Ein Beitrag zur statischen Theorie der Regulatoren. Von Dr.-Ing. A. Pröll, Danzig-Langfuhr. Ein Beitrag zur statischen Theorie der Regulatoren. Bekanntlich pflegt man bei der statischen Ermittlung von Regulatoren mit der Aufzeichnung der von Tolle eingeführten sogenannten C-Kurven zu beginnen, welche die Größe der Fliehkräfte an den Schwungkugeln als Funktion des Abstandes ihrer Mittelpunkte von der Spindel darstellen. Die C-Kurve gestattet eine bequeme Uebersicht über die statischen Eigenschaften des Reglers, insbesondere auch eine rasche Ermittlung des theoretischen Ungleichförmigkeitsgrades. Entsprechen nämlich (Fig. 1) X1 und X2 den beiden äußersten Regulatorstellungen mit den Fliehkräften C1 und C2, so erhält man (nach Tolle) den Ungleichförmigkeitsgrad o auf zeichnerischem Wege, indem man aus dem Koordinatenanfangspunkt O die sogenannten Fliehkraftstrahlen OC1 und OC2 zieht, sie mit irgend einer Ordinate – (am bequemsten nimmt man gleich die Endordinate X2C2) – zum Schnitt bringt und dann nach der Figur den Quotient \delta=\frac{\Delta_c}{c_m} bildet, der angenähert den mittleren Ungleichförmigkeitsgrad in dem Bereiche des Regulatorausschlages von X1 bis X2 darstellt. Es zeigt sich nun bei vielen Konstruktionen, daß das statische Verhalten des Reglers an verschiedenen Punkten des benutzten Teiles der C-Kurve durchaus nicht gleich ist, daß vielmehr einzelne Partien einen zu stark statischen Charakter haben, während andere nahezu astatisch oder gar labil werden. Einen astatischen Punkt z.B. erkennt man daran, daß an ihm die Tangente an die C-Kurve durch den Anfangspunkt O geht; in der Nähe eines solchen erfolgt die Verstellung des Reglers nahezu bei konstanter Tourenzahl. Textabbildung Bd. 326, S. 52 Fig. 1. Für manche Zwecke ist eine solche Verschiedenheit des statischen Charakters des Reglers erwünscht, für andere ist sie schädlich; in sehr vielen Fällen ist es aber zweckmäßig, die Veränderlichkeit von δ innerhalb des Reglerausschlages zu kennen oder voraus bestimmen zu können, und dazu soll in den folgenden Zeilen ein einfaches Verfahren angegeben werden. Vorher aber möge noch eine bestimmte Festsetzung der Begriffe Platz greifen. Der oben definierte Ungleichförmigkeitsgrad bezieht sich auf das ganze Gebiet von X1 bis X2, er ist ein Mittelwert, (wie dies in der erwähnten graphischen Darstellung und in der ursprünglichen Definition \delta=\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_m} aus den Winkelgeschwindigkeiten zum Ausdruck kommt), und als solcher angenähert und bei nicht zu großer Verschiedenheit von ω2 und ω1 berechtigt. Wollte man nun auf sehr kleine Aenderungen Δω zwischen zwei um Δx abstehende Reglerstellungen den Begriff des „momentanen“ Ungleichförmigkeitsgrades anwenden, so würde dieser beim Grenzübergang zu \lim\,\left(\frac{\Delta\,\omega}{\omega}\right)_{\Delta\,\omega=0} selbst unendlich klein werden, also verschwinden. Will man daher das statische Verhalten einer C-Kurve an ihren einzelnen Punkten untersuchen, so scheint es zweckmäßig zu sein, das Verhältnis dieses momentanen Ungleichförmigkeitsgrades zum entsprechenden Zuwachs des Schwungkugelausschlages zu beachten, welches beim Uebergang zu unendlichen kleinen Veränderungen in der Form \delta'=\frac{d\,\delta}{d\,x} auftritt und vielleicht als „Stabilitätsgradient“ bezeichnet werden könnte.Analog zur Bezeichnung „Stabilitätsgrad“, die von Tolle für den theoretischen