Der Resonanz-Undograph, ein Mittel zur Messung der Winkelabweichung. Von Dipl.-Ing. O. Mader, München. (Fortsetzung von S. 553 d. Bd.) Der Resonanz-Undograph, ein Mittel zur Messung der Winkelabweichung. 2. Bestimmung der Eigenschwingungszeit. Ihre Bedeutung in der Rechnung. In der Rechnung war angenommen, daß die schwingende Masse m, in Wirklichkeit also der Magnet der Wirbelstrombremse durch eine Kraft F = α2x in seine Mittellage zurückgedrückt werde. Diese Kraft wird durch Federn hervorgerufen, deren Anbringung die Zeichnungen auf Fig. 8, 19, 13 u. 15 zeigen. Nun muß aber α2 – k2mα02 = 0 werden, d.h. die sogenannte Eigenschwingungszeit muß so einstellbar sein, daß sie mit der Periode der zu messenden Schwingung übereinstimmt, was durch Aenderung der Federwindungen (α02) oder des Trägheitsmomentes (m) geschehen kann. Bei Modell I war eine Aenderung des Trägheitsmomentes Θ und damit auch von m durch radial verschiebbare Zusatzgewichte vorgesehen, aber nicht benutzt worden. Bei Modell II wurde α02 dadurch geändert, daß ein Teil der Federwindungen unwirksam gemacht werden konnte. (Vgl. Fig. 19 u. 16.) Zu diesem Zwecke war die Feder f1 (Fig. 19) nicht wie f2 mit ihrem hinteren Ende fest am Gestell g befestigt, sondern die auch in Fig. 26 ersichtlichen Klauen k nahmen den Federzug auf. Alle links von k liegenden Federwindungen waren spannungslos. Am laufenden Resonanz-Undograph wurden nun die Klauen k so weit in die Feder hineingeschraubt, d.h. die wirksame Federwindungszahl wurde so lange geändert, bis die gewünschte Resonanz festgestellt war, ein etwas umständliches und unsicheres Verfahren. Deshalb ist bei Modell III wieder auf die Aenderung von m zurückgegriffen worden: Zwei Laufgewichte können radial verschoben werden. Um Resonanz mit der gegebenen Tourenzahl herzustellen, werden jene mit Hilfe einer am Arm befindlichen Einteilung auf eine auf dem Versuchsstande festgelegte Stellung gebracht und brauchen dann nicht mehr verschoben werden. Beide Gewichte bestehen aus einzelnen Scheiben. Um nun die konstant wirkende Kraft (R + ε . f(t)) der Bremse nicht voll auf die schwachen Federn wirken zu lassen, kann man durch einseitiges Anbringen der Gewichtsscheiben das Moment dieser Kraft ausgleichen, ohne das Trägheitsmoment und damit die Eigenschwingungszeit zu ändern. Die Windungszahl und damit die Konstante der Federn liegt ein für allemal fest, die Federn sind geaicht und so gegeneinander abgestimmt, daß beim Uebergang von einer Schwingung zu einer von anderer Periode nur das Auswechseln der entsprechenden Federn nötig wird. Dies erfordert nur wenige Sekunden. 