Das Planimeter Weber-Kern von Dipl.-Ing. A. Watzinger, Darmstadt. Das Planimeter Weber-Kern. Textabbildung Bd. 324, S. 344 Fig. 1. Das von Kern &Go. in Aarau hergestellte Planimeter Weber-Kern (Fig. 1) besteht aus drei Teilen: der Gleitschiene PP (Fig. 3), welche durch zwei Spitzen auf der Unterlage befestigt wird, dem Fahrarm a, dessen eines Ende den Fahrstift F trägt, während das andere D durch Führungsstift in der Gleitschiene gerade geführt wird, und dem mit Millimeterteilung versehenen Meßarme M, der rechtwinklig zum Fahrarm in D eingesetzt wird. Die Ablesung der Skala erfolgt aus der Relativverschiebung des Meßarms gegen ein Rädchen R, dessen prismatische Führung am Meßarm einen Nonius trägt. Das Rädchen R, dessen Form für die Beurteilung des Planimeters unwesentlich ist, ist zur Sicherung der Reibung gegen die Unterlage mit Zähnen versehen. Das Planimeter bildet eine konstruktiv vereinfachte Abart des bekannten Amsler-Planimeters. Die wesentliche Abänderung beruht in dem Ersatz der Lenkerführung des Fahrarms durch Linealführung und der Meßrolle durch Meßarm. Es ergeben sich hierdurch Abweichungen, welche einen knappen Hinweis auf die rechnerische Grundlage des Planimeters rechtfertigen. Eine beliebige Bewegung des Fahrstiftes F eines Planimeters kann aufgefaßt werden als zusammengesetzt aus zwei Bewegungen, einer, welche senkrecht zur Fortschreitrichtung der Meßrolle M (Fig. 2) bzw. der Richtung des Meßarmes M (Fig. 3) erfolgt, und einer, die in diese Richtung fällt. Erstere Bewegung, durch die keine Skalenverschiebung eintritt, entspricht im Amsler-Planimeter (Fig. 2) einer Verschiebung des Fahrstiftes auf dem um den Pol P beschriebenen „Nullkreis,“ bei Weber-Kern einer Drehung des Fahrstifts um den gerade geführten Punkt D. Je nach der Lage von D auf der festliegenden Gleitschiene PP ergeben sich somit bei Weber-Kern beliebig viele Nullkreise, während das Amsler-Planimeter nur den um den festliegenden Pol beschriebenen Nullkreis besitzt. Reines Abrollen der Meßrolle ohne Gleiten entspricht bei Amsler (Fig. 2) einer Verdrehung des Fahrarmes um D. Die Meßlänge ist c . β, wenn c den Abstand der Meßrolle von dem Drehpunkte D bezeichnet. Der Verschiebungsweg der Rolle verhält sich somit zu dem des Fahrstiftes wie die Abstände der Rollenscheibe und des Fahrstifts F vom Drehpunkt D. Bei Weber-Kern tritt die größte Skalenverschiebung ein, wenn der Fahrarm senkrecht zur Gleitschiene steht (Fig. 3, dünne Linien), da in diesem Falle der Meßarm in dem stillstehenden Meßrädchen R um den Verschiebeweg des Punktes D fortschreitet, also die gleiche Meßlänge anzeigt, wie der Fahrstift. Textabbildung Bd. 324, S. 345 Fig. 2. Amsler-Polarplanimeter. Textabbildung Bd. 324, S. 345 Fig. 3. Lineal-Planimeter Weber-Kern. Eine beliebige Bewegung kann bei Amsler als Drehung um D und Verschiebung auf dem Nullkreis, bei Weber-Kern als Verschiebung parallel zur Linealführung und Drehung um D aufgefaßt werden. Der Zusammenhang zwischen Ablesung am Meßrädchen und der zumessenden Fläche findet sich durch folgende Ueberlegung. Die in Fig. 4 eingezeichnete Fläche 1 2 3 4 ist durch zwei gleiche Strecken l, welche der Gleitschiene parallel laufen und durch zwei um D und Dl mit dem Radius a beschriebene Nullkreise begrenzt. Der Inhalt der Fläche ist mit den Bezeichnungen der Figur l . h, wobei h = a (sin β – sin β1). Die zur Gleitschiene parallele Bewegung des Fahrstiftes von 2 nach 3 und von 4 nach 1 je um die Strecke l ist von einer achsialen Verschiebung des Rädchens R auf dem Meßarm begleitet, welche von der Neigung des Fahrarmes gegen die Gleitschiene abhängig ist und die Größe l sin β, bzw. l sin β1 besitzt, indem das Rädchen bei der Verschiebung von D nach Dl in der zum Meßarm senkrechten Richtung des Fahrarmes wandert Da beim Durchlaufen der Kreisbogen 1, 2 und 3, 4 das Rädchen R nur abrollt, ohne fortzuschreiten, entspricht die gesamte Verschiebung des Meßrädchens auf dem Meßarm beim Umfahren der ganzen Figur dem Unterschiede der Ablesungen bei der Parallelverschiebung l sin β – l sin β1. Da der zu messende Flächeninhalt die Größe l . a (sin β – sin β1) besitzt, ist somit die Ablesung am Meßarm nur noch mit der Länge des Fahrarms (a meist = 200 mm) zu multiplizieren, um den Inhalt der umfahrenen Fläche zu erhalten. Die Größe a ist die Konstante des Planimeters. Der Umfahrungssinn ist für die Ablesung gleichgültig. Diese Entwicklung besitzt allgemeine Gültigkeit, da jede beliebige Fläche (Fig. 5) zerlegt gedacht werden