Biegung eines dünnwandigen Hohlzylinders durch achsensymmetrische Kräfte und ungleiche Wandtemperatur. Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Schluß von S. 100 d. Bd.) Biegung eines dünnwandigen Hohlzylinders durch achsensymmetrische Kräfte und ungleiche Wandtemperatur. 3. Zahlenbeispiel: Ein Hohlzylinder vom mittleren Halbmesser r = 50 cm, der Wandstärke s = 1 cm und der Länge 2l = 2 . 39 cm ist an beiden Enden mit vollständig- unnachgiebigen Böden oder Flanschen versehen. Welche Spannungen entstehen, wenn a) der Hohlzylinder einem inneren Ueberdruck von p = 20 kg/qcm ausgesetzt ist und die Böden einen Achsialdruck r2π . p erhalten; b) die Hohlzylinderwand um ΔTm = 10° C wärmer ist als die Abschlußböden oder = Flanschen? Zu a) Ohne Endflanschen oder Abschlußböden würde sich der Hohlzylinder infolge des inneren Ueberdrucks nach (5) erweitern um: \Delta_r=\alpha\,\frac{r^2}{s}\,p und infolge der Achsialkraft Z = r2πp nach (7) um: \Delta_r=-\frac{\alpha}{2\,m}\,\frac{r^2}{s}\,p Beide Belastungen bewirken eine radiale Erweiterung um: \frac{2\,m-1}{2\,m}\,\alpha\,\frac{r^2}{s}\,p       (68) Durch die unnachgiebig gedachten Endflanschen wird diese Erweiterung verhindert; es entstehen in den Endflächen radial gerichtete Schubkräfte Sl kg/cm und reine Biegungsmomente Ml kgcm/cm, die eine der vorigen gleiche, aber entgegengerichtete Durchbiegung der Zylinderenden hervorrufen und diese zwingen, ihre ursprüngliche Neigung beizubehalten. Mit den Bezeichnungen (29 a) und (30 a) und mit (32), (33) und (68) erhält man: \left\{{{M'+S'=-\frac{2\,m-1}{2\,m}\,\alpha\,\frac{r^2}{s}\,p}\atop{2\,M'+S'=0}}\right woraus \left\{{{M'=\ \ \frac{2\,m-1}{2\,m}\,\alpha\,\frac{r^2}{s}\,p}\atop{S'=-2\,\frac{2\,m-1}{2\,m}\,\alpha\,\frac{r^2}{s}\,p}}\right\ (69) oder mit (49 a) und (64 b): \left\{{{M_l=\frac{1}{12}\,\sqrt{3\,\frac{(2\,m-1)^2}{m^2-1}}\cdot r\,s\,p=\frac{3,09}{12}\,r\,s\,p}\atop{\begin{array}{rcl}S_l&=&-\frac{1}{\sqrt3}\,\frac{2\,m-1}{2\,m}\,\sqrt[4]{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\,\sqrt{\frac{s}{r}}\,r\,p\\ &=&-0,662\,\sqrt{\frac{s}{r}\cdot r\,p} \end{array}}}\right\ (69a) Aus dem Vorzeichen geht, wie auch unmittelbar einzusehen, hervor, daß die Biegungsmomente Ml die Zylinderwand nach außen zu biegen suchen und daß die Schubkräfte Sl nach innen gerichtet sind. Spannungen: Abgesehen von der Belastung der Endflächen mit Ml und Sl ist die Spannung in der Zylinder wand infolge des inneren Ueberdrucks und des Achsialdrucks auf die Abschlußböden: achsial: \frac{1}{2}\,\frac{r}{s}\cdot p in der Umfangsrichtung: \frac{r}{s}\cdot p Dies sind zugleich die Spannungen in der mittleren Zone des Zylinders, da ja die Belastung der Endflächen bei genügender Zylinderlänge auf die Mittelzone keinen Einfluß mehr hat, vielmehr nur in der Randzone in der Nähe der Endflächen bemerkbar ist. In der Randzone addieren sich zu den eben genannten Spannungen noch die von der Belastung der Endflächen herrührenden; im ganzen wird die Achsialspannung am Zylinderende an der Außen- bzw. Innenkante: [vgl. (52 a)] \begin{array}{rcl}\sigma_{zz}&=&\frac{1}{2}\,\frac{r}{s}\,p\,\mp\,\frac{1}{2}\,\frac{r}{s}\,p\,\sqrt{3\,\frac{(2\,m-1)^2}{m^2-1}}=\frac{1}{2}\,\frac{r}{s}\,p\,(1\,\mp\,3,09)\\&=&-1,045\,\frac{r}{s}\,p\mbox{ bzw. }+2,045\,\frac{r}{s}\,p\ (70)\end{array} Die Umfangsspannung am Zylinderende an der Außen- bzw. Innenkante bzw. in der Mittellinie: [vgl. (56) und (66 a)]: \begin{array}{rcl}\sigma_{\varphi\varphi a}&=&\frac{r}{s}\,p+0,25\,\frac{1}{2}\,\frac{r}{s}\,p\,\sqrt{3\,\frac{(2\,m-1)^2}{m^2-1}}\\ & &\ \ \ \ \ -2,56\,\frac{1}{\sqrt3}\,\frac{2\,m-1}{2\,m}\,\sqrt[4]{3\,\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{r}{s}\,p}\\ &=&(1+0,368-1,69)\,\frac{r}{s}\,p=-0,304\,\frac{r}{s}\,p\end{array} \begin{array}{rcl}\sigma_{\varphi\varphi i}&=&\frac{r}{s}\,p+0,85\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{r}{s}\cdot p\,\sqrt{3\,\frac{(2\,m-1)^2}{m^2-1}}\\ & & \ \ \ \ \ -2,56\,\frac{1}{\sqrt3}\,\frac{2\,m-1}{2\,m}\,\sqrt[4]{3\,\frac{m^2}{m^2-1}\,\frac{r}{s}\,p}\\ &=&(1+1,31-1,69)\,\frac{r}{s}\,p=+0,62\,\frac{r}{s}\,p\end{array} \sigma_{\varphi\varphi o}=(1+0,85-1,69)\,\frac{r}{s}\,p=+0,16\cdot \frac{r}{s}\,p (71) Die größte Spannung tritt an der Innenkante der Endfläche auf; es ist eine Achsialspannung, die rund doppelt so groß ist wie die Umfangsspannung in der Mittelzone des Zylinders. Abschlußböden oder Endflanschen waren hier vollkommen starr gedacht; in Wirklichkeit sind sie das nicht. Bei einem Flansch tritt zudem eine Biegungswirkung hinzu, die davon herkommt, daß die Schraubenkräfte (Montierungsbelastung und Betriebsdruck) einen biegenden Hebelarm in bezug auf die Zylinderwand besitzen. Durch diese Biegung, wird die größte oben angegebene Achsialspannung verkleinert. Weiteres über die Verbindung eines Zylinderrohres mit einem nachgiebigen Flansch ist einer besonderen Mitteilung vorbehalten. Die größte resultierende Anstrengung bei vollständig festgehaltenen Zylinderenden tritt in der Endfläche an der Innenkante auf, und zwar in achsialer Richtung und ist: \begin{array}{rcl}\mbox{max res }\sigma_{zzi}&=&\sigma_{zzi}-\frac{\sigma_{zzi}}{m}=\frac{r}{s}\,p\,(2,045-0,186)\\ &=&1,859\,\frac{r}{s}\cdot p \end{array}         (72) An derselben Stelle ist die resultierende Anstrengung in Richtung des Umfangs gleich Null. Die größte resultierende Anstrengung in der Mittellinie der Endfläche beträgt weniger als die Hälfte von max res σzzi. Diese Werte der resultierenden Anstrengung hat schon Grashof angegeben. Mit den Zahlenwerten der Aufgabe wird: σzza = – 1045 kg/qcm σzzi = 2045 kg/qcm σϕϕa = –   304 kg/qcm σϕϕi =   620 kg/qcm σϕϕo =      160 kg/qcm max res σzzi = 1853 kg/qcm In der Mittelzone des Hohlzylinders oder auch in einem Hohlzylinder, dessen Endflächen frei von Biegung sind und der durch inneren Ueberdruck und eine Achsialkraft belastet ist, wäre: σzz = 500 kg/qcm   σzz = 1000 kg/qcm max res σϕϕ = 1000 – 0,3 . 500 = 850 kg/qcm. Die Wirkung der Endflächenbelastung ist in noch höherem Grad auf die Randzone beschränkt, als die Figuren 5 und 10 zeigten, – sofern der Zylinder hinreichend lang ist (vgl. Abschn. VII). Zu b) Ohne Endflanschen oder Abschlußböden würde der überall um ΔTw erwärmte Hohlzylinder sich nach (9) radial erweitern um: Δr = αw . r . ΔTm Durch die unnachgiebig gedachten Endflanschen wird diese Erweiterung verhindert; es entstehen in den Endflächen radial gerichtete Schubkräfte Sl kg/cm und reine Biegungsmomente Ml kgcm/cm, die eine der vorigen gleiche, aber entgegengerichtete Durchbiegung der Zylinderenden hervorrufen und diese zwingen, ihre ursprüngliche Neigung beizubehalten. Mit den Bezeichnungen (29a) und (30a), mit (32), (33) und (u0)l = – Δr wird \left{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M'+S'=-\alpha_w\cdot r\cdot \Delta\,T_m}\atop{2\,M'+S'=\ \ \ 0}}\right\} woraus \left{{M'=\ \ \ \alpha_w\cdot r\cdot \Delta\,T_m}\atop{\ \ \ S'=-2\,\alpha_w\cdot r\cdot \Delta\,T_m}}\right\}\ \ \ (73) oder mit (49a) und (64b): \left{{M_l=\frac{s^2}{6}\,\sqrt{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \Delta\,T_m\ \ \ \ \ \ }\atop{S_l=\frac{s}{\sqrt3}\,\sqrt{\frac{s}{r}}\,\sqrt[4]{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \Delta\,T_m}}\right\}\ (73a) Spannungen (Temperaturspannungen) treten nur in der Nähe der (gänzlich festgehalten gedachten) Zylinderendflächen auf, und zwar beträgt an der Außen bzw. Innenkante der Endfläche die achsiale Biegungsspannung nach (52a): \sigma_{zz}=\mp\,\frac{M_l}{s\,2/3}=\mp\,\sqrt{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \Delta\,T_m=\mp\,1,815\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot \Delta\,T_m (74) ferner die Umfangsspannung an der Außen- bzw. Innenkante der Endfläche nach (56) und (66a): \left{{\begin{array}{rcl}\sigma_{\varphi\varphi a}&=&0,25\,\sqrt{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\Delta\,T_m- \frac{2,56}{\sqrt3}\,\sqrt[4]{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\Delta\cdot T_m\\ &=&-1,536\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\Delta\,T_m \end{array}}\atop{\begin{array}{rcl}\sigma_{\varphi\varphi i}&=&0,85\,\sqrt{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\Delta\,T_m- \frac{2,56}{\sqrt3}\,\sqrt[4]{3\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\Delta\cdot T_m\\ &=&-0,448\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\Delta\,T_m \end{array}}}\right\}\ (75) Für Gußeisen ist \frac{\alpha_w}{\alpha}=\sim\,11, für Schmiedeisen und Stahl rd. 25; bei gänzlich festgehaltenem Zylinderende und bei Erwärmung des Zylinders um 10° C wird also die größte Biegungsspannung am Zylinderende: in Gußeisen σzz = 1,815 . 11 . 10 = 200 kg/qcmStreng genommen ist bei Gußeisen m nicht gleich 10/3 zu setzen, sondern nach Versuch von Eugen Meyer eher m = 4 bis 5, was jedoch den angegebenen Zahlenwert nur wenig ändert. in Schmiedeeisen und Stahl σzz = 1,815 . 25 . 10 = 445 kg/qcm Die resultierende Anstrengung ist leicht berechenbar. Die Widerstandsfähigkeit der Hohlzylinderwand hängt bei Belastung der Endflächen mit Biegungsmomenten von der zweiten Potenz der Wandstärke ab; bei Belastung mit radialen Schubkräften von der Größe s^{\frac{3}{2}}\,:\,r^{\frac{1}{2}}. Die Nachgiebigkeit der Hohlzylinderwand, wenn man die Durchbiegung des Zylinderendes ins Auge faßt, hängt bei Belastung der Endflächen mit Biegungsmomenten vom reziproken Wert des Quadrats der Wandstärke und von der ersten Potenz des Radius ab \left(\mbox{also von }\frac{r}{s^2}\right); bei Belastung mit radialen Schubkräften von dem Wert \left(\frac{r}{s}\right)^{\frac{1}{2}}. Faßt man anderseits die Neigung des Zylinderendes ins Auge, so hängt die Nachgiebigkeit hinsichtlich dieser Neigung bei Belastung der Endflächen mit Biegungsmomenten von dem Wert r^{\frac{1}{2}}\,:\,s^{\frac{5}{2}} ab; bei Belastung mit Schubkräften von dem Wert r : s2. VII. Kritische Bemerkungen zu der Lösung. Geltungsbereich. Exakte Lösung. Die Hohlzylinder, aufweiche die vorangehende Rechnunganwendbarist, müssen verhältnismäßig lang und dünnwandig sein im Vergleich zur Länge des mittleren ZylinderhalbmessersBei Dampfkesseln kommt vor s = 50r, bei verhältnismäßig kräftig dimensionierten Gasmaschinenzylindern. s = 7 . r.. Ich werde die Voraussetzungen der Rechnung der Reihe nach besprechen. Die erste Annahme, die der Lösung zugrunde