Die Beeinflussung des Reguliervorganges von seiten der durch die Wasserträgheit entstandenen Druckschwankungen. Von Dipl.-Ing. R. Dubs und Dr.-Ing. A. Utard, Zürich. (Fortsetzung von S. 155 d. Bd.) Die Beeinflussung des Reguliervorganges usw. 5. Die Bestimmung der Schwungmassen mit Berücksichtigung der Druckschwankungen. Wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, erleidet die ideelle Leistungskurve infolge der Druckschwankungen eine erhebliche Verschiebung. Die von der Turbine während des Schließvorganges abgegebene Arbeitsmenge ist, wie Fig. 7–10 (s. S. 153) veranschaulichen, bedeutend größer als beim ideellen Vorgang, und als natürliche Folge davon tritt bei gleichbleibender Schwungmasse eine namhaft größere Tourenerhöhung auf als wie bei konstantem Druck unter sonst gleichen Verhältnissen. Soll nun aber die Erhöhung der Drehzahl den für den ideellen Betrieb festgelegten Betrag nicht überschreiten, so kann diese Bedingung nur durch entsprechende Vergrößerung des Schwungmomentes erfüllt werden, da j bei einer Verkleinerung der Schließzeit eine Vergrößerung des Druckanstieges eintreten und damit nicht nur der garantierte Druckanstieg überschritten, sondern auch die Ordinaten der Arbeitsfläche wieder vergrößert würden. Im folgenden soll deshalb eine Beziehung abgeleitet werden, mit deren Hilfe es möglich ist, für einen garantierten verhältnismäßigen Ueberdruck z und eine garantierte Tourenerhöhung δmax die Größe des notwendigen Schwungmomentes zu ermitteln. Bevor wir jedoch auf die Aufstellung der eigentlichen Formel eintreten können, ist es notwendig, einige Hilfs-Relationen abzuleiten. a) Die Variation des Druckanstieges in den ersten Augenblicken des Schließens. Da, wie vorstehend erwähnt, die Abweichung der Leistungskurve von der ideellen Form einzig eine Folge des Druckanstieges ist, so ist auch ohne weiteres klar, daß, wenn wir die Gleichung der Druckverlaufskurve während des Schließens kennen, uns damit auch die Gleichung der Leistungskurve bekannt ist. Die auf diesem rein analytischen Wege erhaltene Lösung der Aufgabe führt jedoch auf zu verwickelte und darum unübersichtliche Beziehungen, um Anspruch auf praktische Verwertung machen zu können. .Zwecks Erzielung einer einfachen und damit übersichtlichen Formel, die in der Praxis angewendet werden kann, ist deshalb die Zulassung von kleinen Vernachlässigungen notwendig, die jedoch so gewählt werden müssen, daß die aus ihnen resultierende Formel einerseits keinen zu kleinen Wert ergibt und anderseits auch wiederum keinen zu großen Garantiefaktor enthält. Wenn man den in Fig. 7–10 eingezeichneten Verlauf der DruckkurveMit Berücksichtigung der Elastizitäten. betrachtet, so erkennt man leicht, daß während der ersten Druckphase \left(t=0-\frac{2\,L}{i}\right) die Aenderung des Druckes eine beinahe geradlinige ist, und daß sie jedenfalls mit sehr guter Annäherung während der ersten Zeitmomente als gerade Linie angenommen werden darf. Die Richtung dieser Geraden fällt mit der Tangente der Druckkurve im Augenblick des Beginns des Druckanstieges zusammen. Bezeichnet H die veränderliche Druckhöhe zurzeit t und H0 die Druckhöhe des Beharrungszustandes zurzeit t = 0, d.h. vor dem Schließen, so gilt für die Richtung der Tangente der Druckkurve im Augenblick des Beginns der Bewegung die Beziehung; \left|\frac{\partial\,H}{\partial\,t}\right|_{t=0}=\frac{2\,.