Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung der n-fach übersetzten Hebelwage. Von Franz Lawaczeck, Dipl.-Ing., Camberg. (Fortsetzung von S. 715 d. Bd.) Beitrag zur Theorie und Konstruktion der Wage, mit besonderer Berücksichtigung usw. 11. Berechnung einer neu zu entwerfenden Wage, die bestimmten Bedingungen hinsichtlich der Tragfähigkeit, Schwingungsdauer und Empfindlichkeit genügen soll. Es erscheint zweckmässig, die Neukonstruktion einer Wage mit Rücksicht auf die vorher festgestellte Gütezahl η vorzunehmen. Je nach Gattung der zu bauenden Wage wird man die Höhe dieser Zahl η festsetzen, und man hat dann z.B. für eine dreiheblige Wage, die Gleichung zu befriedigen, wenn u > 1: \eta=-\frac{u}{u+1+\frac{x_1\,W_1\,\frac{b^2}{a^2}+x_2\,W_2\,\frac{b^2}{a^2}\,\frac{d^2}{c^2}+x_3\,W_3\,u^2}{L+F}}. Sofern die Uebersetzungsverhältnisse der Zwischenhebel nicht von vornherein festliegen, lassen sie sich im Zusammenhang mit dem Gewicht, das so leicht genommen werden kann, wie es die Festigkeitsforderung irgend zulässt, auf Grund des Seite 713 Gesagten, festsetzen. Die Gesamtübersetzung u ist bei Gewichtswagen gesetzlich vorgeschrieben, bei Laufgewichtswagen in das Ermessen des Konstrukteurs gestellt. Je nach Art des Laufgewichtes wird man mit Rücksicht auf die mutmassliche Grösse dieses Gewichtes die Gesamtübersetzung wählen. Dann steht das reduzierte Gewicht des Oberbalkens x3W3 fest, da in der Beziehung für η keine sonstige Unbekannte mehr vorkommen; x2 und x1 können mit genügender Genauigkeit zu 0,3 bis 0,33 angenommen werden. Den Wert des reduzierten Gewichts x3W3 muss man nun konstruktiv für den Oberbalken zu verwirklichen suchen, was für einen gleicharmigen Oberbalken mit x3 = ⅓ leicht, für einen ungleicharmigen aber weniger einfach ist, weil hier infolge des anzubringenden Gegengewichts der Wert x3 sehr schwankt, je nach der Grosse und Lage dieses Gegengewichts. Immerhin lässt sich für ein vorläufig angenommenes Gegengewicht x3, und damit das Gewicht des Oberbalkens ermitteln, das mit den übrigen Hebelmassen zusammen die gewünschte Gütezahl bedingt. Die weitere Dimensionierung des Oberbalkens ist mit Rücksicht auf m vorzunehmen, m ist seiner Grosse nach gegeben durch die Wahl der Gütezahl und das geforderte z. Es wird die absolute Grösse von m sofort erkennen lassen, ob zur Befriedigung der Forderungen bezüglich E und z eine künstliche Vergrösserung von m durch Zeiger oder Mikroskop und in welcher Höhe erforderlich ist. Damit nun der gewünschte Wert von m auch wirklich eintritt, wenn bei der Belastung der Endschneide des Oberbalkens mit L1 + F1 ein Zulagegewicht \Delta\,L_1=\frac{L_1+F_1}{E} aufgelegt wird, muss die der Gleichung 9 entsprechende Gleichung m=\frac{\Delta\,L_1\,f^2}{\frac{c^2}{b^2}\,\frac{e^2}{d^2}\,M_1+\frac{e^2}{d^2}\,M_2+M_3}Diese Gleichung ist auf die Drehschneide des Oberbalkens bezogen \Delta\,L'=\frac{\Delta\,L}{u}; wie im Vorhergehenden u=\frac{f\cdot d\cdot b}{e\cdot c\cdot a}\,>\,1. (s. Fig. 14). . . . 