Die Beeinflussung des Reguliervorganges von seiten der durch die Wasserträgheit entstandenen Druckschwankungen. Von Dipl.-Ing. R. Dubs und Dr.-Ing. A. Utard, Zürich. (Fortsetzung von S. 122 d. Bd.) Die Beeinflussung des Reguliervorganges von seiten der durch die Wasserträgheit entstandenen Druckschwankungen. 2. Die Bestimmung des Schwungmomentes ohne Berücksichtigung der Druckschwankungen. Soll in einem bestimmten Fall das zur Einhaltung eines vorgeschriebenen Ungleichförmigkeitsgrades δ notwendige Schwungmoment J ermittelt werden, so kann dies leicht mit Hilfe der im vorigen Abschnitt abgeleiteten Gleichungen 7 bezw. 7' geschehen. Es war: n_m=n_a\,.\,+\frac{30\,M_1}{\pi\,.\,J}\,[a-b]^2\,.\,\frac{T}{2} . . 7) daraus: J=\frac{30\,.\,M_1\,.\,[a-b]^2\,.\,T}{2\,.\,\pi\,.\,[n_m-n_a]} Setzt man nun noch für M_1=75\,.\,\frac{N_1}{\omega_1}=\frac{75\,.\,30\,.\,N_1}{\pi\,.\,n_1}, wo n1 = Drehzahl bei vollbelasteter Turbine, so folgt: J=\frac{30^2\,.\,75\,.\,N_1\,[a-b]^2\,.\,T}{\pi^2\,.\,2\,.\,[n_m-n_a]\,.\,n_1} . . 8) Da die maximale Ungleichförmigkeit δm für Totalentlastung oder -Belastung auftritt, so ergibt sich das maximal notwendige Schwungmoment Jm für a = 1, b = 0 oder a = 0 und b = 1 aus der obigen Beziehung 8 zu: J_m=\frac{30^2\,.\,75\,.\,N_1\,.\,T}{2\,.\,\pi^2\,.\,{n_1}^2\,.\,\delta_m} . . . . 9) sofern man: \frac{n_m-n_0}{n_1} bezw. \frac{n_0-n_m}{n_1}=\delta_mn0 und n1 bedeuten nun die Drehzahlen zur Zeit t = 0 und t = T. setzt. Denkt man sich die totale Schwungmasse aller rotierenden Teile in einem Hohlzylinder vom inneren Radius R1 und äußeren Radius R2 und dem Gewicht G konzentriert, so ist bekanntlich: \left =\frac{G}{g}\,\left[\rho^2+\frac{1}{4}\,d^2\right]\mbox{ wo:}\right{{d=\frac{R_1-R_2}{2}}\atop{\rho=\frac{R_1+R_2}{2}}} und g = 9,81 m/Sek.2 Man kann nun stets R1 und R2 so wählen, daß \frac{1}{4}\,d^2 mit sehr guter Annäherung gegenüber ρ2 vernachlässigt werden darf; ebenso kann man dann \rho=R=\frac{R_1+R_2}{2}= dem mittleren Radius des Hohlzylinders annehmen und es folgt mit R=\frac{D}{2} gesetzt: J=\frac{G\,.\,D^2}{4\,.\,g} . . . . . 10) Führt man nun diesen Ausdruck für J in Gleichung 9 ein, so ergibt sich: G\,.\,D^2=135000\,\frac{N_1\,.\,T}{{n_1}^2\,.\,\delta_m}Wenn man der Kürze halber Jm = J setzt, da nun keine Verwechslungen mehr zu befürchten sind. . . 11) welche Gleichung uns eine für die praktische Verwendung sehr bequeme Beziehung zwischen dem maximal notwendigen Schwungmoment, der maximalen Turbinenleistung N1, der totalen Schließ- bezw. Oeffnungszeit T und dem zugelassenen Ungleichförmigkeitsgrad δm darstellt. Es ist bei der Anwendung von Gleichung 11 jedoch stets zu beachten, daß dieselbe nur bei verhältnismäßig kleinen Ungleichförmigkeitsgraden δm einigermaßen genaue Uebereinstimmung mit der Wirklichkeit ergibt. Zur Ermittlung der Schwungmassen bei größeren Ungleichförmigkeitsgraden sollte deshalb stets Gleichung 7' benutzt werden. Es war: {n_m}^2={n_a}^2+\left(\frac{30}{\pi}\right)^2\,.\,\frac{150\,N_1}{J}\,[a-b]^2\,.\,\frac{T}{2} . 7') daraus: J=\frac{30^2\,.\,150\,.