kann in eine genügend große Zahl derartiger Flächen, welche durch Nullkreise und zur Gleitschiene parallele Strecken begrenzt sind. Textabbildung Bd. 324, S. 345 Fig. 4. Zusammenhang zwischen Meßlänge und Flächengrüße. Weg des Meßrädchens; Weg des Fahrstiftes F. Wird die zu umfahrende Kontur aus Nullkreisabschnitten und Parallelen zu PP ersetzt gedacht, wobei darauf zu achten ist, daß durch den Ersatz keine Aenderung der Flächengröße der Figur eintritt, so ist, genau wie für die Grundfigur 4 auch in Fig. 5 der durch die Summe der Einzelstreifen gebildete Flächeninhaltproportional der Summe der mit dem zugehörigen Sinus des Neigungswinkels multiplizierten horizontalen Grenzlinien der Flächenelemente, da beim Durchlaufen der Kreisbogen keine Verschiebung des Meßrädchens eintritt. Insofern die Unterteilung der zu planimetrierenden Figur beliebig bzw. auch unendlich klein gewählt werden kann, ist damit erkannt, daß für jede beliebige Figur die auf dem Meßarm abgelesene Rollenverschiebung durch Multiplikation mit der Länge des Fahrarms die Flächengröße der Figur angibt. Es ist als Vorteil des Instruments zu betrachten, daß es keine andere Konstante als die Fahrarmlänge benötigt, die leicht kontrolliert werden kann. Die Lage des Rädchens auf dem Meßarm und sein Durchmesser sind für die Ablesung gleichgültig. Textabbildung Bd. 324, S. 345 Fig. 5. Planimetierung einer beliebigen Figur. Die Anwendungsmöglichkeit des Planimeters ist begrenzter als die des Amsler-Planimeters, da einerseits die Länge der Gleitschiene, andererseits die Länge des Meßarms begrenzt ist. Es ist aus diesem Grunde für die Planimetrierung größerer Figuren ungeeignet, da dann sehr leicht ein Anlaufen des Rädchens an einem Ende des Meßarmes eintreten kann, welches, wenn es nicht bemerkt wird, falsche Ablesungen herbeiführt. Größere Flächen können nur durch Zuhilfenahme von Zwischenablesungen planimetriert werden, indem das Rädchen vor dem Anlaufen abgelesen und dann auf eine beliebige Stelle zurückgeschoben wird, welche die Anfangsablesung der weiteren Umfahrung bildet. Bei Diagrammplanimetrierungen wird das Rädchen, um Anlaufen zu vermeiden, am zweckmäßigsten so eingestellt, daß es annähernd in der Mitte des Meßarms steht, wenn der Fahrstift sich ungefähr in der Mitte der Figur befindet. Letztere ist dabei so zu legen, daß das Rädchen möglichst geringe Verschiebungswege macht, da hierdurch die Genauigkeit der Ablesung gesteigert wird. Dies bedingt einerseits, daß die horizontalen Abstände der begrenzenden Nullkreise möglichst klein, anderseits aber auch die Ausschläge des Fahrarms gegenüber der Gleitschiene möglichst, klein sind. Es empfiehlt sich daher meist das Diagramm nahe an die Gleitschiene so zu legen, daß seine größte mittlere Länge mit einem Nullkreis zusammenfällt (Fig. 5). Die Genauigkeit der Ablesung ist in der jetzigen Ausführung geringer wie die des Amsler-Planimeters. Um zu großen Ausschlagwinkel und zu große Länge des Meßarms zu vermeiden, kann nämlich die Länge des Fahrarms nicht kleiner als etwa 20 cm ausgeführt werden, so daß die Ablesungen nur die Hälfte der Flächenwerte angeben, während bei Amsler bei etwa gleicher Fahrarmlänge die Abrollung die doppelte Größe und damit auch doppelte Genauigkeit besitzt. Durch den auf die Stiftführung in der Gleitschiene ausgeübten Seitendruck kann ein Herausspringen des Führungsstiftes D eintreten, durch das die Ablesung unbrauchbar wird. Eine Ausbildung dieser Führung als Schlittenführung ist zu erwägen, da hierdurch auch ruhigeres Gleiten ohne störende Nebengeräusche ermöglicht würde, freilich wird damit die Gefahr von Klemmungen größer. Für Diagrammplanimetrierung kann auch der Meßarm umgekehrt in den Führungskopf gesteckt werden, um den Raum unterhalb der Gleitschiene frei zu halten. Hat nach vorstehendem das Weber-Kernsche Linealplanimeter auch nicht die allgemeine Bedeutung des Amslerschen Polarplanimeters, so kann es doch wegen seiner Einfachheit, wegen der Vermeidung von Teilen, deren Abnutzung die Angaben beeinflußt, sowie wegen der leichten Kontrolle der Konstante für Diagrammausmittlungen nutzbringend verwendet werden und gestattet bei einiger Uebung ein ähnlich zuverlässiges Arbeiten wie das Amsler-Planimeter. Den außerdem bestehenden noch einfacheren Planimetern ist es an Genauigkeit und Zuverlässigkeit überlegen. Seine geringere Empfindlichkeit macht es auch transportfähiger als kompliziertere Planimeter, so daß es sich namentlich auch als Taschenplanimeter gut eignet.