Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator unter Berücksichtigung der Wirkung der Anschläge am Steuerventil. Von Dipl.-Ing. Hans Hiemenz, Assistent an der Großh. Techn. Hochschule zu Darmstadt. (Fortsetzung von S. 293 d. Bd.) Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator usw. Der Verlauf des Reguliervorganges während der Einwirkung des Anschlags am Steuerventil. In der oben geschilderten Weise wäre der Vorgang verlaufen, wenn kein Anschlag am Steuerventil vorhanden gewesen wäre. Ist ein solcher vorhanden, so wird etwa nach th Sek. nach Beginn der Bewegung das Ventil plötzlich im Ansteigen gehindert werden, und es wird eine gleichbleibende Eröffnung vorhanden sein, solange es an seinem Anschlag anliegt. Eben so lange wird sich natürlich der Kolben mit konstanter Geschwindigkeit vh weiter bewegen. Wir erhalten deshalb von hier an für die Kolbenweglinie eine Gerade mit der Gleichung: k' = vh . (t – th) + kh, . . . . . . . . . . (25) wenn wir mit kh die vom Kolben zur Zeit th erreichte Stellung bezeichnen. Die Gleichung zur Berechnung der Umdrehungszahl findet sich wieder aus gleicher Ueberlegung wie früher mit Hilfe von: \frac{dn}{dt}=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot (\varphi-b)\cdot M_1, . . . . . . . (11) nur haben wir jetzt bei Bestimmung der (ϕ – b) aus Gl. 18 die neue k'-Gleichung zu benutzen. So kommt: \frac{dn'}{dt}=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_1}{k_1-k_0}\cdot (k'-k_B), oder: \frac{dn'}{dt}=\left(\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_1}{k_1-k_0}\right)\cdot \left\{v_k\cdot t-v_k\cdot t_h+k_h-k_B\right\} oder auch, wenn wir wieder die Konstanten zusammenziehen: dn' = B1 . t . dt – B2 . dt. Wir erhalten demnach für n' selbst die Beziehung: n'=\frac{B_1}{2}\cdot t^2-B_2\cdot t+\mbox{Const.} . . . . . . . . . . (26) Die Konstanten B1 und B2 ergeben sich dabei als: B_1=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_1}{k_1-k_0}\cdot v_h . . . . . (26a) und: B_2=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_t}{k_1-k_0}\cdot (v_k\cdot t_k-k_h+k_B) . . . (26b) Wir sehen, daß unter Einwirkung der konstanten Eröffnung die Umdrehungszahl sich nach einer Parabel ändert. Nun wieder zu unserm Zahlenbeispiel. Wir wollen annehmen, daß nach einer Verschiebung des Steuerventils um 1,5 mm nach oben, also um lh = – 1,5 mm bereits der Anschlag erreicht werde. Dann erhalten wir die weiterhin in Betracht kommende unveränderliche Kolbengeschwindigkeit nach Gl. 15: v_k=-\frac{0,0015}{0,0292}=-0,0514\mbox{ m/Sek.} Um th zu finden, hätten wir diesen Wert in Gl. 23 einzuführen und daraus th auszurechnen. Wir hätten demnach aus einer transzendenten Gleichung uns das th zu bestimmen, was am bequemsten und für unsere Zwecke ausreichend genau auf graphischem Weg geschieht. So findet sich: th = 0,029 Sek. Unter Benutzung dieses Wertes bestimmt sich kh aus Gl. 20 zu: kh = – 0,200 m, und damit wird die Gleichung der neuen Kolbenweglinie: k' = – 0,0514 . (t – 0,029) + 0,200 oder: k' = 0,2015 – 0,0514 . t. Die Koordinaten th = 0,029 Sek. und kh = 0,200 m geben uns in Fig. 5 den Punkt A als diejenige Stelle an, von der aus sich der Kolben gleichförmig nach der mit k' (M') bezeichneten Geraden weiterbewegen muß. Die Maßstäbe sind dabei wieder wie zuvor gewählt, gleichwohl aber stellt uns die Kurve k' nicht zugleich auch die