DER SPANNUNGSZUSTAND VON SCHWUNGRÜDERN BEI BESCHLEUNIGTER ROTATION. Von Otto Mies, Charlottenburg. MIES: Der Spannungszustand von Schwungrädern bei beschleunigter Rotation. Inhaltsübersicht. Durch genauere Ermittlung der im Schwungrade bei beschleunigter Rotation entstehenden Spannungen wird die hinreichende Genauigkeit der üblichen Näherungsrechnung bewiesen. Erläuterung durch Zahlenbeispiel. ––––– Befindet sich ein Schwungrad in beschleunigter Rotation – sei es im geordneten Betrieb infolge der periodischen Arbeitsaufnahme und -Abgabe, sei es bei Betriebsstörungen infolge Durchgehens oder plötzlichen Stillstehens der Maschine –, so entstehen außer den durch die Zentrifugalwirkungen hervorgerufenen Spannungens. Mies, Der Spannungszustand von Schwungrädern bei gleichförmiger Rotation, D. p. J. 1910, S. 692 und 708. noch weitere Spannungen in Kranz und Armen, welche durch die tangentialen Trägheitskräfte der Radmassen verursacht werden. Zur Berechnung dieser Spannungen benutzt man meist ein Näherungsverfahren, indem man die Biegsamkeit des Kranzes gegenüber der der Arme sowie die Wirkungen der Trägheitskräfte der Armmassen vernachlässigt.s.u.a. Tolle, Die Regelung der Kraftmaschinen, 1905, S. 127. Demgegenüber soll im folgenden eine Berechnung dieser Spannungen entwickelt werden, welche von den genannten Vernachlässigungen absieht.Ueber ein graphisches Verfahren zur genaueren Bestimmung des in Rede stehenden Spannungszustandes s. Tolle, Die Regelung der Kraftmaschinen, 1905, S. 129. Diese genauere Berechnung, die keinerlei Schwierigkeiten bietet, ergibt durchaus einfache und übersichtliche Resultate, mit deren Hilfe sich zeigen läßt, daß die Ergebnisse der angenäherten Rechnung für praktische Bedürfnisse hinreichend genau sind. Ferner wird mit Hilfe der genaueren Untersuchung der Nachweis für die nicht ohne weiteres selbstverständliche Tatsache erbracht, daß die bei dieser Beanspruchung in den Armen entstehenden Zugkräfte vernachlässigbar klein sind. 1. Erläuterung des Rechnungsganges. Man denke sich den Materialzusammenhang zwischen den Armen und dem Kranz so weit aufgehoben, daß nur noch tangential gerichtete Kräfte zwischen ihnen übertragen werden können, etwa wie in Fig. 1 angedeutet ist. Befindet sich das Rad in diesem Zustande in beschleunigter Rotation, so verdreht sich der ursprünglich mit der Armmittelebene zusammenfallende Kranzquerschnitt (1–1 in Fig. 1) in einem als positiv gewählten Sinne um den Winkel χk gegen den durch das Armende gehenden Radius, während sich die Endtangente der Armmittellinie gegen den genannten Radius um den Winkel χa verdreht, so daß nach der Deformation der in Rede stehende Kranzquerschnitt mit der Endtangente der Armmittellinie den Winkel χa – χk bildet, wie in Fig. 1 übertrieben dargestellt ist. Nun treten bei ungestörtem Materialzusammenhang zwischen Kranz und Armen Biegungsmomente Ma auf, welche das Entstehen der Verdrehungswinkel χa – χk dadurch verhindern, daß sie die betrachteten Kranzquerschnitte um den Winkel ψk und die Endtangenten der Armmittellinien um den Winkel ψa in entgegengesetztem Sinne verdrehen, so daß die Beziehung bestehen muß. Textabbildung Bd. 326, S. 486 Fig. 1. χa – χk = ψk + ψa. Da die Winkel ψ den Biegungsmomenten Ma proportional sein werden, kann man setzen ψk = u' Ma und ψa = w' Ma. . . . . . 