DER SPANNUNGSZUSTAND VON SCHWUNGRÜDERN BEI BESCHLEUNIGTER ROTATION. Von Otto Mies, Charlottenburg. (Schluß von S. 489 d. Bd.) MIES: Der Spannungszustand von Schwungrädern bei beschleunigter Rotation. 4. Die Verdrehungswinkel χa und ψa der Armenden. Bei der Bestimmung des Winkels χa (Fig. 1), den die Endtangente des Armes während der Deformation gegen den ursprünglich mit der Armmittellinie zusammenfallenden Kranzradius beschreibt, muß man bedenken, daß der Kranzradius selbst infolge der Durchbiegung f'a des Armendes einen kleinen Winkel φ' beschreibt, für den mit hinreichender Genauigkeit gilt. \varphi'=\frac{f'_a}{r_n+1}. Bezeichnet man nun den Verdrehungswinkel der Endtangente der Armmittellinie gegen ihre ursprüngliche Lage mit χ'a so ist nach Fig. 1: \chi_a=\chi'_a-\varphi'=\chi'_a-\frac{f'_a}{r_n+1} . . 13) χ'a und f'a werden durch die vom Kranz auf das Armende übertragene Kraft Pp und die Trägheitskräfte der Armmassen hervorgerufen. Nach den in Fig. 7 eingetragenen Beziehungen ist das Biegungsmoment in dem vom Armende um die Strecke x entfernten Armquerschnitt, wenn man das Armgewicht mit Ga bezeichnet: m_x=P_p\,.\,x+\int_0^x\,\frac{\gamma}{g}\,f\,p\,\frac{r_n+1-\xi}{r}\,d\,\xi =G\,\frac{p}{g}\,\frac{r}{r_n+1}\,x+\frac{1}{2}\,G_a\,\frac{p}{g}\,\frac{(r_n+1)\,x^2-\frac{1}{3}\,x^3}{r\,l} 14) Damit findet sich aus der Beziehung: \frac{d^2\,y}{d\,x^2}=\frac{M_x}{E\,J_a}, worin y die Durchbiegung des Armes an der Stelle x und Ja das in Frage kommende Trägheitsmoment des Armquerschnitts bedeuten, \chi'_a=\left(\frac{d\,y}{d\,x}\right)_{x=0} und f'a = (y)x = 0 Nach Integration erhält man: \chi'_a=\frac{1}{2}\,\frac{p}{g}\,\frac{l^2}{E\,J_a}\left(G\,\frac{r}{r_n+1}+\frac{1}{3}\,G_a\,\frac{r_n+\frac{3}{4}\,l}{4}\right) f'_a_a=\frac{1}{3}\,\frac{p}{g}\,\frac{l^3}{E\,J_a}\left(G\,\frac{r}{r_n+1}+\frac{1}{8}\,G_a\,\frac{3\,r_n+\frac{11}{5}\,l}{r}\right) und mit Gleichung 13 nach einigen Umrechnungen \chi_a=\frac{1}{2}\,\frac{p}{g}\,\frac{l^2}{E\,J_a}\,\left[G\,\frac{r\,\left(r_n+\frac{1}{3}\right)}{(r_n+1)^2}+\frac{1}{3}\,G_a\,\frac{1}{r}\,\left(\frac{r_n}{l}+\frac{1}{5}\,\frac{l}{r_n+1}\right)\right]. Setzt man zur Vereinfachung der Schreibweise: h=\frac{r}{2}\,\frac{r_n+\frac{1}{3}}{(r_n+1)^2} und i=\frac{1}{6}\,\frac{1}{r}\,\left(\frac{r_n}{l}+\frac{1}{5}\,\frac{1}{r_n+1}\right) 15) so ergibt sich schließlich: \chi_a=\frac{l^2}{E\,J_a}\,\frac{p}{g}\,(G\,h+G_a\,i) . . . 