43) befriedigt werden. Im Wagenbau ist es üblich, um möglichst grosse Empfindlichkeit zu erreichen, sämtliche Schneiden je eines Hebels in dieselbe Ebene zu legen, also die e2-Werte gleich Null zu setzen, manchmal ist das konstruktiv nicht ganz leicht durchzuführen; sofern man eine bestimmte relativ hohe Schwingungszahl verlangt, und eine veihältnismässig hohe Empfindlichkeit gar nicht nötig hat, kann man von dem Grundsatz, alle Schneiden desselben Hebels in eine Ebene zu legen, abweichen; ausserdem zeigt Gleichung 29, dass kleine Abweichungen am zweiten oder gar dritten Hebel nicht allzusehr ins Gewicht fallen, wenn \frac{c}{b} und \frac{e}{d} kleine Zahlen sind. Solange indessen kein Grund vorliegt e2 nicht gleich Null zu machen, wird man den Gebrauch beibehalten. Für e2 = 0 bestehen die „\frakfamily{M}“-Werte der Gleichung 43, wie aus Gleichung 5 Seite 681 hervorgeht, nur noch aus dem Produkt des Hebelgewichtes und des Schwerpunktsabstandes eines Hebels von einer durch seinen Drehpunkt gelegten Wagerechten. Der Einfluss des ersten und zweiten Hebels auf die Empfindlichkeit darf aber bei starker Uebersetzung sicher vernachlässigt werden; so dass man an Stelle der Gleichung 43 setzen kann: m=\frac{\Delta\,L_1\,f^2}{W_3\,e'''_1}. Da W3 und m nach dem Vorangegangenen als bekannt anzusehen sind, und ebenso \Delta\,L_1=\frac{L+F}{u\cdot E}, ergibt sich \frac{f^2}{e'''_1} und nach Wahl von f, der grössten Hebellänge des Oberbalkens, die mit Rücksicht auf die bereits erfolgte Festsetzung des Gewichtes W3 zu erfolgen hat, ist e'''1 bestimmt. Dieser Schwerpunksabstand kann bei Präzisionswagen beliebig klein werden, bei grösseren Handelswagen geht man jedoch nicht gern unter eine gewisse Grenze, weil bei zu kleinem e1 nach einiger Betriebszeit, wegen der Schneidenabnutzung, die Wage leicht unzuverlässig wird. Es wäre jetzt noch zu kontrollieren, ob die Spannungen und Durchbiegungen des Wagebalkens innerhalb zulässiger Grenzen bleiben können. Infolge des Umstandes, dass an und für sich zur Berechnung der drei Unbekannten f, e'''1 und W3, durch die Dimensionierung des Oberbalkens festgelegt ist, der ja nach früherem bei stark übersetzten Hebelwagen einen überwiegenden Einfluss den anderen Hebeln gegenüber auf Schwingungsdauer und Empfindlichkeit ausübt, aus Schwingungszahl und Empfindlichkeit nur zwei Gleichungen bestehen, muss man eine Grösse wählen; man könnte zwar als dritte Gleichung eine Festigkeitsbeziehung einführen, aber unter Umständen muss man, um nicht einen zu grossen Schwerpunktsabstand e'''1 zu bekommen, das Gewicht grösser ausführen, als es die Festigkeit verlangen würde, und ferner ergäbe die Einführung der Festigkeitsbeziehung eine sehr komplizierte Endformel. Es lässst sich indessen zeigen, dass unter Umständen der Wert e'''1 auf die Empfindlichkeit keinen Einfluss mehr hat, dass sich dann sofort die Balkenlänge ergibt, die die gewünschte Empfindlichkeit bei der entsprechenden maximalen Schwingungszahl gewährleistet. Dann lassen sich mit Hilfe der Festigkeitsbedingungen die weiteren Abmessungen des Hebels ermitteln, daraus ergibt sich das Balkengewicht W3 und schliesslich dann e'''1. Nach früherem hat man für den Oberbalken einer Hebelwage nach Skizze Fig. 14 bei u > 1: m=\Delta\,\varphi\cdot f=\frac{\Delta\,L_1\,f^2}{\frakfamily{M}_1\,\frac{c^2\,e^2}{b^2\,d^2}+\frakfamily{M}_2\,\frac{e^2}{d^2}+M_3}, und z^2=\frac{3600000}{E}\cdot \frac{\frakfamily{M}_1\,\frac{c^2}{b^2}\,\frac{e^2}{d^2}+\frakfamily{M}_2\,\frac{e^2}{d^2}+\frakfamily{M}_3}{J_0\,\frac{c^2\,e^2}{b^2\,d^2}}, wobei J0= [(L + F) (1 + u) + ∑xWred]a2 und \Sigma\,x\,W_{red}=x_1\,W_1\,\frac{b^2}{a^2}+x_2\,W_2\,\frac{b^2}{a^2}\,\frac{d^2}{c^2}+x_3\,W_3\,\frac{b^2}{a^2}\,\frac{d^2}{c^2}\,\frac{f^2}{e^2} Folglich: z^2=\frac{3600000}{E}\,\frac{\frakfamily{M}_1\,\frac{c^2}{b^2}\,\frac{e^2}{d^2}+\frakfamily{M}_2\,\frac{e^2}{d^2}+\frakfamily{M}_3}{\left[\frac{L+F}{u}\,\left(1+\frac{1}{u}\right)+x_1\,W_1\,\frac{c^2\cdot e^2}{d^2\cdot f^2}+x_2\,W_2\,\frac{e^2}{f^2}+x_3\,W_3\right]\,f} Sofern man nun entsprechend hoher Uebersetzung die Glieder, die mit Quadraten der Teilübersetzungen behaftet sind, was bei den meisten ausgeführten Typen der Fall ist, vernachlässigen kann, gehen diese Gleichungen über in m=\Delta\,\varphi\,f=\frac{\Delta\,L_1\,f^2}{\frakfamily{M}_3}=\frac{(L+F)\,f^2}{E\cdot u\cdot \frakfamily{M}_3} . 43a) und z^2=\frac{3600000}{E}\,\frac{\frakfamily{M}_3}{\left[\frac{L+F}{u}\,\left(1+\frac{1}{u}\right)+x_3\,W_3\right]\,f^2}. Diese Formeln haben für einheblige Wagen einen grösseren Genauigkeitsgrad, als für mehrheblige. In ihnen ist L + F die Tragkraft der Wage und f bedeutet den längsten Hebelarm des Oberbalkens. Hat man vor, an dem Oberbalken einen Zeiger von bestimmter Länge anzubringen, so interessiert uns weniger die Senkung der Endschneide, als vielmehr der Ausschlagwinkel \frac{m}{f}=\Delta\,\varphi; man wird dann wünschen müssen, dass der Balken so konstruiert sei, dass der Wert von Δϕ erreicht wird, der am Ende des Zeigers s den genügend deutlichen Ausschlag m' hervorruft. Man kann demzufolge \Delta\,\varphi=\frac{m'}{s} als gegeben ansehen. Setzt man nun den Wert aus Gleichung 43a f^2=\left(\frac{\frakfamily{M}_3}{\frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi}}\right)^2\,u^2=\left(\frac{W_3\,e'''_1}{\frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi}}\right)^2\,u^2 in die Gleichung für z2 ein, so wird z^2=3600000\,\frac{\left(\frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi}\right)^2}{[(L+F)\,(u+1)+x\,W_3\,u^2]\,W_3\,e'''_1} eine quadratische Gleichung für W3; ordnet man nach W3, so erhält man {W_3}^2\,e'''_2+W_3\,e'''_1\,\frac{(L+F)\,(1+u)}{x_3\,u^2}-\frac{3600000}{u^2\,x_3}\,\left(\frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi\,z}\right)^2=0, 44) was für W3 = f(e'''1) eine Gleichung dritten Grades darstellt. Die Diskussion liefert drei reelle Asymptoten, von denen die eine senkrecht zu den beiden anderen stehende mit der Abscissenachse, auf der W abgetragen ist, zusammenfällt. Die Kurve (siehe Fig. 17) zeigt soweit sie technischen Wert besitzt nebenstehenden Verlauf,Der Figur sind der Einfachheit halber die Verhältnisse einer gleicharmigen Präzisionswage von 200 g Tragkraft zugrunde gelegt. für uns in Betracht kommt nur der im Positiven liegende Ast. Diese Kurve sagt uns nicht viel. Lösen wir indessen Gleichung 44 auf nach W3 und setzen den Wert Textabbildung Bd. 321, S. 729 Fig. 17. W_3=-\frac{(L+F)\,(1+u)}{2\,x_3\,u^2}\,\pm\,\sqrt{\left[\frac{(L+F)\,(1+u)}{2\,x_3\,u^2}\right]^2+\frac{3600000\cdot \Delta\,L^2}{x_3\,u^2\,(\Delta\,\varphi\cdot