1) und hieraus folgt M_a=\frac{\chi_a-\chi_k}{u'+w'} Nach Ermittlung der Werte für χa, χk, u' und w' erhält man also das Biegungsmoment Ma, und damit auch die durch dasselbe hervorgerufenen Spannungen. Außer den Biegungsmomenten Ma treten aber bei ungestörtem Materialzusammenhang noch radial gerichtete Kräfte Za zwischen Kranz und Armen auf. Diese ergeben sich aus den Längenänderungen der Radien. Sie sind jedoch, wie später nachgewiesen wird, so gering, daß man ihren Einfluß auf den Spannungszustand vernachlässigen kann. 2. Die Verdrehungswinkel χk der Kranzquerschnitte. Aus dem in Fig. 1 gezeichneten Rade werde ein Kranzsegment vom Zentriwinkel 2a durch Schnitte mitten zwischen je zwei benachbarten Armen ausgeschnitten, wie Fig. 2 zeigt. Als Resultierende der an den Schnittstellen übertragenen inneren Kräfte bringe man je eine Normalkraft Pm, eine Schubkraft Sm und ein Moment Mm an. Diese Schnittkräfte müssen in den beiden Querschnitten aus Symmetriegründen paarweise gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein. Die von dem Armende auf das Kranzsegment übertragene tangential gerichtete Kraft sei mit Pp bezeichnet. Der Deformationszustand des Kranzsegmentes, insbesondere der Verdrehungswinkel seiner Endquerschnitte, ergibt sich dann nach Bestimmung der vier unbekannten Kräftewirkungen Pp, Pm, Sm und Mm. Die dazu nötigen vier Gleichungen bieten die drei Gleichgewichtsbedingungen, die zwischen den unbekannten Schnittkräften und den bekannten Trägheitskräften der Kranzmassen erfüllt sein müssen, sowie die Deformationsbedingung, daß der Zentriwinkel 2a des abgeschnittenen Kranzsegmentes aus Symmetriegründen auch während der Formänderung erhalten bleibt. Textabbildung Bd. 326, S. 486 Fig. 2. Wenn man die in Fig. 2 eingezeichneten Kraftrichtungen als positiv annimmt, und für die Trägheitskraft d Q eines Kranzelementes setzt d\,Q=\frac{\gamma_1}{g}\,F\,r\,p\,d\,\varphi. worin γ1 das spezifische Gewicht des Kranzmaterials,          F den Kranzquerschnitt,           r den Schwerpunktsradius des Kranzes,           p die im Schwerpunktsradius des Kranzes vorhandene Beschleunigung bedeuten, so lauten die drei Gleichgewichtsbedingungen \begin{array}{rcl}P_p&=&2\,S_m\,\mbox{sin}\,\alpha+2\,\int_0^\alpha\,d\,Q\,\mbox{cos}\,(\alpha-\varphi),\\0&=&2\,P_m\,\mbox{sin}\,\alpha,\\P_p\,(r_n+1)&=&2\,\int_0^\alpha\,r\,d\,Q.\end{array} Darin bezeichnen rn den Halbmesser der Nabe,                             l die Länge des Armes. Führt man noch das Gewicht 0 des abgeschnittenen Kranzstückes ein, indem man setzt: G = 2 γ1 F • r • α, so folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen P_p=\frac{r}{r_n+1}\,G\,\frac{p}{g} P_m=0 S_m=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,\left(\frac{r}{r_n+1}\,.\,\frac{1}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right) . . 2) Das Moment Mm findet sich aus folgender Ueberlegung. Da die Normalkräfte Pm = 0 sind, könnten nur die Momente Mm imstande sein, den Zentriwinkel 2a des abgeschnittenen Kranzsegmentes zu ändern, weil sich die durch Sm und die Trägheitskräfte hervorgerufenen Winkeländerungen zu beiden Seiten des Armes aufheben. Die Deformationsbedingung ergibt also: Mm = 0. . . . . . . . . 2a) Textabbildung Bd. 326, S. 487 Fig. 3. Zur Ermittlung des Winkels χk werde nun folgende Betrachtung angestellt. In Fig. 3 stelle der Kreisbogen A B die undeformierte Mittellinie des abgeschnittenen Kranzsegments dar. Denkt man sich den Querschnitt 1 – – – 1 an der Armstelle fest eingespannt, so mögen die Punkte A und B während der Deformation in die Lagen A' und B' übergehen, indem sie in Richtung der Sehne A B die Wege δs, senkrecht dazu die Wege δn zurücklegen. Aus Symmetriegründen folgt, daß die Wege δs für beide Punkte gleich groß und gleich gerichtet, die Wege δn gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein müssen. Die Symmetrie verlangt ferner, daß die Punkte A' und B1 von dem Mittelpunkt des Rades die gleiche Entfernung haben, d.h. auf