Kurve l'2 dar, d.h. die Kurve der vom Kolben eingeleiteten Rückschiebungen des Steuerventils. Denn solange der Anschlag in Wirkung ist, ändert das Steuerventil seine Stellung nicht weiter, es bleiben also auch die l'2 ungeändert. Die zugehörige in der Figur mit l'2 bezeichnete Kurve muß sich deshalb im Punkt A von der Kolbenweglinie trennen und für sich parallel zur t-Achse weiter verlaufen. Dagegen bleibt die Linie der k' wie früher auch zugleich ein Bild der Aenderung der Momente während der Einwirkung des Anschlags. Die zur Berechnung der n'-Werte nötigen Konstanten B1 und B2 finden sich mit Gl. 26a und 26b zu: B_1=\frac{30}{\pi\cdot 10}\cdot \frac{49}{0,21-0,06}\cdot (-0,0514)=-16,04 und: B_2=\frac{30}{\pi\cdot 10}\cdot \frac{49}{0,21-0,06}\cdot (-0,0514\cdot 0,029-0,200+0,17)=-9,76. Damit kommt: n'=-\frac{16,04}{2}\cdot t^2+9,76\cdot t+\mbox{Const.} Die Konstante findet sich aus der Tatsache, daß für t = thn = nh eintreten muß. Diesen Wert erhalten wir mit Hilfe der früheren n-Gleichung (Gl. 21) zu: nh = 195,47 und damit: Const. = 195,194. Die Umdrehungszahlen berechnen sich demnach nach der Beziehung: n' = – 8,02 . t2 + 9,76 . t + 195,194. Das Maximum dieser n'-Parabel tritt ein für: tmax = 0,608 Sek. mit: n'max = 198,148 Umdr./Min. Das neue Aenderungsgesetz ist in Fig. 6 durch die ausgezogene Kurve n' dargestellt, die ihren Anfangspunkt in A mit th = 0,029 und nh = 195,47 hat. Wir sehen, daß die Parabel jetzt über die angestrebte Umdrehungszahl nB des neuen Beharrungszustandes hinweg ansteigt, wir erhalten also durch den Anschlag am Steuerventil im allgemeinen eine Ueberregulierung gegenüber dem vorher schwingungsfreien Uebergang. Gleichwohl kann unter besonderen Umständen trotzdem noch ein schwingungsfreier Uebergang möglich sein. Wann und unter welchen besonderen Voraussetzungen das möglich ist, davon soll später noch die Rede sein. Eine besondere Betrachtung erfordert jetzt die Bewegung der Tachometermuffe (vergl. Fig. 5). Sie hat selbstverständlich das Bestreben, von Punkt B aus, wo für sie die Einwirkung des Anschlags am Steuerventil beginnt, in einer der Umdrehungsparabel ähnlichen Parabel hoch zu gehen, deren Ordinaten sich leicht durch die früher angegebene Umrechnung finden lassen. Diese „angestrebte Muffenweglinie“ ist in Fig. 5 als Kurve (m') angegeben. In Wahrheit wird sich aber die Muffe nicht so bewegen können, weil ja der rechte Drehpunkt C des Tachometerhebels H (Fig. 1) durch den Anschlag in seinem Bestreben, nach oben zu gehen, festgehalten wird, also als fester Drehpunkt betrachtet werden muß. Die Muffe wird sich deshalb in Wirklichkeit mit der im Verhältnis \frac{a_1}{a_+a_2} verringerten Kolbengeschwindigkeit vh weiter bewegen. Wir erhalten so für die Muffenweglinie eine Gerade m', die unter Beachtung der gewählten Maßstäbe in Fig. 5 als Parallele zur Kolbenweglinie k' erscheinen muß. Daß sie zu dieser parallel laufen muß, läßt sich leicht auch daraus einsehen, daß ja während der Wirkung des Anschlags die Eröffnung l konstant gleich 1,5 mm sein muß, und daß doch auch, wie früher gezeigt, diese Eröffnung in der Figur als das Ordinatenstück zwischen der k'- und der m'-Kurve zum Ausdruck kommen muß. Der Knick in der Muffenweglinie bei B deutet nebenbei sehr schön die Stelle der durch das Anstoßen an den Anschlag eingetretenen Störung an. Der eben angestellten Betrachtung lag