\,H_0}{T}\,.\,\frac{1}{1+\frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}} . . 28) Diese Gleichung ergibt sich durch Differentiation von Gleichung 18 in „Allgemeine Theorie“ und entsprechender Umformung. Wie aus obiger Beziehung leicht zu ersehen ist, beeinflußt die Elastizität der Rohrleitung und die Kompressibilität des Wassers die Richtung der Tangente nicht unerheblich. Alle in der Praxis vorkommenden Fälle müssen jedoch innerhalb der durch die Werte von i festgelegten Grenzen liegen. Für eine mit einem Windkessel versehene Leitung ist i = 0, und es folgt somit aus Gleichung 28\,\frac{\partial\,H}{\partial\,t}=0, d.h. die Druckkurve berührt im Anfangspunkt eine wagerechte Gerade im Abstand H0 von der Abszissenachse. Ist umgekehrt die Leitung vollständig starr und das Wasser inkompressibel gedacht, so ist i = ∞, und es folgt aus Gleichung 28 \frac{\partial\,H}{\partial\,t}=\frac{2\,H_0}{T}, d.h. die Neigung der Tangente nähert sich asymptotisch einem bestimmten Grenzwert, wenn man die Fortpflanzungsgeschwindigkeit i des Druckes von 0 bis ∞ variieren läßt. Die Neigung der Tangente variiert somit je nach der Größe der Elastizitäten, ein Ergebnis, das mit der praktischen Anschauung jedenfalls in vollem Einklang steht. Die sich aus Gleichung 28 für einen Windkessel und eine starre Leitung ergebenden Grenzwerte von \frac{\partial\,H}{\partial\,t} stimmen auch vollständig mit den von anderen Autoren gefundenen Werten überein.s. a. „Allgemeine Theorie“, Anhang des ersten Teiles. Betrachtet man den speziellen Fall, wo: 2 g H0 = i • C1 ist, so folgt: \left|\frac{\partial\,H}{\partial\,t}\right|_{t=0}=\frac{H_0}{T} . . . . . 29) d.h. die Tangens des Neigungswinkels der Tangente der Druckkurve im Anfangspunkt derselben ist dann nur halb so groß, wie beim vollständig starren Rohr und inkompressiblen Wasser. Für gleiche Zeiten ist somit die Druckhöhe im ersten Fall nur etwa die Hälfte derjenigen des letzteren Falles. Je nachdem nun 2 gH0 ≶ i • C1 . . . . . 30) ist, verläuft die Richtung der Tangente steiler oder flacher als diejenige des Spezialfalles. Setzt man für die Druckfortpflanzungs-Geschwindigkeit i einen mittleren Wert ein, so kann Gleichung 30 auch in der abgekürzten Form H0 ≶ 50 • C1 . . . . . . 31) geschrieben werden. Da die heute in Rohrleitungen vorkommenden Geschwindigkeiten meistens 2–4 m/Sek. betragen, so ist aus Gleichung 31 leicht zu ersehen, daß der Spezialfall 2 g H0 = i • C1 bei Gefällen von 100–200 m jedenfalls einen guten Mittelwert für die Tangentenrichtung liefert. Nimmt man nun nach unseren Voraussetzungen in der ersten Druckphase eine geradlinige Variation des Druckes an, so folgt als Gleichung der Druckänderung: H=H_0+\frac{2\,.\,H_0}{T}\,.\,\frac{1}{1+\frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}} . 