15a) Wegen des verhältnismäßig geringen Einflusses der Trägheitskräfte der Armmassen auf die zu ermittelnden Spannungen kann man hier von der Berücksichtigung einer etwaigen Armverjüngung absehen. Textabbildung Bd. 326, S. 501 Fig. 7. Auf ähnliche Weise findet man den Winkel ψa, den die Endtangente des Armes infolge des vom Kranz übertragenen Momentes Ma und der durch dasselbe bedingten Tangentialkraft P_a=\frac{M_a}{r_n+1} gegen den ursprünglich mit der Armmittellinie zusammenfallenden Kranzradius beschreibt. Bezeichnet man hierbei die Enddurchbiegung des Armes mit fa'' und den Neigungswinkel der Endtangente des Armes gegen ihre ursprüngliche Lage mit ψa, so ist entsprechend Gleichung 13: \psi_a=\psi_a''-\frac{f_a''}{r_n+1} Mit \psi''_a=\frac{M_a}{E\,J_a}\,\left(1-\frac{l^2}{2\,(r_n+1)}\right) und f''_a=\frac{M_a}{E\,J_a}\,\left(\frac{l^2}{2}-\frac{l^3}{3\,(r_n+1)}\right) wird: \psi_a=\frac{M_a}{E\,J_a}\,\frac{l^2}{r_n+1}\,\left(\frac{r_n}{l}+\frac{1}{3}\,\frac{1}{r_n+1}\right)=M_a\,.\,w' 16) Setzt man zur Abkürzung der Schreibweise: \mbox{so wird: }\left{{k=\frac{r}{r_n+1}\,\left(\frac{r_n}{l}+\frac{1}{3}\,\frac{1}{r_n+l}\right)}\atop{w'=\frac{l^2}{E\,J_a}\,\frac{k}{r}}}\right\}16\mbox{a}) 5. Das zwischen Arm und Kranz wirkende Biegungsmoment Ma. Ma findet sich nun aus Gleichung la, indem man nach den Gleichungen 9, 12b, 15a und 16a die Werte für χk, χa, u' und w' einsetzt. Man erhält somit: M_a=\frac{\frac{l^2}{E\,J_a}\,\frac{P}{g}\,(G\,h+G_a\,i)-G\,\frac{p}{g}\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}\,m_p+\frac{1}{E_1\,F}\,n_p\right)}{\frac{l^2}{E\,J_a\,\frac{k}{r}+\frac{1}{r}\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}+\frac{1}{E_1\,F}\right)\,n_p}}. oder nach einigen Umformungen: M_a=G\,\frac{p}{g}\,r\,\frac{h+\frac{G_a}{G}\,i+\frac{E}{E_1}\,\left(\frac{r}{l}\right)^2\,\left(\frac{J_a}{J}\,m_p+\frac{J_a}{F\,r^2}\,n_p\right)}{k+\frac{E}{E_1}\,\left(\frac{r}{l}\right)^2\,\left(\frac{J_a}{J}+\frac{J_a}{F\,r^2}\right)\,n_p} 17) Da der Ausdruck F r2 gegenüber Ja in normalen Fällen außerordentlich groß wird, kann man das Glied \frac{J_a}{F\,r^2}\,n_p gegen die übrigen vernachlässigen, so daß die vereinfachte Formel entsteht: M_a=G\,\frac{p}{g}\,r\,\frac{k+\frac{G_a}{G}\,i-\frac{E}{E_1}\,\left(\frac{r}{l}\right)^2\,\frac{J_a}{J}\,m_p}{k+\frac{E}{E_1}\,\left(\frac{r}{l}\right)^2\,\frac{J_a}{J}\,n_p} 17a) In dieser Formel stellt das Glied \frac{G_a}{G}\,i den Einfluß der trägen Massen der Arme dar, während die Endglieder von Zähler und Nenner den Einfluß der Kranzverbiegung enthalten. Man erkennt, daß sich diese Einflüsse in entgegengesetztem Sinne geltend machen, was nach den Ueberlegungen des ersten Abschnittes zu erwarten war. Der Bau der erwähnten Glieder lehrt ferner ohne weiteres, daß sie gegen die Glieder h und k klein sind, woraus sich schließen läßt, daß durch ihre Vernachlässigung kein großer Fehler gemacht wird. Diese Vernachlässigung führt dann zu derselben Formel, welche sich nach der üblichen Näherungsrechnung ergibt, nämlich M_a=G\,\frac{p}{g}\,r\,\frac{h}{k} . . . . . 