\,N_1\,[a-b]^2\,.\,T}{\pi^2\,.\,2\,.\,[{n_m}^2-{n_a}^2]} . . 12) Rechnet man wiederum das größte Schwungmoment Jm für totale Be- oder Entlastung, so ergibt sich für dasselbe: J_m=\frac{30^2\,.\,150\,.\,N_1\,.\,T}{\pi^2\,.\,2\,.\,[{n_m}^2-{n_1}^2]} . . 13) oder indem man für Jm den äquivalenten Hohlzylinder einführt, kann die obige Gleichung unter Benutzung der Relation 10) auch in der Form: G\,.\,D^2=270000\,\frac{N_1\,.\,T}{{n_m}^2-{n_1}^2} . . 14) geschrieben werden. Wie in Abschnitt 1 nachgewiesen wurde, gibt Gleichung 14 selbst bei relativ großen Ungleichförmigkeitsgraden eine sehr gute Uebereinstimmung mit der Wirklichkeit. Sie dürfte deshalb als allgemeine Grundlage zur Berechnung von Schwungmomenten sehr geeignet sein. Bei kleineren Ungleichförmigkeitsgraden δm kann man \delta_m=\frac{n_m-n_1}{n_1} und n_1=\frac{n_m+n_1}{2} setzen. Dann ist: 2 • δm • n12  = nm2 – n12 und dies in Gleichung 14 eingesetzt, ergibt: G\,.\,D^2=135000\,.\,\frac{N_1\,.\,T}{{n_1}^2\,.\,\delta_m} d.h. genau dieselbe Beziehung wie unter 11. Die Berechnung der Schwungmassen kann in diesem Falle durch Wegschaffung der großen Zahlenwerte noch etwas vereinfacht werden, indem man sich, wie in Fig. 5 dargestellt, für eine Reihe von Drehzahlen die jeweiligen Quotienten q=\frac{135000}{{n_1}^2} berechnet und in einem Diagramm als Funktion von n1 aufträgt. Ist dann in einem bestimmten Fall eine Drehzahl gegeben, so kann man sich aus dem Diagramm rasch den zugehörigen Wert des Quotienten q entnehmen, der mit N1 • T multipliziert und durch δm (als Bruch) dividiert, das notwendige Schwungmoment liefert. 3. Die bei der Turbinenregulierung auftretenden Druckschwankungen. Die in der einschlägigen Literatur mehrfach behandelte Frage über den Verlauf und die Maximalhöhe dieser Druckschwankungen bildete ebenfalls den Gegenstand eingehender Untersuchungen in früheren Arbeiten derselben Verfasser.Allièvi-Dubs: Allgemeine Theorie über die veränderliche Bewegung des Wassers in Rohrleitungen. Julius Springen Berlin, 1909. Utard: Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit des zufließenden Arbeitswassers. Dinglers Journal, Heft 26–33, 1909. Ferner sei hingewiesen auf Braun: Druckschwankungen. Wittwer, Stuttgart, 1909. Auf die dort erhaltenen Resultate fußend, soll nun der Einfluß untersucht werden, den diese als Sekundärerscheinungen des Reguliervorganges aufzufassenden Druckschwankungen wieder rückwärts auf die Turbinenregulierung ausüben. Die vorliegende Arbeit schließt sich infolgedessen direkt an die früheren an, und soll die praktischen Konsequenzen jener theoretischen Untersuchungen ziehen. Zur Ermittlung des Verlaufes der Druckkurve während der Dauer der Leitschaufelverstellung kommen in der Hauptsache zwei Methoden in Frage,Rateau:„Traité des turbo machines“ Paris, Dunod 1900. Prof. Rateaus Methode wurde von Prof. Pfarr bezw. vom Comte de Sparre weiter ausgebildet und wird im folgenden kurz als Methode von Pfarr bezeichnet werden. nämlich die von Prof. A. PfarrPfarr: Die Turbinen für Wasserkraftbetrieb, Kap. 21. Berlin 