Zur Theorie der Fliehkraftregler. Von Dr.-Ing. R. Löwy. Zur Theorie der Fliehkraftregler. Einen ganz eigenartigen Fliehkraftregler erhält man bei Führung von Schwunggewichten durch Blattfedern. Derartige Regulatoren sind unter dem Namen Brown-, Spacke-, Pickeringscher Regulator u.s. w. bekannt, und wurden vor Dezenien gebaut. Ein neueres Ausführungsbeispiel – von der Lombard Governor Co. herrührend – ist in Fig. 1 dargestellt. Die Lombard Governor Co. wendet diesen Fliehkraftregler an ihren bekannten hydraulischen Regulatoren an. Textabbildung Bd. 324, S. 470 Fig. 1. Die nachstehenden Ausführungen bezwecken nun die Theorie derartiger Fliehkraftregler, soweit sie die statischen Verhältnisse betrifft, darzulegen, und dabei werden sich die Gesichtspunkte unter denen eine Verwendung dieser Regler erfolgen kann, ohne weiteres ergeben. Die Wirkungsweise eines Reglers nach Fig. 1 ergibt sich aus folgendem: Auf der hohlen festen Spindel S1 befindet sich die rotierende Muffe M1, die mit einem Antriebzahnrade starr verbunden ist. Oberhalb der festen Spindel S1 ist die zweite gleichfalls nicht rotierende Spindel S2 angeordnet, die aber in ersterer in der Achsenrichtung gleiten kann. Auf dieser Spindel S1 befindet sich die Muffe M2, die außer der rotierenden Bewegung auch eine gleitende Bewegung längs der Spindel vollführt und dadurch die Spindel S2 mitnimmt. An der Spindel S2 greift ferner die Zugstange Z an, die mittels einer Hebelübersetzung durch eine seitlich angeordnete Spiralfeder belastet wird. Die Blattfedern, deren insgesamt vier vorhanden sind, tragen in der Mitte je eine Schwungkugel und sind die Enden der Federn in den Muffen M1M2 befestigt. Bei einer Rotation des Systems bewegen sich die Schwungkugeln infolge der Fliehkraft nach außen, die Blattfedern verkürzen sich in der Achsenlänge und die Muffe M2 bewegt sich nach abwärts und nimmt die Spindel S2 mit. Diese Spindel ist noch mit dem durch die hohle Spindel S1 hindurchgehenden Stifte S verbunden, der das unterhalb des Reglers befindliche Steuerventil betätigt. In einer relativen Gleichgewichtslage des Reglers hält somit die Eigenkraft der Blattfedern sowie die der Spiralfeder der Fliehkraft der Schwungkugeln das Gleichgewicht. Will man den Ungleichförmigkeitsgrad, den Muffendruck usw. dieses Reglers untersuchen, so handelt es sich um Aufsuchung der Bedingungen für das relative Gleichgewicht. In erster Linie ist dabei die Deformation der Blattfeder, d.h. ihre Längs- und Querfederung bei verschiedenen Längs- und Querbelastungen zu bestimmen. Textabbildung Bd. 324, S. 470 Fig. 2. I. Die Formänderung der Blattfeder. Wir gehen von der Annahme aus, ein stabförmtger Körper, der an beiden Enden fest eingespannt sei, werde in der Mitte mit der Kraft 2P und in der Längsrichtung mit der Kraft Q belastet. Der symmetrische Kraftangriff ergibt ein Zerfallen des Körpers in vier symmetrisch gelegene Teile, und genügt es, wenn wir die weiteren Betrachtungen nur auf einen derartigen Teil, der von einem Ende mit horizontaler Tangente bis zum nächsten Wendepunkte reicht, ausdehnen. In Fig. 2 ist der entsprechende Teil des Stabes dargestellt. Im Punkte A ist der Stab in horizontaler Richtung fest eingespannt und wirkt daselbst die Kraft Q (positiv) nach auswärts; daselbst ist das Biegungsmoment am größten und im Wendepunkte B ist das Biegungsmoment