einem Kreise um denselben liegen. Nach der Deformation muß also der Mittelpunkt des Rades auf der auf A' B' als Sehne errichteten Mittelsenkrechten liegen. Da schließlieh der Zentriwinkel des Bogens A' B' gleich dem des Bogens A B, d.h. gleich 2a sein muß, ergibt sich die neue Lage des Radmittelpunktes, wie in Fig. 3 eingezeichnet. Man erkennt leicht, daß sich der Radmittelpunkt während der Deformation senkrecht zum Einspannquerschnitt 1 – – – 1 verschiebt, und zwar um das Stück \delta\,s+\frac{\delta\,n}{\mbox{tg}\,\alpha}. Für den kleinen Winkel χk folgt dann die Beziehung \chi_k\,\sim\,\mbox{tg}\,\chi_k=\frac{1}{r}\,\left(\delta\,s+\frac{\delta\,n}{\mbox{tg}\,\alpha}\right) . . . 3) Bei der Bestimmung von δs und δn mögen die durch die Schubkräfte hervorgerufenen Formänderungen vernachlässigt werden, so daß nur die Wirkungen der in jedem Kreuzquerschnitt auftretenden Normalkraft und des Biegungsmomentes zu berücksichtigen sind. Bedeutet P diese Normalkraft in irgend einem um den Winkel φ gegen den Endquerschnitt des Kranzsegments geneigten Kranzquerschnitt und M das dort herrschende Biegungsmoment, so ergibt sich nach Fig. 2 M=S_m\,.\,r\,\mbox{sin}\,\varphi-\int_0^\varphi\,\frac{\gamma_1}{g}\,F\,r^2\,p\,(1-\mbox{cos}\,\varphi)\,d\,\varphi P=S_m\,\mbox{sin}\,\varphi-\int_0^\varphi\,\frac{\gamma_1}{g}\,F\,r\,p\,\mbox{cos}\,\varphi)\,d\,\varphi, und mit Hilfe der Gleichung 2 für Sm nach Integration \left{{M=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,r\,\left(\frac{r}{r_n+1}\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{\varphi}{\alpha}\right)}\atop{P=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,\frac{r}{r_n+1}\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\right\}4) Das Biegungsmoment M verdrehe die Endquerschnitte eines Kranzelements vom Zentriwinkel δφ um den Winkel δ (d φ), während die Normalkraft P die Länge r d φ der mittleren Faser dieses Kranzelements um den Betrag δ (r d φ) ändere. Dann bestehen die Beziehungen: \left{{\delta\,(d\,\varphi)=\frac{M}{E_1\,J}\,r\,d\,\varphi}\atop{\delta\,(r\,d\,\varphi)=\frac{P}{E_1\,F}\,r\,d\,\varphi}}\right\}\ .\ .\ .\ 5) wenn das Elastizitätsmodul des Kranzmaterials mit E1 und das Trägheitsmoment des Kranzquerschnitts mit J bezeichnet wird. Gemäß den in den Fig. 4 und 5 angedeuteten Beziehungen wird durch die Deformation eines Kranzelements, das gegen den Endquerschnitt des Kranzsegments um den Winkel φ verdreht ist, der Punkt A des Endquerschnitts in der Richtung der Sehne A B um die unendlich kleine Strecke d (δ s), senkrecht dazu um d (δ n) verschoben, so daß d\,(\delta\,s)=2\,r\,\mbox{sin}\,\frac{\varphi}{2}\,\mbox{sin}\,\left(\alpha-\frac{\varphi}{2}\right)\,\delta\,(d\,\varphi)+\mbox{cos}\,(\alpha-\varphi)\,\delta\,(r\,d\,\varphi) d\,(\delta\,n)=2\,r\,\mbox{sin}\,\frac{\varphi}{2}\,\mbox{cos}\,\left(\alpha-\frac{\varphi}{2}\,\delta\,(d\,\varphi)-\mbox{sin}\,(\alpha-\varphi)\,\delta\,(r\,d\,\varphi)\right), oder \left{{d\,(\delta\,s)=r\,[\mbox{cos}\,(\alpha-\varphi)-\mbox{cos}\,\alpha]\,\delta\,(d\,\varphi)+\mbox{cos}\,(\alpha-\varphi)\,\delta\,(r\,d\,\varphi)}\atop{d\,(\delta\,n)=r\,[\mbox{sin}\,\alpha-\mbox{sin}\,(\alpha-\varphi)]\,\delta\,(d\,\varphi)-\mbox{sin}\,(\alpha-\varphi)\,\delta\,(r\,d\,\varphi)}}\right\}6) Textabbildung Bd. 326, S. 488 Fig. 4. Textabbildung Bd. 326, S. 488 Fig. 5. Es folgt: d\,(\delta\,s)+\frac{d\,(\delta\,n)}{\mbox{tg}\,\alpha}=d\,\left(\delta\,s+\frac{\delta\,n}{\mbox{tg}\,\alpha}\right)=\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\,(r\,\delta\,(d\,\varphi)+\delta\,(r\,d\,\varphi)) . . . . . . . . 