Die Beeinflussung des Reguliervorganges von seiten der durch die Wasserträgheit entstandenen Druckschwankungen. Von Dipl.-Ing. R. Dubs und Dr.-Ing. A. Utard, Zürich. (Fortsetzung von S. 138 d. Bd.) Die Beeinflussung des Reguliervorganges usw. Wie bereits in Abschnitt 1 nachgewiesen wurde, erhalten wir zur Ermittlung der Geschwindigkeitskurve eine einfachere Beziehung als Gleichung 21, wenn wir statt der ausgeleiteten Leistung die bezüglichen Drehmomente M berücksichtigen. Da zwischen N und M die Beziehung: M=71620\,\frac{N}{n} . . . . . 22) besteht, so ist es, um eine effektive Vereinfachung zu erzielen, notwendig, daß wir eine proportionale Aenderung von M mit N annehmen, d.h. daß wir für n eine mittlere konstante Tourenzahl einsetzen. Da die Tourenzahlen doch nur innerhalb ziemlich enger Grenzen variieren dürfen, soll der Zweck der Regulierung nicht ein illusorischer sein, so kann man die obige Annahme als zulässig betrachten, und da die effektiven Verhältnisse immer günstiger sind, so ergibt die zugelassene Ungenauigkeit einen gewissen praktischen Garantiefaktor. Es können dann auch die Maßstäbe der L- und M-Kurven so gewählt werden daß die beiden Kurven zusammenfallen. Wie bereits in Abschnitt 1 besprochen, besteht nach dem Eintritt einer plötzlichen Entlastung so lange ein Unterschied ΔM zwischen dem Drehmoment der Turbine und dem Widerstandsmoment der Arbeitsmaschine, bis es dem Regler durch Verstellen der Leitschaufeln gelungen ist, das Gleichgewicht zwischen beiden wieder herzustellen. So lange wird aber auch ständig eine Zunahme der Umdrehungszahlen der Turbine und des Pendels stattfinden, wobei in jedem Augenblick die Gleichung \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{\Delta\,M}{J}=\frac{M-b\,.\,M_1}{J} . . . 23) erfüllt ist. Durch Integration folgt: \omega-\omega_a=\int\limits_0^t\,\frac{M-b\,.\,M_1}{J}\,d\,t=\frac{1}{J}\,\left[\int\limits_0^t\,M\,.\,d\,t-b\,.\,M_1\,.\,t\right] . . . 24) Nun ist: \omega-\omega_a=\frac{\pi}{30}\,(n-n_a) Damit ergibt sich für die momentane Tourenzahl der Ausdruck: n=n_a+\frac{30}{\pi\,.\,J}\,\left[\int\limits_0^t\,M\,.\,d\,t-b\,.\,M_1\,.\,t\right]. 25) oder: n=n_a+\frac{30\,.\,M_1}{\pi\,.\,J}\,\left[\int\limits_0^t\,\frac{M}{M_1}\,d\,t-b\,.\,t\right]. 26) In dieser Gleichung bedeutet wiederum der Klammerausdruck den Flächeninhalt zwischen der M-L-Kurve und der b • M1-Linie, d.h. der im Abstand b • M1 von der obersten Abszissenachse gezogenen Horizontalen. Auf Grund dieser Ueberlegungen können wir in jedem Augenblick, d.h. zu jeder Zeit t nach Beginn des Schließens die dort vorhandene Umdrehungszahl n graphisch ermitteln. Der Vorteil der Gleichung 25 und 26 gegenüber den Gleichungen 21 und 22 liegt nun darin, daß direkt n und nicht erst dessen Quadrat erhalten wird, was die Rechnung wesentlich vereinfacht. In Fig. 7 ist die rechnerisch ermittelte Geschwindigkeitskurve nebst allen andern zur Berechnung erforderlichen Größen dargestellt. Dabei wurden folgende Daten der Rechnung zugrunde gelegt: H0  = 100 m; L = 400 m; C1 = 2 m/Sek.; T = 4 Sek.; N1 = 300 PS; G • D2 = 8056 kg/qm. Es ist angenommen worden, daß beim Punkt a plötzlich eine Entlastung der Turbine vom Moment a • M1 auf b • M1 eintrete. Ohne Berücksichtigung der Druckschwankungen würde bei sofortigem Eingreifen des Regulators das treibende Moment der Turbine der Schluß-f-Linie entsprechend linear abnehmen und die Umdrehungsgeschwindigkeiten würden sich nach der mit n ideell bezeichneten Kurve ändern. Sobald aber die Druckschwankungen berücksichtigt werden, hört die Proportionalität zwischen der Schlußlinie und der Turbinenleistung L auf, so daß die letztere Größe nun nach einer der beiden Methoden von Pfarr oder von Alliévi ermittelt werden muß. Diese L-Kurve kann dann, wie oben erläutert, bei nicht zu großen Geschwindigkeitsschwankungen mit genügender Genauigkeit als das Maß für die augenblicklichen Drehmomente genommen werden, so daß unter Zugrundelegung eines verschiedenen Maßstabes die L-Kurve auch als M-Kurve angesehen werden kann. Um also die Geschwindigkeit für einen beliebigen Punkt zu berechnen, braucht man in Gleichung 25 für \int\limits_0^t\,M\,.