die Vorstellung zugrunde, daß sowohl die l'1 wie auch die l'2 nach den gleichen Gesetzen weiter wachsen könnten, wie die m' bez. k'. In Wahrheit werden sich aber nach Erreichung des Anschlags die l'1 ebenso wenig mehr ändern können, wie früher die l'2. Deshalb trennt sich im Punkt B die Kurve der l'1 von der m'-Linie und läuft für sich parallel zur t-Achse weiter. Die Kolbengeschwindigkeit bleibt, wie schon früher gezeigt, während der Dauer der Einwirkung des Anschlags ungeändert, die Linie der v'(l') erscheint demzufolge in Fig. 7 als Parallele zur £-Achse, die wieder von der Störungsstelle A ausgeht. Die Geschwindigkeit \frac{dl'_1}{dt}, d.h. die Geschwindigkeit, mit der das Steuerventil unter Einwirkung der tatsächlichen Tachometerbewegung nach oben strebt, fällt natürlich im Augenblick der Erreichung des Anschlags plötzlich bis auf den Wert \frac{dl'_2}{dt}=\frac{a_1}{a_2}\cdot v_h ab. Die Kurve \frac{dl'_1}{dt} erscheint deshalb in Fig. 7 als Parallele zur v-Achse, die die Punkte A und D verbindet. Entsprechend der angestrebten Muffenweglinie (m') in Fig. 5 können wir auch von einer angestrebten Linie der \frac{dl'_1}{dt} in Fig. 7 reden, die dort durch die strichpunktierte Gerade \left[\frac{dl'_1}{dt}\right] dargestellt ist. Diese Gerade muß selbstverständlich mit der Tangente an die Linie der \frac{dl_1}{dt} in Punkt B zusammenfallen und läßt sich leicht durch Differentieren der f(n, t) finden. Es fragt sich jetzt, bis zu welchem Zeitpunkt hin sich die eben geschilderte Art des Vorgangs erstrecken wird, d.h. wann sich das Ventil von seinem Anschlag wieder loslösen wird. Dazu überlegen wir folgendermaßen: Wenn die Muffe des Tachometers von der Zeit th an der angestrebten Linie (m') hätte folgen können, so hätte sich das Ventil von seinem Anschlag wegbewegen müssen, sowie die vom Tachometer aus eingeleitete Geschwindigkeit der Ventilbewegung nach oben kleiner geworden wäre als die vom Kolben aus in gleichbleibender Größe eingeleitete Geschwindigkeit nach unten. Diese Zeit ließe sich leicht finden aus der Bedingung, daß dann die Tangente an die angestrebte Muffenweglinie (m') parallel zur Kolbenweglinie k' laufen müßte. In diesem Zeitpunkt, der bei etwa t = 0,36 Sek. liegt, befindet sich aber die Muffe in einer tieferen Lage, die von der angestrebten um Am abweicht. Wenn nun auch das Tachometer vorher als durchaus empfindlich angenommen war, d.h. als eines, das keine Verstellkraft an der Muffe aufzuweisen hat, so wird es durch die Ablenkung der Muffe aus der angestrebten Stellung gleichwohl jetzt eine solche erhalten haben, die man entsprechend der Ueberlegung bei Behandlung der Unempfindlichkeit des Tachometers in erster Annäherung etwa als proportional mit der Ablenkung Am annehmen darf. Wir haben demnach eine Kraft P = C' . Δm . . . . . . . . . . (27) an der Muffe nach oben wirkend anzunehmen, so lange diese aus der angestrebten Stellung überhaupt noch abweicht. Wenn wir die vom Tachometer zu bewegenden Massen mit in die Konstante hineinziehen, so können wir auch schreiben: \frac{d^2\,m}{dt^2}=\frac{dv_m}{dt}=C\cdot \Delta\,m. Es wird demnach das Bestreben vorhanden sein, eben infolge der Einwirkung der neugebildeten Kraft P eine nach oben gerichtete Zusatzgeschwindigkeit vm an der Muffe und damit auch eine entsprechende am Steuerventil auszubilden. Diese Zusatzgeschwindigkeit würde sich