Untersuchungen an Lamellensenksperrbremsen. Von Dipl.-Ing. A.Bergmann. (Fortsetzung von S. 233 d. Bd.) Untersuchungen an Lamellensenksperrbremsen. A. Anheben der Last. 1. Bremsdruck beim Anheben. Für das Anheben der Last wird die Welle W in der Richtung des Pfeiles (Fig. 8–10) angetrieben. Durch das Flachgewinde auf der Bremswelle preßt sich dann unter Einwirkung des Lastzuges das ganze Scheibensystem zusammen. Antriebswelle und Lasttrommel werden durch den so entstehenden Klemmschluß miteinander gekuppelt und die Last hochgewunden. Ein Versagen beim Lastheben ist ausgeschlossen; festzustellen bleibt lediglich der Anpressungsdruck. Es bezeichne L die Last, g die Erdbeschleunigung, 1 : n das Uebersetzungsverhältnis zwischen Last und Bremswelle, η den Wirkungsgrad des Getriebes, soweit es zwischen Last und Bremse liegt, x den Lasttrommelhalbmesser + ½ Seildicke, J das Trägheitsmoment des Lastritzels auf der Bremswelle (bei der Versuchsanordnung die Lasttrommel) und der rotierenden Getriebsteile, die zwischen diesem und der Last liegen, bezogen auf die Bremswelle als Achse, a die Beschleunigung der Last beim Anheben, e die Winkelbeschleunigung der Bremswelle beim Anheben, die der Lastbeschleunigung a entspricht; e=\frac{a\,.\,n}{x} α den Steigungswinkel der Schraube, r den mittleren Halbmesser der Schraube, tg α den Reibungskoeffizienten der Schraube, P den Anpressungsdruck der Bremsscheiben, R1 das Reibungsmoment an dem Flächenpaar I (vergl. Fig. 7–9 S. 231), μ den Reibungskoeffizienten an dem Flächenpaar I, ρ1 den mittleren Hebelarm des Momentes R1. Um die Last mit der Beschleunigung a zu heben, muß an der Welle ein Drehmoment ausgeübt werden von \left(L+\frac{L}{g}\,a\right)\,\frac{x}{n\,.\,\eta}+J\,e Dadurch wird 1. das Moment G an dem flachgängigen Gewinde = P • r . tg (α + φ) und 2. das Reibungsmoment R1 an dem Flächenpaar I = P • μ • ρ1 erzeugt. Es muß also \left(L+\frac{L}{g}\,a\right)\,\frac{x}{n\,.\,\eta}+J\,e=P\,r\,\mbox{tg}\,(\alpha+\varphi)+P\,.\,\mu\,.\,\rho_1 und der Anpressungsdruck beim Anheben P=\frac{\left(L+\frac{L}{g}\,a\right)\,\frac{x}{n\,.\,\eta}+J\,e}{r\,\mbox{tg}\,(\alpha+\varphi)+\mu\,\rho_1} . . . 1) sein. Bedingungen für das Festhalten der Last nach dem Anheben. Das Festhalten der schwebenden Last wird durch die Sperrklinke bewirkt, welche die beiden Sperrscheiben S1 und S2 am Rücklaut hindert. Die Sperrscheiben erfüllen nur dann ihren Zweck als Halteorgan der Last, wenn die Summe der Reibungsmomente R1 + R2 + R3 + R4 an den Flächenpaaren I, II, III und IV größer oder mindestens ebensogroß ist wie das Moment der freischwebenden Last =\frac{L\,\eta\,x}{n}. Die Bedingungsgleichung für das Festhalten der schwebenden Last lautet also \frac{L\,\eta\,x}{n}\,<\,R_1+R_2+R_3+R_4=P\,.\,\mu\,(\rho_1+\rho_2+\rho_3+\rho_4) 2) Die Größe von R1, R2, R3 und R4 hängt ab von dem Reibungskoeffizienten μ, der für alle vier Momente als gleich angenommen ist, den Hebelarmen ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 der Momente und dem Anpressungsdruck P. Setzt man der Sicherheit des Festhaltens wegen in Gleichung 1 den Einfluß der Massenbeschleunigung, der bei langsamem Aufwinden ohnehin gering ist, gleich Null (d.h. a = 0 und e = 0), so wird der Druck beim Anheben und dem darauffolgenden Festhalten der Last nach Gleichung 1 P=\frac{L\,\frac{x}{n\,.