Die gemeine Parabel als Hilfsmittel bei Bestimmung von Maximalmomenten. Von Ludw. Andrée-Duisburg. Die gemeine Parabel als Hilfsmittel bei Bestimmung von Maximalmomenten. Bedarf wie überall auch die Praxis des Kranbaues einer möglichst kurzzeitigen Lösung statischer Aufgaben, so lassen die üblichen Berechnungsmethoden vielfach die nötige Einfachheit vermissen, und lohnt es sich, nachzusuchen, ob nicht manchmal kürzere Wege zum erwünschten Ziele führen. In Verfolgung dieser Aufgabe richten wir unser Augenmerk auf die so einfach zu konstruierende gemeine Parabel und prüfen die Frage, inwieweit diese Linie bei Ermittlung von Maximalmomenten nutzbar gemacht werden kann. Als erster Vorwurf diene der in Fig. 1–2 dargestellte von einem Lastenpaar P1 – P2 befahrene Krangleisträger, dessen Maximalmomente stets unter einer der beiden Lasten liegen und sich ausdrücken lassen durch die Gleichungen M_x=\frac{P_1}{l}\,(l-x)\,x+\frac{P_2}{e}\,\left\{(l-b)-x\right\}\,x . . 1) und M_{x'}=\frac{P_2}{l}\,(l-x^1)\,x^1+\frac{P_1}{l}\,\left\{(l-b)-x^1\right\}\,x^1 . 2) Nun bildet mit Bezug auf 1 das erste Glied    eine Parabel mit der Länge l     und der Pfeilhöhe \frac{P_1\,l}{4}, während das zweite Glied eine Parabel dar-    stellt von der Länge (l – b)     und der Pfeilhöhe \frac{P_2}{4\,l}\,(l-b)^2 Beide Kurven lassen sich leicht, wie Fig. 3 zeigt, über einer Geraden konstruieren und nach Vorbild der Fig. 4 im gleichen Sinne aneinandertragen. Die so gefundene Linie liefert für jeden Balkenquerschnitt das Maximalmoment, gemessen unter der Last P1. In gleicher Weise die Gleichung 2 zeichnerisch dargestellt (Fig. 5 und 6), gelangen wir zu einer Kurve, deren Verlauf die Maximalmomente wiedergibt, gemessen unter der Last P2. Nunmehr werden beide Linien auf einer gemeinsamen Basis zusammengeworfen und es resultiert ein Umriss, dessen Ordinaten die grössten Momente für jeden Querschnitt des Trägers angeben (Fig. 7). Ungleich einfacher entwickeln sich für vorliegenden Träger die Maximalmomente, wenn die Kräfte des Lastenpaares einander gleich sind, also P1 = P2 = P. Für diesen Fall erhält Gleichung 1 die Form M_x=\frac{2\,P}{e}\cdot x\,\left\{\left(l-\frac{b}{2}\right)-x\right\}. Sie lässt sich nach Fig. 8 auftragen als eine Parabel von der Länge \left(l-\frac{b}{2}\right) und der Pfeilhöhe \frac{P}{2\,l}\,\left(l-\frac{b}{2}\right)^2 (Die Gültigkeit derselben geht nur bis zum Punkte m, von hier aus bis zum Auflager B beschreibt sie den Endbogen einer Parabel, deren Länge l beträgt bei einer Pfeilhöhe \frac{P\cdot l}{4}. Letztere Linie bedarf jedoch keiner Ermittlung, solange b kleiner ist als \frac{l}{2}). Misst somit die in Fig. 8 gezogene Kurve die Maximalmomente unter der Last P links, so genügt eine blosse Umkehrung derselben, um den Verlauf der Momente unter der Last P rechts gemessen anzugeben. Hierbei ist folgendes zu bemerken: Sobald b grösser wird als \frac{l}{2}, erzeugt die Last P allein in der Herzspitze der Fig. 9 den Scheitelbogen einer Parabel von der Länge l und der Pfeilhöhe \frac{P\cdot l}{4}. Ein gewisser Grenzfall des Moments tritt ein bei b = 0,587l, wo die Ordinate \frac{P}{2\,l}\,\left(l-\frac{b}{2}\right)^2 im Abstande \frac{b}{4} aus der Mitte des Trägers sich vermindert auf den Wert \frac{P\cdot l}{4}. Da bei sehr grossem Masse b der Einfluss vorgenannter Beziehung bedeutend ist, so erscheint es angebracht, für diesen Fall die Entstehung der Maximalmomente nochmals wiederzugeben (Fig. 10). Einen nicht selten vorkommenden Belastungsfall des Kranbaues bietet der in Fig. 11 angegebene. Für den mittleren Trägerteil liegen offenbar die grössten Momente: unter der Mittellast P2. Die Ausdrucksform derselben ist. M_x=\frac{2\,P_1+P_2}{l}\,(l-x)\,x-P_1\cdot b. Wiederum lässt sich das erste Glied dieser Gleichung aufzeichnen als eine Parabel und zwar von der Länge l und der Bogenhöhe \frac{2\,P_1+P_2}{4}\cdot l, während das zweite Glied, da es konstant ist, als Gerade einfach in Abzug gebracht wird (Fig. 