32) welche Gleichung zwischen den Zeiten: 0\,<\,t\,\leq\,\frac{2\,L}{i} mit sehr guter Annäherung den momentanen Druck H wiedergibt. Für den speziellen Fall 2 • g • H0 = i • C1 folgt: H=H_0+\frac{H_0}{T}\,t . . 33)     =H_0\,\left(1+\frac{t}{T}\right) d.h. es ergibt sich eine sehr einfache Beziehung zur Ermittlung der Druckhöhe H. Um jedoch ganz sicher zu gehen, ist es besser, man rechnet mit derjenigen Formel, welche sich unter der Annahme eines starren Rohres und inkompressibler Flüssigkeit ergibt. Es wurde dafür abgeleitet \left|\frac{\partial\,H}{\partial\,t}\right|^{t=0}=\frac{2\,H_0}{T} und damit folgt: H=H_0+\frac{2\,H_0}{T}\,t . . 34)     =\left(1+\frac{2\,t}{T}\right) . . 34) d.h. der Druckzuwachs ist nun gerade doppelt so groß wie beim Spezialfall 2 g H0 = i • C1. Der Einfluß der Elastizität ist also in der ersten Druckphase ein sehr erheblicher. Wie die in Fig. 7–10 eingezeichneten Druckkurven zeigen, ist der Verlauf des Druckes während der zweiten Druckphase \left(t=\frac{2\,L}{i}\mbox{ bis }t=T\right) mit sehr guter Annäherung durch eine wagerechte gerade Linie dargestellt.s. a. „Allgemeine Theorie“ §§ 9 und 10. Diese wagerechte Gerade gibt uns in den meisten praktisch vorkommenden Fällens. a. „Allgemeine Theorie“ §§ 11. den beim Schließen auftretenden Maximaldruck an, und ist in allen Fällen die mittlere Druckhöhe während der zweiten Druckphase. Es interessiert uns nun vor allem die Bestimmung desjenigen Zeitpunktes t1, in welchem die aufsteigende Drucklinie der ersten Phase bei vorgeschriebener Drucksteigerung z die wagerechte Drucklinie der zweiten Phase schneidet, da von diesem Zeitpunkte an die Leistungskurve jedenfalls als eine gerade Linie verlaufen muß, sofern natürlich die Veränderung des Austrittsquerschnittes f eine lineare ist. Für den Schnittpunkt ist: H = z • H0 und dies in Gleichung 32 eingesetzt, ergibt: t_1=(z-1)\,\left(1+\frac{2\,.\,g\,.\,H_0}{i\,.\,C_1}\right)\,\frac{T}{2} . . 35) Für den speziellen Fall: 2 g H0 = i • C1 folgt: t1 = (z – 1) • T . . . . . 36) Textabbildung Bd. 326, S. 171 Fig. 11.T = Schlußzeit, Nullinie des Druckes und der Leistung; a = Kurven für starres Rohr, b = Kurven für elastisches Rohr, a' = Kurven für starres Rohr angenähert; b' = Kurven für elastisches Rohr angenähert. El = Effektive N-Linie Jl = Ideelle N-Linie. Und ohne Berücksichtigung der Elastizitäten ergibt sich: t_1=(z-1)\,.\,\frac{T}{2} . . . . . 37) In Fig. 11 sind für das in vorstehendem Abschnitt angeführte Zahlenbeispiel unter Voraussetzung totalen Schließens die mit und ohne Berücksichtigung der Elastizitäten sich ergebenden Druckkurven eingezeichnet. Es sind außerdem auch diejenigen Drucklinien (punktiert) eingetragen, welche sich auf Grund der vorstehend ausgeführten Annäherungsrechnungen ergeben. Damit dürfte es leicht fallen, zwischen den beiden Berechnungsarten Vergleiche zu ziehen. b) Die Variation der Leistung in den ersten Augenblicken des Schließens und die Bestimmung des Leistungsmaximums. Wie bereits früher erwähnt nimmt beim ideellen Schließvorgang die aus dem Leitapparat tretende Leistung proportional mit dem Austrittsquerschnitt ab. Infolge der Drucksteigerungen besteht nun aber beim effektiven Reguliervorgang diese Proportionalität nicht, und es soll deshalb im folgenden eine Beziehung abgeleitet werden, mit deren Hilfe es annäherungsweise möglich ist, die effektiven Werte der Leistung in jedem Augenblick der ersten Druckphase zu berechnen. Für den ideellen Vorgang mit konstantem Druck hat man: L=L_1\,.