3. Die Amplituden-Schreibvorrichtung. Zur graphischen Aufzeichnung der Schwingungsamplituden war bei allen drei Modellen eine Papiertrommel und ein mit dem schwingenden Magneten verbundener Schreibhebel angebracht, nur daß bei Modell II eine durch auswechselbare Scheiben veränderliche Uebersetzung möglich ist, eine Einrichtung, die sich als überflüssig und ungenau herausstellte. Deshalb ist sie bei Mod. III wieder aufgegeben. Die Trommel. Textabbildung Bd. 324, S. 567 Fig. 31. Würde der Schreibstift, der die hervorgerufenen Resonanzschwingungen aufzeichnen soll, stets auf der Trommel, welche ähnlich wie bei einem Indikator angebracht ist (Fig. 8 u. 9) schleifen, so würde er die Schwingungen zu stark dämpfen. Deshalb hat die Trommel eine unrunde Form (Fig. 32). In der Trommelruhelage schwingt der Stift frei. Haben sich die Resonanzschwingungen ausgebildet, so dreht man die Trommel einmal herum, wodurch der Stift von B bis B' eine Kurve aufzeichnet. Textabbildung Bd. 324, S. 567 Die Kurve zeigt bei konstanter Trommelgeschwindigkeit das Bild einer gedämpften Schwingung, ähnlich wie man es bei der Untersuchung der Eigenschwingung der Indikatoren findet (Fig. 31). Konstruiert man in Fig. 31 die Kurven der maximalen Ausschläge, so gilt zwar für diese Kurven nicht das Gesetz des „logarithmischen Dekrementes,“ da bei einem Kleinwerden der Schwingungen sofort wieder der Einfluß von ε sich bemerkbar macht, wohl aber verlaufen diese Kurven sehr stetig und geben in jeder Stellung an, wie weit der Schreibstift ausschwingen würde, wenn die dämpfende Reibung plötzlich wegfallen würde. Nun wissen wir, daß im Punkte B (Fig. 31 u. 33) diese Reibung plötzlich einsetzte. Aus der Entfernung B1B2 im Punkte B. können wir also entnehmen, mit welcher Amplitude vorher die Schwingung vor sich gegangen ist. Bei Modell I wird das Papier aufgeklebt, die Trommel durch einen Handgriff gedreht. Bei Modell II u. III wird die Papieraufspannung durch zwei Blattfedern wie bei den Indikatoren, die Trommeldrehung durch einen Abzugsfaden bewirkt. Ein Anschlagstift gestattet nur eine Umdrehung. Der Schreibhebel. Textabbildung Bd. 324, S. 568 Fig. 36. Original-Diagramm. Textabbildung Bd. 324, S. 568 Fig. 37. Korrekturangaben. Textabbildung Bd. 324, S. 568 Fig. 38. Umgezeichnetes Diagramm. Der Schreibhebel erforderte einige Aenderungen. (Vgl. Fig. 32–35). Er war zuerst fast starr. Dadurch blieb der Schreibstift entweder am Papier hängen oder kam überhaupt nicht damit in Berührung: Eine eingeschaltete Blattfeder (F in Fig. 34) gestattete, rasche Schwingungen ohne zu große Dämpfung aufzuschreiben. Aber bei langsamen Schwingungen, wo die in den Federn des schwingenden Magneten aufgespeicherte Energie gering ist, wurde eine aperiodische, zur Messung der Amplitude unbrauchbare Kurve aufgezeichnet. Es gelang, die Dämpfung dadurch zu vermindern, daß dem Schreibstift eine Bewegung quer zur Schwingungsebene erteilt wurde und er nur momentan mit dem Papier in Berührung trat. Diese Bewegung wurde durch ein kleines von der Apparatwelle aus angetriebenes Exzenter (E in Fig. 35) eingeleitet. An der Feder F war ein Stift B starr befestigt, dessen Ende von der Exzenterstange S hin- und hergezogen wurde. Dabei wurde die Feder abgebogen