12). Textabbildung Bd. 321, S. 658 Textabbildung Bd. 321, S. 658 Die so gefundene Linie hat nur Gültigkeit bis zum Punkte m im Abstande b vom Auflager, von hier aus verläuft sie im Bogen einer Kurve, der bereits oben unter Zugrundelegung eines Lastenpaares P1 – P2 nachgewiesen ist. Gleichwohl sei es empfohlen, die Konstruktion nach Massgabe der Gleichung M_x=\frac{P_2}{l}\,(l-x)\,x+\frac{P_1}{l}\,\left\{(l-b)-x\right\}\,x und nach Beispiel der Fig. 13 nochmals aufzustellen. Die nunmehr vorgenommene Vereinigung der in Fig. 12 und 13 erhaltenen Linien liefert ein Gebilde (Fig. 14), welches die grössten Momente, gemessen unter der Last P2, angibt. Je nach den Verhältnissen der Aufgabe können die Momente unter der Last P1 nach den Auflagern zu grösser sein als unter P2, so dass es notwendig ist, dieselben einer Prüfung zu unterziehen. Mit Bezug auf die Bezeichnungen der Fig. 15 ergeben sich die Momente unter der Last P1 zu M_x=\frac{2\,P_1+P_2}{l}\,\left\{(l-b)-x\right\}\,x, welche Funktion man auftragen kann als eine Parabel von der Länge (l – b) und der Bogenhöhe \frac{2\,P_1+P_2}{4\,l}\,(l-b)^2 (Fig. 15). Die Uebertragung dieser Kurve in Fig. 14 zeigt, ob es notwendig war, sie insbesondere festzustellen. Nunmehr, nach Erwägung des Umstandes, dass die Belastungsweise symmetrisch ist, infolgedessen auch der gefundene Umriss, sind wir in der Lage, die absoluten Maximalmomente aller Querschnitte der Fig. 16 abzunehmen. Die Zweckmässigkeit dieses Verfahrens erprobt sich auch an erweiterten Belastungsfällen, wie ein solcher in Fig. 17 aufgestellt ist. Die Maximalmomente für den ganzen Fahrweg liegen unter den Kraftangriffen des mittleren Lastenpaares und lassen sich ausdrücken durch die Gleichung M_x=\frac{4\,P}{l}\,\left\{\left(l-\frac{b}{2}\right)-x\right\}\,x-P\cdot a, deren erstes Glied als eine Parabel aufzuzeichnen ist von der Länge \left(l-\frac{b}{2}\right) und der Bogenhöhe \frac{P}{l}\,\left(l-\frac{b}{2}\right)^2, während das Produkt P . a wie bei vorhergehender Aufgabe als Gerade auf der ganzen Strecke in Abzug gebracht wird. Sobald aber die äussere Last das Auflager berührt und in der Folge darüber hinwegrollt, verliert vorstehende Beziehung ihre Gültigkeit, an deren Stelle mit Bezug auf Fig. 17a zu setzen ist M_x=\frac{3\,P}{l}\,\left\{\left(l-\frac{2\,b}{3}-\frac{a}{3}\right)-x\right\}\,x. Auch dieser Ausdruck repräsentiert eine Parabel und zwar von der Länge \left(l-\frac{2\,b}{3}-\frac{a}{3}\right) bei einer Bogenhöhe von \frac{3\,P}{4\,l}\,\left(l-\frac{2\,b}{3}-\frac{a}{3}\right)^2. Das nunmehr durch Zusammenfügung beider Kurven sich ergebende Polygon liefert in seinen grössten Ordinaten die Maximalmomente vorliegenden Trägers. Endlich sei noch die Billigkeit dieser Methode an einem Balken gezeigt, welcher einer partiellen gleichförmig verteilten wandernden Belastung Q unterworfen ist. Mit Unterlegung der Bezeichnung in Fig. 18 beträgt das Moment eines beliebigen Punktes M_x=\frac{Q}{l}\,\left(l-\frac{a}{2}-x+y\right)\,x-\frac{Q}{a}\cdot \frac{y^2}{2}. Halten wir einen bestimmten Querschnitt im Abstande x vom Auflager fest, so ermittelt sich für ihn das Maximalmoment aus dem Gebrauch der Bedingung \frac{d\,M_x}{d\,y}=0. Und zwar ergibt sich {M_x}^{\mbox{max}}=\frac{Q}{l}\,\left(l-\frac{a}{2}-x+\frac{a\,x}{l}\right)\,x-\frac{Q}{2}\cdot \frac{a\,x^2}{l^2}. Nach Beschickung dieser Gleichung auf die zweckmässige Form {M_x}^{\mbox{max}}=\frac{Q}{2\,l^2}\,(2\,l-a)\,\left\{l-x\right\}\,x lässt sich dieselbe darstellen durch eine Parabel von der Länge l und der Bogenhöhe \frac{Q\,(2\,l-a)}{8}, so dass wir in diesem Umriss die grössten Momente dieses Trägers erhalten. Die Brauchbarkeit dieses Verfahrens zeigt sich trefflich bei der Bestimmung der grössten Gurtkräfte gegliederter Kranbahnträger, indem allgemein die Spannung eines solchen Stabes sich berechnen lässt aus S=\frac{M_a}{r} wo Ma das entsprechende Knotenmoment bedeutet und r den Hebelarm des Stabes in bezug auf seinen Drehpunkt a.