Störende Bewegungen der Last bei Hebezeugen. Von Dr.-Ing. Otto Schaefer. Störende Bewegungen der Last bei Hebezeugen. Bei Hebezeugen mit freihängender Last ist im allgemeinen außer der Hubbewegung noch eine oder es sind zwei seitliche Bewegungen vorhanden; so kann beispielsweise bei Drehkranen die Last gehoben und im Kreise geschwenkt werden. Bei den normalen Werkstattlaufkranen ist meist außer dem Heben ein Längsfahren des ganzen Kranes und ein Querfahren der Laufkatze vorgesehen. Die grundlegende Annahme hierbei ist, daß ein genau senkrechtes Heben und genau wagerechtes Fahren stattfindet, wobei dann diese verschiedenen Bewegungen miteinander vereinigt werden können. Nun treten aber eine ganze Reihe von unerwünschten Nebenerscheinungen auf, die in mannigfacher Art Abweichungen der wirklichen Bewegung von der gewollten verursachen, und zwar kann man beim Heben folgende drei Arten von Störungen unterscheiden: 1. Die Last bewegt sich in einer schrägansteigenden Geraden; 2. die Last bewegt sich in einer Kurve; 3. die Last pendelt. Textabbildung Bd. 324, S. 309 Fig. 1. Ist die erwünschte Bewegung die wagerechte, so kann der Fehler darin bestehen, daß die Last entweder gleichzeitig gehoben wird oder daß sie pendelt. Diese Bewegungen können sich wieder in der verschiedensten Weise zusammensetzen, und schließlich ist auch noch das Drehen der Lastum eine senkrechte Achse als störende Bewegung zu nennen. Die Ursachen, die Art des Auftretens, die Größe und die Mittel zur Vermeidung dieser Störungen sollen im folgenden betrachtet werden. Der Fehler, daß die Last in einer schräg ansteigenden Geraden, gehoben wird, entsteht dann, wenn die Last an einem direkt von der Trommel herabhängenden Zugorgan befestigt ist. Hierbei wandert die Last entsprechend der Aufwickelung des Seiles auf die Trommel evtl. um deren volle Länge seitlich. Die Einschaltung einer Unterflasche vermindert zwar den Fehler auf die Hälfte, beseitigt ihn jedoch nicht, während die Bauart nach Fig. 1, bei welcher zwei Seilstränge gleichzeitig von links und rechts aufgewickelt werden, ihn völlig vermeidet. Bei dieser Anordnung, welche ihrer Vorzüge halber größte Verbreitung verdient, wird man leicht einen Umstand übersehen. Textabbildung Bd. 324, S. 309 Fig. 2. Die Last bewegt sich nämlich in einer Kurve, wenn die Achsen der Trommel T und der Aufhängerolle R nicht in gleicher Höhe liegen. – Dasselbe gilt auch für die bei Drehkranen häufige Anordnung – eine feste Rolle R (Fig. 2) im Auslegerkopf und eine lose Rolle L in der Unterflasche (wenn die Befestigung F des Seilendes höher oder tiefer liegt als die Mitte der Seilrolle. Um annähernd die Form der Kurve zu finden, möge die Annahme gemacht werden, daß (Fig. 2) die Seilrolle L sehr klein sei. Bedenkt man, daß die beiden Seilspannkräfte – bei Vernachlässigung des kleinen durch die Reibung verursachten Unterschiedes – gleich groß sind und daß ihre Horizontalkomponenten ebenfalls gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein müssen, da sie die einzigen horizontalen Kräfte sind, so folgt, daß die Winkel der Seile mit der Horizontalen gleich sein müssen und beiderseits durch den gleichen Buchstaben α bezeichnet werden dürfen. Als Koordinaten-Anfangspunkt ist der Halbierungspunkt der Strecke gewählt, welche die beiden Seilendpunkte verbindet und zwar deshalb, weil die Gleichung der Kurve hierfür am einfachsten wird. Es ergibt sich nämlich aus der Figur \frac{x-\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}-y}=\mbox{tg}\,\alpha und \frac{x+\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}+y}=\mbox{tg}\,\alpha