18) oder, indem man die Werte von h und k nach den Gleichungen 15 und 16a einsetzt M_a=G\,\frac{p}{g}\,r\,\frac{1}{2}\,\frac{\frac{1}{3}+\frac{r_n}{l}}{\frac{1}{3}+\frac{r_n}{l}+\left(\frac{r_n}{l}\right)^2} . . . 18a) 6. Die zwischen Arm und Kranz wirkende Zugkraft Za. Bei der beschleunigten Rolation des Rades in dem durch Fig. 1 gekennzeichneten Zustand erleidet der ursprünglich mit der Armmittellinie zusammenfallende Kranzradius eine Verlängerung δ r. Angenähert in diesem Betrage würde zwischen Arm und Kranz eine Fuge klaffen, wenn nicht der Arm den Kranz durch eine Zugkraft Za um den Wert p_\frakfamily{z}=Z_a\,.\,u nach innen einböge und der Kranz den Arm durch die entgegengesetzt gerichtete Zugkraft um die Strecke \lambda_\frakfamily{z}=Z_a\,.\,w verlängerte, so daß: \delta\,r=P_\frakfamily{z}+\lambda_\frakfamily{z}=Z_a(u+w), woraus folgt Z_a=\frac{\delta\,r}{u+w} . . . . . . . 19) Wie die Werte u und w zu finden sind, ist früher erläutert worden.s. Anm. 1 S. 485. δ r ergibt sich nach den in Fig. 2 dargestellten Beziehungen. Nennt man die Länge des deformierten Radius r', so hat man zu setzen: r'=r+\delta\,r=\sqrt{r^2+\left(\delta\,s_0+\frac{\delta\,n_0}{\mbox{tg}\,\alpha}\right)^2}, worin δ s0 und δ n0 die gesamten Verschiebungen des Punktes A (Fig. 3) bedeuten. Indem man die Wurzel entwickelt und Potenzen höheren als zweiten Grades vernachlässigt, ergibt sich \delta\,r=\frac{1}{2}\,\frac{\left(\delta\,s_0+\frac{\delta\,n_0}{\mbox{tg}\,\alpha}\right)^2}{r} . . . . 20) Da δ s0 und δ n0 kleine Verschiebungen darstellen, folgt aus dieser Gleichung schon, daß δ r sehr klein sein wird, und infolgedessen der Einfluß von Za auf die Spannungen ohne merklichen Fehler vernachlässigt werden kann. Da jedoch der Wert \delta\,s+\frac{\delta\,n}{\mbox{tg}\,\alpha} schon berechnet ist, kann die Gleichung für Za ohne weiteres angesetzt werden, so daß man in der Lage ist, auch an praktischen Beispielen zu erkennen, daß Za merklich verschwindet. Die Verschiebung \delta\,s_0+\frac{\delta\,n_0}{\mbox{tg}\,\alpha} wird zum Teil durch die beschleunigte Rotation, zum Teil durch die Schnittmomente Ma hervorgerufen. Nach den Gleichungen 8 und 12 wird: \delta\,s_0+\frac{\delta\,n_0}{\mbox{tg}\,\alpha}=G\,\frac{p}{g}\,\left(\frac{r^3}{E_1\,J}\,m_p+\frac{r}{E_1\,F}\,n_p\right)+M_a\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}+\frac{1}{E_1\,F}\right)\,n_p. Setzt man: M_a=G\,\frac{p}{g}\,r\,.\,c . . . . . 21) wobei die Bedeutung von c aus den Gleichungen 17, 17a und 18a zu entnehmen ist, so folgt: \delta\,s_0+\frac{\delta\,n_0}{\mbox{tg}\,\alpha}=G\,\frac{p}{g}\,r\,\left(\frac{r^2}{E_1\,J}\,(m_p+c\,n_p)+\frac{1}{E_1\,F}\,(1+c)\,n_p\right), und, indem man wie früher das zweite Glied in der Klammer vernachlässigt nach Gleichung 20: \delta\,r=\frac{1}{2}\,G^2\,\left(\frac{p}{g}\right)^2\,\frac{r^2}{E_1\,J}\,(m_p+c\,n_p)\,\frac{r^3}{E_1\,J}. Daraus