Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Von K. Hiemenz. (Schluß von S. 393 d. Bd.) Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Wir wenden uns zur numerischen Berechnung der Integrale unserer Differentialgleichungen, zunächst von X1 und X3. Da für jede Differentialgleichung nur zwei Grenzbedingungen an der Stelle η = 0 bezw. H = 0 gegeben sind, ist man gezwungen, eine Schar von Integralen zu konstruieren, die diesen beiden genügt, und aus dieser Schar, die durch die verschiedenen Werte von \ddot{\ \Psi}_{2\,i+1}\,(0) bezw. Ẍ1 (0) und Ẍ3 (0) charakterisiert wird, jedesmal dasjenige Integral auszusuchen, das auch die dritte Grenzbedingung befriedigt. Für die zu wählenden Werte von Ẍ1 (0) und Ẍ3 (0) war ein Anhalt bereits durch die Arbeit von Blasius gegeben. Es fanden sich als richtige Werte für Ẋ1 (0) und Ẍ3 (0) 1,2327 und 0,7244, wobei die angegebenen Dezimalen genau sind in dem Sinne, daß eine Aenderung der letzten angegebenen Stelle eine merkliche Aenderung von Ẋ1 und Ẋ3 am Rande der Grenzschicht bewirkt. Genauer sind die Integrale X1 und X3 in den Tab. 15 und 16 und in den Fig. 25 und 26 wiedergegeben. Um einen Begriff von der Art des Rechenverfahrens zu geben, sei hier das erste Stück der Rechnung für X1 wiedergegeben, wozu noch zu bemerken ist, daß die Differentialgleichung für X1 durch das System v=\frac{d\,X_1}{d\,H} z=\frac{d\,v}{d\,H}=\frac{d^2\,X_1}{d\,H^2} v^2-X_1\,z-1=\dot{z} ersetzt war. Die in der Tab. 16 verzeichneten Werte sind durch Aneinanderreihen von Schritten von 0,1 Länge der H-Einheit berechnet. Integrale X1 wurden für sieben verschiedene Werte von Ẍ1 (0) berechnet. Die Abweichungen dieser Integrale voneinander blieben sehr klein; deswegen wurde auch davon abgesehen, entsprechende Kurven in Tabelle 15. H v v 2 X 1 z – X 1 z (v2 – X1 z – 1) Δ H= Δ z z Δ H = Δ v v Δ H = Δ ξ 0,0 0 0 0 1,232 7 0 – 0,1 0,123 27 0 0,061 635 0,003 798 9 0 1,182 7 0 – 0,099 620 0,118 27 0,006 163 5 0,059 135 0,003 496 9 0,003 081 7 1,182 9 – 0,003 645 3 – 0,100 015 0,118 29 0,005 913 5 0,11829 0,013 993 0,005 913 5 1,132 7 – 0,006 698 2 – 0,099 270 0,113 27 0,011829 0,1 0,118 28 0,013 990 0,005 997 2 1,132 9 – 0,006 794 2 – 0,099 280 0,113 29 0,011 828 0,174 92 0,030 597 0,011 911 1,083 3 – 0,012 903 – 0,098 231 0,108 31 0,017 492 0,172 44 0,029 786 0,014 743 1,083 8 – 0,015 978 – 0,098 624 0,108 38 0,017 244 0,226 66 0,051 375 0,023 241 1,034 3 – 0,024 038 – 0,097 266 0,103 43 0,022 666 0,2 0,226 64 0,023 325 1,034 5 Fig. 25 zu verzeichnen. Der kleinste Werte von Ẍ1 (0), für den das Integral berechnet wurde, betrug 1,232, der größte 1,234; als richtiger Wert ergab sich 1,2327. Diesen drei Werten von Ẍ1 (0) entsprachen der Reihe nach Werte von Ẋ1 bei H = 2,6, 0,991, 0,995 und 1,002. Um die Genauigkeit der Rechnung nachzuprüfen, wurden an zwei Stellen die Integrale einmal so berechnet, daß man vom