6a) woraus sich nach Integration mit Hilfe der Gleichung 5 ergibt: \delta\,s+\frac{\delta\,n}{\mbox{tg}\,\alpha}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,\left[\frac{r^3}{E_1\,J}\,\left(\frac{r}{r_n+1}\,\frac{1}{2\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}\,\left(\frac{\alpha}{\mbox{sin}\,\alpha}-\mbox{cos}\,\alpha\right)\right\right) \left\left+\frac{1}{\mbox{tg}\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right)+\frac{r}{E_1\,F}\,\frac{r}{r_n+1}\,\frac{1}{2\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}\,\left(\frac{\alpha}{\mbox{sin}\,\alpha}-\mbox{cos}\,\alpha\right)\right]. Setzt man in dieser Gleichung zur Abkürzung x=\frac{1}{4\,.\,\mbox{sin}\,\alpha}\,\left(\frac{\alpha}{\mbox{sin}\,\alpha}-\mbox{cos}\,\alpha\right) und \lambda=\frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\mbox{tg}\,\alpha}\right) m_p=\frac{r}{r_n+1}\,x-\lambda n_p=\frac{r}{r_n+1}\,x . . 7) so wird: \delta\,s+\frac{\delta\,n}{\mbox{tg}\,\alpha}=G\,\frac{p}{g}\,\left[\frac{r^3}{E_1\,J}\,m_p+\frac{r}{E_1\,F}\,n_p\right] . . 8) und endlich nach Gleichung 3 \chi\,k=G\,\frac{p}{g}\,\left[\frac{r^2}{E_1\,J}\,m_p+\frac{r}{E_1\,F}\,n_p\right] . . . 9) Die zur Bestimmung von mp und np dienenden Koeffizienten x und λ lassen sich der folgenden Tabelle entnehmen. Armzahl x λ   6 0,0906 0,0889   8 0,0670 0,0662 10 0,0532 0,0528 3. Die Verdrehungswinkel ψk der Kranzquerschnitte. Textabbildung Bd. 326, S. 488 Fig. 6. Nach dem ersten Abschnitt entstehen die Verdrehungswinkel ψk der Endquerschnitte des abgeschnittenen Kranzsegmentes durch die Biegungsmomente Ma, welche bei ungestörtem Materialzusammenhang zwischen Armen und Kranz auftreten. Die Kräfte, unter deren Wirkung das abgeschnittene Kranzsegment (Fig. 6) steht, seien außer dem Biegungsmoment Ma an der Armstelle die Tangentialkraft Pa und in den Endquerschnitten Pn, Sn und Mn. Sind die vier Kräftewirkungen Pa, Pn, Sn und Mn gefunden, so erhält man nach den im vorigen Abschnitt angestellten Rechnungen ohne weiteres den gesuchten Winkel ψk. Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt sofort: P_n=0 P_a=\frac{M_a}{r_n+1} S_n=\frac{1}{2}\,\frac{M_a}{(r_n+1)\,\mbox{sin}\,\alpha} . . . . 10) während die Unveränderlichkeit des Zentriwinkels 2 a des abgeschnittenen Kranzsegments Mn = 0. . . . . . . . . 10a) erfordert. Sodann sind Biegungsmoment und Normalkraft in einem um den Winkel φ gegen die Endquerschnitte geneigten Querschnitt: \left{{M=\frac{1}{2}\,\frac{r}{r_n+1}\,M_a\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}}\atop{P=\frac{1}{2}\,\frac{1}{r_n+1}\,M_a\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}}}\right\}\ .\ .\ .\ 11) Bezeichnet man die durch diesen Belastungszustand hervorgerufenen Verschiebungen des Punktes A (Fig. 4 und 5) mit δ' s und δ' n, so kann man die Betrachtungen des vorigen Abschnitts zur Ermittlung von δ n und δ s ohne weiteres hier anwenden, wenn man nur statt der Werte für M und P nach Gleichung 4 diejenigen nach Gleichung 11 einsetzt. Es findet sich: d\,\left(\delta'\,s+\frac{\delta'\,n}{\mbox{tg}\,\alpha}\right)=\frac{1}{2}\,M_a\,\frac{r}{r_n+1}\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}+\frac{l}{E_1\,F}\right)\,d\,\varphi, und nach Integration sowie mit Hilfe der Abkürzungen nach Gleichung 7 \delta'_0+\frac{\delta'\,n}{\mbox{tg}\,\alpha}=M_a\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}+\frac{1}{E_1\,F}\right)\,n_p . . 12) hieraus nach Gleichung 3: \psi_k=\frac{M_a}{r}\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}+\frac{1}{E_1\,F}\right)\,n_p . . . 12a) und Gleichung 1: u'=\frac{1}{r}\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}+\frac{1}{E_1\,F}\right)\,n_p . . . 12b) (Schluß folgt.)