1907. bezw. vom Comte de SpaneVier Aufsätze in der Zeitschrift: La houille blanche-Grenoble. Sept. 1904, Mai 1905, Juli 1905, Sept. u. Dez. 1907. und ferner die von Ing. M. L. Allièvi.Bereits vorstehend angeführt. Rateau, Pfarr und de Spane lassen die Elastizität der Rohrwandungen und die Kompressibilität des Wassers unbeachtet; nach ihrer Methode erhält man demzufolge gleichmäßig verlaufende Kurven, die auch für verschiedene Anfangsbeaufschlagungen unter sich ähnlichen Charakter haben. Es sei: C1 = maximale Durchflußgeschwindigkeit des Wassers in der Rohrleitung; diese tritt auf bei der Beaufschlagung β = 1; T = totale Schließ- bezw. Oeffnungszeit; L = totale Länge des Zuleitungsrohres; H0 = Gefällhöhe; h = Druckhöhe beim Leitapparat, berechnet ohne Berücksichtigung der Elastizitäten. Dann ergibt sich nach der Methode von Pfarr und de Sparre das Maximum oder Minimum der Druckschwankungen aus der Gleichung: h_{max}=z\,.\,H_0=H_0\,\left[1+\frac{m^2}{2}\,\mp\,\sqrt{1+\frac{m^2}{4}}\right]s. a. Allièvi-Dubs „Allgemeine Theorie usw.“ III. Kap. § 11 Gleichung 40 und § 11 bis, sowie Anhang. . 15) worin z=\frac{h}{H_0}= verhältnismäßige Druckänderungen und m=\frac{C_1\,.\,L}{g\,.\,H_0\,.\,T} ein Ausdruck, der alle Betriebsdaten enthält. Die Methode von Allièvi welche, mit Ausnahme der Reibung, alle in Betracht kommenden Faktoren berücksichtigt, ergibt nach vollständigem Oeffnen oder Schließen einen oszillatorischen Verlauf des Druckes. In speziellen Fällen „siehe Allièvi-Dubs III. Kap. § 11 bis“ treten diese Oszillationen schon während des Verstellvorganges auf. Die Periode der Oszillation ist 2 L/i, wo i die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Druckes in der Rohrleitung bedeutet und aus der Beziehung: \frac{1}{i^2}=\frac{\gamma}{g}\,\left[\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{E}\,.\,\frac{d}{D}\right] . . . . 16) zu berechnen ist. Hierin bezeichnet: ε = Kompressibilitäts-Koeffizient des Wassers. E = Elastizitätsmoduls des Rohrmaterials. d = Wandstärke des Zuleitungsrohres. D = Durchmesser des Zuleitungsrohres. Wie in den früheren ArbeitenDa im folgenden des öfteren auf die Gleichungen hingewiesen werden muß, die in den bereits früher angegebenen Arbeiten der Verfasser abgeleitet wurden, so sollen im folgenden der Kürze halber diese Arbeiten kurzweg mit „Druckschwankungen“ (Utard) und „Allgemeine Theorie“ (Allièvi-Dubs) bezeichnet werden. der Verfasser abgeleitet wurde, beträgt das äußerste Maximum der unter Berücksichtigung der Elastizitäten berechneten Druckhöhe H (vergl. Druckschwankungen Gleichung 76) und „Allgemeine Theorie“, 2. Teil, I. Kap. § 1, Gleichung XVIII). Hmax = H0 • zmax = H0 [ 1 + 2 m] . . 17) Dieser maximale Druck tritt dann auf, wenn der Schließvorgang bei der Teilfüllung \beta=\frac{2\,L}{i\,.\,T} beginnt und mit einer als konstant anzunehmenden Schließgeschwindigkeit bei β = 0, d.h. erst nach völligem Schluß endet. Die gleichen Füllungen \left(\beta=\frac{2\,L}{i\,.