Ausgangspunkt in einem Schritt zum Nachbarpunkt gelangte, das zweite Mal so, daß die Integration auf zwei Schritte verteilt wurde. Für die Auswahl der Probestellen war maßgebend, daß, gleiche Schrittlänge vorausgesetzt, das Kuttasche Verfahren im allgemeinen an Stellen stärkster Krümmung die am wenigsten genauen Werte gibt. Es wurde als eine Probestrecke das Intervall 0,0–0,1 gewählt. Tabelle 16. Integrale der Differentialgleichung \left(\frac{d\,X_1}{d\,H}\right)^2-X_1\,\frac{d^2\,X_1}{d\,H^2}=1+\frac{d^3\,X_1}{d\,H^3} und der Differentialgleichung 4\,\frac{d\,X_1}{d\,H}\,\frac{d\,X_3}{d\,H}-3\,\frac{d^2\,X_1}{d\,H^2}\,X_3=1+\frac{d^3\,X_3}{d\,H^3}. H X 1 Ẋ 1 Ẍ 1 X 3 Ẋ 3 Ẍ 3 0,0 0,00 0,00 1,2327 0,00 0,00    0,72444 0,1 0,005997 0,1183 1,1327 0,003456 0,06746    0,62500 0,2 0,02332 0,2266 1,0345 0,01316 0,1251    0,5286 0,3 0,05100 0,3253 0,9387 0,02816 0,1734    0,4377 0,4 0,08806 0,4145 0,8464 0,04755 0,2129    0,3539 0,5 0,1336 0,4947 0,7584 0,07047 0,2444    0,2782 0,6 0,1867 0,5663 0,6752 0,09616 0,2688    0,2112 0,7 0,2466 0,6299 0,5974 0,1240 0,2869    0,1531 0,8 0,3124 0,6860 0,5252 0,1534 0,2997    0,1037 0,9 0,3836 0,7351 0,4587 0,1838 0,3080    0,0626 1,0 0,4593 0,7779 0,3981 0,2149 0,3125    0,0292 1,1 0,5390 0,8150 0,3432 0,2462 0,3140    0,0028 1,2 0,6221 0,8468 0,2939 0,2776 0,3133 – 0,0173 1,3 0,7082 0,8739 0,2499 0,3088 0,3108 – 0,0320 1,4 0,7967 0,8969 0,2111 0,3397 0,3070 – 0,0421 1,5 0,8874 0,9163 0,1771 0,3702 0,3025 – 0,0483 1,6 0,9799 0,9325 0,1475 0,4002 0,2975 – 0,0513 1,7 1,0738 0,9459 0,1220 0,4297 0,2923 – 0,0519 1,8 1,1690 0,9570 0,1001 0,4586 0,2871 – 0,0506 1,9 1,2652 0,9661 0,0816 0,4871 0,2822 – 0,0480 2,0 1,3621 0,9734 0,0660 0,5151 0,2776 – 0,0444 2,1 1,4598 0,9794 0,0530 0,5426 0,2734 – 0,0402 2,2 1,5580 0,9841 0,0423 0,5688 0,2696 – 0,0358 2,3 1,6566 0,9879 0,0334 0,5966 0,2662 – 0,0314 2,4 1,7555 0,9908 0,0263 0,6230 0,2633 – 0,0271 2,5 1,8547 0,9932 0,0205 0,6492 0,2608 – 0,0230 2,6 1,9541 0,9950 0,0159 0,6752 0,2587 – 0,0193 2,7 2,0537 0,9964 0,0122 2,8 2,1534 0,9975 0,0094 0,7266 0,2555 – 0,0131 2,9 2,2532 0,9983 0,0071 3,0 2,3531 0,9989 0,0054 0,7774 0,2533 – 0,0085 3,2 2,5529 0,9997 0,0031 X 1 Ẋ 1 Ẍ 1 1 Schritt Δ H = 0,1 0,0059972 0,11828 1,1329 2 Schritte Δ H = 0,05 0,0059968 0,11827 1,1329 Die zweite Probestrecke lag zwischen 1,5 und 1,6. X 1 Ẋ 1 Ẍ 1 1 Schritt Δ H = 0,1 0,97983 0,93249 0,14750 2 Schritte Δ H = 0,05 0,97988 0,93249 0,14750 Man ersieht aus den angegebenen Zahlen, daß man die Werte von X1 und seinen beiden ersten Ableitungen an der Stelle H = 3,0 auf mindestens vier Dezimalen genau bekommt. Textabbildung Bd. 326, S. 408 Fig. 25. Integral X1. Textabbildung Bd. 326, S. 408 Fig. 26. Integral X3. Integrale X3 wurden ebenfalls mehrere, im ganzen sieben entsprechend verschiedenen Werten von Ẍ3 (0) berechnet.Davon drei mit Schritten von 0,1 H Länge; die übrigen zur