liegt, besagt, daß die radiale Normalspannung σrr überall gleich Null sei. Ueber die Zulässigkeit dieser Annahme erlangt man Aufschluß wie folgt: Das z.B. nach außen aufgebogene Zylinderende wird in der Umfangsrichtung auf Zug beansprucht, in der Achsrichtung auf Biegung, so zwar, daß die Druckspannungen in der Zylinderwand außen, die Zugspannungen innen liegen. Wir betrachten nun ein ringförmiges Zylinderelement, begrenzt durch zwei benachbarte Querschnittsebenen, bei der Deformation und denken uns an ihm eine Anzahl zur Zylinderachse konzentrischer Schichten. Eine im Abstand (– λ) von der Mittelfläche nach innen zu gelegene Schicht befindet sich, wenn in der Dickenrichtung keine Veränderungen vor sich gingen, nach der Deformation auch wieder im Abstand (– λ). Nun ist diese Schicht in der Umfangs- und in der Achsrichtung gedehnt, sie muß sich also in der Dickenrichtung kontrahieren; ähnlich die benachbarten Schichten; da zwischen den Schichten keine Zwischenräume entstehen können, so werden diese ringförmigen Schichten ihren Zusammenhang bewahren, und es ist die Frage, ob mit oder ohne Zwang. Es ist ohne weiteres ersichtlich, daß ein System konzentrischer Ringe, die nicht genau ineinander passen, nur mit Zwang und zwar mittels radialer Kraftwirkung, zur Berührung untereinander gebracht werden können. Es müssen daher in unserem Fall radiale Zugspannungen eintreten, da wo die Ringschichten infolge der Querkontraktion klaffen wollen, Druckspannungen, da wo eine Querausdehnung angestrebt wird. Daraus folgt, daß die Annahme die radialen Normalspannungen seien überall auf den Normalen der Hohlzylinderwand gleich Null, im allgemeinen nicht zutrifft; es liegt hierin ein offenkundiger Unterschied zwischen Zylinderwand und ebener Wandung; bei letzterer hat es, sofern die Wandstärke nicht zu groß ist, weit weniger Bedenken, die Normalspannung in Richtung der Plattendicke Null zu setzen; denn die den eben betrachteten Ringschichten des Hohlzylinders analogen Schichten einer Platte sind eben und eine Querkontraktion oder Querausdehnung kann sich in Richtung der Plattendicke ohne Zwang, ausbilden. Es läßt sich nun leicht einsehen, in welchem Fall die radialen Normalspannungen in einer Hohlzylinderwand nur geringfügig sein werden und gegenüber den achsialen und den Umfangs-Spannungen verschwinden werden: der mittlere Halbmesser der Hohlzylinderwand muß genügend groß und die Wandstärke genügend klein sein. Die exakte Differentialgleichung der gebogenen Hohlzylinder mit Berücksichtigung der radialen Normalspannung läßt sich mit Hilfe der Lameschen. Zylindergleichungen ohne weiteres anschreiben (vgl. Fußnote S. 50): Wegen der achsensymmetrischen Deformation sind sämtliche Ableitungen nach cp gleich Null, also \frac{\delta}{\delta\,\varphi}=0 ferner ist wie früher begründet τrϕ = τϕz = 0. Sofern keine Massenkräfte wirken, ist R = Φ = Z = 0 und \frac{d}{dt^2}=0, womit die erwähnten Gleichungen liefern: \left{{\frac{\delta\,\sigma_{rr}}{\delta\,r}+\frac{\delta\,\tau_{zr}}{\delta\,z}+\frac{\delta_{rr}-\delta_{\varphi\varphi}}{r}=0}\atop{{\frac{\delta\,\tau_{rz}}{\delta\,r}+\frac{\delta\,\sigma_{zz}}{\delta\,z}+\frac{\tau_{rz}}{r}\ \ \ \ \ \ =0}}\right\}\ (76) Ferner ist: \varepsilon_{rr}=\frac{\delta\,u}{\delta\,r}     \varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{u}{r}     \varepsilon_{zz}=\frac{\delta\,w}{\delta\,z} \gamma_{rz}=\frac{\delta\,u}{\delta\,z}+\frac{\delta\,w}{\delta\,r}. Damit nach (1): \sigma_{rr}=\frac{m}{m+1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{\delta\,u}{\delta\,r}+\frac{e}{m-2}\right] \sigma_{\varphi\varphi}=\frac{m}{m+1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{u}{r}+\frac{e}{m-2}\right] \sigma_{zz}=\frac{m}{m+1}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{\delta\,w}{\delta\,z}+\frac{e}{m-2}\right] (77) worin e=\ \ \ \ \ \frac{\delta\,u}{\delta\,r}+\frac{u}{r}+\frac{\delta\,w}{\delta\,z}; ferner ist \tau_{rz}=\frac{1}{\beta}\,\gamma_{rz}=\frac{1}{2}\,\frac{m}{m+1}\,\frac{1}{\alpha}\,\frac{1}{\alpha}\,\left[\frac{\delta\,u}{\delta\,z}+\frac{\delta\,w}{\delta\,r}\right]. Setzt man σ und τ in (76) ein, so erhält man zur Bestimmung der Durchbiegung u und der achsialen Verrückung w eines Zylinderpunktes die Gleichungen: \left{{\frac{\delta^2\,u}{\delta\,z^2}+2\,\frac{m-1}{m-2}\,\frac{\delta}{\delta\,r}\,\left(\frac{1}{r}\,\frac{\delta\,u\,r}{\delta\,r}\right)+\frac{m}{m-2}\,\frac{\delta^2\,w}{\delta\,r\cdot \delta\,z}=0}\atop{\frac{\delta}{\delta\,r}\,\left(r\,\frac{\delta\,w}{\delta\,r}\right)+2\,\frac{m-1}{m-2}\,\frac{\delta^2\,w}{\delta\,z^2}\ \ +\frac{m}{m-2}\,\frac{\delta^2\,u\,r}{\delta\,r\cdot \delta\,z}}=0}\right\}\ (78) Nach A.E.H. Love, Lehrbuch der Elastizität, Deutsch von TimpeS 188 und 189., ist es nicht nötig, zwei unbekannte Funktionen durch Integration des letzten Gleichungssystems zu suchen; es genügt eine sog. Spannungsfunktion χ von (r, z) zu finden, worauf die Durchbiegung u in radialer Richtung und die achsiale Verrückung eines Zylinderpunkts aus den Gleichungen sich ergaben: \left{{u=-\frac{m+1}{m}\,\alpha\,\frac{\delta^2\,\chi}{\delta\,r\cdot \delta\,z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\atop{w=\ \ \frac{m+1}{m}\,\alpha\,\left[\frac{m-2}{m}\,\Delta^2\,\chi+\frac{\delta^2\,\chi}{\delta\,r^2}+\frac{1}{r}\,\frac{\delta\,\chi}{\delta\,r}\right]}}\right\}\ (79) worin: \Delta^2\,\chi=\frac{\delta^2\,\chi}{\delta\,r^2}+\frac{1}{r}\,\frac{\delta\,\chi}{\delta\,r}+\frac{\delta^2\,\chi}{\delta\,z^2}. Ueber die bisher vorliegenden Versuche zur Auffindung der Funktion χ berichtet Love a.a.O.D.: exakte Lösung würde u.a. dazu dienen, die Zulässigkeit der Annahme σrr = 0 zahlenmäßig zu prüfen. Von der Voraussetzung kleiner Wandstärke wurde Gebrauch gemacht in den Gl. (19a) und (22) für die Umfangsdehnung und die Normalspannung im Abstand λ von der Mittelfläche; es wurde nämlich statt r + λ, einfach r geschrieben. Was dies heißt, sieht man aus (22), wenn man die sich im Abstand λ herrschende Spannung senkrecht zu einer Normalen der Zylinderwand graphisch aufgezeichnet denkt; die Spannungskurve ist die Summe der Ordinaten einer Geraden und einer Hyperbel. Diese Hyperbel ist nun bei dünner Wandstärke im Vergleich zum Radius – sehr flach; die Vernachlässigung von λ gegenüber r heißt also, daß die flache Hyperbel durch eine Gerade ersetzt wurde. Man kann sich mit Hilfe der Zahlenwerte des Beispiels S. 99 klar machen, daß die Vernachlässigung unter den dortigen Verhältnissen geringfügig ist, desgleichen die in Gl. (21) vorgenommene Vernachlässigung von \frac{s^2}{12\cdot r}\cdot \frac{d^2\,u_0}{dz^2} gegenüber \frac{u_0}{m\cdot r}. Wenn aber die Vernachlässigung einer Variablen (λ) und eines Differentialquotienten \left(\frac{d^2\,u_0}{dz^2}\right) aus formalen Gründen zu anstößig erscheinen sollte, so kann man auch beide bis zur Aufstellung der Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche beibehalten; diese würde dann lauten: \left(1-\frac{1}{12}\,\frac{s^2}{r^2}\right)\,\frac{d^4\,u_0}{d\,z^4}+\frac{2}{m\,r^2}\,\frac{d^2\,u_0}{d\,z^2}+\frac{12}{r\,s^3}\,\left(ln\,\frac{r_a}{r_i}-\frac{s}{m^2\,r}\right)\,u_0=0 oder wenn mein jetzt erst die im Falle eines genügend kleinen \frac{s}{r} zulässige Vernachlässigung des 2. Gliedes in der ersten Klammer vornimmt und ln\,\frac{r_0}{r_i}=\mbox{ rd. }\frac{s}{r} setzt: \frac{d^4\,u_0}{d\,z^4}+\frac{2}{m\,r^2}\,\frac{d^2\,u_0}{d\,z^2}+12\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{u_0}{r^2\,s^2}=0     (80) Das Integral dieser Gleichung hat dieselbe Form (24b) wie das der früheren einfacheren Differentialgleichung (24a); nur lautet die Wurzelgleichung jetzt: \rho^4+\frac{2}{m\,r^2}+12\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{1}{r^2\,s^2}=0 Diese Gleichung hat auch komplexe Wurzeln wie die frühere Wurzelgleichung: \rho^4+12\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{1}{r^2\,z^2}=0 Solange die Wurzeln der beiden letzten Gleichungen genügend wenig voneinander verschieden sind, kann man die erwähnten Vernachlässigungen als zulässig ansehen. Von der Voraussetzung verhältnismäßig großer Zylinderlänge wurde Gebrauch gemacht, als in den Ausdrücken (31) für die Integrationskonstanten der Gleichung der elastischen Mittelfläche die Zahl e– nl gegenüber e+ nl vernachlässigt wurde; dies erscheint mit einem Fehler von etwa 1,5% statthaft, wenn nl= 2,36 (dann ist enl = 10; e– nl = 0,1; sin nl = 0,707; cos nl = - 0,707; \left\frac{4\,\mbox{sin}\,nl\cdot \mbox{cos}\,nl}{e^{nl}\,\pm\,e^{-nl}}=0,2\right); die Bedingung dafür, daß der Fehler nicht größer wird, d.h. daß der Wert der Integrationskonstanten nach (31) und (31a) um nicht mehr als 1,5% verschieden ist, lautet gemäß (25) mit m = l0/3: nl=\frac{1,283}{\sqrt{rs}}\cdot l\,>\,2,36 l\,>\,1,84\,\sqrt{r\cdot s}. Solange diese Bedingung erfüllt ist, darf man mit gut befriedigender Genauigkeit mit dem vereinfachten Ausdruck (31a) für die Integrationskonstanten g und f bzw. M' und S' rechnen, sofern eben der Zylinder dünnwandig ist. Damit ist noch nicht gesagt, daß die Spannung und Formänderung in der Randzone lokalisiert und die Mittelzone spannungs- und dehnungsfrei sei, dazu muß der Zylinder noch länger sein; es wurdeim Abschnitt VI häufig hervorgehoben, daß bei genügend großer Zylinderlänge der Einfluß einer Belastung der Zylinderenden nur in der Nähe der Zylinderenden und in der Randzone bemerkbar sei. Die Spannung- und Formänderung ließ sich als Summe einer vom Zylinderende gegen die Mitte zu ab- und anschwellenden Welle darstellen, von welch letzterer gesagt werden kann, daß sie bei hinreichender Zylinderlänge gegenüber der ersteren verschwinde. Ueber die Große der hierzu erforderlichen Zylinderlänge ist noch eine Angabe zu machen: Wir haben gesehen, daß die Spannungs- und Deformationswellen in der Zylinderwand längs einer Mantellinie rasch abnehmen, und zwar ist die Tiefe eines Wellentals gleich 1/23 der Höhe des vorangehenden Wellenberges, wenn die achsiale Koordinate z um eine halbe Wellenlänge d.h. nach (48) um \frac{Z}{2}=\frac{\pi}{n} abgenommen hat. Die Spannungen und Formänderungen in der Mittelzone des Hohlzylinders werden also schon recht klein, wenn die halbe Zylinderlänge l gleich einer halben Wellenlänge ist, d.h. wenn l\,\geq\,\frac{\pi}{n}=\sqrt[4]{\frac{1}{3}\,\frac{m^2}{m^2-1}}\cdot \sqrt{r\cdot s} d.h. mit m=10/3\,:\,l\,\geq\,2,45\,\sqrt{r\cdot