Ueber Labyrinthdichtungen für Wasser. Von Karl Just. (Fortsetzung von S. 37 d. Bd.) Ueber Labyrinthdichtungen für Wasser. Nach diesen Versuchen war beabsichtigt, die Wirbelungen zu untersuchen, die die verschiedenen Bohrungen ergaben. Es sollten durch am Anfang des Versuchskanals befindliche Löcher, die unter 45° geneigt waren und mit der Strömung liefen, in Wasser schwimmendes Kaolin eingeführt und so die Wirbelungen sichtbar gemacht und photographiert werden. Leider wurden hiermit keine brauchbaren Resultate erzielt. Die Löcher verstopften sich stets. Nachdem durch die Versuche entschieden war, daß Bohrungen von 1–4 mm und gut abgerundeten Kanten den Druck richtig angeben, konnte zu den Versuchen mit ebenen Spalten und festen Wänden übergegangen werden. Der Ingenieur steht hier vor der Aufgabe, die Spalte so auszubilden, daß bei gegebener Spaltweite und Spaltlänge und bei gegebener Druckdifferenz vor und hinter dem Spalt die durchfließende Wassermenge möglichst klein ausfällt. Zunächst soll die Aufgabe rechnerisch betrachtet werden, und zwar für einen glatten Spalt (ohne Nuten). Es ströme Wasser aus einem Gefäß A durch den Kanal (Spalt) S nach dem Gefäß B (Fig. 6). Der Kanal habe die Länge l, die konstante Breite b und die Weite s und die Gefäße werden als sehr groß angenommen. Die Druckhöhe über der Kanalsohle sei in A = H, in B = h. Es werden sich folgende Verluste einstellen: a) zur Erzeugung der im Kanal vorhandenen Geschwindigkeit w ist eine Druckhöhe erforderlich, deren Größe hw= w2/2 g ist. b) Infolge des scharfkantigen Kanalanschlusses tritt beim Einströmen des Wassers Kontraktion ein, so daß der Querschnitt a, wo die Geschwindigkeit w0 herrscht, nicht vollkommen ausgefüllt ist. Das Wasser verlangsamt sich dann, füllt den Querschnitt aus und seine Geschwindigkeit ist nun w.Das hierdurch verloren gehende Gefälle ist nach Zeuner (a. a. O. S. 33) hc = Ψ • w2/2 g. c) Durch Reibung an der Kanalwand geht ein weiterer Teil des Druckgefälles verloren. Er sei hρ. d) Die am Ende des Spalts in Form von lebendiger Kraft enthaltene Energie geht bei der plötzlichen Erweiterung im Querschnitt b durch Wirbelung vollkommen verloren. Es geschieht keine Rückgewinnung in Druck. Daher ist w2/2 g, das am Anfang des Kanals erzeugt wurde, verloren. Man kann sich nun das zwischen beiden Gefäßen vorhandene Gefälle nach den betreffenden Verlusten aufteilen. In Fig. 6 ist dies graphisch dargestellt. Hn = hw + hc + hρ . . . . . 1) Hn = w2 • (1 + Ψ)/2 g + hρ. Die Bestimmung von hρ geschieht bei Geschwindigkeiten unterhalb der kritischen nach dem Poiseuilleschen Gesetz, über denselben läßt sich die Formel für die Rohrreibung verwenden. Nach dem Poiseuilleschen Gesetz gilt für einen rechtwinkligen engen Spalt: h_p=\frac{12\,.\,l\,.\,k\,.\,w}{s^2} . . . . . 2) k bedeutet darin den Zähigkeitskoeffizient, die Drücke sind in kg, die Längen in m ausgedrückt. In der Poiseuilleschen Formel ist k ursprünglich im absoluten Maßsystem angegeben. Nach den Versuchen von O. E. Meyer ist k für Wasser: beigleich 10,1° C157 • 10 – 6 15,5° C136 • 10 – 6 17,9° C129 • 10 – 6 21,6° C118 • 10 – 6 \frac{\mbox{kg∣Sek}.}{\mbox{qm}} nach Umrechnung auf das technische Maßsystem. Die Formel für die Rohrreibung lautet: h_p=\zeta'\,.\,\frac{U}{F}\,.\,l\,\frac{w^2}{2\,g}, wo U = Umfang, F = Querschnitt, l = Länge des Kanals und ξ' der Rohrreibungskoeffizient ist. Bei einem rechteckigen niederen Kanal kann man setzen: h_p=\zeta'\,.