ergibt sich mit Gleichung 19 nach den an anderer Stelle abgeleiteten Beziehungen: Z_a=\frac{1}{2}\,G^2\,\left(\frac{p}{g}\right)^2\,\frac{r^2}{E_1\,J}\,\frac{(m_p+c\,n_p)^2\,\frac{r^3}{E_1\,J}}{\frac{r^3}{E_1\,J}\,m+\frac{r}{E_1\,F}\,n+\varepsilon_z\,\frac{1}{E\,f_i}} Z_a=\frac{1}{2}\,G^2\,\left(\frac{p}{g}\right)^2\,\frac{r^2}{E_1\,J}\,\frac{(m_p+c\,n_p)^2}{m+\frac{J}{F\,r^2}\,n+\varepsilon_z\,\frac{E_1}{E}\,\frac{1}{r}\,\frac{J}{f_i\,r^2}} 22) 7. Die Spannungen in Kranz und Armen. Die Normalspannungen, die im Kranz in einem um den Winkel φ gegen die Segmentenden geneigten Querschnitt (Fig. 2) herrschen, kann man sich unter Vernachlässigung des Einflusses der Zugkräfte Za entstanden denken durch Uebereinanderlagerung der Spannungen, die durch die beschleunigte Rotation des drehbar mit den Armen verbundenen Kranzes (Fig. 1) erzeugt werden mit denjenigen, welche die Schnittmomente Ma hervorrufen. Sie sind an jeder Stelle auf ein Biegungsmoment Mφ und eine Normalkraft Pφ zurückzuführen. Die Anteile, welche die beschleunigte Rotation und die Schnittmomente an Mφ und Pφ haben, addieren sich auf beiden Seiten des Armes. Demnach findet sich nach den Gleichungen 4 und 11: M_{\varphi}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,r\,\left(\frac{r}{r_n-1}\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{\varphi}{\alpha}\right)+\frac{1}{2}\,M_a\,\frac{r}{r_n+1}\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha} P_{\varphi}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,\frac{r}{r_n+1}\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}+\frac{1}{2}\,M_a\,\frac{1}{r_n+1}\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}, oder indem man nach Gleichung 21 M_a=G\,\frac{p}{g}\,r\,c setzt \left{{M_{\varphi}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,r\,\left(\frac{r}{r_n+1}\,(1+c)\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{\varphi}{\alpha}\right)}\atop{P_{\varphi}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,\frac{r}{r_n+1}\,(1+c)\,\frac{\mbox{sin}\,\varphi}{\mbox{sin}\,\alpha}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\right\}23) Ein Maximum für Mφ entsteht an der Stelle φ0 nach Gleichung: \frac{r}{r_n+1}\,(1+c)\,\frac{\mbox{cos}\,\varphi_0}{\mbox{sin}\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}=0 für: \mbox{cos}\,\varphi_0=\frac{\mbox{sin}\,\alpha}{\alpha}\,\frac{r_n+1}{r\,(1+c)}. Dieses Maximum tritt aber in Wirklichkeit nicht auf, da φ0 größer als a wird, wenn der Quotient \frac{r_n+1}{r\,(1+c)} nur wenig kleiner als 1 ist. Die größten Werte für Mφ und Pφ entstehen also in den Querschnitten an den Armen, d.h. für φ = a und sind nach Gleichung 23: M_{\alpha}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,r\,\left(\frac{r}{r_n+1}\,(1+c)-1\right) P_{\alpha}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,\frac{r}{r_n+1}\,(1+c). Führt