s} Die Mittelzone kann vollends als praktisch spannungsfrei gelten, wenn die halbe Zylinderlänge doppelt so groß ist, wenn also l\,\geq\,4,9\,\sqrt{r\cdot s} (81) Einfluß der Zylinderlänge. Solange l\,\geq\,4,9\,\sqrt{r\cdot s}, sind die vereinfachten Gleichungen für Formänderung und Spannung in der Randzone mit großer Annäherung brauchbar; sie sind in den Zahlenbeispielen S. 99 und 100 aufgeführt. In diesen Gleichungen kommt die Zylinderlänge l gar nicht vor. Wenn also l\,\geq\,4,9\,\sqrt{r\cdot s} ist, so macht sich der Einfluß der Belastung der Zylinderenden nur in deren Nähe m.a.W. in der Randzone bemerklich, und zwar unabhängig von der Zylinderlänge. Einfluß von Versteifungsringen oder -rippen bei äußerem oder innerem Ueberdruck. Dem Einfluß der Belastung der Endflächen steht nahe der Einfluß von Versteifungsringen oder -rippen. Zwischen diesen wird stets eine Zone sein, die als nicht versteift angesehen werden muß, wenn der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ringen oder Rippen 2\,l\,\geq\,2\cdot 4,9\cdot \sqrt{r\cdot s} Selbst wenn dieser Abstand auf die Hälfte des soeben angegebenen Wertes herabgesetzt wird, befindet sich zwischen 2 Ringen oder Rippen immer noch ein nahezu unversteiftes Zylinderstück. Im Falle eines äußeren Ueberdrucks wird der Zylinder auf Knickung (Einbeulen) beansprucht; ist keine Versteifung vorhanden, so folgt die Einbeulungspressung (vgl. Love, Lehrb. der Elastiz., oder Föppl, Techn. Mechanik III), p_k=\frac{1}{4\,\alpha}\cdot \left(\frac{s}{r}\right)^3 oder wenn bei unendlich lang gedachtem Zylinder die Hinderung- der Querdehnung berücksichtigt wird, p_k=\frac{1}{4\,\alpha}\,\frac{m^2}{m^2-1}\,\left(\frac{s}{r}\right)^3 Im Falle inneren Ueberdrucks gelten die Gleichungen im Abschnitt I. Nur ein Zylinderende ist belastet. Da bei hinreichender Zylinderlänge (s. ob.) die Belastung der Endflächen nur in der Randzone bemerklich wird, während die Mittelzone davon nicht mehr belastet wird, so kann man das unbelastete Zylinderende als Mittelquerschnitt eines Hohlzylinders mit zwei gleich belasteten Enden ansehen und die vorliegende Berechnung anwenden. Zusammenfassung. Wird ein dünnwandiger Hohlzylinder an seinen Enden mit Biegungsmomenten und radialgerichteten Schubkräften symmetrisch zur Achse belastet, so wird die Zylinderwand gebogen; Formänderung und Spannung verlaufen längs einer Mantellinie nach Art einer stark gedämpften Schwingung, die vom Zylinderende gegen die Mitte hin abnimmt. Ist der Hohlzylinder lang genug (l\,\geq\,4,9\,\sqrt{rs}), so ist die Formänderung und Spannung in der Randzone nahe dem Zylinderende lokalisiert, während die mittlere Zone von der Belastung der Endflächen unabhängig ist, also z.B. spannungs- und dehnungsfrei bleibt, wenn nur die Endflächen des Hohlzylinders belastet sind. Die Länge der Deformations- und Spannungswellen in der Randzone ist gemäß (48) Z=\frac{2\,\pi}{n}=4,9\,\sqrt{rs} Die Wellen besitzen die Eigentümlichkeit, daß ein Wellental eine Tiefe hat, die V23 der Höhe des unmittelbar vorhergehenden Wellenberges ist. Die Entfernung der Wellenberge oder -täler vom Zylinderende läßt sich in einfacher Weise ausdrücken (s. die Arbeit). Die Berge und Täler liegen im Abstand einer Achtelswellenlänge von einem Punkt einer Mantellinie, der spannungs- oder dehnungsfrei ist. (s. die Figuren 5 und ff.) Die achsialen Biegungsspannungen, Umfangsspannungen, Schubspannungen, die Durchbiegung und Neigung des