\,d\,t bloß den Inhalt der in Fig. 7 schraffierten Fläche von der Vertikalen aa bis zur entsprechenden Stelle von t1 einzusetzen. Die Rechnung wird noch etwas erleichtert, wenn wir statt der Gleichung 25 die Gleichung 26 benutzen, da wir dann meistens einen bequemeren Maßstab erhalten, der es auch erlaubt, die aus der Kurvenaufzeichnung zu entnehmenden Werte direkt abzulesen. Die Strecke, die in dem unteren Teil der Fig. 7 mit Ml bezeichnet ist, muß nämlich bei Anwendung von Gleichung 26 gleichgesetzt werden \frac{M_1}{M_1}, d.h. der absoluten Zahl 1. Dementsprechend ist dann die Strecke b • M1 gleich b zu setzen, man spart somit die jedesmalige Multiplikation mit M1. Textabbildung Bd. 326, S. 153 Fig. 7. Der größeren Uebersichtlichkeit wegen ist Fig. 7 in zwei Teile zerlegt. Der untere enthält die nach der Methode von Pfarr entwickelte h-Kurve sowie die L-M-Kurve und die Schluß- und Oeffnungslinie; auch ist hier die augenblickliche Momentendifferenz durch Schraffur leicht kenntlich gemacht. Im oberen Teil der Fig. 7 ist die n-Kurve aufgezeichnet, wobei der Maßstab so gewählt wurde, daß die Tourendifferenz zwischen Leerlauf und Vollbelastung in der Zeichnung die gleiche Größe hat wie M1 und f1. Dadurch wird erreicht, daß die oben ebenfalls eingezeichnete Schluß- bezw. f-Linie auch Aufschluß gibt über die einer jeden Füllung durch die Rückführung zugeordnete Norma-Umdrehungsgeschwindigkeit. Es erhellt ohne weiteres, daß die auf diese Art punktweise konstruierte Geschwindigkeitskurve einen wesentlich anderen Verlauf zeigen muß als die unter Vernachlässigung der Druckschwankungen ermittelte (s. Fig. 7). Da bis zum Maximum der L-M-Kurve (Punkt 2 in Fig. 7) das Drehmoment zunimmt anstatt konstant zu bleiben oder entsprechend dem Austrittsquerschnitt abzunehmen, so muß naturgemäß auch bis dahin das Anwachsen der Geschwindigkeit rascher erfolgen als selbst bei regulatorlosem Betrieb. Nach Punkt 2 sinkt dann aber die Momentenlinie rascher ab als die Schlußlinie. Im Punkt C'', d.h. in dem Augenblick, wo die M-Kurve den Wert b • M1 erreicht, tritt das Maximum der Geschwindigkeit ein. Doch der Regulator muß weiter schließen, bis zu dem Augenblick, wo die ziemlich rasch abnehmende Geschwindigkeitskurve die Schluß-f-Linie schneidet. In diesem Punkt entsprechen sich die momentane Umdrehungszahl der Turbine und diejenige normale Umdrehungszahl, welche durch die augenblickliche Stellung der Rückführung vorgeschrieben ist, damit das Steuerventil sich in der Mittelstellung befindet, in welchem Augenblick auch Gleichgewicht herrscht zwischen Antriebs- und Widerstandsmoment. Infolge des Ueberregulierens nimmt aber die Drehzahl n immer noch ab, so daß nun ein rückwärtiges Oeffnen sofort eintritt. Für dieses Rücköffnen entsprechen die Verhältnisse den oben geschilderten und es ist nur der Einfluß, den der Uebergang vom Schließen auf das Oeffnen auf die Leistungs- bezw. Momentenkurve ausübt, besonders zu berücksichtigen. Textabbildung Bd. 326, S. 154 Fig. 8. Nach der Methode von Pfarr gestalten sich die Verhältnisse sehr einfach. Sobald der Schließvorgang in den Oeffnungsvorgang übergeht (d.h. in Punkt d resp. D), muß der