man in diese Formeln den Abstand ηi der inneren Kranzfaser von der Schwerpunktsfaser mit Hilfe der Beziehung r – (rn + 1) = ηi ein, so ergibt sich: \left{{M_{\alpha}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,r\,\frac{c\,r+\eta_i}{r-\eta_i}\ \ \ \ \ \ \ }\atop{P_{\alpha}=\frac{1}{2}\,G\,\frac{p}{g}\,\left(\frac{c\,r+\eta_i}{r-\eta_i}+1\right)}}\right\}\ .\ 24) Bedeuten Wi das Widerstandsmoment des Kranzquerschnitts für die inneren Kranzfaser, Wa dasjenige für die äußere, F den Kranzquerschnitt, σpi die Spannung in der inneren Kranzfaser, σpa die in der äußeren, so folgt: \left{{\sigma_{pi}=\frac{M_{\alpha}}{W_i}+\frac{P_{\alpha}}{F}}\atop{\sigma_{pa}=\frac{M_{\alpha}}{W_a}-\frac{P_{\alpha}}{F}}}\right\}\ .\ .\ .\ 25) Beide Spannungen können sowohl Zug- als auch Druckspannungen sein, je nachdem sie auf der einen oder anderen Seite des Armes auftreten. Vernachlässigt man auch bei den Armen die durch die Zugkräfte Za entstehenden Spannungen, so werden die Arme, vom Schub abgesehen, nur auf Biegung beansprucht. Gleichung 14 gibt die Größe des bei beschleunigter Rotation entstehenden Biegungsmomentes an beliebiger, um die Strecke x vom äußeren Armende entfernter Stelle an. Davon ist das durch das Schnittmoment hervorgerufene Biegungsmoment Ma – Pa • x zu subtrahieren. Am äußeren Armende wirkt demnach allein das Biegungsmoment Ma, während sich für das Biegungsmoment am inneren Armende nach Gleichung 14 findet: M_i=G\,\frac{p}{g}\,\frac{r}{r_n+1}\,1+\frac{1}{2}\,G_a\,\frac{p}{g}\,\frac{(r_n+1)\,l^2-\frac{1}{3}\,l^3}{r\,l}-M_a\,\left(1-\frac{1}{r_n+1}\right) oder mit Gleichung 21: M_i=G\,\frac{p}{g}\,r\,\left(\frac{l-c\,r_n}{r_n+1}+\frac{1}{2}\,\frac{G_a}{G}\,\left(\frac{1}{r}\right)^2\,\left(\frac{r_n}{1}+\frac{2}{3}\right)\right) . 26) Die in den äußeren bezw. inneren Armquerschnitten auftretenden Biegungsspannungen σa' bezw. σi' sind demnach, wenn wa bezw. wi die entsprechenden Widerstandsmomente des Armquerschnittes bedeuten: \sigma_a'=\frac{M_a}{w_a} und \sigma'_i=\frac{M_i}{w_i} . . . . 27) 8. Beispiel. Zum Schluß mögen die Ergebnisse zur zahlenmäßigen Berechnung des Rades einer Großgasmaschine für den Antrieb eines Drahtwalzwerkes verwendet werden. Die Figur des Rades nebst einer Tabelle seiner Dimensionen sind früher veröffentlicht wordens. D. p. J. 1910, S. 710, Fig. 4., bei welcher Gelegenheit auch die in dem Rade bei gleichförmiger Rotation entstehenden Spannungen berechnet wurden. Das größte Moment, welches beschleunigend auf die Massen des Schwungrades wirkt, wurde aus den Maschinendimensionen ermittelt, indem vorausgesetzt wurde, daß die größte vorkommende Drehkraft viermal so groß wie die mittlere ist. Hiervon entfällt auf jeden Arm ein