\,\frac{2\,l}{s}\,.\,\frac{w^2}{2\,g} . . . . . 3) Textabbildung Bd. 326, S. 55 Fig. 6.Glatter Spalt. Gefälleaufteilung. Betrachtet man nun obige Gleichung mit den für hρ eingesetzten Werfen, so ist bei w größer als die kritische Geschwindigkeit H_n=\frac{w^2}{2\,g}\,\left(1+\Psi+\zeta'\,.\,\frac{2\,l}{s}\right) w=\sqrt{\frac{2\,g\,H_n}{1+\Psi+\zeta'\,.\,\frac{2\,l}{s}}}. Hiernach läßt sich also, wenn das Gefälle und die Koeffizienten Ψ und ξ' bekannt sind, die durch den Kanal fließende Wassermenge berechnen. Auch für Geschwindigkeiten kleiner als die kritische Geschwindigkeit läßt die im Kanal vorhandene Geschwindigkeit sich nach der Gefälleaufteilung bestimmen. Es ist H_n=\frac{w^2}{2\,g}\,.\,(1+\Psi)+\frac{12\,.\,l\,.\,k}{s^2}\,.\,w w=\frac{g}{1+\Psi}\,.\,\left(-\frac{12\,l\,.\,k}{s^2}+\sqrt{\frac{144\,l^2\,k^2}{s^4}+\frac{2\,(1+\Psi)\,.\,H_n}{g}}\right) Auch hier müssen außer dem Gefälle und den Kanaldimensionen die Koeffizienten Ψ und k bekannt sein. Aus der Gleichung für die Gefälleaufteilung (1) erkennt man, daß man bei gegebenem Gefälle, um w möglichst klein zu erhalten, die Summanden w2 (1 + Ψ)/2 g und hρ möglichst groß machen muß. Ueber die Größe des Koeffizienten ψ sind zahlreiche Versuche gemacht, und Zeuner (Vorlesungen über die Theorie der Turbinen S. 35) gibt hierfür als Mittelwert Ψ = 0,505. Aus diesen Gründen wurde zunächst von einer experimentellen Bestimmung von ψ abgesehen Erst bei den Versuchen mit dem dritten Versuchsapparat wurde hierauf zurückgegriffen. Der zweite Summand in obiger Gleichung, hρ, wurde dagegen einer genaueren Untersuchung unterworfen. An vier Versuchsspalten wurde sowohl das Poiseuillesche Gesetz, als auch das für die Rohrreibung nachgeprüft. Der ebene Spalt mit glatten Wänden. Textabbildung Bd. 326, S. 56 Fig. 7.Glatter Spalt. s = 0,66 mm. Um auf möglichst einfache Weise Spalte zu erhalten, deren Dimensionen leicht gemessen und deren Weite mit einfachen Mitteln geändert werden konnte, wurden ebene Spalten untersucht. Pumpen- oder Turbinenräder mit kleinerem Durchmesser als 200 mm kommen wohl nur selten vor, und schon hier ist die Krümmung im Vergleich zur Spaltenweite so gering, daß sie einen Einfluß auf die Durchströmverhältnisse wohl nicht ausüben kann. Als Apparat wurde eine zweite Grundplatte verwendet, die genau wie die beschaffen war, die zur Untersuchung der verschiedenen Bohrungen diente. Ursprünglich war beabsichtigt, die erste Platte auch hierfür zu verwenden. Da sich aber die Versuchsbohrungen nicht so verschließen ließen, daß die Oberfläche der Platte vollkommen eben war, wurde hierfür eine zweite genommen. Auf diese Platte wurden dann die Zwischenbleche gelegt und hierauf die Deckplatte. Durch je 3 über der Deckplatte und unter der Grundplatte quergelegte Flacheisen, die durch Ankerschrauben zusammengezogen wurden, wurde so ein Spaltkanal hergestellt, der auf seiner ganzen Länge gleichen Querschnitt besaß. Die Breite des Spalts war durch die Entfernung der Innenkanten der Zwischenbleche gegeben, seine Weite durch deren Stärke. Der so gebildete Spaltkanal hat den Vorteil, daß seine Wände bei verschiedener Spaltweite dieselben sind. Die durch die Versuche erhaltenen Ergebnisse können daher ohne weiteres verglichen werden. Nimmt man dagegen für jeden Spalt einen neuen Apparat oder auch nur eine andere Wand, so ändern sich die Reibungsverhältnisse, da diese von der