immer zu entwickeln versuchen, wenn wir an irgend einer Stelle, an der überhaupt noch eine Ablenkung Am der Muffe vorhanden ist, plötzlich den Anschlag wegnähmen. Verschwinden wird dieses Bestreben der Ausbildung der Zusatzgeschwindigkeit erst dann, wenn Δm = 0 geworden ist, also im Schnittpunkt C der tatsächlichen Muffenweglinie mit der angestrebten. Demnach gibt uns der Punkt C in Fig. 5 die Zeit tl an, zu der sich das Ventil von seinem Anschlage wieder loslösen wird. Zur Berechnung der Zeit tl stellen wir die Funktion f(Δm, t) auf, aus der sich für Δm = 0 dann die beiden Zeiten th und tl finden lassen müssen. Nach den früheren Beziehungen muß der angestrebte m-Wert sein (Gl. 1): (m') = 4,285 . (n0 – n'), und hiermit kommt die Gleichung der (m')-Linie als: (m') = 34,35 . t2 – 41,82 . t + 47,03 mm. Weiter findet sich unter Benutzung der früher gegebenen Gleichungen: mh = 45,83 mm, während die Geschwindigkeit der Muffe auf ihrem tatsächlichen Weg wird: \begin{array}{rcl}v_m\,h=\frac{a_1}{a_1+a_2}\cdot v_k=-\frac{0,0514}{3}&=&-0,01713\mbox{ m/Sek.}\\ &=&-17,13\mbox{ mm/Sek.}\end{array}. Für die tatsächliche Muffenweglinie dürfen wir allgemein die Gleichung ansetzen: m' = mh + vmh . (t – th), . . . . . . . . . . (28) oder bei Einsetzung der Zahlenwerte: m' = 45,83 – 17,13 (t – 0,029) oder: m' = 46,33 – 17,13 . t, woraus sich m' direkt in mm ergibt. Nun muß sein: Δm = (m') – m', und hiermit kommt: Δm = 34,35 . t2 – 24,69 . t + 0,70. Aus dieser quadratischen Gleichung erhalten wir durch Nullsetzen von Am die beiden Werte: th = 0,029 Sek. und tl = 0,68 Sek. Der Verlauf des Reguliervorganges nach Aufhören der Einwirkung des Anschlags am Steuerventils. Zur Zeit tl = 0,68 Sek. wird das Steuerventil wieder frei, damit ist die Bewegungsfähigkeit des ganzen Getriebes wieder genau die gleiche, wie vor Erreichen des Anschlags und es gelten deshalb auch wieder die früher verwendeten Beziehungen, nur daß wir jetzt von anderen Anfangsbedingungen auszugehen haben als zur Zeit t = 0 Zugleich ist jetzt auch ΔM negativ geworden, und die Tourenzahl muß infolgedessen noch weiter absinken, als dies im Punkt C der Fig. 6 schon der Fall ist. Die in Betracht kommenden Anfangswerte für die Zeit t = tl berechnen sich mit den Gleichungen des letzten Abschnittes zu: kl = 0,1666 m; nl = 198,131 Umdr./Min. l1l = 51,67 mm; vl = vh = – 0,0514 m/Sek. Die Gleichungen 20b und 20c liefern uns jetzt zur Berechnung der Koeffizienten c1'' und c2'' die Beziehungen: c1'' + c2'' + 0,17 = 0,1666 und: – 6,37 . c1'' – 10,75 . c2'' = – 0,0514. Hieraus findet sich: c1'' = – 0,0201 und: c2'' = + 0,0167, so daß die Gleichung der neuen Kolbenweglinie lautet (vergl. Gl. 20): k''=-0,0201\cdot e^{-6,37}\cdot (t-t_l)+0,0167\cdot e^{-10,75\cdot (t-t_l)}+0,17. Die Auswertung dieser Gleichung geschieht wieder in der nämlichen Weise wie schon früher (vergl. Fig. 4). Die k''-Linie beginnt in Fig. 5 im Punkt D und zwar naturgemäß in der Richtung der vorhergehenden k'-Linie. Der Kolben steigt also zunächst noch etwas weiter an, wobei sich seine Geschwindigkeit mehr und mehr verringert, und erreicht schließlich in E seine höchste Stellung, um von dort aus wieder abzusinken. Was das genauer zu bedeuten hat, soll nachher noch besprochen werden. Entsprechend dem neuen Kolbenbewegungsgesetz ändern sich natürlich auch hier wieder die Momente. Die jetzt in Betracht