\,\eta}}{r\,\mbox{tg}\,(\alpha+\varphi)+\mu\,\rho_1} . . . 3) Durch Einsetzen dieses Wertes für P in Gleichung 2 erhält man \frac{L\,\eta\,x}{n}\,<\,\frac{L\,\frac{x}{n\,.\,\eta}}{r\,\mbox{tg}\,(\alpha+\varphi)+\mu\,\rho_1}\,\mu\,(\rho_1+\rho_2+\rho_3+\rho_4), \eta^2\,[r\,\mbox{tg}\,(\alpha+\varphi)+\mu\,\rho_1]\,<\,\mu\,(\rho_1+\rho_2+\rho_3+\rho_4) . 4) Gleichung 4 enthält die Bedingung für das Festhalten der Last nach vorhergegangenem Anheben. Für die Versuchsbremse ergab sich aus Versuchen η = 0,91; r tg (α + φ) + μρ1 = 1,274 cm;            μ (ρ1 + ρ2 + ρ3 + ρ4) = 5,15 cm. Die Bedingung für das Festhalten der Last nach dem Anheben ist erfüllt, denn es wird nach Einsetzen der Werte in Gleichung 4 0,912 • 1,274 < 5,15,            1,058 < 5,15. B. Das Senken der Last. 2. Bedingungen für das Lüften der Bremse. Das Senken der Last soll bei den Lüftsenksperrbremsen in der Weise erfolgen, daß der äußere Antrieb die Bremse lüftet, dadurch das die Last festhaltende Reibungsmoment vermindert und so die Last für die Sinkbewegung freigibt. Da sich nun aber ein Lüften der Bremse nicht zwangläufig herbeiführen läßt, so kann es vorkommen, daß die Last wie bei einer Lastdruckbremse ohne Lüften der Bremse gesenkt wird; der äußere Antrieb dient dann zum Ueberwinden des Ueberschusses der die Last festhaltenden Reibung und zum Beschleunigen der zu bewegenden Massen. Es tritt natürlich derjenige der beiden genannten Fälle ein, der das geringere äußere Antriebsmoment erfordert. Berücksichtigt man, daß das zur Massenbeschleunigung erforderliche Moment bei langsamem Einleiten der Senkbewegung sehr klein wird und daher vernachlässigt werden kann, so lautet die Bedingung für das Lüften der Bremse: Das Lüften der Bremse tritt ein, wenn das hierzu erforderliche äußere Drehmoment kleiner oder höchstens ebensogroß ist wie der Ueberschuß des die Last festhaltenden Reibungsmomentes. Zur näheren Erläuterung seien die Bedingungen für das Lüften an der Versuchsbremse aufgestellt. Es sind zu überwinden: der Widerstand G1 = Pr tg (α – φ) im Gewinde und     das Moment R1 = P • μ • ρ1 an dem Flächenpaar I, insgesamt ein Moment G1 + R1 = P [r tg (α – φ) + μρ1]. Das die Last festhaltende Moment ist R1 + R2 + R3 + R4 = P • μ (ρ1 + ρ2 + ρ3 + ρ4) das Lastmoment selbst \frac{L\,\eta\,x}{n}, der Ueberschuß des die Last festhaltenden Momentes R_1+R_2+R_3+R_4-\frac{L\,\eta\,x}{n}. Wenn die Last durch Lüften der Bremse gesenkt werden soll, ist zu setzen R_1+G_1\,\leq\,R_1+R_2+R_3+R_4-\frac{L\,\eta\,x}{n}, G_1\,<R_2+R_3+R_4-\frac{L\,\eta\,x}{n}\, P\,r\,\mbox{tg}\,(\alpha-\varphi)\,<\,P\,.