also: \frac{x-\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}-y}=\frac{x+\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}+y} und durch Ausmultiplizieren x \cdot y=\frac{a \cdot b}{4}. Dies ist aber bekanntlich die Mittelpunktsgleichung- einer Hyperbel. Falls man berücksichtigt, daß der Seilrollenradius r eine endliche Größe hat, und entsprechend x' statt x setzt, so erhält man eine der gezeichneten Kurve ähnliche. Doch erübrigt sich ein näheres Eingehen auf die Form derselben, da es nur auf den Beweis ankam, daß die Last tatsächlich nicht in einer Graden gehoben wird. Textabbildung Bd. 324, S. 310 Fig. 3. Pendelschwingungen der Last können durch irgendwelche zufälligen äußeren Umstände verursacht werden, sie entstehen jedoch beim Heben und Senken der Last stets auch ohne solche Einwirkungen. Es mag (Fig. 3) vorausgesetzt sein, daß die Last an einer einrolligen Flasche hängt, wobei die beiden Seile sehr lang sein und im Ruhezustand genau senkrecht hängen sollen. Ein Seil ist in A befestigt, das andere wird mit Hilfe der Führung B, die den Einfluß der oberen Rolle beseitigt, genau senkrecht nach oben gezogen. Der Wirkungsgrad einer richtig dimensionierten Seilrolle kann zu η = 0,96 angenommen werden, so daß also, wenn Si den Seilzug im befestigten Seil, S2 den Seilzug im gezogenen Seil bezeichnet, die Beziehung gilt S1 = η . S2 = 0,96S2. Gleichzeitig ist natürlich, wenn Q die Last bezeichnet S1+ S1 = Q also ηS2 + S2 = 0,96S2 + S2 = Q (1 + η)S2 = 1,96S2 = Q S_2=\frac{1}{1,96} \cdot Q=\frac{1}{0,98} \cdot \frac{Q}{2} ferner ist S_1+\frac{1}{0,96}\,S_1=Q \frac{1,96}{0,96} \cdot S_1=Q S_1=\frac{0,96}{0,98}\,\frac{Q}{2}=\mbox{rd}\,0,98\,\frac{Q}{2} Die Momentengleichung, in bezug auf den Punkt A aufgestellt, ergibt \begin{array}{rcl}Q \cdot x&=&S_2 \cdot d=\frac{1}{1+\eta} \cdot Q \cdot d=\frac{1}{0,98} \cdot \frac{Q}{2}\,d\\x&=&\frac{1}{1+\mu}\,d=\frac{1}{0,98} \cdot \frac{d}{2} \end{array} Wie man sieht, sucht die Last jetzt, während der Aufwärtsbewegung, nicht in der Mitte zwischen A und B, sondern näher bei B zu hängen. Da sie im Ruhezustande genau in der Mitte hing, bewegt sie sich bei Beginn des Hebens in die neue Gleichgewichtslage hinein, pendelt natürlich auch gleich darüber hinaus und führt dann Schwingungen symmetrisch zu dieser Gleichgewichtslage aus. Die häufig gegebene Erklärung, daß der Unterschied zwischen der Reibung der Ruhe und der kleineren Reibung der Bewegung die Schwingung verursache, ist nicht genau zutreffend, da Schwingungen auch ohne diesen Unterschied der Reibungen auftreten würden. Allerdings wird die Schwingungsweite vergrößert, da der Unterschied der Seilspannungen im Anfang größer ist, als dem Wirkungsgrad η entspricht. Die Gleichung x=\frac{1}{1+\eta}\,d gibt ein Mittel an die Hand, den Wirkungsgrad experimentell zu bestimmen; es ist nur erforderlich, die Größen zu messen, was leicht dadurch geschehen kann, daß man die beiden äußersten Punkte der Schwingung feststellt und aus diesen Messungen das Mittel nimmt. Für die praktische Durchführung dieser Messungen empfiehlt es sich, an der Last einen leuchtenden Punkt, Kerze oder Glühlampe, anzubringen und den Schatten zu beobachten, den ein in der Nähe der Last senkrecht herabhängender Faden auf einen in nicht zu geringer Entfernung befindlichen Maßstab wirft. Man kann hierdurch die zu messende Strecke bequem vergrößern und wird durch das gleichzeitig mit den Schwingungen stattfindende Ansteigen der Fig. 4. Last nicht gestört. Textabbildung Bd. 324, S. 310 Fig. 4. Textabbildung Bd. 324, S. 