Oberflächenbeschaffenheit in hohem Grade abhänig sind. Da der Dichtung wegen die Zwischenbleche zwischen Grund- und Deckplatte etwas eingeölt wurden, war es notwendig, die Spaltweiten nochmals genau nachzuprüfen; auch mußte untersucht werden, ob die Deckplatte auf ihrer ganzen Länge statt auf den Zwischenblechen aufliegt und die Spaltweite auch auf der ganzen Länge des Spalts konstant ist. Dies wurde dadurch bestimmt, daß auf die Grundplatte in Abständen von 40 mm (in der Längsachse gemessen), in der Mitte und zu beiden Seiten der Spaltachse 1 cm lange Bleidrähte gelegt wurden, die etwas stärker waren als der betreffende Spalt. Hierauf wurde die Deckplatte aufgelegt und das Ganze mittels der Flacheisenschienen zusammengespannt. Dies wurde mit jedem Spalt mehrere Male gemacht. Die Stärke der so zusammengedrückten Bleidrähte konnte dann mittels einer Mikrometerschraube gemessen werden. Es ergaben sich dabei Differenzen bis zu 3/100 mm. Im Mittel ergaben sich folgende Spaltweiten: s = 0,66 mm s = 1,08 mm s = 1,71 mm s = 2,59 mm Textabbildung Bd. 326, S. 56 Fig. 8.Glatter Spalt. s = 1,08 mm. Es wurde nun dazu übergegangen, den Druckverlust in seinem Verlauf längs des Kanals zu untersuchen. Zu diesem Zwecke wurden in der Platte in 8 Querschnitten Bohrungen von 2 mm Durchmesser mit gut abgerundeten Kanten angebracht, und zwar waren die Bohrungen, wie in Fig. 7, 8, 9 und 10 angegeben, verteilt. Die Länge des Versuchsspalts war im Ganzen 185 mm, seine Breite 100 mm; seine Weite wie oben angegeben. In den einzelnen Querschnitten waren je 2 oder 3 Bohrungen vorgesehen, damit, falls ein Röhrchen sich verstopfen sollte, die Messung nicht falsch werde. An die Bohrungen waren wie früher Röhrchen von 2 mm 1. W. und 4 mm Außendurchmesser angelötet. Die Röhrchen desselben Querschnitts wurden dann mittels kleiner Schläuche an ein einziges Rohr geschlossen (Fig. 9a). So erhielt man, falls sich über einen Querschnitt Unregelmäßigkeiten ergeben sollten, doch einen richtigen Druck als Mittelwert. Textabbildung Bd. 326, S. 57 Fig. 9. Glatter Spalt. s = 1,71 m.Fig. 10. Glatter Spalt. s = 2,59 mm. Von diesem Verbindungsröhrchen aus gingen dann die Schläuche nach den Quecksilbermanometern. Textabbildung Bd. 326, S. 57 Fig. 9a. Auch hier wurden, nachdem mittels des Einlaufschiebers eine bestimmte Wassergeschwindigkeit eingestellt war, zunächst die Druckhöhen im offenen Schenkel der Quecksilbermanometer durch die Schieber markiert, dann die Steighöhe im Meßtank in einer bestimmten Zeit gemessen, hierauf der Einlaufschieber etwas gedrosselt und schließlich die Druckhöhen notiert. Vor Beginn des Versuchs wurden sämtliche Schläuche von den Manometern abgenommen, um die Luft vollkommen zu entfernen. An der höchsten Stelle der Schläuche zeigten Schlauchtüllen aus Glas stets an, ob die Schläuche luftleer waren. Bei verschiedenen Geschwindigkeiten wurden die Drücke an den angegebenen 8 Querschnitten gemessen. Mittels der Eichkurve für die einzelnen Manometer wurden die Drücke in Metern Wassersäule ausgedrückt. Die Ergebnisse dieser Messungen sind in Fig. 7 bis 10 dargestellt. Als Abszisse ist die Spaltlänge, als Ordinaten sind die Drücke genommen. Man erkennt, daß der Druck für alle vier Spaltenweiten bei allen Geschwindigkeiten linear abnimmt; und außerdem, daß der Druck O bei allen Spaltenweiten an derselben Stelle liegt. Diese Stelle liegt kurz hinter dem Spaltende in dem sich