z)^2}\,\frac{1}{e'''_1}}=\frac{(L+F)\,(1+u)}{2\,x_3\,u^2}\,\left[-1\,\pm\,\sqrt{1+\frac{4\,x_3\,u^2\,\Delta\,L^2\cdot 3600000}{(L+F)^2\,(1+u)^2\,(\Delta\,\varphi\cdot z)^2\,e'''_1}}\right] 44a) ein in die Gleichung f=u\,\frac{W_3\,e'''_1}{\Delta\,L}\,\Delta\,\varphi, so wird aus dieser f=\frac{(L+F)\,(1+u)}{2\,x_1\,u^2} \left[-1\,\pm\,\sqrt{1+\frac{4\,x_3\,u^2\cdot \Delta\,L^2\cdot 3600000}{(L+F)^2\,(1+u)^2\,(\Delta\,\varphi\,z)^2}\cdot \frac{1}{e'''_1}}\right]\,\frac{\Delta\,\varphi}{\Delta\,L}\,e'''_1\,u 45) Textabbildung Bd. 321, S. 729 Fig. 18. Durch Isolierung der Wurzel und Quadierung ergibt sich diese Gleichung als eine zweiten Grades zu erkennen, und wenn man auf der Abscisse f, auf der Ordinate e'''1 abträgt, erhält man eine Hyperbel, deren Asymptoten die Gleichungen x_1=\frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi}\,\frac{3600000}{Z^2\,\left(L+F\right)\,\left(1+\frac{1}{u}\right)}=\frac{3600000}{E\cdot \Delta\,\varphi\cdot Z^2\,\left(1+\frac{1}{u}\right)} und x=\lambda\,e'''_1+v=-\frac{\Delta\,\varphi}{\Delta\,L}\,\frac{\left(1+\frac{1}{u}\right)\,\left(L+F\right)}{x_1}\,e'''_1-\frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi}\,\frac{3600000}{z^2\cdot \left(L+F\right)\,\left(1+\frac{1}{u}\right)} besitzen. Ein Minimum liegt auf dem uns interessierenden Ast bei x = 0; y = 0. Aus dem Verlauf(Siehe Fig. 18). Hier ist wieder die gleicharmige Präzisionswage für 200 g zugrunde gelegt, so dass unserer früheren Bezeichnung zufolge an Stelle e'''1 der Wert e1 und an Stelle von f, der grössten Hebellänge des Oberbalkens, die Hebellänge a tritt. der positiven Asthälfte ergibt sich, dass in der Nähe der auf der Abscissenachse senkrecht stehenden Asymptote, der Wert e'''1 nur einen verschwindend kleinen Einfluss auf die Balkenlänge ausübt, so dass dann die Länge des Balkens genügend genau durch die Schwingungsdauer und die Empfindlichkeit festgelegt werden kann; d.h. für genügend grosse Werte von e'''1 kann die Balkenlänge f gesetzt werden: f=x_1=\frac{3600000}{E}\cdot \frac{1}{z^2\cdot \Delta\,\varphi}\cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{u}\right)} 46) oder in Worten: Bei hinreichend grossem e'''1ist bei gegebener Schwingungszahl und gleicher Uebersetzung die Empfindlichkeit (E . Δϕ) nur von der Hebellänge f abhängig und ihr umgekehrt proportional. Es muss indessen festgestellt werden, für welche Grössen obige Näherungsgleichung für f anwendbar ist. Das ergibt sich einfach, wenn man die Wurzel der Gleichung 45 nach Reihen entwickelt; bekanntlich wird der Wurzelausdruck eine konvergente Reihe, wenn y=\frac{4\,x_3\,u^2\,\Delta\,L^2\cdot 3600000}{(L+F)^2\,(1+u)^2\,(\Delta\,\varphi\,z)^2}\cdot \frac{1}{e'''_1}=\frac{4\cdot x_3}{\left(1+\frac{1}{u}\right)^2}\cdot \frac{1}{E^2\cdot \Delta\,\varphi^2}\cdot \frac{3600000}{z^2}\cdot \frac{1}{e'''_1}\,<\,1. Vernachlässigt man unter Vorausssetzung dieser Ungleichung in der Reihe die Glieder mit y2 und höheren Potenzen, so wird der Wurzelwert =1+\frac{y}{2} und f wird f=\frac{3600000}{z^2\,(L+F)}\cdot \frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi}\,\frac{1}{\left(1+\frac{1}{u}\right)}=\frac{3600000}{z^2\cdot E\cdot \Delta\,\varphi\cdot \left(1+\frac{1}{u}\right)}, d.h. gleich dem Wert, den die Asymptote auf der Abscissenachse