kommenden Werte der Umdrehungszahl dürfen nicht nach Gl. 21 berechnet werden, weil wir dort den besonderen Fall hatten, daß die Anfangsgeschwindigkeit der Kolbenbewegung = 0 war, was jetzt nicht mehr der Fall ist. Die der Gl. 21 für den allgemeinen Fall, daß der Kolben zur Zeit t = tl eine gewisse Geschwindigkeit hat, entsprechende Formel läßt sich ebenso wie Gl. 21 selbst herleiten, doch ist der Weg bis dahin wesentlich umständlicher als früher und es soll deshalb hier etwas anders vorgegangen werden. Allgemein gilt: dn''=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot (\varphi-b)\cdot M_1\cdot dt . . . (11) oder mit Benutzung der Gl. 18 sowie der Gl. 20: dn''=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_1}{k_1-k_0}\cdot \left\{c_1''\cdot e^{\rho_1\cdot (t-t_l)}+e_2''\cdot e^{\rho_2\cdot (t-t_l)}+\frac{K}{C_4}-k_B\right\}\,.\,dt. Bedenken wir, daß \frac{K}{C_4}=k_B, so erhalten wir beim Integrieren: n''=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_1}{k_1-k_0}\cdot \left\{\frac{c_1''}{\rho_1}\cdot e^{\rho_1\cdot (t-t_l)}+\frac{c_2''}{\rho_2}\cdot e^{\rho_2\cdot (t-t_l)}\right\}+\mbox{Const.} oder auch beim Zusammenziehen der Konstanten: n''=A_1''\cdot e^{\rho_1\cdot (t-t_l)}+A_2''\cdot e^{\rho_2\cdot (t-t_l)}+\mbox{Const.} [21] Die Konstanten bestimmen sich dabei zu: A_1''=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_1}{k_-k_0}\cdot \frac{c_1''}{\rho_1} . . . . [21a] und: A_2''=\frac{30}{\pi\cdot J}\cdot \frac{M_1}{k_1-k_0}\cdot \frac{c_2''}{\rho_2} . . . . . [21b] Die Kurve der n'' muß zur Zeit t = tl sich von der vorher gültigen, also von der Parabel, tangential loslösen, sie muß also in Fig. 6 in C mit der gleichen Richtung beginnen, die dort die Parabel gerade hat. Mit den vorhin berechneten Werten c1'' und c2'' bestimmen sich jetzt die in Frage kommenden Koeffizienten A1'' und A2' unter Beachtung von Gl. [21a] und [21b] zu: A_1''=\frac{30}{\pi\cdot 10}\cdot \frac{49}{0,21-0,06}\cdot \left(\frac{-0,0201}{-6,37}\right)=+0,985 und: A_2''=\frac{30}{\pi\cdot 10}\cdot \frac{49}{0,21-0,06}\cdot \left(\frac{+0,0167}{-10,75}\right)=-0,485. Die Berechnung der Integrationskonstanten erfolgt genau wie früher aus der Bedingung, daß zur Zeit t = tl sich n = n1 = 198,131 ergeben muß, und liefert: Const. = 197,631, d.h. wieder die Umdrehungszahl des neuen Beharrungszustandes „B.“ Damit wird die Gleichung der n''-Linie: n''=0,985\cdot e^{-6,37\cdot (t-t_l)}-0,485\cdot e^{-10,75\cdot (t-t_l)}+197,631. Die n'' ergeben sich damit, wie in Fig. 6 gezeichnet, und wir sehen, daß die Umdrehungszahl eben wieder asymptotisch der des neuen Beharrungszustandes zustrebt. Entsprechend der Linie n'' findet sich in Fig. 5 die ihr ähnliche Linie m'', die sich ja nach Verlassen des Anschlags wieder genau entsprechend den wirklich vorhandenen Umdrehungszahlen entwickeln wird. Die Kurve m'' gibt uns zugleich auch wieder einen Maßstab für den Wert l1'' am Steuerventil und muß deshalb die Kurve der k'', die ja gleichzeitig auch über die Größe der l2'' Auskunft gibt im Maximum, d.h. im Punkt E durchsetzen. Auch hier gilt wieder die alte Beziehung, daß die Ordinatenstücke zwischen den beiden Kurven zugleich die Eröffnung darstellen, und im Punkt E ist ja die Kolbengeschwindigkeit gleich Null geworden, muß mithin auch die Eröffnung Null geworden sein. Hinter der Ueberschneidungsstelle treten dann