und ihr Ende, das den Schreibstift trug, in Querschwingung versetzt. Die so aufgezeichnete Schwingungskurve setzt sich aus lauter einzelnen Punkten zusammen, wie ein in Fig. 36 dargestelltes Originaldiagramm zeigt. Die Schreibvorrichtung des Modells III ist nach demselben Prinzip eingerichtet, durch Auswechseln einer Scheibe (e in Fig. 15) hat man es in der Hand, die Anzahl der Punkte pro Periode zu ändern. Diagrammkorrektur. Das Punktierungssystem gestattet auch bei ungleicher Trommelgeschwindigkeit eine solche Umzeichnung der Schwingungskurve, daß die Abszissen den Kurbelwinkel der Maschine und damit ziemlich genau die Zeit, die senkrechten Ordinaten die Winkelabweichungen darstellen. In Fig. 36–38 ist dies für ein bei der später beschriebenen Untersuchung eines 35 PS.-Dieselmotors gewonnenes Originaldiagramm des Modells II unter Berücksichtigung der Schreibhebellänge von 70 mm durchgeführt. Wir haben hier 16,5 Zwischenräume zweier Punkte s pro 1 Periode = 2 Umdrehungen. Somit entspricht: s=\frac{2 \cdot 360^{\circ}}{16,5}=43,5^{\circ} Kurbelwinkel und bei n=igo i.d. Min. s = 0,038 Sek. 4. Der Zeitschreiber. Zur Bestimmung der Phase der aufgezeichneten Schwingung war bei Modell 1 ein von einem Exzenter angetriebener Schreibhebel benutzt worden. (Vgl. Fig. 10–12). Bei Modell II und III wurde zum Antrieb dieses Schreibhebels ein Elektromagnet benutzt, eine bekannte Vorrichtung. Der dazu nötige Strom muß durch einen von der zu untersuchenden Maschine betätigten Kontakt geschlossen werden. Die konstruktive Ausführung zeigt Fig. 13 u. 16. 5. Der Antrieb. Bei Modell I war die Bremsscheibe auf der zu untersuchenden Welle selbst aufgebracht. (Fig. 9.) Bei Modell II wurden nach dem Umbau des Magneten zuerst Versuche mit Bandantrieb gemacht, die aber nicht befriedigten. (Vgl. später unter „Prüfung“.) Deshalb wurde zu dem in Fig. 22 dargestellten Magnetradantrieb übergegangen. Dieses Rad sollte direkt auf dem Maschinenschwungrad laufen. Um dem Schlagen desselben folgen zu können, war der ganze Apparat auf drehbaren Stelzen gelagert. Da aber der Schwingmagnet mit Schreibvorrichtung nicht vollständig ausbalanziert war, zeigte es sich, daß die Messung durch die Bewegung des Gestelles gefälscht wurde. Deshalb wurde das Antriebsrad allein nachgiebig gelagert, der Rahmen des Resonanz-Undographen selbst jedoch festgestellt. Die Kupplung bewirken zwei Hookesche Gelenke. Toter Gang in dieser Kupplung schadet nichts, da die Bremsscheibe alles in einer Richtung in Spannung erhält. Schädlich wirkt jedoch etwaige elastische Verdrehung, die durch kräftige, starre Konstruktion der Kupplungen und Wellen ferngehalten wurde. Das Magnetrad wurde zur Verstärkung des magnetischen Haftens mit breiteren Laufflächen ausgestattet. (Fig. 17 u. 18, 24 u. 25.) D. Prüfung des Resonanz-Undographen. 