\,\left(1-\frac{t}{T}\right) . . . . 38) bei vollständigem Schließen von der maximalen Oeffnung aus. Bezeichnet nun \frakfamily{C} die entsprechende Leistung zur gleichen Zeit beim effektiven Schließvorgang, so besteht die Beziehung: \frac{\frakfamily{C}}{L}=\left(\frac{v}{v_0}\right)^3 . . . . . . 39) wo: v=\sqrt{2\,.\,g\,.\,H} und v_0=\sqrt{2\,.\,g\,.\,H_0} bedeutet. Setzt man die entsprechenden Werte in Gleichung 38 ein, so folgt: \frakfamily{C}=\left(\sqrt{\frac{H}{H_0}}\right)^3\,.\,L_1\,.\,\left(1-\frac{t}{T}\right) . . . 40) Dividiert man nun beide Seiten durch L1 und setzt man das Verhältnis \frac{\frakfamily{C}}{L_1}=\frakfamily{z}, so ergibt sich: \frakfamily{z}=\left(\sqrt{\frac{H}{H_0}}\right)^3\,.\,\left(1-\frac{t}{T}\right) . . . 41) Schließlich kann man dann noch für \frac{H}{H_0} nach der im vorstehenden Abschnitt abgeleiteten Gleichung 32 den betr. Wert einsetzen und erhält damit: \frakfamily{z}=\sqrt{\left[1+\frac{2}{T}\,.\,\frac{t}{1+\frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}}\right]^3}\,.\,\left(1-\frac{t}{T}\right) 42) welche Beziehung für 0\,<\,t\,<\,\frac{2\,L}{i} gilt und als Lösung der gestellten Aufgabe angesehen werden kann. Für den speziellen Fall, wo: 2 g H0 = i • C1, vereinfacht sich die obige Gleichung 42 zu: \frakfamily{z}=\sqrt{\left(1+\frac{t}{T}\right)^3}\,.\,\left(1-\frac{t}{T}\right)     =\sqrt{\left(1+\frac{t}{T}\right)}\,.\,\left(1-\left(\frac{t}{T}\right)^2\right) . . 43) Mit Hilfe dieser außerordentlich einfachen Beziehung ist es leicht, die Kurve der Leistungsänderung für die erste Druckphase zu berechnen. Berücksichtigt man die Elastizitäten nicht, so ergibt sich für diesen extremen Fall die Gleichung: \frakfamily{z}=\sqrt{\left(1+\frac{2\,.\,t}{T}\right)^3}\,.\,\left(1-\frac{t}{T}\right) . . 44) mit deren Hilfe die Leistungskurve ebenfalls leicht ermittelt werden kann. Vom Zeitpunkt t = t1 an verläuft die Druckkurve nach einer horizontalen Geraden, und die Leistungskurve ist von diesem Moment an ebenfalls durch eine gerade, aber nach unten schief abfallende Linie dargestellt, Setzt man nun in Gleichung 42 für t1 den aus Gleichung 35 berechneten Wert ein, so folgt: \frakfamily{z}_1=\sqrt{z^3}\,.\,\left[1-\frac{1}{2}\,(z-1)\,\left(1+\frac{2\,g\,H_0}{i\,.\,C_1}\right)\right] . 45) Die Aenderung der Leistung von diesem Zeitpunkt t = t1 an bis zum vollständigen Schluß des Leitapparates ist dann eine vollständig lineare und vollzieht sich nach der sehr einfachen Gleichung: \frakfamily{z}=\sqrt{z^3}\,.\,\left(1-\frac{t}{T}\right) . . . . 46) Für den Spezialfall 2 g H0 = i • C1 geht Gleichung 45 über in: z1 = √z3 • (2 – z) . . . . . 