\,T}\right) ergeben auch das schnellste Ansteigen des Ueberdruckes bei fortwährend mit dem Zeitabstand \frac{2\,L}{i} sich ablösenden Oeffnungs- und Schließvorgängen. Es kann alsdann für jeglichen Wert von m=\frac{L\,C_1}{g\,.\,H_0\,.\,T} bei genügend zahlreicher Aufeinanderfolge solcher ungünstigster Verstellvorgänge die Druckhöhe 2 H0, d.h. ein Ueberdruck gleich dem normalen Gefälle H0, erreicht werden. In diesem Falle gibt uns nur das Maß der Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen solcher aufeinanderfolgender Oeffnungs- und Schließvorgänge einen Anhaltspunkt zur Bestimmung der Größe des bei Berechnung der Rohrwandungen zu berücksichtigenden Maximaldruckes. II. Die Berücksichtigung der Druckschwankungen beim Reguliervorgange. 4. Der Einfluß der Druckschwankungen auf nmax, d.h. auf die Schwankungen in der Tourenzahl. Sobald wir den rückwärtigen Einfluß dieser Trägheitserscheinungen (d.h. der Druckschwankungen) ins Auge fassen, so interessiert uns weniger der Verlauf der Druckkurve als vielmehr die hierdurch bedingte Modifikation der Leistungskurve. Die nach den Methoden von Pfarr und Allièvi aus der Druckkurve entwickelte Leistungskurve weicht ganz wesentlich von ihrer ideellen Form ab, welch letztere bei konstanter Druckhöhe und linear variierendem Austrittsquerschnitt (s. die früheren Voraussetzungen) ebenfalls linear verläuft. Infolge der Massenwirkung des hinzufließenden Arbeitswassers nimmt nämlich die ausgeleitete Arbeitsmenge keineswegs proportional zur Aenderung des Austrittsquerschnittes ab, sie kann sogar in ungünstigen Fällen (lange Zuleitungsrohre und große Rohrgeschwindigkeit) in den ersten Augenblicken des Schließens zunehmen, so daß in diesen Zeitintervallen durch das Schließen eine der angestrebten gerade entgegengesetzte Wirkung eintritt.s „Allgemeine Theorie“, II. Kap., § 6. Wir können somit die in den meisten theoretischen Untersuchungen über Reguliervorgänge getroffene Annahme einer gleichmäßigen, d.h. proportionalen Ab- und Zunahme der Arbeitsleistung oder der Drehmomente während der Dauer der Leitschaufelverstellung, wie sie auch Gleichung 7 bezw. 7' zugrunde liegt, nicht mehr beibehalten; wir müssen vielmehr für jeden Augenblick die Größe der Arbeitsleistung resp. des von der Turbine entwickelten Drehmomentes aus Kurvenaufzeichnungen entnehmen. Es ist daher nicht mehr möglich, die am meisten interessierenden Größen nmax und tmax (das ist die Zeit, welche vom Beginn der Entlastung bis zur größten Geschwindigkeit nmax verstreicht) auf rein analytischem Wege zu bestimmen und müssen uns daher mit anderen Methoden zu behelfen suchen. Der nächstliegendste Weg ist wohl der, daß man von der verhältnismäßig leicht zu ermittelnden Leistungskurve der Turbine ausgeht, indem man die bereits im ersten Abschnitt besprochene Annahme trifft, daß in der Nähe der normalen Tourenzahl die Leistung mit veränderlicher Tourenzahl konstant bleibt. Es sei ASa das Arbeitsvermögen aller rotierenden Massen (Schwungrad, Turbinenlaufrad, Transmissionsteile eventl. Arbeitsmaschine oder Rotor des Generators) vor dem Wechsel an Kraftbedarf. Nun trete eine plötzliche