abschneidet. Will man also diese Näherungsformel benutzen, so muss man dafür sorgen, dass y < 1. Einige Schwierigkeit bereitet in diesem Ausdruck der Wert x3, sofern es sich nicht um einen gleicharmigen Oberbalken handelt. Für den Fall eines gleicharmigen Oberbalkens ist x3 = ⅓, für einen ungleicharmigen Oberbalken wird x3 deshalb etwas schwankend, weil ein verhältnismässig grosses Gewicht, das Ausgleichgewicht des Hebels angebracht werden muss, das auf das Trägheitsmoment einen kleinen, auf das Gesamtgewicht des Hebels aber einen bedeutenden Einfluss ausübt, so dass x3 wesentlich beeinflusst wird. Im allgemeinen wird aber x3 keine grosse Zahl, in der Regel wird x3 < 1 sein. Sind so alle Werte ausser e'''1 bekannt, so lässt sich aus der Ungleichung erkennen, wie gross e'''1 mindestens ausgeführt werden müsste, ob also die Näherungsgleichung 46 für einen vorliegenden Fall anwendbar ist. Scheint das der Fall, so lässt sich f also ermitteln, und danach sind leicht die weiteren Abmessungen des Oberbalkens auf Grund der Festigkeitsbeziehungen zu ermitteln. Damit steht das Gewicht W3 fest und auf Grund der Gleichung, die sich aus Gleichung 44a durch Reihenentwicklung der Wurzel ergibt, nämlich W_3=\frac{3600000}{z^2}\,\left(\frac{\Delta\,L}{\Delta\,\varphi}\right)^2\,\frac{1}{(L+F)\,\left(1+\frac{1}{u}\right)}\cdot \frac{1}{e'''_1}, 47) ist e'''1 eindeutig bestimmt; natürlich ist zu kontrollieren, ob dieses e'''1 obige Ungleichung für y erfüllt. Ist dies nicht der Fall, müsste vielmehr zur Befriedigung der Ungleichung der Wert e'''1 doch noch grösser genommen werden, so müsste demnach W3 kleiner als es die Festigkeit zulässt, genommen werden, es sei denn, dass sich die Gewichtsverminderung durch Verkleinern eines eventuell vorhandenen Gegengewichts erreichen liesse. Geht dies nicht, und führt man den Balken trotzdem mit den gefundenen Massen aus, so wird, da W3e'''1 kleiner ist, als die geforderte Empfindlichkeit verlangt, diese grösser, während die Schwingungszahl entsprechend abnimmt. Will man diese Verringerung vermeiden, so muss man den Balken kürzen, um wieviel ergibt sich durch Berechnung des Wertes η auf Grund des bereits erhaltenen W3. Es ist nämlich \eta=\frac{u}{u+1+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{L+F}}=\frac{1}{1+\frac{1}{u}+\frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{(L+F)\,u}} und m\,z^2=\eta\,\frac{3600000}{E}=f\,\Delta\,\varphi\cdot z^2, woraus f=\eta\,\frac{3600000}{E}\cdot \frac{1}{\Delta\,\varphi\cdot z^2}. . . . 48) Ist in der Gleichung für η, der Betrag, \frac{\Sigma\,x\,W_{red}}{(L+F)\,u} so klein, dass er gegen 1 vernachlässigt werden kann, so wird η unabhängig von W nämlich \eta=\frac{1}{1+\frac{1}{u}}, womit Gleichung 48 übergeht in Gleichung 46. Beide Gleichungen zeigen die grösste Hebellänge, die noch mit der geforderten Empfindlichkeit (E . Δϕ) und Schwingungsdauer vereinbar ist. Da die Unterbringung von Last und Gewichtsschale einen bestimmten Raum erfordert, darf natürlich der Wert von f nicht beliebig klein werden; würde f kleiner, als es die Unterbringung der Schalen usw. erfordert, so muss man die Anforderungen entweder bezüglich der Schwingungszahl oder des Ausschlagwinkels niedriger