Orientierung mit größeren Schritten. In Fig. 26 ist X3 für den richtigen Wert Ẍ3 (0) völlig ausgezogen wiedergegeben; außerdem aber nur stückweise, die Kurven für Ẋ3 für andere Werte Ẍ3 (0). Die Genauigkeit der Rechnung wurde in ähnlicher Weise geprüft wie bei X1; es ergibt sich, daß für X3 und seine beiden ersten Ableitungen die drei ersten Dezimalen bei H = 3,0 als genau angesehen werden dürfen. Bevor wir nun zur Integration der Differentialgleichung für Ψ5 übergehen, müssen aus X1, X3 und deren Ableitungen dis Werte Ψ1, Ψ3 und deren Ableitungen berechnet werden. Das geschieht nach den Aehnlichkeitsbetrachtungen indem wir X1 mit \frac{1}{{\Psi_1}^0}=\sqrt{\frac{u_1\,k}{\rho}}=0,2674, \frac{d\,X_1}{d\,H} mit u1 = 7,151, \frac{d^2\,X_1}{d\,H^2} mit \sqrt{\frac{{u_1}^3\,\rho}{k}}=191,2, X3 mit \sqrt{\frac{16\,k\,{u^2}_3}{\rho\,u_1}}=0,01673, \frac{d\,X_3}{d\,H} mit 4 u3 = 0,1799, \frac{d^2\,X_3}{d\,H^2} mit \sqrt{\frac{16\,u_1\,{u_3}^2\,\rho}{k}}=4,810 multiplizieren. Bei der Berechnung der numerischen Faktoren ist ρ = 1, k = 0,01 c–g–s Einheiten gesetzt. Wir sind gezwungen uns mit solchen genäherten Werten der beiden Größen zu begnügen, da ρ und k für das benutzte Wasser nicht bekannt sind und selbst während ein und desselben Versuchs nicht genau konstant bleiben. Im übrigen zeigen unsere Aehnlichkeitsbetrachtungen, daß durch Aenderung von ρ und k die Vorgänge in der Grenzschicht nicht wesentlich beeinflußt werden. Im besonderen ergeben sich bei der Transformation die für uns wichtigen Werte von \ddot{\ \Psi}_1\,(0) und \ddot{\ \Psi}_3\,(0) zu 235,7 und – 3,484. Die Differentialgleichung für Ψ5 lautete: 6\,\dot{\Psi}_1\,\dot{\Psi}_5-5\,\ddot{\Psi}_1\,\Psi_5-\Psi_1\,\ddot{\Psi}_5+3\,({\dot{\Psi}_3}^2-\Psi_1\ddot{\ \Psi}_3)=6\,u_1\,u_5+3\,{u_3}^2+\frac{k}{\rho}\,\overset{...}{\Psi}_5 Grenzbedingungen sind 1. für η = 0 verschwindet Ψ5 und \dot{\ \Psi}_5, 2. mit wachsendem η geht \dot{\ \Psi}_5 asymptotisch gegen u5. Die Differentialgleichung wurde für fünf verschiedene Werte von \ddot{\ \Psi}_5\,(0) integriert.Für die richtige Wahl von \ddot{\ \Psi}_5 gaben ähnliche Ueberlegungen wie nebenstehend, Abschnitt 2, einen Anhalt. Die Größe der Schritte betrug 0,015 cm, d. s. 0,4 H-Einheiten. Was die Genauigkeit der Rechnung angeht, so wurden diesmal keine besonderen Proben angestellt. Einen Anhalt für sie liefert ein Vergleich der Rechnungen mit den entsprechenden für Ψ1 und Ψ3. Danach kann angenommen werden, daß man für η = 0,105 mm ( H = 2,8) Ψ5 auf sieben Dezimalen, \dot{\ \Psi}_5 auf sechs Dezimalen, \ddot{\ \Psi}_5 auf vier Dezimalen genau bekommt. Als richtiger Wert von \ddot{\ \Psi}_5\,(0) fand sich – 0,02816. Die zu ihm gehörige Lösung ist in Tab. 17 und in den Zeichnungen der Fig. 27 wiedergegeben. Tabelle 17. cm Ψ 5 \dot{\ \Psi}_5 \ddot{\ \Psi}_5 0,000 0,00 0,00 – 0,02816 0,015 – 0,0000027 – 0,000331 – 0,0164 0,030 – 