Zylinderendes können aus einfachen Gleiungen berechnet werden, wenn das Zylinderende mit Biegungsmomenten oder Schubkräften belastet ist; diese Gleichungen sind auf S. 99 und 100 zusammengestellt. Reine Biegungsmomente am Zylinderende suchen dieses gleichsam umzukrempen; die größte Spannung tritt an der Außen- oder Innenkante des Zylinderendes auf und ist eine achsial gerichtete Biegungsspannung. Radial gerichtete Schubkräfte am Zylinderende suchen dieses vorzugsweise radial zu erweitern; die größte Spannung tritt am Zylinderende auf und ist eine in der Umfangsrichtung tätige Normalspannung; diese Umfangs- oder Ringspannung ist an der Außenkante und an der Innenkante des Zylinders gleichgroß. Während die reinen Biegungsmomente in erster Linie die Neigung des Zylinderendes zu vergrößern suchen, die Durchbiegung dagegen weniger beeinflussen, bewirken die Schubkräfte in erster Linie eine Durchbiegung (= radiale Erweiterung) des Zylinderendes, wogegen sie die Neigung des Zylinderendes weniger stark beeinflussen. Die Umfangsspannungen am Zylinderende, die von reinen Biegungsmomenten daselbst herrühren, sind an der Innenkante am größten und nehmen gegen die Außenkante hin ab; diese Spannungen sofern sie von Schubkräften hervorgerufen werden, sind von der Innen bis zur Außenkante der Endfläche gleich groß, was auf S. 98 erklärt ist. Ist die Zylinderwand auf allen Radien nach demselben linearen Gesetz temperiert, so bewirkt diese ungleiche Wandtemperatur eine Biegung der Zylinderwand; letzere „wirft sich“ genau so, als ob die Endflächen mit reinen Biegungsmomenten [vgl. (59)] belastet wären. Es entstehen Temperaturspannungen die bei hinreichender Zylinderlänge (l\,>\,4,9\,\sqrt{7\,.\,s}) in der Mittelzone eine Größe haben, wie sie durch vollständig gehinderte Flächenausdehnung bedingt ist, nämlich an der Außen- und Innenfläche: \begin{array}{rcl}\sigma_{\varphi\varphi T}=\sigma_{zzT}&=&-\frac{m}{m-1}\cdot \frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot T_g\cdot \frac{s}{2}\\ &=&-\frac{m}{m-1}\cdot\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\frac{T_a-T_i}{2} \end{array} Am freien, unbelasteten Zylinderende tritt eine rund 25% größere Spannung- ein, und zwar an der Innenkante in Richtung des Umfangs [vgl. (60)]. Die infolge der ungleichen Wandtemperatur gebogene Zylinderwand kann durch reine Biegungsmomente, die man an den Zylinderenden anzubringen hat, gerade gerichtet werden; dann herrscht überall an der Außen- und Innenfläche die zuletzt angeschriebene Spannung. Eine solche Sachlage ist auch für einen dickwandigen Hohlzylinder von Huber, A. Leon und R. Lorenz untersucht worden; bei logarithmischer Temperaturverteilung auf den Zylinderradien ist an der Innenfläche (Größtwert): \sigma_{\varphi\varphi T}=\sigma_{zzT}=-\frac{m}{m-1}\cdot\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\frac{T_a-T_i}{2}\,\left[\frac{r_a^2}{r_a^2-r_i^2}-\frac{1}{2\,.\,ln\,\frac{r_a}{r_i}}\right] an der Außenfläche: \sigma_{\varphi\varphi T}=\sigma_{zzT}=-\frac{m}{m-1}\cdot\frac{\alpha_w}{\alpha}\cdot\frac{T_a-T_i}{2}\,\left[\frac{r_i^2}{r_a^2-r_i^2}-\frac{1}{2\,.\,ln\,\frac{r_a}{r_i}}\right] Durch die Klammerwerte wird also der Einfluß dicker Wandstärke ausgedrückt; bei dünner Wand ist der Klammerwert gleich Eins. Aus dem oben Bemerkten erkennt man auch die anschauliche Bedeutung des Faktors vor der Klammer: es ist die Temperaturspannung bei vollständig gehinderter Flächenausdehnung.