erst wachsende und später wieder abnehmende Eröffnungen ein bis etwa zum Punkt F hin. Aber diese Eröffnungen zählen jetzt in umgekehrtem Sinn. Wir haben jetzt positive Eröffnungen f2. Der Vorgang würde nun wie hier gezeichnet nach F zu weiterhin nur dann verlaufen können, wenn für die Eröffnung f2 die gleichen Arbeitsverhältnisse einträten wie für f1. Aber wie bei Pfarr bei Berechnung des einfach wirkenden hydrostatischen Regulators gezeigt wird, ist das im allgemeinen nicht der Fall, und wir werden deshalb noch eine besondere Untersuchung darüber anstellen müssen, was hinter dem Punkt E eigentlich geschieht. Die unten in Fig. 5 noch gezeichneten Kurven geben die wirklichen Werte l1'' und l2'' an, die von den durch Anschlag künstlich unverändert gehaltenen Werten l1' und l2' bei t = tl ihren Ausgang nehmen müssen. Die Werte der Kolbengeschwindigkeit v'' berechnen sich unter Einsetzung der neuen Werte c1'' und c2'' nach Gl. 23 mit Hilfe der Beziehung: v''=0,0201\cdot 6,37\cdot e^{-6,37\cdot (t-t_l)}-0,0167\cdot 10,75\cdot e^{-10,75\cdot (t-t_l)}. Wir sehen aus Fig. 7, daß die v'' zunächst sehr rasch abfallen, womit dann auch ein sehr rasches Abschließen verbunden ist, weil nach Früherem die Kurve der v'' zugleich auch die noch vorhandenen Eröffnungen l'' angibt. Für t = 0,757 Sek. schneidet die v''-Kurve die t-Achse, dort ist also die Eröffnung f1 = Null geworden, und es wird jetzt der andere Steuerquerschnitt f2 aufgemacht. Diese Eröffnungen nehmen zunächst noch rasch, dann langsamer und langsamer zu und erreichen bei etwa t = 0,9 Sek. ihren Höchstwert. Von da ab nähert sich die Linie v'' dann wieder asymptotisch der t-Achse, praktisch aber wäre bei t = ∾ 1,6 Sek. die Geschwindigkeit Null geworden und damit auch die Eröffnung am Steuerquerschnitt verschwunden. Genau wie früher beim Erreichen des Anschlags fällt auch jetzt wieder beim Verlassen die vom Steuerventil infolge der tatsächlichen Bewegung der Muffe angestrebte Geschwindigkeit ganz plötzlich ab, und zwar auf \frac{dl_1''}{dt}=\sim+0,00725 m/Sek. Diesem Abfall entspricht die Gerade DC in Fig. 7. Von C aus entwickeln sich die \frac{dl_1''}{dt} dann wie dort gezeichnet und müssen nach der früheren Ueberlegung auch hier wieder die Eröffnungskurve bei der größten negativen Eröffnung überschneiden. Bei F ist dann die Kurve praktisch als mit der Eröffnungskurve zusammenfallend zu betrachten. Schon weiter oben wurde erwähnt, daß infolge anderer Arbeitsverhältnisse für das Abwärtsgehen des Servomotorkolbens von dem Punkt E aus ein etwas anderer Verlauf des Vorgangs zu erwarten steht. Die Differentialgleichung 19 bleibt zwar auch dort noch völlig zu Recht bestehen, aber der Koeffizient C2 ändert seine absolute Größe, weil sich nach der von Pfarr angegebenen Berechnungsweise und unter Beachtung der weiter vorn gemachten Annahme über die Widerstandskräfte (s. Fußnote S. 289) nur noch eine Durchströmgeschwindigkeit w2 = 4,43 m/Sek. an Stelle der früheren w1 = 5,12 m/Sek. im Steuerquerschnitt f2 ergibt. Damit berechnet sich jetzt der neue Koeffizient C2' als: c_2'=C_2\cdot \frac{w_1}{w_2}=0,0292\cdot \frac{5,12}{4,43}=0,0337. Die neue Differentialgleichung (Gl 19) lautet demnach: 0,0337\cdot \frac{d^2k}{dt^2}+0,5\cdot \frac{dk}{dt}+2\cdot k=0,34. Zur Bestimmung der ρ-Werte erhalten wir jetzt die Beziehung: 0,0337 . ρ2 + 0,5 . ρ + 2 = 0, und hiermit