310 Fig. 5. Da der Ausschlag der Last nur wenige Millimeter beträgt, so können Seilstränge von einigen Metern demgegenüber schon als unendlich lang betrachtet werden, es bedarf jedoch einer besonderen Untersuchung, ob und in welcher Art sich die Schwingungen einer pendelnd aufgehängten Last bei Verkürzung der Aufhängung verändern. Bei kleinen Ausschlägen ist die Fadenspannkraft – der Einfachheit halber denke man sich bei dieser Betrachtung die Last an einem einfachen Faden hängend – konstant und es wird der Last keine andere Energie zugeführt, als die zur Hebung erforderliche. Demnach bleibt die Schwingungs-Energie konstant und deswegen ist auch die Höhe h, um welche die Last bei einer Schwingung steigt und fällt, die gleiche, bei langem wie bei verkürztem Faden. Mit den Bezeichnungen der Fig. 4 ist bei Vernachlässigung eines Gliedes h2, das den andern Werten gegenüber sehr klein ist, x2 = 2y . h. Die Punkte, welche die Last beim größten Ausschlag erreicht, liegen auf einer Parabel. Dieser Umstand kann praktische Bedeutung erlangen, wenn es sich darum handelt, den Raum zu bestimmen, der für den Durchgang der Last frei zu halten ist. Dieser Raum kann bei BB (Fig. 5) enger sein als bei AA und ist dabei doch mit gleicher Sicherheit gegen Anschlagen bestimmt. Anderseits ist es falsch, in allen Höhen mit gleichem Schrägzug, etwa 10%, zu rechnen; denn wenn der Schrägzug in der tiefsten Stellung 10% beträgt, so findet, in Prozenten der Seillänge gerechnet, eine Vergrößerung des Schrägzuges beim Heben statt, obwohl der seitliche Ausschlag selbst kleiner wird. Die soeben gemachte Annahme, daß die Fadenspannkraft während der Schwingung konstant sei, gilt nur bei kleinen Schwingungen und führt auf das bekannte Gesetz, wonach die Dauer einer Schwingung unabhängig von der Schwingungsweite ist. Bei größeren Ausschlägen ist die Fadenspannung veränderlich, und man wird sofort auf die Frage geführt, ob bei einer gleichmäßigen Verkürzung des Fadens gerade die zur Hebung erforderliche Energie der Last zugeführt wird, oder etwa eine größere oder kleinere. Man kann die Frage auch so stellen: Ist es für die Hubarbeit gleichgültig, ob die Last pendelt oder nicht? Um die Antwort zu finden, muß man das Gesetz kennen, nach dem sich die Fadenspannung f verändert, und zwar braucht man f als Funktion der Zeit, da vorausgesetzt war, daß der Faden sich in jedem Zeitteilchen um das gleiche Stück verkürzt. Bildet man dann \int_0^T\,f\,dt, wobei T die Zeit einer vollen Schwingung bedeuten soll, und vergleicht mit mgT, worin mg das Gewicht der Last angibt, so erkennt man, ob in einem oder andern Falle der „Antrieb“ = Kraft mal Zeit größer ist. Dem größeren Antrieb entspricht dann auch die größere Energiezufuhr. Für f ergibt sich mit den Bezeichnungen der Fig. 6. Textabbildung Bd. 324, S. 311 Fig. 6. f=mg\cdot \mbox{cos}\,\varphi+m\,\frac{v^2}{r} v2 = 2gh h = r cos ϕ – r cos α und durch Einsetzen und Zusammenziehen f = mg (3 cos ϕ – 2 cos α) Ferner ist t=\sqrt{\frac{l}{2\,g}}\,\int_0\alpha\,\frac{d\,\varphi}{\sqrt{\mbox{cos}\,\varphi-\mbox{cos}\,\alpha}} Es ist dies das bekannte Integral, dessen Lösung für kleine Schwingung auf das Resultat führt T=2\,\pi\,\sqrt{\frac{l}{g}} Eine Vereinigung der beiden Gleichungen für f und t führt zu großen Schwierigkeiten, so daß hier ein anderes Verfahren gewählt wurde. Es wurde nämlich der größte Ausschlag α = 45° vorausgesetzt, dann für eine Reihe Werte von ϕ, sowohl f wie t bestimmt und als Ordi-naten bzw. Abszissen in Fig. 7 aufgetragen. Zeichnet man nun noch mg ein, so ergibt schon der Augenschein, daß