47) und berücksichtigt man die Elastizitäten nicht, so folgt: \frakfamily{z}_1=\frac{1}{2}\,.\,\sqrt{z^3}\,.\,(3-z) . . . . 48) Mit Hilfe dieser sehr einfachen Beziehungen fällt es leicht, rasch annäherungsweise zu bestimmen, von welchem Punkte an die Leistungskurve anfängt geradlinig zu verlaufen. Nachdem nun Anfangs- und Endpunkt der Kuppe der Leistungskurve festgelegt sind, ist es noch interessant zu erfahren, an welcher Stelle das Maximum der Leistung auftritt. Aus den vorstehenden Ueberlegungen geht sofort hervor, daß das Maximum nur in der ersten Druckphase bezw. im Zeitintervall t = 0 bis t1 auftreten kann, da von t = t1 an die Leistung beständig abnimmt. Wie bereits früher erwähnt, ist bei Berücksichtigung der Elastizitäten das Auftreten eines Maximums nur dann möglich, wenn C_1\,>\frac{g}{i}\,H_0 ist. welche Bedingung auch tatsächlich meistens befriedigt wird. Nach der Methode von Allièvis. a. „Allgemeine Theorie“ § 6. ergibt sich dann für den Beaufschlagungsgrad β, bei welchem das Maximum eintritt, die Beziehung: \beta_{max}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,.\,\frac{\sqrt{H_0\,.\,\left[H_0+\frac{i\,.\,C_1}{g}\right]}}{\frac{i\,.\,C_1}{g}} . . 49) und das Verhältnis \frakfamily{z}_{max} zwischen der normalen (L1) und der maximalen (\frakfamily{C}_{max}) Leistung ist gegeben durch die Formel: \frakfamily{z}_{\mbox{max}}=\frac{\left(\right)^2}{4\,.\,H_0\,\left(\frac{i\,.\,C_1}{g}\right)} . . . 50) Und die Tangente der \frakfamily{z}-Kurve im Anfangspunkt, d.h. zur Zeit t = 0 erhält man aus der Gleichung:s. a. „Allgemeine Theorie“ § 6. \frac{\partial\,\frakfamily{z}}{\partial\,t}=+2\,\frac{1}{T}\,.\,\frac{\frac{i\,.\,C_1}{g}-H_0}{\frac{i\,.\,C_1}{g}+2\,H_0} . . . 51) Wie man aus dieser Beziehung leicht ersieht, ist \frac{\partial\,\frakfamily{z}}{\partial\,t} nur dann größer als Null, wenn \frac{i\,.\,C_1}{g}\,<\,H_0 ist; d.h. wenn die Maximumsbedingung befriedigt wird. Für den speziellen Fall \frac{i\,.\,C_1}{g}=H_0 wird \frac{\partial\,\frakfamily{z}}{\partial\,t}=0, d.h. die Leistungskurve besitzt in ihrem Anfangspunkt eine horizontale Tangente, das Maximum der Leistung ist also zu Anfang des Schließvorganges vorhanden und besitzt demzufolge den Wert L1. Berücksichtigt man die Elastizitäten nicht, d.h. nimmt man das Rohr vollständig starr und das Wasser inkompressibel an, so kann leicht nachgewiesen werden, daß die Leistungskurve dann stets eine Kuppe, d.h. ein Maximum aufweisen muß. Wir benutzen dazu Gleichung 51, welche auch in der Form: \frac{\partial\,\frakfamily{z}}{\partial\,t}=\frac{2}{T}\,.\,\frac{1-\frac{H_0\,.\,g}{i\,.\,C_1}}{1+2\,\frac{H_0\,.\,g}{i\,.\,C_1}} geschrieben werden kann. Ohne Berücksichtigung der Elastizitäten ist i = ∞ anzunehmen, es folgt dann: \left|\frac{\partial\,\frakfamily{z}}{\partial\,t}\right|_{t=0}=\frac{2}{T} . . . . . 52) d.h. die Tangens des Neigungswinkels der Tangente ist stets größer als Null, wodurch ein Anwachsen der Leistung bedingt wird. Die vorstehend angeschriebene Beziehung 52 erhält man auch, wenn man Gleichung 44 nach der Zeit differenziert und im Differentialquotienten t = 0 setzt. Es bleibt nun noch das Verhältnis zwischen der normalen (L1) und der maximalen (\frakfamily{C}_{max}) Leistung zu ermitteln. Es besteht für diese maximale Leistung die Beziehung: 3\,.