\,\mu\,(\rho_2+\rho_3+\rho_4)-\frac{L\,\eta\,x}{n}. Die Bedingungsgleichung für das Senken der Last durch Lüften der Bremse lautet also nach Einsetzen des Wertes für P aus Gleichung 3 r tg (α – φ) < μ (ρ2 + ρ3 + p4) – η2 [r tg (α + φ) + μρ1] 5) Für die Versuchsbremse war z.B. r = 1,35 cm; φ = 7° 40'; tg (α + φ) = 0,449; tg (α – φ) = 0,155; μ (ρ2 + ρ3 + ρ4) = 4,483 cm; μ • ρ1 = 0,667 cm; η = 0,91; (aus Versuchen ermittelt). Diese Werte in Gleichung 5 eingesetzt, ergeben 1,35 • 0,155 < 4,483 – 0,83 (1,35 • 0,449 + 0,667), 0,209 < 3,425. Bei der Versuchsbremse war also Gleichung 5 erfüllt, und die Last wurde stets durch Lüften der Bremse gesenkt. 3. Theorie des Senkvorganges. Bei der Untersuchung der Vorgänge an der Bremse beim Lastsenken ist das Hauptaugenmerk auf die Ermittlung des jeweiligen Bremsdruckes zu richten; sobald dieser bekannt ist, lassen sich Reibungsmomente, Lastgeschwindigkeit und Motorbelastung ohne weiteres angeben. Bei der Versuchsbremse ermöglichte die auf der Welle W sitzende Feder F ein direktes Messen des Bremsdruckes, da die Federlänge sich schon bei kleinen Druckunterschieden um meßbare Beträge veränderte. Textabbildung Bd. 326, S. 251 Fig. 11. Die Aenderungen der Federspannung werden hervorgerufen durch die seitliche Bewegung der Welle W beim Lüften und Schließen der Bremse. Ueber ihren Verlauf geben die bei den Versuchen aufgenommenen Diagramme ein klares Bild. Zwecks Aufnahme eines Diagrammes wurde vor dem Anheben der Last die Drucknullinie (Feder ohne Spannung) angezeichnet, die Last von Hand aufgewunden, dann das Indikatoruhrwerk und gleich darauf der Motor in Gang gesetzt. Fig. 11 zeigt ein normal verlaufendes Diagramm. Die Gerade AA ist die Drucknullinie, die Kurve DD die beim Lastsenken aufgezeichnete Bremsdrucklinie. Die Ordinaten s der Drucklinie geben die Federspannung bezw. den Bremsdruck, die Abszissen die Zeit an. Der Indikator verzeichnete zunächst den Bremsdruck während des Festhaltens der schwebenden Last (Punkt 1–2); in Punkt 2 begann die Motorbewegung, die Bremse wurde gelüftet, und der Bremsdruck stellte sich nach einigen Schwingungen auf eine konstante mittlere Größe (s3) ein. Dieser mittlere Druck entspricht zufolge späteren Ermittlungen mit praktisch hinreichender Genauigkeit dem Fall: Bremsmoment = Lastmoment – bei konstanter Lastgeschwindigkeit. Demnach war während des Verlaufs der Diagrammlinie unterhalb bezw. oberhalb der mittleren Drucklinie das Bremsmoment kleiner bezw. größer als das Lastmoment, und die Lastbewegung wurde durch den Ueberschuß an Last- bezw. Bremsmoment beschleunigt bezw. verzögert. Das Lastritzel auf der Bremswelle (bei der Versuchsbremse die Lasttrommel) blieb infolgedessen abwechselnd hinter der vom Motor angetriebenen Bremswelle zurück (fallender Bremsdruck) und eilte dann wieder vor (steigender Druck), bis allmählich die Drehgeschwindigkeiten beider gleich blieben (konstanter Druck). Veranlaßt wurden die Schwankungen des Bremsdruckes und der Lastgeschwindigkeit durch die Massenkraft der von der sinkenden Last zu bewegenden Teile, die, ähnlich wie bei einem Fliehkraftregler, erst nach einigen Schwingungen in den Beharrungszustand übergingen. Die weitere Untersuchung läuft darauf