f durchschnittlich größer ist als mg, mithin daß das Hubwerk mehr Arbeit zu leisten hat, wenn es die pendelnde Last hebt. Die Frage nach dem Verbleib dieses Mehraufwandes von Energie kann nur dahin beantwortet werden, daß die Schwingungsenergie um jenen Mehraufwand wächst. Eine eingehende Behandlung dieser Probleme mag unterbleiben, da so große Schwingungen praktisch kaum vorkommen und da ferner die dämpfend wirkenden Widerstände, welche hier vernachlässigt wurden, sicher einen bedeutenden Einfluß ausüben. Der hier vorausgesetzte Fall der Aufhängung an nur einem Faden wird nicht häufig verwirklicht. Das Aufhängen an zwei Fäden (einfache Unterflasche) liefert aber nicht dieselben Ergebnisse. Hierbei finden keine Kreisschwingungen statt, sondern die Last bewegt sich, wenn man den Durchmesser der Seilrolle als sehr klein annimmt, auf einer Ellipse, wie sich leicht einsehen läßt. Betrachtet man z.B. Fig. 2, so erkennt man, daß die Last sich auf einer Kurve bewegt, bei deren sämtlichen Punkten die Summe der Abstände von zwei festen Punkten – den Brennpunkten – konstant ist. Zugleich ergibt der Augenschein, daß die große Achse der Ellipse nahezu wagerecht, die kleine nahezu senkrecht liegt und daß die Ellipse in der Nähe des tiefsten Punktes flacher ist, als der Kreisbogen, in dem die Schwingung bei einfachem Seil stattfinden würde. Hat die Last einen seitlichen Anstoß von bestimmter Größe erhalten, so wird sie um ein bestimmtes Stück steigen, und dieser Hebung entspricht bei der Ellipse ein größerer Ausschlag als beim Kreis. Rückt man die beiden Aufhängepunkte weiter auseinander, ohne jedoch die Höhenlage der Last zu ändern, so vergrößert man die große Achse der Ellipse bei gleichbleibender kleiner Achse immer mehr–, der einer bestimmten Hebung entsprechende Ausschlag der Last wird also auch größer: die Last pendelt bei gleicher Schwingungsenergie weiter. Nimmt man umgekehrt an, daß die Schwingungsweiten gegeben sind, z.B. dadurch, daß eine um ein bestimmtes Stück seitlich liegende Last angehoben wird, daß also der Schrägzug in beiden Fällen gleich ist, so ist die Schwingungsenergie bei der größeren Entfernung der Aufhängepunkte kleiner, wird also auch durch die Widerstände eher aufgezehrt. Textabbildung Bd. 324, S. 311 Fig. 7. Die hauptsächliche Ursache für das Pendeln der Last ist die Beschleunigung beim Anfahren und die Verzögerung beim Abbremsen einer Fahrbewegung. Es ist allerdings möglich, derartig anzufahren, daß die Last nicht mehr pendelt, wenn die Fahrbewegung (der Katze oder des Kranes) ihre volle Geschwindigkeit erreicht hat, aber gerade bei den kurzen Bewegungen einer Gießpfanne beim Ausgießen, wo das ruhige Hängen besonders wertvoll wäre, gelingt es auch dem geschicktesten Kranführer nicht, Schwingungen zu vermeiden. Für die mathematische Behandlung reduziert sich die Aufgabe darauf, daß der Aufhängepunkt eines Pendels aus der Ruhelage in die Geschwindigkeit v auf solche Weise versetzt werden soll, daß das Pendel nachher nicht schwingt, daß also die Masse m des Pendels auch die Geschwindigkeit v erreicht und gleichzeitig frei von Beschleunigung ist. Bezeichnet man den Weg des Aufhängepunktes von der Anfangslage aus gemessen mit s, den der Pendelmasse mit s', so ist der Ausschlag des Pendels s–s', und proportional diesem Ausschlag ist die Kraft, welche das Pendel in die senkrechte Lage zu führen strebt. Setzt man diese Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, so ist c\,(s-s')=m\,\frac{d_2\,s'}{dt^2} wobei c der von der Länge des Pendels abhängige Proportionalitätsfaktor und t die