Druck, der bisher größer war als H0, unter diesen Betrag heruntersinken. Im Augenblick, wo der Wert H0 erreicht wird, schneidet die L-Kurve die f-Linie, d.h. in diesem Punkte (in Fig. 7, Punkt 3) sind alle Werte h, L, q und r gleich den ideellen. Von da ab verlaufen dann die Kurven so, als ob der Oeffnungsvorgang im Punkt 3 beginnen würde. Die Kurvenstücke von 3 bis D lassen sich dann leicht rückwärts konstruieren, indem wir ein negatives t (Zeit) und dementsprechend die b3-Werte (die kleiner sind als der Ausgangspunkt a3) in die Gleichung für die Austrittsgeschwindigkeit beim Oeffnungsvorgang einsetzen. Die lautet: v=v_0\,.\,\frac{m}{2}\,\left[K\,\frac{\left(\frac{b_3}{a_3}\right)^K+\frac{j_0-K}{j_0+K}}{\left(\frac{b_3}{a_3}\right)^K-\frac{j_0-K}{j_0+K}}-1\right]Vergl. „Druckschwankungen“ Gleichung 12, resp. Pfarr, Gleichung 723. . 27) Hierin bezeichnet: j_0=\frac{2}{m}-1=\frac{2\,g\,.\,H_0\,.\,T}{C_1\,.\,L}-1 und: K=\sqrt{\frac{4}{m^2}+1.} Ferner bedeutet a3 diejenige Füllung β, von der der Verstellvorgang ausgehend gedacht ist, bei der also der normale Druck H0 herrscht; b3 bedeutet die Endfüllung, d.h. diejenige Stellung des Leitapparates, in der das Oeffnen bezw. Schließen unterbrochen wird, d.h. allgemein die Füllung in demjenigen Punkt, in welchem die Druckhöhe zu berechnen ist. Da aber im vorliegenden Fall die Kurve von D nach Punkt 3 und nicht umgekehrt zu zeichnen ist, so läuft die Aufgabe auf die Bestimmung des Punktes 3, d.h. auf die Berechnung der gesuchten Größe as hinaus (s. Fig. 7). Man erhält sofort a3, wenn man in Gleichung 27 v gleich der Austrittsgeschwindigkeit im Punkt D, d. h gleich vD setzt. Auf diese Weise läßt sich das Verhältnis \frac{b_3}{a_3} ermitteln und dieses gibt uns des bekannten b3 wegen, auch den Wert von a3 an. Auch bei Berücksichtigung der Elastizität bietet der Uebergang von einer Verstellrichtung in die andere der Berechnung gar keine Schwierigkeiten, da man zur Ermittlung der Druckhöhe jeweils bloß den Wert der augenblicklichen Füllungsgröße b und der um eine Druckperiode =\frac{2\,L}{i} vorausgegangenen direkten Druckwellen-Durchmesser in die entsprechende Gleichung einzusetzen hat (s. Druckschwankungen, Gleichung 57). Es lassen sich dann jedoch die Verhältnisse nicht mehr so zusammenfassend beurteilen. Im allgemeinen läßt sich nur sagen, daß während der ersten Schwingungsperiode, d.h. während der Zeit \frac{2\,L}{i}, nach dem Uebergang vom Schließen zum Oeffnen, der Druck bedeutend stärker abfällt, als es beim Oeffnen vom normalen Druck H0 des Beharrungszustandes aus der Fall gewesen wäre. Die rückfließende Welle φ, die bei noch weiterem Schließen den normalen Druck M0 zu erhalten bestrebt ist, weil sie Unterdruck zu erzeugen sucht, hat hier den entgegengesetzten Erfolg. Ihre Wirkung summiert sich zu der des Oeffnens und bewirkt damit rascheres und kräftigeres Sinken des Druckes unter H0, als dies bei normalem Oeffnen der Fall ist. Dieses Ergebnis deckt sich allerdings nicht vollständig mit dem aus der Methode von Pfarr erhaltenen, es ist aber die Differenz lediglich in der Berücksichtigung der Elastizität zu suchen. In Fig. 8–10 sind drei Fälle unter Berücksichtigung der Elastizität durchgerechnet und graphisch veranschaulicht. Es ist hierbei bezüglich Rohrdaten das gleiche Beispiel wie in dem Aufsatz über Druckschwankungen der Rechnung zugrunde gelegt. Es sind nämlich folgende Betriebsdaten gewählt worden: H0 = 100 m; C = 2 m/Sek.; L = 200 m; T = 2 Sek. In Fig. 8 ist der Schließvorgang von einer Anfangsfüllung a = 1 bis einer Endfüllung b = 0,6 und sofortigem Wiederöffnen auf β = 1 dargestellt, während in Fig. 9 derselbe Richtungswechsel des