Moment von 500000 kgcm, so daß: G\,\frac{p}{g}\,r=500000\mbox{ kgcm}. Für den Armquerschnitt ergibt sich das Trägheitsmoment Ja = 21150 cm4, das Widerstandsmoment w = 1410 cm3. Nach den Gleichungen 8 folgt mit Hilfe der Tabelle für x und λ: mp = 0,0036 und np = 0,0698, nach den Gleichungen 15 und 16a: h = 0,3630; i = 0,0740 und k = 1,1400. Mit diesen Werten findet sich aus Gleichung 17a: \begin{array}{rcl}M_a&=&500000\,\frac{0,3630+0,0058-0,0014}{1,1400+0,0271}\\ &=&500000\,\frac{0,3675}{1,1675}\\ &=&157500\mbox{ kgcm.} \end{array} Diesem genaueren Wert von Ma gegenüber ergibt sich nach Gleichung 18 der angenäherte; M_a=500000\,\frac{0,3630}{1,1400}=159000\mbox{ kgcm} Man erkennt, daß die Vergrößerung des Moments, welche die Massenwirkungen der Arme hervorrufen, durch den Einfluß der Kranzdeformation wieder aufgehoben wird. Nur einen dieser Einflüsse zu berücksichtigen würde daher eine größere Ungenauigkeit bedeuten, als beide zu vernachlässigen. Nach Gleichung 21 wird c=\frac{0,3675}{1,1671}=0,315. Damit folgt nach den Gleichungen 24: Ma = 128000 kgcm und Pa = 1640 kg, und nach den Gleichungen 25: \sigma_{\pi}=\frac{128000}{22500}+\frac{1640}{2375}=5,7+0,7=6,4\mbox{ kg.} \sigma_{\pa}=\frac{128000}{39700}+\frac{1640}{2375}=3,2+0,7=3,9\mbox{ kg.} Nach Gleichung 26 erhält man: Mi = 212000 kgcm und damit nach Gleichung 27: \sigma'_a=\frac{159000}{1410}=113\mbox{ kg/qcm} und \sigma'_i=\frac{212000}{1410}=150\mbox{ kg/qcm} Während die Spannungen im Kranz nur gering sind, erfordern diejenigen in den Armen immerhin Beachtung. Schließlich kann man noch Gleichung 22 benutzen, um sich davon zu überzeugen, daß die Zugkraft Za im Arm verschwindend klein wird. Bei der Nachrechnung findet sich Z = 0,00008 kg. Die Ergebnisse der Rechnungen lassen sich kurz folgendermaßen zusammenfassen: Die Berücksichtigung der Biegsamkeit des Kranzes sowie der Massenwirkungen der Arme bei der Berechnung der Spannungen des beschleunigt rotierenden Rades bietet keinerlei Schwierigkeiten und führt zu übersichtlichen Ergebnissen. Beide Einflüsse sind an sich gegenüber der Biegsamkeit der Arme und den Massenwirkungen des Kranzes nicht groß und machen sich dazu noch im entgegengesetzten Sinne geltend. Es ist daher berechtigt, nach der üblichen Näherungsmethode zu rechnen, welche beide Einflüsse gleichzeitig vernachlässigt. Während diese Vernachlässigung der Anschauung ohne weiteres begründet erscheint, läßt sich von vornherein nicht so leicht übersehen, ob nicht infolge der Biegsamkeit des Kranzes in den Armen erhebliche Zug- oder Druckkräfte entstehen. Die Rechnung lehrt indessen, daß diese Kräfte, die bei der üblichen Näherungsrechnung stillschweigend vernachlässigt zu werden pflegen, in der Tat nur außerordentlich klein sind und daher mit Recht übergangen werden können.