Zur Hakenberechnung. Von Dipl.-Ing. W. Staedel. Oberlehrer a. d. Kgl. höheren Maschinenbauschule zu Posen. [Zur Hakenberechnung.] Im nachstehenden soll gezeigt werden, dass man, ausgehend von einem einmal gegebenen Lasthaken von bekannter Tragkraft, die Abmessungen eines Hakens für beliebige Belastung ausserordentlich einfach ermitteln kann, sofern man nur einen dem gegebenen Querschnitt ähnlichen Querschnitt des gesuchten Lasthakens zugrunde legt. Bei dem Haken (Fig. 1) ergibt sich für den gefährlichen Querschnitt AB die Spannung im Abstand η von der Schwerlinie OO zu: \sigma=\frac{P}{f}+\frac{M_b}{f\cdot r}+\frac{M_b}{k\cdot f\,r}\cdot \frac{\eta}{r+\eta}, hierbei bedeutet:   P = die Hakenbelastung, Mb= – P (a + e2),    f = die Fläche des Querschnittes AB, k\cdot f=\int\,\frac{\eta}{r+\eta}\,d\,f. Textabbildung Bd. 321, S. 561 Fig. 1. Textabbildung Bd. 321, S. 561 Fig. 1a. Es lässt sich nun leicht zeigen, dass die Tragfähigkeit des Hakens bei einer gegebenen zulässigen grössten Beanspruchung proportional der Querschnittsfläche f sich ändert, sofern die linearen Abmessungen des Querschnittes einschliesslich der Entfernung des Schwerpunktes desselben von der Krümmungsachse im gleichen Verhältnis zu oder abnehmen. Ist diese Behauptung richtig, so muss sich dieselbe Spannung σ ergeben, wenn man die Last P mit ϕ2 und sämtliche linearen Abmessungen des Querschnittes mit ϕ multipliziert. Es ist dann zu setzen: ϕ 2 P an Stelle von P ϕ 2 f „ „ „ f ϕ 3 M b „ „ „ M b ϕ . r „ „ „ r ϕ . η „ „ „ η Man erhält also: \sigma=\frac{\varphi^2\,P}{\varphi^2\,f}+\frac{\varphi^3\,M_b}{\varphi^2\,f\cdot \varphi\,r}+\frac{\varphi^3\,M_b}{k\,\varphi^2\,f\cdot \varphi\,r}\cdot \frac{\varphi\cdot \eta}{\varphi\,(r+\eta)}=\frac{P}{f}+\frac{M_b}{f\,r}+\frac{M_b}{k\,f\,r}\cdot \frac{\eta}{r+\eta}, womit obiger Satz bewiesen ist. Per in Fig. 1 dargestellte Haken kann bei einem zulässigen kz von 750 kg/qcm 10 t tragen. Legt man diesen Haken zugrunde, so können die Abmessungen für einen Haken für eine andere Belastung leicht gefunden werden. Es soll z.B. der gesuchte Haken 7,5 t tragen können. Die Fläche des gesuchten Hakens muss sich dann zu der des gegebenen Hakens verhalten wie 7,5 zu 10. Die linearen Abmessungen des gesuchten Hakens sind mithin um \sqrt{\frac{7,5}{10}}=0,866 mal kleiner als die des gegebenen Hakens. Ein grösseres oder kleineres zulässiges kz wird leicht dadurch in der Rechnung berücksichtigt, dass man die Belastung entsprechend kleiner oder grösser in die Rechnung einführt, als sie in Wirklichkeit ist. Textabbildung Bd. 321, S. 561 Fig. 2. Millimeter-Maulweite. Die bisher gegebene Berechnung setzt voraus, dass für die verschiedenen Haken die Maulweite in einem ganz bestimmten Verhältnis zu den Abmessungen des Querschnittes AB steht. Das Diagramm (Fig. 2) soll von dieser Voraussetzung frei machen. Die Tragkraft des Hakens wird naturgemäss eine andere, wenn die Maulweite vergrössert oder verkleinert wird. Wird sie vergrössert, so wird das biegende Moment für den Querschnitt AB grösser, da aber zugleich der Krümmungsradius zunimmt, was einer Erhöhung der Tragkraft