kommt: ρ1 = – 7,42 + 2,078 . i und ρ2 = – 7,42 – 2,078 . i. Die ρ sind demnach hier komplexe Werte von der Form: ρ1; 2 = a ± i . b und wir müssen deshalb sowohl für die Kolbenweglinie wie auch für die n-Kurve einen periodischen Verlauf erhalten. Die Gleichung unserer Kolbenweglinie lautet jetzt allgemein: k'''=c_1'''\cdot e^{(\alpha+i\cdot b)\cdot (t-t_E)}+c_2'''\cdot e^{(\alpha-i\cdot b)\cdot (t-t_E)}+\frac{K}{C_4} . (29a) Auch läßt sie sich in zwei anderen Formen noch anschreiben, die unter Umständen für die ziffernmäßige Rechnung beide ihre Vorteile haben können. Die umgeformten Ausdrücke lauten: k'''=e^{\alpha\cdot (t-t_E)}\cdot \{A\cdot \mbox{cos}\,(b\cdot (t-t_E))+B\cdot \mbox{sin}\,(b\cdot (t-t_E))\}+\frac{K}{C_4} . . . . . (29b) und k'''=e^{\alpha\cdot (t-t_E)}\cdot \sqrt{A^2+B^2}\cdot \mbox{sin}\,(b\cdot (t-t_E)+\varphi)+\frac{K}{C_4} . (29c) Hierbei sind die A und B Konstanten, die sich aus den Anfangsbedingungen berechnen lassen, und weiter ist zu setzen: \mbox{tg}\,\varphi=\frac{A}{B} Als Werte im Punkt E finden sich mit tE = 0,757 Sek.: kE = 0,1649 m; nE = 198,021 Umdr./Min. vE = 0; lE = 0 ME = 34,28 kg/m; \left(\frac{dl_1}{dt}\right)_E=+0,0106 m/Sek. Unter Beachtung, daß: a = – 7,42 und b = 2,078 kommt bei Benutzung der letzten Beziehung (Gl. 29c): k'''=A'\cdot e^{-7,42\cdot (t-t_E)}\cdot \mbox{sin}\,(2,078\cdot (t-t_E)+\varphi)+0,17. Für t – tE = 0 muß eintreten kE und \frac{dk}{dt}=0. Damit findet sich: kE = A' . sin ϕ + 0,17 = 0,1649 und: \left(\frac{dk}{dt}\right)_{t=t_E}=-A'\cdot 7,42\cdot \mbox{sin}\,\varphi+A'\cdot 2,078\cdot \mbox{cos}\,\varphi-0 Aus diesen beiden Beziehungen berechnet sich: ϕ = 15°40', oder im Bogenmaß gemessen: ϕ = 0,2734 und weiter: A' = – 0,0189. So erhalten wir schließlich für die neue Kolbenweglinie die Beziehung: k'''=-0,0189\cdot e^{-7,42\cdot (t-t_E)}\cdot \mbox{sin}\,(2,078\cdot (t-t_E)+0,2734)+0,17. Die mit Hilfe dieser Gleichung berechneten k'''-Werte erweisen sich aber als so wenig von den k''-Werten zwischen E und F in Fig. 5 abweichend, daß sich die beiden Kurven in der Figur nicht mehr auseinander halten lassen. Freilich würde nach dem früher Gesagten ein Uebergang mit Schwingungen um die Linie k = 0,17 eintreten müssen, aber schon kurz hinter dem Punkt F fällt die k'''-Linie praktisch mit dieser Geraden zusammen, würde sie aber der Rechnung nach erst bei etwa t = 2,14 Sek. schneiden. Der Schnitt ist also so flach, daß wir ein direktes Zusammenfallen mit der Linie k = 0,17 für den weiteren Verlauf annehmen dürfen. Das erhellt weiter auch noch aus der großen Periodendauer, die für die Schwingung eintritt. Die Periode würde sein: T=\frac{2\,\pi}{b}=\frac{2\,\pi}{2,078}=3,025\mbox{ Sek.} Auch hieraus ist ersichtlich, daß der Verlauf so flach sein wird, daß sich ein Unterschied zwischen den wirklich eintretenden Werten k''' und dem Wert k = 0,17, um den die Schwingung erfolgt, praktisch nicht mehr machen läßt. Wenn aber die k'''-Linie direkt als mit der k''-Kurve hinter E zusammenfallend betrachtet werden darf, so heißt das zugleich auch, daß der Verlauf der übrigen Kurven hinter tE = 0,757 Sek. sich nicht mehr wesentlich gegenüber dem der dort bereits gezeichneten Kurven ändern kann, weil diese ja alle in ihrem Verlauf von dem der k-Linie abhängen. Es ist deshalb nicht nötig, die Betrachtungen in dieser Richtung weiter fortzusetzen. (Schluß folgt.)