Verstellvorganges bei nunmehr kleiner Füllung veranschaulicht ist; es ist hier a = 0,4 und b = 0,2 bei sofortigem Wiederöffnen auf β = 0,8 angenommen. Die Abszissenachsen dieser Figuren weisen somit für die Füllungsgrößen zuerst abnehmende Zahlenwerte auf bis zu b = 0,6 bezw. b = 0,2 und nachher zunehmende Werte. In Fig. 10 ist das Oeffnen von a = 0,6 auf b = 1,0 mit daranfolgendem Rückschließen auf β = 0,4 dargestellt. Den beiden ersten Fällen ist gemein, daß trotz des Ueberganges zum Oeffnen die Leistungskurve ihre vorherige Richtung noch während der ganzen nächsten Druckphase des Rücköffnens, nämlich während \frac{2\,L}{i} Sek., annähernd beibehält.Es ist dies eine Folge des außerordentlich starken Druckabfalles, der bewirkt, daß trotz des Oeffnens während der Zeit \frac{2\,L}{i} die Leistung in beinahe gleicher Weise weiter abnimmt wie während des vorangehenden Schließens. Die gleiche Erscheinung tritt auf beim Uebergang des Oeffnens in das Rückschließen, da auch hierbei eine Zeit gleich \frac{2\,L}{i} Sek. verstreicht, bis die L-Kurve von ihrem vorherigen Verlauf abzuweichen beginnt. Wenn wir für die Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit i den von Alliévi festgestellten Mittelwert von i = 1000 m/Sek. im Ausdruck \frac{2\,L}{i} berücksichtigen, so ist bei L = 200 m die Druckphase gleich 0,4 Sek., und da wir ferner die Gesamtschlußzeit zu T = 2,0 Sek. angenommen haben, so hat die Regulierung während dieser 0,4 Sek. geschlossen resp. geöffnet nur eine Füllungsgröße \beta=\frac{0,4}{2}=0,2. Textabbildung Bd. 326, S. 155 Fig. 9. Es wird somit in der Kurvenauftragung von Fig. 8 erst bei der Füllung β = 0,8 mit der Vergrößerung der Turbinenleistung begonnen statt bei β = 0,6. Ebenso tritt in dem Beispiel von Fig. 10 die Abnahme der L-M-Werte erst bei der Füllung β = 0,8 ein statt wie erwünscht bei β = 1,0. Die auf Grund der (in Fig. 8–10 dargestellten) L-M-Kurven ermittelten Geschwindigkeitskurven haben ungefähr den gleichen Verlauf wie die, welche man ohne Berücksichtigung der Elastizität erhält, da auch nach der Methode von Alliévis. a. „Allgemeine Theorie“, II. Kap., § 6. die L-Kurve stark von der f-Linie abweicht und somit von Anfang an ein stärkeres Ansteigen bezw. Sinken der n-Kurve nach sich zieht. Ein weiterer Grund für das Auftreten größerer Geschwindigkeitsschwankungen infolge der Trägheitserscheinungen ist der, daß, wie beide Methoden zeigen, das erforderliche Drehmoment b • M1 erst später erreicht wird als bei dem ideellen Betrieb ohne Druckschwankungen. So tritt z.B. in Fig. 7 das Gleichgewicht zwischen Triebmoment und Widerstandsmoment erst im Punkt c' statt schon in b ein; daher wird auch das Eintreten der maximalen Geschwindigkeit bis dort hinausgeschoben. Das Anwachsen von n geht also nicht nur rascher vonstatten, sondern es dauert auch länger an als wie bei den ideellen Verhältnissen; diese ideelle n-Kurve ist in Fig. 7 zum Vergleich punktiert eingezeichnet. Im Augenblick der Abnahme der Umdrehungsgeschwindigkeiten ist im Gegensatz zum ideellen Reguliervorgang die anzustrebende Oeffnung der Leitschaufeln längst überschritten. Textabbildung Bd. 326, S. 155 Fig. 10. Von da ab findet infolge des steileren Verlaufes der L-Kurve eine raschere Geschwindigkeitsabnahme statt, so daß von einer Symmetrie beider Kurvenhälften keine Rede mehr sein kann. Sobald die Drehzahl der momentanen Stellung der Rückführung entspricht, also im Schnittpunkt der n-Kurve mit der Schlußlinie (Punkt d in Fig. 7), muß das Schließen aufhören. Der Mangel an nötigem Drehmoment bewirkt nun eine weitere Geschwindigkeitsabnahme, hat also sofortiges Rücköffnen im Gefolge. (Fortsetzung folgt.)