entspricht, so ändert sich diese nur wenig. Die Kurve P gibt die Tragkraft eines Hakens vom Querschnitt AB (Fig. 1) bei verschiedenen Maulweiten. Um eine bequeme Rechnung zu ermöglichen, ist die Kurve h verzeichnet, die für die praktisch üblichen Maulweiten die Höhe h des für eine Belastung von 10000 kg erforderlichen Querschnittes AB angibt. Soll nun z.B. für eine Belastung von 15000 kg ein Haken mit einer Maulweite von 110 mm ermittelt werden, so verfahre man folgendermassen: Ein dem gesuchten Haken geometrisch ähnlicher Haken für 10000 kg Belastung hätte eine Maulweite von 110\,\sqrt{\frac{10}{15}}=110\cdot 0,815=\sim\,90\mbox{ mm}. Für einen Haken von 90 mm Maulweite ist laut Diagramm die Grösse h zu 122,5 mm anzunehmen für eine Belastung von 10 t. Für den gesuchten Haken ist mithin: h=122,5\,\sqrt{\frac{15}{10}}=122,5\cdot 1,225=150\mbox{ mm}. Da der Querschnitt AB des gesuchten Hakens dem des gegebenen ähnlich ist, so ist damit die Aufgabe gelöst. Auch ein Haken nach Fig. 1aSiehe „Hütte“, Bd. I, S. 698., wobei im gefährlichen Querschnitt AB der Krümmungshalbmesser möglichst gross gewählt ist und so die grösste Beanspruchung herabgezogen wird, lässt sich in der angedeuteten Weise berechnen. Dabei wird freilich die Rechnung etwas umständlicher. Auf die Durchführung einer solchen Rechnung soll hier verzichtet werden, da diese Haken ja praktisch keine Bedeutung haben. Denn, wenn man das Material, das ein solcher Haken in der Kraftrichtung mehr hat als ein normaler Haken, verwendet zur Verstärkung senkrecht dazu, so wird der Haken tragfähiger, wobei der normale Haken noch den Vorzug einer geringeren Baulänge besitzt. Die Tatsache, dass bei einer Veränderung der Maulweite innerhalb der angegeben Grenzen sich die Beanspruchung des Hakens nur wenig ändert, wie dies das Diagramm zeigt, lässt erkennen, dass das Diagramm praktisch entbehrt werden kann. Jeder Haken muss ausser der Last auch noch Beschleunigungskräften beim Anheben und Bremsen widerstehen können, deren genaue Ermittlung in den meisten Fällen unmöglich ist. Es hat keinen Zweck bei der Festigkeitsrechnung grössere Genauigkeit anzustreben, als den Unterlagen innewohnt. Nimmt man innerhalb der angegebenen Grenzen der Maulweite die Tragfähigkeit des Hakens als konstant an, was offenbar zulässig ist, so ergibt sich die zuerst mitgeteilte ausserordentlich einfache Berechnung. Da die Beanspruchung des Hakens (Fig. 1) unter genauer Berücksichtigung der wirklichen Form des Querschnittes AB ermittelt wurde, so hat die vorliegende Berechnung vor der üblichen noch den Vorzug grösserer Genauigkeit, selbst wenn man auf den Gebrauch des Diagramms verzichtet. Die Form des Querschnittes ist allerdings von vornherein festgelegt, indessen gilt die Rechnung, wie leicht einzusehen, auch für Querschnitte von grösserer oder geringerer Breite bei gleicher Höhe /z, wenn nur die Breite an jeder Stelle im gleichen Verhältnis vergrössert oder verkleinert wurde. Die Tragfähigkeit des Hakens ist dann in demselben Verhältnis vergrössert oder verkleinert worden. Damit dürfte allen praktischen Anforderungen genügt sein.