Ungleichförmigkeitsgrad vorgeschlagen worden ist. Dieser Begriff ist, wie ersichtlich, strenger als der des oben definierten Ungleichförmigkeitsgrades und verhält sich zu ihm genau so wie die momentane Geschwindigkeit v=\frac{d\,s}{d\,t} eines Punktes zu dem während einer endlichen Zeit mit variabler Geschwindigkeit zurückgelegten Weg s. Insbesondere ist auch der gesamte Ungleichförmigkeitsgrad \delta=\int\limits_{x_1}^{x_2}\,\delta'\,d\,x. Er hat also nur einen Sinn, wenn man ihn als bestimmtes Integral zwischen zwei Grenzlagen mit den Abszissen x1 und x2 auffaßt; für einen Punkt x = x1 = x2 der C-Kurve wird dieses aber 0, daher verschwindet δ. Zur Berechnung von δ' gehen wir von der eingangs erwähnten Konstruktion für δ aus und beschränken uns dabei auf ein unendliches kleines Element \overline{A\,B}=d\,s der C-Kurve (Fig. 2), die wir jetzt als Kurve y = f(x) in einem x-y-Koordinatensystem gegeben denken. Es ist dann OX = x, AX = y, AE = dy, BE = dx, und AC = CD Textabbildung Bd. 326, S. 53 Fig. 2. entspricht dem Stück Δc in Fig. 1, während CX die dort verzeichnete Größe cm darstellt. Daher ist d\,\delta=\frac{A\,C}{C\,X}=\frac{1}{2}\,\frac{A\,D}{C\,X}=\frac{1}{2}\,\frac{A\,D}{C\,X}=\frac{1}{2}\,\frac{A\,E-D\,E}{C\,X}. Nun ergibt sich weiter aus dem Vergleich der schraffierten ähnlichen Dreiecke D\,E=\frac{d\,x\,.\,(y-d\,y)}{x-d\,x} und mit C\,X=A\,X-\frac{1}{2}\,A\,D         =A\,X-\frac{1}{2}\,(A\,E-D\,E)=y-\frac{1}{2}\,\left(d\,y-\frac{d\,x\,(y-d\,y)}{x-d\,x}\right); somit wird d\,\delta=\frac{d\,y-\frac{d\,x\,(y-d\,y)}{x-d\,x}}{2\,y-d\,y+\frac{d\,x\,(y-d\,y)}{x-d\,x}}=\frac{x\,d\,y-y\,d\,x}{2\,y\,(x-d\,x)-x\,d\,y+y\,d\,x}        =\frac{x\,d\,y-y\,d\,x}{2\,x\,y}=\frac{1}{2}\,\left(\frac{d\,y}{y}-\frac{d\,x}{x}\right), nachdem die unendlich kleinen additiven Größen im Nenner weggelassen wurden. Man findet schließlich den Ausdruck für den Stabilitätsgradienten \delta'=\frac{d\,\delta}{d\,x}=\frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{y}\,\frac{d\,y}{d\,x}-\frac{1}{x}\right). Beispiele: 1. Es ist die Form der C-Kurve (y = f(x) zu finden, die der genauen Astasie entspricht. Hier ist δ = 0 und daher auch δ' = 0, daher \frac{d\,y}{d\,x}\,.\,\frac{1}{y-\frac{1}{x}}=0; \frac{d\,y}{y}=\frac{d\,x}{x}; \mbox{lg nat }y=\mbox{lg nat }x+K oder x = Kx. Die gesuchte Kurve ist also eine Gerade durch den Anfangspunkt, wie sich das auch aus den Betrachtungen über den astatischen Punkt ergibt. Es sei bemerkt, daß auch für jeden astatischen Punkt einer beliebigen C-Kurve d'= 0 sein muß, positive δ' gehören zum stabilen, negative δ' zu einem labilen Teil der C-Kurven. 2. Die C-Kurven seien Gerade, die nicht durch den Anfangspunkt gehen: y = ax ± b (a und b positive Zahlen!) Wie ist das statische Verhalten der betreffenden Regler? Es ist 2\,\delta'=\frac{a}{a\,x\,\pm\,b}-\frac{1}{x}=\frac{\mp\,b}{x\,(a\,x\,\pm\,b)}. Der Geraden I (y = ax + b) (Fig. 3) entspricht also ein negativer Gradient, der mit wachsendem x abnimmt, d.h. der Regler ist labil, nähert sich aber mit wachsendem Ausschlag der Astasie, weil δ' für x = ∞ verschwindet und auch δ = 0 wird. Der Geraden II (y = ax – b) entspricht ein stabiler Regler, dessen Ungleichförmigkeitsgrad abnimmt (aber auch für unendlichen Ausschlag konstant, und zwar = 0) wird. Textabbildung Bd. 326, S. 53 Fig. 3. 