hinaus, den Verlauf der Diagrammlinie zu berechnen. Zu diesem Zwecke sei ein beliebiger Abschnitt der Diagrammlinie herausgegriffen. Die seitliche Verschiebung der Welle während des Senkens setzt sich offenbar aus zwei entgegengesetzten Bewegungen zusammen: Der vom äußeren Antrieb verursachten und derjenigen, welche die sinkende Last hervorruft. Bezeichnet man mit P den Bremsdruck allgemein, Pa den Bremsdruck zu Beginn des betrachteten Diagrammabschnittes (Anfangsdruck), p die Aenderung der Federspannung für die Längeneinheit, s die Aenderung der Federlänge infolge des Bremsdruckes = der seitlichen Verschiebung der Welle, so ist der Bremsdruck stets gegeben durch die Gleichung P = Pa + p • s . . . . . 6) s ist positiv bei steigendem Druck. Bezeichnet man ferner mit e1 die Winkelbeschleunigung der Bremswelle infolge äußeren Antriebes, e2 die Winkelbeschleunigung des Lastritzels auf der Bremswelle (bei der Versuchsbremse der Lasttrommel) infolge des Lastsinkens, r den mittleren Halbmesser der Schraube, α den Steigungswinkel der Schraube, t die Zeit, so wird die achsiale Beschleunigung der Bremswelle infolge äußeren Antriebes = – re1 tg α, die achsiale Beschleunigung der Bremswelle infolge des Lastsinkens = re2 tg α und die resultierende seitliche Beschleunigung der Welle = -r\,e_1\,\mbox{tg}\,\alpha+r\,e_2\,\mbox{tg}\,\alpha=\frac{d^2\,s}{d\,t^2} . . . 7) Aus dieser Gleichung muß der Wert von s berechnet und in die den Bremsdruck allgemein angebende Gleichung 6 eingesetzt werden. Die Größe von e1 hängt ab von der Art des äußeren Antriebes und ist als gegeben zu betrachten. In erster Annäherung kann man mit praktisch hinreichender Genauigkeit, speziell bei den meist gebrauchten Elektromotoren, setzen e1 = konstant. Für die Ermittlung von e2 stellt man die Momentengleichung für das an der Bremse wirksame Drehmoment auf. Das Drehmoment der Last an der Bremswelle ist \frac{L\,\eta\,x}{n}. (L = Last; η = Wirkungsgrad; x = Trommelhalbmesser + ½ Seildicke; 1 : n = Uebersetzung zwischen Last und Bremswelle). Ihm wird während der Senkbewegung das Gleichgewicht gehalten durch 1. das Reibungsmoment an den Flächenpaaren II, III, IV gleich R2 + R3 + R4 = P • μ (ρ2 + ρ3 + ρ4) = (Pa + pf s) μ (ρ2 + ρ3 + ρ4); 2. das Moment der Massenkraft der Last. Der Winkelbeschleunigung e2 des Lastritzels auf der Bremswelle (bezw. Lasttrommel) entspricht die Lastbeschleunigung \frac{x}{n}\,e_2. Die Masse der Last ist \frac{L}{g} und die Beschleunigungskraft der Lastmasse \frac{L}{g}\,\frac{x}{n}\,e_2. Wird in dem betrachteten Augenblick die Lastbewegung verzögert (d.h. Bremsmoment > Lastmoment; die Diagrammlinie verläuft oberhalb der mittleren Drucklinie), so ergibt sich bei einem Wirkungsgrad η des Getriebes ein Moment der Massenkraft der Last an der Bremswelle \frac{L}{g}\,\frac{x}{n}\,e_2\,.\,\frac{x}{n}\,.\,\eta=\frac{L\,\eta\,x^2}{g\,n^2}\,e_2, bei Lastbeschleunigung aber (d.h. Bremsmoment < Lastmoment; die Diagrammlinie verläuft unterhalb der mittleren Drucklinie) ein Moment \frac{L}{g}\,\frac{x}{n}\,e_2\,.\,\frac{x}{n}\,.