0,0000092 – 0,000497 – 0,0064 0,045 – 0,0000170 – 0,000537    0,0003 0,060 – 0,0000249 – 0,000504    0,0034 0,075 – 0,0000320 – 0,000445    0,0039 0,090 – 0,0000382 – 0,000391    0,0031 0,105 – 0,0000438 – 0,000352    0,0021 Textabbildung Bd. 326, S. 409 Fig. 27. Integral Ψ5. Dabei sind die Werte von η Ψ5 . . . in geeignetem Maßstabe vergrößert aufgetragen, um brauchbare Werte für die Zeichnung zu haben. Außerdem sind in der Figur die Werte von \dot{\ \Psi}_5, die den zwei extremalen Werten von \ddot{\ \Psi}_5\,(0) entsprechen, stückweise eingezeichnet. Allen Integralen, sowohl Ψ1, Ψ3 wie Ψ5, ist die große Empfindlichkeit gegenüber Aenderungen von \ddot{\ \Psi}_1\,(0) usw. gemeinsam. Die Differentialgleichung füt Ψ7 lautet in unserem Falle 8\,\dot{\Psi}_7\,\dot{\Psi}_7-7\,\ddot{\Psi}_1\,\Psi_7-\Psi_1\,\ddot{\Psi}_7+8\,\dot{\Psi}_3\,\dot{\Psi}_5-5\,\ddot{\Psi}_3\,\Psi_5-3\,\Psi_3\,\ddot{\Psi}_5=8\,u_3\,u_5+\frac{k}{\rho}\,\overset{...}{\Psi}_7 mit Grenzbedingungen. 1. Für η = 0 verschwindet Ψ7 und \dot{\Psi}_7. 2. Mit wachsendem η geht \dot{\Psi}_7 asympotisch gegen u7 = 0. Würde hier die rechte Seite verschwinden, so hätte man als Lösung, die die Grenzbedingungen befriedigt, die identisch verschwindende Ψ7 = 0. In unserer Differentialgleichung verschwindet zwar die rechte Seite nicht, wohl aber ist sie sehr klein. Daraus darf man schließen, daß die zu unserer Differentialgleichung gehörige Lösung sich nur sehr wenig von der identisch verschwindenden entfernen wird. Aehnlich liegen die Verhältnisse für die Integrale der folgenden Differentialgleichungen. Es erscheint daher durchaus als möglich, daß die Abweichungen der Integrale Ψ7, Ψ9 . . . von identisch verschwindenden Lösungen so klein werden, daß sie keinen merklichen Einfluß auf das Resultat ausüben; oder die Verhältnisse in der Grenzschicht bis hin zur Ablösungsstelle müßten sich genügend genau durch den Ansatz Ψ = Ψ1 ξ + Ψ3 ξ3 + Ψ5 ξ5 darstellen lassen. Insbesondere müßte sich die aus diesem Ansatz gefundene Ablösungsstelle mit der beobachteten decken. Setzen wir unsere Zahlen werte in die Bedingungsgleichung der Ablösung \frac{\partial^2\,\Psi}{\partial\,\eta^2}=0 ein, so folgt: \ddot{\Psi}_1\,(0)\,\xi+\ddot{\Psi}_3\,(0)\,\xi^3+\Psi_5\,(0)\,\xi^5=235,7\,\xi-3,484\,\xi^3-0,02816\,\xi^5=0, und daraus berechnet sich ξ (etwa mit Hilfe der Newtonschen Näherungsmethode) zu 6,977 cm oder in Bogengraden zu 82°. Textabbildung Bd. 326, S. 409 Fig. 28.Geschwindigkeitsprofile der Grenzschicht. Aus den Versuchen war die Ablösungsstelle auf der der Rechnung zugrunde gelegten rechten Seite bei 82° gefunden worden; wir haben also eine völlig befriedigende Uebereinstimmung von Rechnung und Beobachtung. Diese gute Uebereinstimmung beweist die Berechtigung der Vernachlässigung von Ψ7, Ψ9 . . . . Weiter aber bestätigt sie ebenso wie die aus Aehnlichkeitsbetrachtungen gezogenen und