Null. Das Koordinatensystem soll in der in der Abbildung angedeuteten Weise gelegt werden. In einem beliebigen Punkte C hat man sich nun eine vertikal nach aufwärts wirkende Kraft P und eine horizontal wirkende Kraft Q angebracht zu denken, und beträgt daher das Biegungsmoment in dem betreffenden Punkte M = Px – Qy. Wir gehen nun von der Gleichung der elastischen Linie -E\,\Theta\,\frac{d^2\y}{dx^2}=M=Px-Qy aus, und setzen nach dem Vorgange Grashofs (Elastizitäts- und Festigkeitslehre, S. 152) \frac{P}{E\,\Theta}=p^2 und \frac{Q}{E\,\Theta}=q^2 und wollen weiterhin zur Vereinfachung kurzweg von den Kräften p und q sprechen. Die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet dann \frac{d^2\,y}{d\,x^2}=-p^2\,x+q^2\,y . . . . . . (1) Nach zweimaliger Differentiation erhält man \frac{d^4\,y}{d\,x^4}=+q^2\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2} und hieraus folgt nach durchgeführter Integration \frac{d^2\,y}{d\,x^2}=-p^2\,x+q^2\,y=C_1\,e^{+qx}+C_2\,e^{-qx} Die Integrationskonstanten ergeben sich aus den Grenzbedingungen x = 0, y = 0 und x = ξ; \frac{dy}{dx}=O somit aus den Beziehungen: C1+ C2 = 0 und C1qe + qξ – C2qe – qξ = – p2 Man erhält dann die Gleichung der elastischen Linie in der Form q^2\,y=p^2\,x-\frac{p^2\,q^{qx}-e^{-qx}}{q\,e^{q\,\xi}+e^{-q\,\xi}} Aus dieser Gleichung kann man die uns interessierende Querfederung η des Stabes (Feder) bestimmen, indem man x = ξ setzt, und erhält man mit Einführung der hyperbolischen Funktionen q^2\,\eta=p^2\,\xi\,\left[1-\frac{\mbox{Tg}\,(q\,\xi)}{q\,\xi}\right] Zur weiteren Vereinfachung werde für das Produkt qξ = α eingeführt, und somit ergibt sich für die Querfederung \eta=\xi \cdot \frac{p^2}{q^2}\,\left[1-\frac{\mbox{Tg}\,\alpha}{\alpha}\right] . . . . . (2) Aus dieser Gleichung ist die Abhängigkeit der Querfederung von den Kräften p, q sowie von der Längsfederung ξ ersichtlich. Will man nun des weiteren die Längsfederung bestimmen, so hat man zu berücksichtigen, daß bei einer Deformation der Feder die Länge derselben nur durch Dehnung infolge der Kraft Q vergrößert wird; die Einlenkung selbt rührt von der Formänderung der Feder her. Nachdem aber für unsere Betrachtungen einerseits die Kraft Q gegenüber der Kraft P sehr klein ist, andererseits die verhältnißmäßige Längsdehnung der Mittellinie der Feder gegenüber ihrer Länge verschwindend klein ist, so genügt es vollständig, wenn wir die Länge der Feder s, respektive 4s, als unveränderlich ansehen. In gekrümmten Zustande ergibt sich nun die Länge der Feder als das bestimmte Integral \int_0^s\,ds=\int^\xi\,\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx wobei als Grenzen die Werte 0 und ξ einzusetzen sind. Unter Annahme geringer Krümmung der Feder überhaupt, so daß \frac{dy}{dx} ein kleiner Bruch ist, kann der Ausdruck unter dem Integralzeichen nach dem binomischen Lehrsatze entwickelt werden und man erhält dann: \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}=1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=1+\frac{1}{2}\,\left[\frac{p^2}{q^2}\,\left(1-\frac{e^{qx}+e^{-qx}}{e^{q\,\xi}+e^{q\,\xi}}\right)\right]^2 Führt man die angezeigte Operation aus und integriert nach x innerhalb der Grenzen 0 bis ξ, so erhält man in vereinfachter Schreibweise: s=\xi+\xi\,\left(\frac{p}{q}\right)^4\,\left[\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\,\frac{\mbox{Tg}\,\alpha}{\alpha}+\frac{1}{4\,\mbox{Cos}^2\,\alpha}\right] Die