\,\frac{\partial\,v_1}{\partial\,t}=+v_1\,\frac{1}{T-t}s. a. „Allgemeine Theorie“ § 6, Gleichung 23. . . . 53) sofern lineare Variation des Austrittsquerschnitts f des Leitapparates angenommen wird. Während der Dauer des Schließens gilt dann noch die Gleichung: \frac{\partial\,v_1}{\partial\,t}=\frac{{v_0}^2+2\,.\,v_R\,.\,v_1-{v_1}^2}{2\,.\,v_R\,.\,(T-t)}s. a. „Allgemeine Theorie“ § 6, Gleichung X'. . . . 54) Eliminiert man nun aus diesen beiden letzten Gleichungen \frac{\partial\,v_1}{\partial\,t}, so folgt: v_1=\frac{2}{3}\,v_R\,\pm\,\sqrt{\left(\frac{2}{3}\,v_R\right)^2+{v_0}^2} . . 55) Da v1 naturgemäß stets größer als Null sein muß, so kann nur das positive Vorzeichen der Quadratwurzel in Frage kommen. In der obigen Gleichung bedeutet: v_R=\frac{L\,.\,C_1}{T\,.,v_0} eine Geschwindigkeit, die alle Rohrdaten enthält. v1 ist diejenige Ausflußgeschwindigkeit des Wassers aus dem Leitapparat, bei welcher die austretende Leistung während des Schließvorganges ein Maximum erreicht. Aus Gleichung 39 erhält man dann in Verbindung mit Gleichung 38 für das Verhältnis \frakfamily{z}_{max}=\frac{\frakfamily{E}_{max}}{L_1} die Beziehung: \frakfamily{z}_{\mbox{max}}=\left(\frac{v_1}{v_0}\right)^3\,.\,\left(1-\frac{t_m}{T}\right) und wenn man für v1 nach Gleichung 55 den betr. Wert einsetzt, so ergibt sich: \frakfamily{z}_{\mbox{max}}=\left[\frac{2}{3}\,\frac{v_R}{v_0}+\sqrt{\left(\frac{2}{3}\,.\,\frac{v_R}{v_0}\right)^2+1}\right]^3\,.\,\left[1-\frac{t_m}{T}\right] . 56) In dieser Gleichung ist nun mit Ausnahme von tm, d.h. der Zeit, in welcher L ein Maximum wird, alles bekannt. Zur Berechnung von tm könnte dann die im Anhang zur „Allgemeinen Theorie“ abgeleitete Gleichung XIV benutzt werden, führt man jedoch die betr. Substitutionen aus, so ergeben sich für die praktische Berechnung zu verwickelte Formeln. Es soll hier nur noch angeführt werden, daß Gleichung 55 große Aehnlichkeit mit derjenigen Gleichung besitzt, welche beim starren Rohr und inkompressiblen Wasser zur Berechnung des Maximaldruckes dient. Es wurde dafür abgeleitet: v_{\mbox{max}}=v_R+\sqrt{{v_R}^2+{v_0}^2}, wo dann: \frac{{v_{\mbox{max}}}^2}{2\,g}=H_{\mbox{max}}=z\,.\,H_0 ist. In den meisten praktisch vorkommenden Fällen kann mit sehr guter Annäherung v_1=\frac{2}{3}\,v_R+0,960\,.\,v_0+0,368\,.\,\frac{2}{3}\,v_R und: v_{\mbox{max}}=v_R+0,960\,.\,v_0+0,368\,.\,v_R geschrieben werden. Da vR gegenüber v0 meistens sehr klein ist. Diese Gleichungen können durch Zusammenziehen noch etwas vereinfacht werden, und erhalten wir dann: V1 = 0,960 • v0 + 1,034 vR und: vmax = 0,960 • v0 + 1,368 • vR. Aus diesen Beziehungen kann man nun leicht ersehen, daß die Differenz von v1 und vmax unabhängig von v0 ist. Man erhält: v_{\mbox{max}}-v_1=0,334\,.\,v_R=\,\sim\,\frac{1}{3}\,v_R, d.h. die Rohrdaten sind lediglich bestimmend für diese Differenz. (Fortsetzung folgt.)