durch die Beobachtung bestätigten Schlusse die Richtigkeit der zugrunde gelegten Theorie. In Fig. 28 sind die aus dem dreigliedrigen Näherungswert von Ψ berechneten Geschwindigkeitsprofile (der u-Komponente) der Grenzschicht verzeichnet. Man erkennt aus den Profilen, daß die Geschwindigkeit \overline{u} der äußeren Strömung bei 3,0 H-Einheiten = 0,11 cm fast erreicht ist. Die Dicke der Grenzschicht beträgt in unserem Falle also etwas über 1 mm. Zum Schlusse möge noch der Ablösungswinkel (Fig. 29) berechnet werden. In der Umgebung der Ablösungsstelle gilt folgende Entwicklung von Ψ, für die nur die Glieder niedrigster Ordnung mit nicht verschwindenden Koeffizienten beibehalten sind: 0=\eta^3\,(\overset{...}{\Psi}_1\,(0)\,[\xi]+\overset{...}{\Psi}_3\,(0)\,[\xi]^3+\overset{...}{\Psi}_5\,(0)\,[\xi]^5)+3\,(\xi-[\xi])\,\eta^2\,(\ddot{\Psi}_1\,(0)+3\,\ddot{\Psi}_1\,(0)\,[\xi]^2+5\,\ddot{\Psi}_5\,(0)\,[\xi]^4)+... wo [ξ] die Koordinate des Ablösungspunktes bedeutet. Die Gleichung wird nun einmal befriedigt durch H = 0, d.h. die feste Wand, weiter ergibt sich aus der angegebenen Gleichung nach Division mit η2 die Gleichung der Ablösungslinie. Aus ihr findet man: Textabbildung Bd. 326, S. 410 Fig. 29.– – Tang. i. Ablösungspunkt. \mbox{tg (Ablösungswinkel)}=-\frac{3\,\ddot{\Psi}_1\,(0)+9\,\ddot{\Psi}_3\,(0)\,[\xi]^2+15\,\ddot{\Psi}_5\,(0)\,[\xi]^4}{\overset{...}{\Psi}_1\,(0)\,[\xi]+\overset{...}{\Psi}_3\,(0)\,[\xi]^3+\overset{...}{\Psi}_5\,(6)\,[\xi]^5} und die numerischen Werte unseres Falles eingesetzt: \mbox{tg (Ablösungswinkel)}=\frac{3\,.\,235,7-9\,.\,3,484\,.\,6,977^2-15\,.\,0,02816\,.\,6,977^4}{-5114\,.\,6,977+128,6\,.\,6,977^3+0,8095\,.\,6,977^5}=0,0833 oder Ablösungswinkel ∾ 5°. Auf die Uebereinstimmung dieses Resultates mit der Beobachtung war bereits oben (S. 376) hingewiesen worden. Zusammenfassung. Im ersten Teile der Arbeit wird die Differentialgleichung der Grenzschicht abgeleitet. Der zweite Teil berichtet von Experimenten, die die quantitative Kenntnis der Strömungsverhältnisse um einen in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder zum Ziele hatten. Als Druckanzeiger diente ein nach Angaben von Professor Prandtl gefertigtes Mikromanometer, das beschrieben und dessen Theorie abgeleitet wird. Als Vorbereitung der Messung der Druckverteilung längs der Zylinderwand wurde eine Ausregulierung der Geschwindigkeitsverteilung im hydrodynamischen Versuchsapparat vorgenommen. Die gestaltlichen Verhältnisse der losgelösten Strömung und die Ablösungsstelle wurden mit Hilfe von Farbstrahlen bestimmt. Im dritten, rechnerischen Teil wird die Integration der Differentialgleichung der Grenzschicht unter Zugrundelegung des durch die Versuche gewonnenen Materials mit Hilfe des Kuttaschen Verfahrens ausgeführt. Als Endresultat ergibt sich eine quantitativ sehr befriedigende Uebereinstimmung von Beobachtung und Rechnung.