3. Es soll eine C-Kurve mit konstantem Stabilitätsgradienten gefunden werden. \delta'=\alpha=\frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{y}\,\frac{d\,y}{d\,x}-\frac{1}{x}\right); 2\,a\,d\,x=\frac{d\,y}{y}-\frac{d\,x}{x} 2\,a\,x+K=\mbox{log nat }y-\mbox{lg nat }x=\mbox{log nat }\frac{y}{x} \frac{y}{x}=e^{2\,a\,x+K} oder mit e^K=A y = Axe2ax. Die C-Kurve ist also eine exponentielle, die im Anfangspunkt die Tangente y = Ax hat (Fig. 4). Betrachtet man ein beliebiges Stück dieser Kurve, etwa zwischen den Ausschlägen X1 und X2, (mit den Abszissen x1 und x2) so ist natürlich der gesamte Ungleichförmigkeitsgrad von der Differenz x2 – x1 abhängig, und wächst mit ihr (wegen \delta=\int\limits_{x_1}^{x_2}\,\delta'\,d\,x=a\,(x_2-x_1); die Kurve ergibt aber in allen Teilen gleiche statische Eigenschaften des betreffenden Reglers. Es wäre aber zwecklos, wenn man etwa nach einem Reglergetriebe suchen wollte, welches derartige C-Kurven besitzt. Denn es ist, wie wir sogleich an dem Beispiel eines der einfachsten Reglersysteme erkennen werden, schon mit den vorhandenen Mitteln möglich, eine etwa gestellte Forderung nach konstantem δ' mit praktisch genügender Annäherung zu erfüllen. Textabbildung Bd. 326, S. 53 Fig. 4. Textabbildung Bd. 326, S. 53 Fig. 5. 4. Für den gewöhnlichen Porterschen Gewichtsregler mit rhombischer Aufhängung (Fig. 5) ergibt sich bekanntlich C = Cg + Cq (Bezeichnung nach Tolle)Cg: Anteil an der C-Kurve, herrührend von den Schwunggewichten. Cg: Anteil von der Muffenbelastung. = K tg α, wobei \mbox{sin}\,\alpha=\frac{x-a}{e} ist. Daher ist C=K\,\frac{x-a}{\sqrt{l^2-(x-a)^2}}=y Man findet \frac{d\,y}{d\,x}=\frac{K\,l^2}{(l^2-(x-a)^2)^{3/2}}\mbox{ u. }2\,\delta'=\frac{(x-a)^3+a\,l^2}{x\,(x-a)\,(l^2-(x-a)^2)}, wonach also δ' für x = 0, x = a und x = l + a unendlich groß wird und für unsere Betrachtungen den Sinn verliert; es ergibt sich aber in dem benutzbaren Teil der C-Kurve ein Bereich in dem δ' in der Nähe seines Maximums nicht sehr veränderlich ist. Die Fig. 5, welche für einen Porter-Regler mit a = 3 cm, l = 36 cm gezeichnet wurde, zeigt, daß zwischen x1 = 13,5 cm und x2 = 25,5 cm δ' nur geringen Aenderungen unterworfen ist und im Mittel = 0,027 gesetzt werden kann. Dieser Bereich genügt aber vollkommen für den gesamten Reglerausschlag. Der Portersche Regler kann also der gegebenenfalls zu stellenden Forderung nach einem konstanten Stabilitätsgradienten ganz gut angepaßt werden. Bei dem Entwurf eines solchen Reglers wäre dann auch die δ'-Kurve zu berücksichtigen und der Ausschlag danach zu begrenzen. Textabbildung Bd. 326, S. 54 Fig. 6. Ganz anders werden indessen die Verhältnisse für den Kley-Regler (mit gekreuzten Pendelarmen und Hängestangen), bei diesem ist – a statt + a zu setzen und wir erhalten 2\,\delta'=\frac{(x+a)^3-a\,l^2}{x\,(x+a)\,(l^2-(x+a)^2)}. Fig. 6 zeigt, daß die δ'-Kurve im benutzbaren Bereich des Reglers ständig ansteigt, der Regler wird mit wachsendem Ausschlag immer stabiler. An der Stelle A1 hat er einen astatischen Punkt, dessen Abszisse x1 aus der Bedingung folgt δ' = 0, also hier (x_1+a)^3-a\,l^2=0; x_1=-a+\sqrt[3]{a\,l^2}. Führt man den Winkel a durch \mbox{sin}\,\alpha=\frac{x+a}{l} ein, so ist der dem astatischen Punkt entsprechende Winkel gegeben durch \mbox{sin}\,\alpha_1=\frac{x_1+a}{l}=\frac{1}{l}\,\sqrt[3]{a\,l^2}=\sqrt[3]{\frac{a}{l}}, eine bekannte Beziehung. Gewöhnlich wählt man x1 als unterste Reglerstellung. Der Hauptvorteil des Kley-Reglers liegt darum auch in dem kleineren Ungleichförmigkeitsgrade (Pseudoastasie) besonders bei den untersten Reglerstellungen, während die Gleichförmigkeit des Stabilitätsgradienten beim stärker statischen Porter-Regler größer ist. In ähnlicher Weise könnten auch andere Systeme von Gewichts- und ebenso auch von Federreglern in bezug auf δ' untersucht werden. In solchen Fällen, bei denen die Gleichung der graphisch ermittelten C-Kurve nicht aufgestellt werden kann, oder der analytische Ausdruck δ' zu verwickelt und unübersichtlich wird, kann man sich eines zeichnerischen Verfahrens bedienen. Die Bestimmung von \frac{d\,y}{d\,x} geschieht dann wohl am genauesten mit Hilfe des Wagenerschen SpiegelderivatorsWagener, Physikal. Zeitschrift. 10. Jahrgang. Seite 57.. Endlich erhalten wir durch Verwendung des Stabilitätsgradienten δ' eine schärfere mathematische Fassung für den Ungleichförmigkeitsgrad δ. Es ist nämlich, wie schon oben erwähnt, zwischen zwei Grenzen x1 und x2 \delta_{1,2}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\,\delta'\,d\,x=\frac{1}{2}\,\int\limits_1^2\,\left(\frac{d\,y}{y}-\frac{d\,x}{x}\right)=\frac{1}{2}\mbox{ log nat }\left(\frac{y_2\,x_1}{y_1\,x_2}\right). Setzen wir hierin statt y wieder die Zentrifugalkräfte G = C = Mω2x ein, so wird auch \delta_{1,2}=\frac{1}{2}\mbox{ log nat }\frac{M\,{\omega_2}^2\,x_2\,x_1}{M\,{\omega_1}^2\,x_1\,x_2}=\mbox{ log nat }\frac{\omega_2}{\omega_1}. Zu diesem Ausdruck wäre man auch direkt gekommen durch Betrachtung des Grenzwertes von δ für unendlich kleinen Zuwachs dx als d\,\delta=\frac{d\,\omega}{\omega}, womit dann \delta_{1,2}=\int\limits_1^2\,\frac{d\,\omega}{\omega}=\mbox{ log nat }\frac{\omega_2}{\omega_1} wird. Entwickelt man log nat \frac{\omega_2}{\omega_1} in eine Reihe, so hat man auch \delta_{1,2}=2\,\left[\frac{\frac{\omega_2}{\omega_1}-1}{\frac{\omega_2}{\omega_1}+1}+\frac{1}{3}\,\left(\frac{\frac{\omega_2}{\omega_1}-1}{\frac{\omega_2}{\omega_1}+1}\right)^3+---\right]      =2\,\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_2+\omega_1}+\frac{2}{3}\,\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_2+\omega_1}\right)^3+---. Man sieht, daß die übliche Definition \delta=\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_m} des Ungleichförmigkeitsgrades nur das erste Glied berücksichtigt, wie das auch bei den geringen Werten von S vollauf gerechtfertigt ist. Schließlich möge noch bemerkt werden, daß die aufgestellte Formel für δ' nur dort gilt, wo auch die Bildung des Ungleichförmigkeitsgrades nach Fig. 1 durch den Ausdruck \delta=\frac{\delta\,c}{c_m} erlaubt ist. Dies trifft, wie TolleTolle, Die Regelung der Kraftmaschinen, II. Auflage. gezeigt hat, stets zu für Reglerschwungmassen, die aus Umdrehungskörpern bestehen, deren Achsen parallel zur Aufhängeachse der Pendelarme gerichtet sind, also insbesondere für die meist benutzten Schwungkugeln. Die Abteilung gilt aber nicht für die keulenförmigen Schwungmassen einzelner Flachregler, auch nicht für die unsymmetrischen Schwungmassen, die man gelegentlich bei Federreglern, z.B. beim Stumpfschen Leistungsregler findet, wenn auch dort die Beziehung für δ' immerhin noch sehr angenähert richtig bleibt. Zusammenfassung. Unter Zugrundelegung der Tolleschen Fliehkraft (C-) Kurven für die Zentrifugalregulatoren wird der Begriff des „Stabilitätsgradienten“ für die Aenderung des Ungleichförmigkeitsgrades entwickelt und durch eine Formel dargestellt. Die Anwendung wird an verschiedenen Beispielen gezeigt.