1. Prüfungsverfahren. Um irgend eine Methode zur Messung der Winkelabweichungen oder der Winkelgeschwindigkeiten auf ihre Zuverlässigkeit und Genauigkeit zu prüfen, ist es nötig, ein bereits bekanntes Bewegungsgesetz nachmessen zu lassen. a) Gewichte oder Federn. Textabbildung Bd. 324, S. 569 Fig. 39. Ein mehrfach angewandtes Verfahren ist, durch Gewichte oder Federn einen künstlichen Ungleichförmigkeitsgrad zu erzeugen. Ein drehbares System vom Trägheitsmoment Θ hat am Radius r ein Uebergewicht mg (vergl. Fig. 39). Dann ist die Winkelbeschleunigung: \frac{d^2\,\omega}{d\,t^2}=\frac{(mg)\,r\,\mbox{cos}\,\omega}{\Theta} wo ω der jeweilige Drehwinkel und t die Zeit. Daraus (nach Hütte, 17. Aufl. S. 85): t=\int\,\frac{d\omega}{\sqrt{C+2\,\int\,\frac{mg \cdot r}{\Theta} \cdot \mbox{cos}\,\omega \cdot d\omega}}+C_1    =\int\,\frac{d\omega}{\sqrt{C+\frac{2 \cdot mg \cdot r}{\Theta} \cdot \mbox{sin}\,\omega}}+C_1 woraus \frac{dt}{d\omega}=\frac{1}{\sqrt{C+\frac{2 \cdot mg \cdot r}{\Theta} \cdot \mbox{sin}\,\omega}}=\frac{1}{v_{\omega}} wo vω die zum Drehwinkel ω gehörige Winkelgeschwindigkeit. Für ω = 0 oder ω = π wird C = v2, wo v die mittlere Winkelgeschwindigkeit. Somit: v_w=\sqrt{v^2+\frac{2 \cdot mg \cdot r}{\Theta} \cdot \mbox{sin}\,\omega} und der sogenannte „Ungleichförmigkeitsgrad“: \delta=\frac{\sqrt{v^2+\frac{2\,mg \cdot r}{\Theta}}-\sqrt{v^2-\frac{2\,mg \cdot r}{\Theta}}}{v} Die beschriebene Prüfungseinrichtung verlangt die genaue, schwer zu gewinnende Kenntnis des Trägheitsmomentes Θ, auch ändert sich mit der Tourenzahl δ, dessen beliebige Aenderung schwierig ist. b) Hookesches Gelenk. Herr Prof. W. Lynen (München) hat folgende einfache Anordnung getroffen, die vom Verfasser benutzt werden konnte: Zwei durch ein „Hookesches Gelenk“ verbundene Wellen sind unter einem Winkel γ gegeneinander geneigt (Fig. 40). Die eine Welle wird mit möglichst gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit v, z.B. durch einen Elektromotor angetrieben. Dann befolgt die Winkelgeschwindigkeit v1 der anderen, getriebenen Welle das Gesetz: v_1=\frac{v\,\mbox{cos}\,\gamma}{1-\mbox{sin}^2\,\gamma\,\mbox{sin}^2\,\omega} wo ω = vt den jeweiligen Drehwinkel bedeutet. Dabei ist ω = 0, wenn die Querzapfenachse der getriebenen und abgelenkten Welle in der Ablenkungsebene steht. (Vergl. Reuleaux, „Der Konstrukteur,“ 3. Aufl. S. 261). Textabbildung Bd. 324, S. 569 Fig. 40. Entwickelung in eineFouriersche Reihe. Dieses Bewegungsgesetz läßt sich als eine Uebereinanderlagerung einzelner harmonischer Schwingungen darstellen, d.h. durch eine Fouriersche Reihe, in der zudem alle mit einem Sinus versehenen Glieder verschwinden, da hier die Bedingung f(– x) = f(x) erfüllt ist (vergl. wieder Dr. R. Fricke, „Kurzgefaßte Vorlesungen über verschiedene Gebiete der höheren Mathematik“). Diese Darstellung des Bewegungsgesetzes gestattet etwa im Meßinstrument auftretende Resonanz- und Eigenschwingungserscheinungen nachzuweisen und nachzumessen. Es läßt sich umformen: v_1=\frac{v \cdot \mbox{cos}\,\gamma}{1-\mbox{sin}^2\,\gamma\,\mbox{sin}^2\,\omega}=\frac{v \cdot \mbox{cos}\,\gamma}{1-\frac{1}{2}\,\mbox{sin}^2\,\gamma+\frac{1}{2}\,\mbox{sin}^2\,\gamma\,\mbox{cos}\,2\,\omega}=\frac{v\,\frac{2\,\mbox{cos}\,\gamma}{\mbox{sin}^2\,\gamma}}{\left\{\frac{2}{\mbox{sin}^2\,\gamma}-1\right\}+\mbox{cos}\,2\,\omega}=\frac{v \cdot K}{L+\mbox{cos}\,x}=f\,(x) wo stets L ⋝ 1. Es muß werden: v_1=v\,\frac{K}{L+cos\,x}=\frac{1}{2}\,b_+b_1\,\mbox{cos}\,x+b_2\,\mbox{cos}\,2\,x+.. wo b_n=\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,\frac{v \cdot K \cdot \mbox{cos}\,n\,x}{L+\mbox{cos}\,x}\,d\,x. Die Koeffizienten von sin x, sin 2x usw. werden = 0. Die Auswertung der Integrale ergibt: v1= v + 2v (K – L) cos (2vt)                        + 2v (2L2 – 2LK – 1) cos (4vt) + ... Die Winkelstellungen der abgelenkten Welle ergeben sich daraus zu: \omega_1=\int\limits_{\omega=0}^{\omega=\omega}\,v_1\,dt=\int\,v\,dt+2\,v\,(K-L)\,\int\,\mbox{cos}\,(2\,vt)\,dt+2\,v\,(2\,L^2-2\,L\,K-1)\,\int\,\mbox{cos}\,(4\,vt)\,dt+..      =vt+2\,v\,(K-L)\,\int\,\mbox{cos}\,(2\,vt)\,\frac{d\,(2\,vt)}{2\,v}+2\,v\,(2\,L^2-2\,K\,L-1)\,\int\,\mbox{cos}\,(4\,vt)\,\frac{d\,(4vt)}{4\,v}+..      =\omega+(K-L)\,\mbox{sin}\,2\,\omega+\frac{1}{2}\,(2\,L^2-2\,K\,L-1)\,\mbox{sin}\,4\,\omega+.. In der folgenden Tabelle findet man die ersten zwei Koeffizienten der Reihe für v1 ausgewertet für Werte des Ablenkungswinkels γ von 0°–45°. Bis 45° konvergiert die Reihe sehr schnell, so daß bereits b3 vernachlässigt werden kann. Textabbildung Bd. 324, S. 570 Fig. 41. Tabelle I. Ablenkungswinkel γ b1/v = 2 (K – L) b2/v = 2 (2L2 – 2LK – 1)   5° 0,005 0,000 10° 0,015 0,000 15° 0,035 0,001 20° 0,062 0,002 25° 0,098 0,005 30° 0,144 0,010 35° 0,200 0,020 40° 0,270 0,036 45° 0,350 0,060 Bemerkenswert ist bei Benutzung des Hookeschen Gelenkes, daß eine Schwingung von einer Periode = einer Umdrehung fehlt, dagegen die Schwingung von einer Periode = einer halben Umdrehung für nicht zu große Ablenkungswinkel weitaus alle höheren Schwingungen übertrifft. Anordnung eines Versuchsstandes. Wollte man genaue Untersuchungen mit Hilfe des Hookeschen Gelenkes machen, so wäre vor allem darauf zu achten, v konstant zu halten und Klemmungen in dem Getriebe unmöglich zu machen. Dazu wäre etwa die in Fig. 41 angedeutete Anordnung zu wählen: Textabbildung Bd. 324, S. 570 Fig. 42. Ein möglichst schweres Schwungrad wird von einem leicht regelbaren, aber dann mit konstanter Tourenzahl laufenden Motor angetrieben. Da der Ablenkungswinkel y leicht änderbar sein soll, läßt sich eine genaue Montage der mit v1 rotierenden Welle ohne großen Zeitverlust nicht ausführen, wodurch Stöße und Klemmungen entstehen. Deshalb ist noch ein zweites Hookesches Gelenk eingeschaltet, das aber nur die kleinen Montagefehler ausgleichen soll. Mit der mit v1 rotierenden Welle ist dann das zu untersuchende Instrument entweder direkt oder durch einen möglichst unelastischen Trieb