Entlastung der Turbine von der Leistungsentnahme a • L1 auf die Leistungsentnahme b • L1 ein (L1 = maximale Turbinenleistung in mkg/Sek. für β = 1). Das Arbeitsvermögen der rotierenden Massen wird sich dann nach Ablauf einer gewissen Zeit t auf einen gewissen Betrag AS geändert haben. Wir können alsdann für den Schließvorgang folgende Ueberlegung anstellen: In jedem Augenblick muß die Zunahme der lebendigen Kraft der Schwungmassen gleich sein dem momentanen Betrag des infolge der plötzlichen Entlastung von der Leistungsentnahme a • L1 auf b • L1 überflüssig gewordenen Arbeitsvermögens der Turbine. Dieses überschüssige Arbeitsvermögen ist nun gleich der Differenz zwischen der vom Augenblick des Beginns der Schließbewegung aus verrichteten Turbinenarbeit und der durch die Belastungsmaschine gleichmäßig verbrauchten Arbeit b • L1 • t. Während dieser letztere Ausdruck nach Voraussetzung konstant, d.h. nur mit t variabel ist, verändert sich der Wert des augenblicklichen Arbeitsvermögens der Turbine andauernd, jedoch nicht mehr linear wie beim ideellen Reguliervorgang; da, wie bereits umstehend erwähnt, bei der Ermittlung der L1-Kurve die veränderliche Druckhöhe berücksichtigt werden muß. Sobald nun diese Druckkurve bestimmt worden ist, läßt sich in jedem Moment die betr. Turbinenleistung leicht berechnen. Es ist:s. „Druckschwankungen“, Gleichung 76. s. „Allgemeine Theorie“, II. Kap., § 6, Gleichung 23. L=\eta\,\frac{\gamma\,.\,q\,.\,C^2}{2\,g}=\frac{f\,.\,\gamma\,.\,C^3}{2\,g}\,\eta=q\,.\,\lambda\,.\,h\,.\,\eta wo: q = sekundl. ausfließende Wassermenge in m3/Sek., C = Geschwindigkeit, welche der totalen Druckhöhe beim Leitapparat entspricht, f = Austrittsquerschnitt des Leitapparates und η = mech. Nutzeffekt der Turbine. Es soll derselbe für alle Beaufschlagungen konstant angenommen werden, entsprechend unseren Voraussetzungen. Nach den Grundsätzen der Infinitesimalrechnung darf nun für jedes unendlich kleine Zeitteilchen dt die aus dem Leitapparat ausgeleitete Leistung konstant angenommen werden, und es wird somit in den ersten t-Sekunden nach Beginn des Schließvorganges vom Leitapparat ein Arbeitsvermögen von \int\limits_0^t\,L\,.\,dt auf das Turbinenrad übertragen. Während der gleichen Zeit wird durch die Arbeitsmaschinen ein Arbeitsvermögen von \int\limits_0^t\,b\,.\,L_1\,.\,d\,t=b\,.\,L_1\,.\,t verbraucht. Nach unseren früheren Darlegungen gilt dann die Beziehung; A_S-A_{S_a}=\int\limits_0^t\,L\,.\,d\,t-b\,.\,L_1\,.\,t . . 18) Hierin bedeutet \int\limits:0^t\,L\,.\,d\,t den Inhalt der Fläche zwischen dem entsprechenden Stück der L-Kurve und der Abszissenachse. Wenn ω die Winkelgeschwindigkeit aller rotierender Schwungmassen ist, wobei angenommen wird, daß alle Teile und speziell auch der Regulator im selben Augenblick dieselbe Winkelgeschwindigkeit besitzen, so läßt sich die linke Seite von Gleichung 18 auch in anderer Weise schreiben. Es ist: A_S-A_{S_a}=J\,.\,\frac{\omega^2}{2}-J\,\frac{{\omega_a}^2}{2} wo: ωa und ω bezw. na und n die Winkelgeschwindigkeiten bezw. Tourenzahlen zurzeit t = 0 und t = t bedeuten. Es folgt: A_S-A_{S_a}=\frac{J}{2}\,.