α – 4,98 sin 5 α + 3,85 sin 7 α – 5 sin 9 α+ 6,63 sin 11 α – 0,71 sin 13 α – 0,795 sin 15 α – 0,108 sin 17 α+ 2,09 cos α + 0,083 cos 3 α – 11,37 cos 5 α + 4,66 cos 7 α + 4,35 cos 9 α+ 1,01 cos 11 α – 4,1 cos 13 α + 2,8 cos 15 α – 17,4 cos 17 α.