schrauben. Die letzten Betrachtungen sind geeignet, die Berechnung der Balkenlänge bei Präzisionswagen besonders einfach zu gestalten, weil dort wegen grossen E-Wertes die Ungleichung für y leicht erfüllt wird. Es werde z.B. für eine gleicharmige Analysenwage (u = 1) bei 200 g Maximalbelastung eine Empfindlichkeitsziffer von etwa 100000 verlangt bei etwa 9,5 Schwingangen i. d. Minute. Es möge ein Ausschlag m1 = 1 mm gemessen an der Spitze eines Zeigers, der zu 300 mm Länge angenommen werde, als genügend deutlich gelten für ein Uebergewicht \Delta\,L=\frac{200}{100000}=2\mbox{ mg}. Der Wert Δϕ muss dann werden \Delta\,\varphi=\frac{1}{300}. Damit wird der Hebelarm des Wagebalkens f bezw. a: a=\frac{3600000\cdot 300}{100000\cdot 90\cdot 2}=60\mbox{ mm}, während W=\frac{36}{e_1} ist. Für e1 = 1 mm müsste man W = 36 g machen, ein Gewicht, das wohl schwerlich so verteilt werden kann, dass die Widerstandsfähigkeit des Balkens gegen Durchbiegung genügend gross wird. Wählt man e1 = 0,6 mm, so dürfte der diesem Wert entsprechende Wert W = 60 g wohl einen genügend starren Balken abgeben, wenn man etwa Form und Art des Bungebalkens wählt. Für diese Werte von a, W, e1 wird das Kriterium y=\frac{4\,x}{2^2}\cdot \frac{3600000\cdot 90000}{100000^2\,90\cdot 0,6}=x\cdot 0,6. Da x immer kleiner sein muss als 1, solange nicht die Höhe des Balkens grösser ist als die halbe Länge des Balkens, ist demnach die Grenze, für die obige Annäherungsformel für a genau genug gilt, noch nicht überschritten. Wollte man bei der hohen Schwingungszahl von z = 9,5 auch noch eine Empfindlichkeitsziffer von E= 1000000, so entspräche demselben Zeigerausschlag von \Delta\,\varphi=\frac{1}{300} nunmehr eine Balkenlänge a = 6 mm, ein Wert, der unausführbar klein ist, weil a vor allem keinen genügenden Raum zur Unterbringung der Schalen gewährt. Besteht man aber auf den Forderungen für E und z, so bleibt nichts anderes übrig, als den Ausschlag Δϕ zu verkleinern und ihn etwa optisch genügend deutlich zu machen. Nehmen wir eine optische Vergrösserung von 1 : 10 an, so darf jetzt Δϕ bei gleicher Zeigerlänge wie vorhin \frac{1}{3000} werden; mithin wird a = 60 mm und natürlich wieder da E . Δϕ konstant gehalten wurde, W=\frac{36}{e_1}=60\mbox{ g} für e1 = 0,6 mm. Wollte man e1 noch kleiner machen, um ein grösseres und desshalb bequemer herstellbares W zu erzielen, so hörte die Gültigkeit unserer Formeln bald auf, da das Eigengewicht des Balkens dann einen grösseren Einfluss auf die Schwingungsdauer ausübt, als ihn unsere Annäherungsformeln einräumen. Für den Fall müsste die Schwingungsdauer nach der Formel z^2=\frac{3600000}{E\cdot m}\cdot \frac{1}{1\,\mp\,\frac{1}{u}+\frac{x\,W}{L+F}}=\frac{3600000}{E\cdot a\cdot \Delta\,\varphi}\cdot \frac{1}{2+\frac{x\,W}{L+F}} berechnet werden, die den ungünstigen Einfluss eines verhältnismässig grossen Balkengewichtes erkennen lässt. Bei Präzisionswagen sind die Balken meist durchbrochen ausgeführt, so dass der Wert x in der Regel von dem Wert x = ⅓, der für rechteckige Parallelepipede gilt, erheblich abweichen wird. Indessen lässt sich der einer jeden Balkenform entsprechende Wert genügend genau und bequem durch einen Schwingungsversuch ermitteln. (Schluss folgt.)