erweiternden Uebergangsstück. Da dieser Querschnitt wesentlich größer war als der Spaltquerschnitt, ist es einleuchtend, daß hier schon Atmosphärendruck vorhanden ist. Dies zeigte sich auch dadurch, daß der konische Auslaufstutzen in seiner oberen Hälfte stets leer war. Die Drucklinien liefern somit den Beweis, daß die Druckangabe der hier verwendeten Lochformen richtig ist, da die Drucklinien dort tatsächlich den Druck null angeben, wo Atmosphärendruck vorhanden ist. Der schöne gerade Verlauf der Drucklinien vom ersten Querschnitt an zeigt, daß die Einlaufverhältnisse gut sind und auch die vor dem ersten Querschnitt liegende Beruhigungsstrecke von 28 mm genügt. Textabbildung Bd. 326, S. 57 Fig. 11.Bestimmung von K. In Fig. 7 bis 10 sind auch die zu jeder Druckkurve gehörigen Geschwindigkeiten als Abszissen eingetragen. Als Ordinate ist der Druck im ersten Querschnitt gewählt. An Hand dieser Versuche soll nun nachgeprüft werden, ob das Gesetz für die Rohrreibung für die vorliegenden Spalten gültig ist. h_p=\zeta\,.\,\frac{2\,l}{s}\,.\,\frac{w^k}{2\,g}. Zunächst sei vorausgesetzt, daß \zeta\,.\,\frac{2\,l}{s\,.\,2\,g} konstant ist, und es soll nun die Potenz von w bestimmt werden; denn daß der Exponent K von w nicht gleich 2 ist, gibt schon Poiseuille an. In der Praxis nimmt man der einfachen Rechnung halber trotzdem 2 dafür an und läßt dafür ξ' veränderlich mit w werden. Zeuner gibt (a. a. O. S. 50) für ξ'-Werte an, bezogen auf verschiedene Geschwindigkeiten. Setzt man in obiger Gleichung \frac{\zeta\,.\,2\,l}{s\,.\,2\,g}=1/C, so ist h_p=\frac{1}{C}\,.\,w^k und man kann logarithmieren log hρ = – log C + K • log w. Dieser Ausdruck stellt eine Gerade dar, deren Tangente gegen die Abszissenachse K ist und die auf der negativen Ordinatenachse das Stück log C abschneidet. Trägt man also (nach Reynolds) als Abszissen die Logarithmen von w, als Ordinaten die Logarithmen von hρ auf, so erhält man als jeweilige Tangente an diese Kurve den Koeffizienten K. In Fig. 11 sind die Logarithmen der Drucke am Anfang des 185 mm langen Spalts und die der Geschwindigkeiten graphisch aufgetragen, und zwar für alle vier Spalte. Zunächst ist zu erkennen, daß die Punkte alle recht gut auf einer Geraden liegen; ein Beweis, daß für den ganzen Verlauf der Kurve K eine Konstante ist. (Bei dem 0,6 mm weiten Spalt gilt dies nur bis zu dem Knick in der Geschwindigkeitskurve.) Die Tangente und damit K ist für s = 0,66s = 1,08s = 1,71s = 2,59 :::: K = 1,92K = 1,91K = 1,93K = 1,92 K mittel = 1,92 Für log C findet man auf der negativen Ordinatenachse nach Figur 11 für s = 0,66 : log C = 0,415 und C =   2,600 s = 1,08 : log C = 0,706 und C =   5,082 s = 1,71 : log C = 0,933 und C =   8,570 s  = 2,59 : log C = 1,212 und C = 13,22 Nach der Gleichung \zeta=\frac{g\,.\,s}{l\,.\,C} erhält man hiernach die folgenden Werte für s = 0,66 : ζ = 0,0135 s = 1,08 : = 0,0113 s = 1,71 : = 0,0106 s = 2,59 : = 0,0104 Diese Werte sind in Fig. 12 als Ordinaten über der zugehörigen Spaltweite als Abszisse aufgetragen. Nach dieser Darstellung ist ξ wesentlich von der Spaltweite abhängig. Mit zunehmender Spaltweite nimmt ξ ab und nähert sich asymptotisch einem Werte, der nicht sehr viel kleiner als 0,0104 ist. Bei größeren Spalten ist also ξ in dieser Art dargestellt so gut wie konstant. K war bei dieser Betrachtung zu 1,92 angenommen. Dies ist aber nicht gebräuchlich in der Praxis. Daher sei auch untersucht, wie