Gleichung gibt uns nun eine zweite Beziehung zwischen den in Betracht kommenden Größen und zur Vereinfachung führen wir für die Funktion \frac{1}{2}-\frac{3}{4}\,\frac{\mbox{Tg}\,\alpha}{\alpha}+\frac{1}{4\,\mbox{Cos}^2\,\alpha}=F\,(\alpha) ein; somit wird p=q\,\sqrt[4]{\frac{s-\xi}{\xi\,F\,(\alpha)}} . . . . . . . . . . (3) Trägt man der zuletzt gewonnenen Beziehung in Gleichung (2) Rechnung, so erhält man schließlich für die Querfederung \eta=\xi\,\left(1-\frac{\mbox{Tg}\,\alpha}{\alpha}\right)\,\sqrt{\frac{s-\xi}{\xi\,F\,(\alpha)}} . . . (4) Es ist vorteilhaft, sich bei Interpretation der Gleichungen (3), (4) vorzustellen, die Blattfeder von der Länge s sei auf die konstante Länge ξ verkürzt. Dann ergibt sich für jede Längsbelastung Q resp. q aus Gleichung 3 die entsprechende Querbelastung P resp. p und aus Gleichung (4) die entsprechende Querfederung η. Die Abhängigkeit der Größe p von q erscheint bei gegebener Einlenkung ξ vornehmlich durch die Funktion F(α) bestimmt. Diese Funktion steigt für die Werte α = Null bis Unendlich von 0 bis 0.5. Zur weiteren Interpretation ist es nun vorteilhaft, auf Grenzfälle überzugehen. Macht man zunächst die Annahme, p und q unendlich groß werden zu lassen, so kann die entsprechende Lösung wohl keinem praktisch eintretenden Fall entsprechen, umsomehr als ja bei größeren Kräften q die Dehnung der Feder nicht mehr vernachlässigt werden darf. Immerhin aber vermag uns die Untersuchung dieses Falles einen wertvollen Aufschluß über die Querfederung zu geben. Wenn nämlich q = ∞ wird, so nähert sich auch α dem Werte ∞ und \left\frac{\mbox{Tg}\,\alpha}{\alpha}\,\right|_{\alpha=\infty}=\left\frac{1}{\mbox{Cos}^2\,\alpha}\right|_{\alpha=\infty}=0. Nachdem ferner, wie bereits bemerkt F(∞) = 0.5, so folgt die maximale Querfederung der Blattfeder aus Gl. (4) mit: \eta_{\mbox{max}}=\sqrt{2\,\xi\,(s-\xi)}=1 \cdot 4142\,\sqrt{\xi\,(s-\xi)} . . . . (5) und ist dieselbe nur von s und ξ allein abhängig. Nähert man sich anderseits dem unteren Grenzwerte q = 0, so könnte man durch einen etwas weitläufigen Grenzübergang die Federung ermitteln. Es soll aber hier der direkte Weg der Ableitung eingeschlagen werden. Die Bedeutung des Falles q = 0 ist offensichtlich. Er ergibt jene Deformation, die die Feder erleidet, wenn man dieselbe nur einer Querbelastung 2P unterzieht. Die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet dann einfach (s. Gl. 1): \frac{d^2\,y}{d\,x^2}=-p\,x^2 . . . . . . (1a) Somit wird nach einfacher Integration \frac{dy}{dx}=-\frac{p^2x^2}{2}+C und y=-\frac{p^2x^3}{6}+Cx+C_1 Mit Rücksicht auf die Grenzbedingungen, d.h. für x = 0 wird y = 0 und für x = ξ wird \frac{dy}{dx}=0, folgt schließlich: y=\frac{p^2\,x^2}{2}\,\left(\xi^2-\frac{x^2}{3}\right) Hieraus erhält man die Querfederung, indem man für x = ξ setzt \eta=\frac{p^2\,\xi^3}{3} . . . . . . (2a) Die Längsfederung ergibt sich aus der Gleichung: s=\int_0^{\xi}\,\left[1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]\,dx=\int_0^{\xi}\,\left[1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{p^2\,\xi^2}{2}-\frac{p^2\,x^2}{2}\right)^2\right]\,dx und nach Ausführung der Integration erhält man s=\xi+\frac{1}{15}\,p^{4\,\xi\,5} Textabbildung Bd. 324, S. 472 Fig. 3. Rechnet man aus dieser Gleichung wie früher p, nun