\,\frac{1}{\eta}=\frac{L\,x^2}{g\,n^2\,\eta\,e_2}. Für die Zwecke der vorliegenden Untersuchung ergibt sich, wie später gezeigt wird, eine praktisch hinreichende Genauigkeit, wenn man den ersten Wert \frac{L\,\eta\,x^2}{g\,n^2}\,e_2 als gültig für die ganze Diagrammlinie einsetzt. 3. Das Moment der von der Last bewegten rotierenden Massen; auch hierbei genügt es, den Wert, der strenggenommen nur für die Teile der Diagrammlinie oberhalb der mittleren Drucklinie gilt, als hinreichend genau für die ganze Diagrammlinie zu betrachten, obwohl wegen des Wirkungsgrades eine ähnliche Unterscheidung zu machen wäre wie vorhin. Das Trägheitsmoment der rotierenden Teile sei unter Berücksichtigung ihrer Stellung im Getriebe, der Uebersetzung, des Wirkungsgrades usw., auf die Bremswelle als Achse bezogen, und mit J bezeichnet. Das Moment der rotierenden Massen, bezogen auf die Bremswelle, wird dann Je2. Die Momentengleichung der Kräfte an der Bremswelle lautet also \frac{L\,\eta\,x}{n}=(P_a+p\,s)\,\mu\,(\rho_2+\rho_3+\rho_4)+e_2\,\left(\frac{L\,\eta\,x^2}{g\,n^2}+J\right) 8) Daraus folgt e_2=\frac{n^2\,g}{L\,\eta\,x^2+J\,g\,n^2}\,\left[\frac{L\,\eta\,x}{n}-(P_a+p\,s)\,\mu\,(\rho_2+\rho_3+\rho_4)\right] 9) Die durch den Wirkungsgrad η des Getriebes hervorgerufenen Unterschiede durften in dem vorliegenden Falle vernachlässigt werden, weil man die weiteren theoretischen Entwicklungen nur zur Bestimmung des höchsten beim Lastsenken vorkommenden Bremsdruckes benutzt. Hierbei fällt aber die Vernachlässigung praktisch nicht ins Gewicht. Berechnet man z.B. für den genannten 25 t-Kran den höchsten beim Lastsenken auftretenden Bremsdruck, so ergibt die im folgenden noch weiter durchgeführte Annäherungsrechnung gegenüber der genauen Theorie im ungünstigsten Falle (bei Vollast = 25000 kg) einen um nur 6,5 v. H. höheren Druck. Bei der Versuchsbremse beträgt rechnerisch der Unterschied höchstens 2,15 v. H. Die praktischen Versuche ergaben ebenfalls nur unbedeutende Abweichungen. Vernachlässigt sind außerdem zur Vereinfachung der Rechnung die Reibung der Sperrscheiben auf der Verlängerung der Lasttrommel und der Widerstand im Gewinde; beide sind praktisch belanglos. Eine genaue Berücksichtigung des Gewindewiderstandes, der bei abnehmendem Druck (Voreilen der Bremswelle) von der Antriebskraft, bei zunehmendem (Voreilen des Lastritzels) von der Last zu überwinden ist, würde zudem die Integration der Gleichungen unmöglich machen. Durch Einführen des Wertes von e2 aus Gleichung 9 in Gleichung 7 erhält man \frac{d^2\,s}{d\,t^2}=r\,e_1\,\mbox{tg}\,\alpha+\frac{r\,\mbox{tg}\,\alpha\,g\,n^2}{L\,\eta\,x^2+J\,g\n^2}\,\left[\frac{L\,\eta\,x}{n}-(P_a+p\,.\,s)\,\mu\,(\rho_2+\rho_3+\rho_4)\right] . . 10) Zur Abkürzung sei gesetzt \frac{r\,\mbox{tg}\,\alpha\,.\,g\,.\,n^2}{L\,\eta\,x2+J\,g\,n^2}=A; \frac{L\,\eta\,x}{n}=B; \mu\,(\rho_2+\rho_3+\rho_4)=b Gleichung 10 geht dann über in \frac{d^2\,s}{d\,t^2}=-r\,e_1\,\mbox{tg}\,\alpha+A\,.\,B-A\,.\,b\,.\,P_a-A\,.\,b\,.