Zeit ist. Es ergibt sich m\,\frac{d_2\,s'}{dt^2}+c\,s'=c\cdot s und wenn man für den Weg s, der ja mit der Zeit veränderlich ist, f(t) setzt, so ist Textabbildung Bd. 324, S. 312 Fig. 8. m\,\frac{d_2\,s'}{dt^2}+c\,s'=c\,f\,(t) Die Wahl von s' = g(t) ist nun noch frei, man braucht nur zu beachten, daß bei Beginn des Vorganges (t = 0) s' = 0, die Geschwindigkeit \frac{d\,s'}{dt}=0 und die Beschleunigung \frac{d_2\,s'}{dt^2}=0 und daß später für einen Augenblick \frac{d\,s'}{dt}=v und \frac{d_2\,s'}{dt^2}=0 sein muß. Es gibt offenbar unendlich viele Funktionen g(t), welche diese Bedingungen erfüllen, und ebenso finden sich hieraus unendlich viele Funktionen f(t), also unendlich viele Möglichkeiten, die Last schwingungsfrei in Bewegung zu setzen. Es würde also auch möglich sein, für gegebene Größen von m, c und v das Anlaufen des Kranes nach einer solchen Funktion f(t) stattfinden zu lassen, indem man etwa einen selbsttätigen Schalter für den Antriebsmotor einbaut, so daß dieser stets die zur Erzeugung der Bewegungsgleichung s = f(t) erforderliche Beschleunigung erteilt. Praktisch wäre eine solche Einrichtung aber doch wertlos, weil eben die Größen m, c und v vollkommen willkürlich wechseln. Eine ganz besondere Art von störenden Bewegungen tritt bei Kranen mit einziehbarem Ausleger auf. Ihrer Eigenart wegen sind diese Bewegungen für sich in einem Aufsatze „Beitrag zur Kinematik der Krane mit einziehbarem Ausleger,“ D. P. J. 1909, Bd. 324 S. 113 von mir behandelt. Zum Schluß sollen noch die Torsionsschwingungen erwähnt werden. Hängt die Last an nur einem Seilstrange, so tritt die bekannte Erscheinung ein, daß das Seil sich aufdreht und die Last ebenfalls in Drehung versetzt. Die sogenannten drallfreien Seile sind jedoch, wenigstens bei nicht zu geringer Stärke, von diesem Uebelstande frei. Hängt die Last an mehreren Seilsträngen, so sind zunächst die sehr zahlreichen Fälle auszuscheiden, in denen die Last gegen die Flasche, meist sogar unter Anwendung von Kugellagerung, drehbar angeordnet ist. Erfährt hierbei die Last einen Anstoß zur Drehung, so wird sie so lange weiter kreiseln, bis sie durch die Reibung des Kugellagers oder durch äußere Einflüsse zur Ruhe gebracht ist. Nicht selten hängt die Last jedoch an zwei Seilsträngen, die an verschiedenen Punkten befestigt sind, z.B. bei Greifern. Hier empfiehlt sich sehr die Maßregel, ein Seil mit Rechtsdrall und eins mit Linksdrall zu versehen, da dieselben sonst das Bestreben haben, den Greifer ganz herumzuwirbeln und sich um einander zu wickeln. Im übrigen legt man die Angriffspunkte der Seile sowohl an der Last wie auch am Kran möglichst weit auseinander, um eine gewisse Widerstandsfähigkeit gegen zufällige drehende Einflüsse zu erhalten. Als Maß für diesen Widerstand kann man die Energie betrachten, welche erforderlich ist, um die Last um 180° zu drehen, diese läßt sich zudem sehr leicht berechnen. In Fig. 8 ist die ursprüngliche Lage ausgezogen, die gedrehte punktiert gezeichnet. Ist die Last mg, so ist die zur Drehung erforderliche Energie E = mgh, und wenn man h nach einfachen geometrischen Beziehungen durch a, b und l ausdrückt, so ist E=mg\,\left(\sqrt{l^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}-\sqrt{l^2-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\right) Wie zu erwarten, liefert die Formel sowohl für a = 0 wie für b = 0 auch E = 0, für den Fall a = b vereinfacht sie sich zu E=mg\,\left(l-\sqrt{l^2-a^2}\right) Ein weiteres Eingehen auf die Art der Schwingungen erübrigt sich, da es keinerlei praktisch wertvolle Resultate mehr liefert.