mit p0 bezeichnet, so wird p_0=\frac{1}{\xi}\,\sqrt[4]{\frac{15\,(s-\xi)}{\xi}} . . . . (3a) und wird dies in Gleichung (2a) berücksichtigt, so erhält man schließlich für die Querfederung \eta_0=\sqrt{\frac{5}{3}\,(s-\xi)} \cdot \xi=1 \cdot 291\,\sqrt{\xi\,(s-\xi)} . . . (5a) Vergleicht man nun Gl. (5a) mit Gl. (5,) so sieht man, daß bei allen (positiven) Längsbelastungen Q die Querfederung zwischen den Werten 1 \cdot 291-1 \cdot 414\,\sqrt{\xi\,(s-\xi)} zu liegen kommt. Geht man ferner einen Schritt weiter und untersucht die Deformation der Feder bei negativen Querbelastungen Q' = – Q, so ist es am einfachsten von der Differentialgleichung \frac{d^2y}{dx^2}=-p^2x-q^2y . . . . . (1b) auszugehen. Die Integration dieser Gleichung führt auf ganz ähnliche Beziehungen wie Gl.(1), nur steht stets statt Tg α nunmehr tg α. Gleichung 1 geht ja ohne weiteres in Gleichung (1b) über, wenn man in jene für q den Wert iq einsetzt, und da Tg iα = i tg α. Somit lauten die bezüglichen Gleichungen p=q\,\sqrt[4]{\frac{s-\xi}{\xi\,F_1\,(\alpha)}} . . . . (3b) wo nun F_1\,(\alpha)=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\,\frac{\mbox{tg}\,\alpha}{\alpha}+\frac{1}{4\,\mbox{cos}^2\,\alpha} und die Ouerfederung: \eta=\xi\,\left(1-\frac{\mbox{tg}\,\alpha}{\alpha}\right)\,\sqrt{\frac{s-\xi}{\xi\,F_1\,(\alpha)}} . . . (4b) Die Funktion F1 (α) ist eine Funktion, die in dem Bereiche α = 0 bis \frac{\pi}{2} alle Werte von 0 bis + ∞ durchläuft. Der charakteristische Grenzwert α = 0 stimmt, wie man sich ohne weiteres überzeugen kann, mit den Gleichungen (3a), (5a) überein. Der andere Grenzfall \alpha=\frac{\pi}{2} führt uns auf die Eulerschen Knickgleichungen. Mit \alpha=q\,\xi=\frac{\pi}{2} wird nämlich auf Grund der Gleichung (3b) der Wert p = 0, somit erkennt man in diesem Grenzfalle jene Auslenkung, die die Feder durch eine Kraft Q allein erleidet. Daß nun, wie auch mit Rücksicht auf das Vorzeichen, die Kraft Q' gegen die Blattfeder wirkt, braucht wohl nicht des näheren erwähnt zu werden. Die entsprechende Auslenkung könnte wieder durch einen Grenzübergang aus Gl. (4b) gewonnen werden, doch ist es einfacher, von der entsprechenden Differentialgleichung \frac{d^2y}{dx^2}=-q^2y . . . . . . (1c) auszugehen. Diese Gleichung ergibt mit Rücksicht auf die bekannte Grenzbedingung x = 0, y = 0 das Integral y = ξ sin qx Nachdem anderseits für x = ξ, die Tangente horizontal, d.h. \frac{dy}{dx}=0 werden muß, so erhält man die bereits früher abgeleitete Bedingung q\,\xi=\frac{\pi}{2} Durch Einführung von Q' auf Grund der Beziehung q^2=\frac{Q'}{E\,\Theta} gelangt man auf die Eulersche Formel: Q'=\frac{\pi^2\,E\,\Theta}{4\,\xi^2} . . . . . . (6) Die Einlenkung ξ ergibt sich wie früher aus s=\int_0^{\xi}\,\left[1+\frac{1}{2}\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]\,dx=\int_0^{\xi}\,\left[1+\frac{1}{2}\,\xi^2\,q^2\,\mbox{cos}^2\,qx\right]\,dx und nach der Integration erhält man nach einigen Umformungen mit Rücksicht auf q\,\xi=\frac{\pi}{2} \eta_{\mbox{min}}=\frac{4}{\pi}\,\sqrt{(s-\xi)\,\xi}=1 \cdot 2732\,\sqrt{\xi\,(s-\xi)} . (5c) In Figur 3 sind nun die verschiedenen Belastungsfälle bei fixer Einlenkung ξ verzeichnet und ergeben sich somit folgende Beziehungen. Die Einlenkung ξ kann hervorgerufen werden durch eine Kraft q=\frac{\pi}{2\,\xi}, dabei nimmt die Auslenkung η den Maximal-Wert \eta_{\mbox{min}}=1 \cdot 2732\,\sqrt{\xi\,(s-\xi)} an. Mit abnehmender Längsbelastung, d.h. q\,<\,\frac{\pi}{2\,\xi}, muß man eine Kraft p in der Mitte der Feder anbringen, um die Einlenkung ξ aufrecht zu erhalten. Dieser Belastungsfall endigt mit q = 0 und dabei erreichen p . η gewisse Grenzwerte (Gl. (3a), (5a)) p_0=\frac{1}{\xi}\,\sqrt[4]{\frac{15\,(s-\xi)}{\xi}} und \eta_0=1 \cdot 291\,\sqrt{\xi\,(s-\xi)} Läßt man dann p weiter wachsen, so muß man eine nach außen gerichtete Kraft Q' anbringen, und endet dieser Belastungsfall schließlich mit p = q = ∞, wobei η den maximalen Wert \eta_{\mbox{max}}=1 \cdot 4142\,\sqrt{\xi\,(s-\xi)} erreicht. Dieses eigentümliche Verhalten der Blattfeder erkennt man auch bei Untersuchung der Deformationsarbeit derselben. Im allgemeinen kann die Deformationsarbeit durch die Arbeit des Biegungsmomentes und der Transversalkraft dargestellt werden, d.h. A=4\,\left[\frac{1}{2}\,\int_0^{\xi}\,\frac{M^2\,dx}{E\,\Theta}+\frac{1}{2}\,\int_0^{\xi}\,\frac{P^2\,dx}{F'G}\right] wobei F' die reduzierte Fläche ist. In den hier in Betracht kommenden Fällen läßt sich aber die Deformationsarbeit mit Hilfe des Superpositionsgesetzes wesentlich einfacher angeben. Um z.B. die Blattfeder durch die Kraft Q' allein zu deformieren ist hierzu eine Arbeit A_1=4\,\int_0^{\xi}\,Q'd\,(s-\xi)=+4\,\int_{\xi}^s\,Q'd\,\xi nötig; nachdem die Kraft Q' den Weg 4(s – ξ) zurückzulegen hat. Denkt man sich dann – nach erfolgter Einlenkung – die Feder in der Längsrichtung festgehalten und successive mit Kräften P belastet, so hat man dabei die Arbeit A_2=\int_{\eta\,\mbox{min}}{\eta}\,2 \cdot Pd(2\,\eta)=4\,\int_{\eta\,\mbox{min}}^{\eta}\,Pd\eta zu leisten. Um insbesondere jene Arbeit zu finden, die gerade der Längsbelastung Q = 0 entspricht, hat man als obere Grenze η = η0 einzuführen. Für den Fall p = q = ∞ ist das Integral bis zur Grenze η = ηmax auszudehnen. Es setzt sich somit die Deformationsarbeit A = A1 + A2 aus zwei wesentlich verschiedenen Anteilen zusammen. Unter anderem unterscheiden sich die beiden Teile dadurch, daß der Rückgewinn eines Anteiles der Deformationsarbeit nur in der in Betracht kommenden Richtung geschehen kann. Ein Beispiel wird dies des näheren erläutern. Es sei z.B. die Feder sowohl durch die Kraft P als- auch durch die Kraft Q deformiert. Die Deformationsarbeit soll nun arbeitsbringend in der x-Richtung verwertet werden. Denkt man sich nun die Feder sehr rasch von der Kraft P entlastet, so wird die Auslenkung η über η0 auf ηmin zurückgehen und gleichzeitig die Kraft Q über o in die entgegengesetzte Richtung umschlagen. Die variable Kraft Q' wird dann in x-Richtung die Arbeit A_1=+4\,\int_{\xi}^s\,Q'd\xi leisten können. Diese läßt sich einfach bestimmen, indem man für Q' auf Grund der Gleichung (6) den Wert Q'=\frac{E\Theta\pi^2}{4\xi^2} einführt und erhält man daher: A_1=4\,\int_{\xi}^s\,\frac{E\Theta\pi^2}{4\xi^2}\,d\xi=E\Theta\pi^2\,\left[\frac{1}{\xi}-\frac{1}{s}\right] . . . (7) Von der ganzen in der deformierten Feder aufgespeicherten Deformationsarbeit vermag man daher nur diesen Anteil in der x-Richtung nützlich verwerten. Auf Grund aller bis nun abgeleiteten Beziehungen sind wir nun imstande, die Verhältnisse des Fliehkraftreglers bei verschiedenen Tourenzahlen, dessen Ungleichförmigkeitsgrad, den Muffendruck, das Arbeitsvermögen usw. zu untersuchen. (Schluß folgt.)