\,p\,s. Zur weiteren Abkürzung setzt man – re1 tg α + A • B – A • b • Pa = β; A • b • p = δ. Dann wird \frac{d^2\,s}{d\,t^2}=\beta-\delta\,s. Durch Multiplikation mit ds und nachfolgende Integration ergibt sich \frac{d\,s}{d\,t}=\p,\,\sqrt{-\delta\,s^2+2\,\beta\,s+C^2} . . 11) Der Wert \frac{d\,s}{d\,t} in Gleichung 11 gibt die Geschwindigkeit der seitlichen Verschiebung der Bremswelle an und zugleich die Geschwindigkeit der Druckänderungen. C ist die Integrationskonstante; ihre Bedeutung folgt aus. den Anfangsbedingungen des für die Betrachtung herausgegriffenen Abschnittes. Der Anfangszustand war Bremsdruck P = Pa und s = o. Für s = o ergibt Gleichung 11 \frac{d\,s}{d\,t}=\pm\,\sqrt{C^2}=\pm\,C; d.h. C bedeutet die Geschwindigkeit, welche die Bremswelle in der Richtung ihrer Achse hat in dem Augenblick, für den der Bremsdruck = Pa ist. C ist also der zu dem Anfangsdruck Pa gehörige Wert der Geschwindigkeit. An den Stellen, an welchen die seitliche Geschwindigkeit der Welle gleich Null wird, kehrt die Welle ihre Verschiebungsrichtung um; diese Stellen bedeuten ein Druckmaximum oder Druckminimum. Man setzt \frac{d\,s}{d\,t}=0=\pm\,\sqrt{-\delta\,s^2+2\,\beta\,s+C^2}, s=\frac{\beta}{\delta}\,\pm\,\sqrt{\left(\frac{\beta}{\delta}\right)^2+\frac{C^2}{g}} . . . . . 12) Man erhält einen doppelten Wert für s, also wird die seitliche Geschwindigkeit der Welle an zwei Stellen gleich Null. Die eine dieser Stellen bedeutet ein Druckmaximum, die andere ein Druckminimum. Die s-Werte schwanken um den Wert s=\frac{\beta}{\delta} als Mittelwert, der im Diagramm der mittleren Höhe der Drucklinie entspricht, stets zu- und abnehmend um denselben Betrag auf und ab. Dementsprechend schwankt auch der Bremsdruck um den Mittelwert P_m=P_a+p\,.\,\frac{\beta}{\delta} . . . . 13) Das Druckmaximum beträgt P_{\mbox{max}}=P_a+p\,\left(\frac{\beta}{\delta}+\sqrt{\left(\frac{\beta}{\delta}\right)^2+\frac{C^2}{\delta}}\right) . 14) Das Druckminimum P_{\mbox{min}}=P_a+p\,\left(\frac{\beta}{\delta}-\sqrt{\left(\frac{\beta}{\delta}\right)^2+\frac{C^2}{\delta}}\right) . 15) Die weitere Integration der Gleichung \frac{d\,s}{d\,t}=\pm\,\sqrt{-\delta\,s^2+2\,\beta\,s+C^2} ergibt \int\,d\,t=\pm\,\int\,\frac{d\,s}{\sqrt{-\delta\,s^2+2\,\beta\,s+C^2}} Da (– δ) < 0 und β2 – (– δ) • C2 > 0 wird, so ergibt das Integral eine Arkussinusfunktion; es ist t=\pm\,\frac{1}{\sqrt{\delta}}\,\mbox{arcsin}\,\left(-\frac{\beta-\delta\,s}{\sqrt{\beta^2+\delta\,C^2}}\right)+C_1. C1 ist die zweite Integrationskonstante; sie hat die Dimension einer Zeit. Für s findet man schließlich den Wert s=\frac{1}{\delta}\,\left(\beta+\sqrt{\beta^2+\delta\,C^2}\right)\mbox{ sin }[(t-C_1)\,\sqrt{\delta}] . 16) Gleichung 16 ergibt als wichtigstes Resultat, daß die s-Werte und damit auch der Bremsdruck periodisch nach einer Sinuslinie verlaufen werden. Bei richtig durchgeführten Konstruktionen dämpfen sich die Druckschwingungen schließlich vollständig, so daß der Bremsdruck konstant wird. Die weiteren Untersuchungen der Vorgänge beim Lastsenken sollen an Hand von praktischen Versuchen vorgenommen werden. (Fortsetzung folgt.)