zu kuppeln. Textabbildung Bd. 324, S. 570 Fig. 43. c. Kurbelschleife. Eine etwas einfachere Einstellung und Nachmessung des künstlichen Ungleichförmigkeitsgrades ermöglicht die Verwendung der „Kurbelschleife“: Die Achse der ungleichförmig anzutreibenden Welle (v1) kann parallel zur Antriebswelle (v) verschoben werden. (Abstand e in Fig. 42). Ein im Abstand h von der Achse befindlicher Zapfen ragt in eine radiale Schlitzführung der getriebenen Welle und nimmt diese mit. Zwischen den jeweiligen Winkelstellungen der beiden Wellen besteht dann die Beziehung: \mbox{cotg}\,\omega_1=\frac{e+h\,\mbox{cos}\,\omega}{h \cdot \mbox{sin}\,\omega}=\frac{e}{h} \cdot \frac{1}{\mbox{sin}\,\omega}+\mbox{cotg}\,\omega, woraus \omega_1=\mbox{arc cotg }\left[\frac{e}{h} \cdot \frac{1}{\mbox{sin}\,\omega}+\mbox{cotg}\,\omega\right]. Daraus folgt die Winkelgeschwindigkeit, wenn man noch setzt \frac{e}{h}=p und ω = vt, zu: v_1=\frac{d\omega_1}{dt}=\frac{d\,\mbox{arc cotg}\,\left[p \cdot \frac{1}{\mbox{sin}\,vt}+\mbox{cotg}\,vt\right]}{dt}     =\frac{-1}{1+\left(p\,\frac{1}{\mbox{sin}\,vt}+\mbox{cotg}\,vt\right)^2}\,\left\{p\,\frac{d\,\frac{1}{\mbox{sin}\,vt}}{dt}+\frac{d\,\mbox{cotg}\,vt}{dt}\right\}     =\frac{-1}{\frac{\mbox{sin}^2\,vt}{\mbox{sin}^2\,vt}+\frac{p^2}{\mbox{sin}^2\,vt}+\frac{2\,p\,\mbox{cos}\,vt}{\mbox{sin}\,vt\,\mbox{sin}\,vt}+\frac{\mbox{cos}^2\,vt}{\mbox{sin}^2\,vt}}\,\left\{-\frac{p \cdot v\,\mbox{cos}\,vt}{\mbox{sin}^2\,vt}-\frac{v}{\mbox{sin}^2\,vt}\right\}     =v \cdot \frac{p\,\mbox{cos}\,vt+1}{(\mbox{sin}^2\,vt+\mbox{cos}^2\,vt)+p^2+2\,p\,\mbox{cos}\,vt}     =\frac{v}{2} \cdot \frac{\frac{1}{p}+\mbox{cos}\,vt}{\frac{1+p^2}{2\,p}+\mbox{cos}\,vt}     =\frac{v}{2}\,\frac{K+\mbox{cos}\,x}{L+\mbox{cos}\,x}     = f (x), wo stets p ≤ 1 und L ≥ 1. Entwicklung in eineFouriersche Reihe. Entwickelt man auch diese Funktion in eine Fouriersche Reihe, deren Koeffizienten gegeben sind durch b_n=\frac{1}{\pi}\,\int\limits_{-\pi}^{\pi}\,\frac{K+\mbox{cos}\,x}{L+\mbox{cos}\,x}\,\mbox{cos}\,nx\,dx, so ergibt die Auswertung der Integrale v1= v – pv cos vt + p2v cos 2vt +... Die Koeffizienten von sin vt, sin 2vt usw. verschwinden auch hier. Die Winkelstellungen der getriebenen Welle ergeben sich daraus zu: ω1 = ∫vdt – pv ∫ cos vtdt + p2v ∫ cos 2vtdt +...     = vt    – p sin vt + ½p2 sin 2vt + ...     = ω    – p sin ω + ½p2 sin 2ω + ... Bemerkenswert ist bei Benutzung der Kurbelschleife, daß die Schwingung von einer Periode = einer Umdrehung bei kleinem Achsabstand weitaus alle höheren Schwingungen übertrifft. Anordnung eines Versuchstandes. Einen Versuchstand, der das angegebene Gesetz benutzt, müßte man etwa wie in Fig. 43 angedeutet, anordnen. Die Lager der getriebenen Welle sind auf einem Schlitten nötigenfalls sogar während des Laufens, parallel verschiebbar. Maßstäbe am Schlitten oder an der radialen Schlitzführung lassen direkt die Achsenentfernung ablesen. (Fortsetzung folgt.)