sich ξ' verhält wenn K = 2 gesetzt wird. Man hat zur Bestimmung dann die Gleichung ξ' = hρ • s • g/t • w2. In Tab. 1 sind nun die Werte für ξ' bei w = 4, 5, 6, 7 und 8 m/Sek. eingetragen, die zu den verschiedenen Spaltweiten gehören. Die zusammengehörigen hρ und w sind hierzu aus den Darstellungen Fig. 7 bis 10 entnommen. Tabelle 1. Werte für ζ' w m/Sek. 4 5 6 7 8 Mittel für s = 0,66 0,01130 0,01140 0,01180 – – 0,0115 für s = 1,08 0,00928 0,00938 0,00940 0,00934 0,009281 0,00934 für s = 1,71 0,00890 0,00876 0,00877 0,00874 0,008781 0,00879 für s = 2,59 0,00644 0,00658 0,00668 0,00672 0,00674 0,00663 Bei s = 0,66 und s = 2,59 nimmt ξ' mit zunehmender Geschwindigkeit zu. Bei den beiden andern Spalten ist dies nicht der Fall. Aus diesen Beobachtungen läßt sich daher kein Gesetz ableiten. Jedenfalls sieht man aber aus den Mittelwerten, daß ξ' wesentlich von der Spaltweite abhängig ist. In Fig. 13 ist ξ' dargestellt als Ordinate, über den Spalt weiten als Abszissen. Man erkennt, daß ξ' abnimmt mit zunehmendem Spalt. Dies ist auch zu erwarten; denn im Grenzfalle muß ξ' den Wert ergebender für weite Rohre zutrifft. Für diese gibt Pfarr an: ξ' = Ψ/γ • 2g = 0,2627 2 g/γ = 0,00523. Ein Vergleich mit den Werten, die Becker bei seinen Versuchen mit dem treppenförmig abgestuften Kolben fand, zeigt, daß das dort gefundene ξ' = 0,0194 für Spalte von (in Mittel) 0,16 mm in die in Fig. 13 dargestellte Kurve gut paßt. Die Kurve nähert sich asymptotisch dem Wert 0,00523 für Rohre. Die andern von Becker gefundenen Werte sind im Vergleich zu den hier gefundenen kleiner. Es liegt dies daran, daß bei seinen anderen Versuchen geschliffene Spalte verwendet wurden, während bei den hier vorliegenden Versuchen die Wände nur glatt gehobelt waren. Es läßt dies erkennen, wie sehr ξ' von der Oberfläche abhängig ist. Da für die Praxis bei Spaltverlusten fast stets nur größere Geschwindigkeiten als 2 m/Sek. vorkommen, so wurden diese Versuche nicht auf ganz: kleine Geschwindigkeiten ausgedehnt. In Fig. 7 sind jedoch Versuche bei w = 1,6 m/Sek. und w = 2,3 m/Sek. dargestellt. Diese Punkte liegen nicht auf der Parabel der übrigen Geschwindigkeiten; ein Zeichen, daß hier obiges Gesetz nicht mehr gilt. Textabbildung Bd. 326, S. 58 Fig. 12. Darstellung von ξ.Fig. 13. Darstellung von ξ'. Spaltweite in mm. Hieran wurde nun das Poiseuillesche Gesetz geprüft hρ = 12 • l • k w/s2. Da alle Größen bis auf k bekannt sind, wurde dieses bestimmt. hρ und w sind der Geraden Fig. 7 entnommen zu hρ = 2,060 m Wassersäule = 2,06 • 103 kg/qm, w = 2,31 m/Sek. Es ergibt sich hiernach k zu 185 • 10 – 6 kg-Sek./qm. Die Temperatur des Wassers war etwa 8° C. Dieser Wert schließt sich gut an die von O. E. Meyer angegebenen an. Nach Fig. 7 liegt für den 0,66 mm weiten Spalt die kritische Geschwindigkeit etwa bei 2,5 m. Bei Spalten weiter als dieser liegt sie noch tiefer. Mittels des Werts k = 185 × 10 – 6 wurde, da für so kleine Geschwindigkeiten keine Versuche hier gemacht wurden, die Geschwindigkeitsgerade errechnet und in Fig. 8 bis 10 gestrichelt eingezeichnet. Es ist hρ/w = C/s2. Hiernach ergaben sich für die Tangenten der Geschwindigkeitsgeraden bei s = 1,08 : hρ/w = 0,334 s = 1,71 : hρ/w = 0,133 s = 2,59 : hρ/w = 0,0579 Die kritischen Geschwindigkeiten würden dann den Kurven nach etwa liegen für s = 1,08 : wcr = 2 m/Sek. s = 1,71 : wcr = 1,5 m/Sek. s = 2,59 : wcr = 1,0 m/Sek. (Fortsetzung folgt.)