\,\left(\frac{\pi\,.\,n}{30}\right)^2-\frac{J}{2}\,.\,\left(\frac{\pi\,.\,n_a}{30}\right)^2 oder: A_S-A_{S_a}=\frac{J\,.\,\pi^2}{1800}\,[n^2-{n_a}^2] . . 19) Damit geht Gleichung 18 über in: n^2={n_a}^2+\frac{1800}{J\,.\,\pi^2}\,\left[\int\limits_0^t\,L\,.\,d\,t-b\,.\,L_1\,.\,t\right] . 20) oder, wenn man in der Klammer durch L1 dividiert, folgt: n^2={n_a}^2+\frac{1890\,.\,L_1}{J\,.\,\pi^2}\,\left[\int\limits_0^t\,\frac{L}{L_1}\,d\,t-b\,.\,t\right] . 21) Der Klammerausdruck bedeutet den Inhalt der ganz schraffierten Fläche in Fig. 6 (s. S. 122), während beim ideellen Reguliervorgange, d.h. bei steter Proportionalität zwischen Turbinenleistung und Oeffnung, nur das doppelt schraffierte Stück in Betracht kommen würde. Für Fig. 6 sowie für sämtliche übrige Figuren gilt das in dem früheren Aufsatz über Druckschwankungen unter Kap. II, 2 und 3 Gesagte (s. D. p. J. S. 418). Es ist speziell zu beachten, daß die Werte der momentanen Turbinenleistung L und des Wasserquantums q ebenso wie die augenblicklichen Eröffnungen f des Leitapparates, nämlich f = β • f1, von der Abszissenachse aus nach unten abgetragen sind. Hierdurch ergeben sich also Schlußlinien, die von links unten nach rechts oben ansteigen, und dementsprechend nach links abfallende Oeffnungslinien. Diese Methode der Kurvenaufzeichnung hat den Vorzug, daß sie sich an die Auftragsweise anschließt, die bei der Untersuchung von Regulierverhältnissen allgemein im Gebrauch ist. Da nämlich beim indirekt wirkenden Regulator der völligen Eröffnung der Leitschaufeln, also der Maximalleistung L1 der Turbine, bei nicht kompensierter Rückführung die kleinste normale Geschwindigkeit entspricht und umgekehrt dem Leerlauf die größte, so müssen die Werte der Leistungen und die der Momente und der Füllungen nach unten hin aufgetragen werden, damit sie in Einklang stehen mit einer im positiven Sinn aufgezeichneten n-Kurve. Die Kurven der Druckhöhen und Austrittsgeschwindigkeiten des Arbeitswassers haben jedoch die Zählrichtung von unten nach oben, d.h. in gewöhnlichem Sinne, wobei allerdings die Abszissenachse um das den Größen L1 resp. f1 und q1 entsprechende Stück nach unten verschoben ist, also bis zu der untersten wagerechten Linie in Fig. 6. In vorstehender Fig. 6 ist die nach der Methode von Pfarr ermittelte L-Kurve eingezeichnet. Die L-Kurve nach Allièvi hat mit der Pfarrschen die Eigenschaft gemein, daß sie in demselben Sinne von der Schlußlinie abweicht. Zur Angabe ihres Verlaufes, welcher in jedem einzelnen Falle verschieden ist, ist die Kenntnis der Größen m und L (L = Rohrleitungslänge) sowie der Anfangsbeaufschlagung a und der Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit i erforderlich. Im folgenden soll dann noch näher auf die Frage eingegangen werden, welche Unterschiede bezüglich der L-Kurven und der Geschwindigkeitsschwankungen sich bei Anwendung dieser zwei verschiedenen Methoden ergeben und welche von beiden in den einzelnen Fällen am praktischsten anzuwenden ist. (Fortsetzung folgt.)