DIE GEWICHTSBESTIMMUNG HYDRAULISCHER PRESSEN. Von Ingenieur Hugo Friedmann, Frankfurt a. M., Eschersheim. (Fortsetzung von S. 550 d. Bd.) FRIEDMAN: Die Gewichtsbestimmung hydraulischer Pressen. 3. Halbkugel des Preßzylinders. Die Tragfähigkeit eines Kugelbodens ist größer als die des zugehörigen zylindrischen Gefäßes von gleicher Wandstärke. Die Formel R_a=R_i\,\sqrt[3]{\sqrt{\frac{k_z+0,4\,p}{k_z-0,65\,p}}} ergibt deshalb auch s3 < s1. Mit Rücksicht auf Kernverschiebung und mögliche zusätzliche Biegungsbeanspruchungen macht man jedoch von der rechnungsmäßig zulässigen Abnahme der Wandstärke keinen Gebrauch; ja es ergibt sich sogar durch Einbeziehung des verlorenen Kopfes in die Formgebung in der Mitte noch eine Verstärkung. Diese ist zusammen mit den anderen Angüssen und Ueberwachsungen der geometrischen Grundformen zuletzt durch Schätzung zu berücksichtigen. Unserer Rechnung dürfen wir ohne weiteres s3 = s1. . . . . . 13) zugrunde legen. Wir erhalten dann V_3=\frac{2}{3}\,\pi\,.\,1,16\,\sqrt{\frac{P^3}{\pi^3\,p^3}}\,\left[\left(\frac{k_z+0,4\,p}{k_z-1,3\,p}\right)^3-1\right] . 14) c_3=\frac{435\,.\,\gamma_1}{10^6\,.\,\sqrt{p^3}}\,\left[\left(\sqrt{\frac{k_z+0,4\,p}{k_z-1,3\,p}}\right)^3-1\right] . . 15) G3 = c3 √P3 kg . . . . . . . 16) Das Gewicht des Theils 3 wächst also bei bestimmter Pressung und Materialbeanspruchung proportional der 1½ Potenz der Druckkraft, folglich stärker als G1. Minder durchsichtig ist die Variation von c3. Die Differentiation ergibt eine Gleichung 5. Grades. Daraus erhält man als Bedingung für das Minimum von c3 p = 0,21 kz. . . . . . 17) 4. Halbkugel des Kolbens. Für die Wandstärke gelten dieselben Erwägungen wie im vorigen Abschnitt. Da Biegungsbeanspruchungen hier überhaupt nicht auftreten können, bedeutet die Formgebung mit Verstärkung des Kugelbodens gegen die Mitte zu, der man manchmal begegnet, einen unnützen Materialaufwand. Andererseits ist mit einer allmählichen Abnahme der Wandstärke auch hier nicht viel zu gewinnen, und der Gewinn steht in keinem Verhältnis zu dem Verzicht auf eine natürliche Reserve gegen Gußfehler. Wir setzen daher wieder: s4 = s2. . . . . . . . . 18) Daraus ergibt sich: V_4=\frac{2}{3}\,\pi\,\sqrt{\frac{P^3}{\pi^3\,p^3}}\,\left[1-\left(sqrt{\frac{k_d-1,7\,p}{k_d}}\right)^3\right] 19) c_4=\frac{376\,.\,\gamma_2}{10^6\,\sqrt{p^3}}\,\left[1-\left(\sqrt{\frac{k_d-1,7\,p}{k_d}}\right)^3\right] . . . 20) c4 = c4 √P3 . . . . . . . 21) Das Gewicht wächst wieder mit P nach dem Gesetz einer semikubischen Parabel. Das Minimum von C4 errechnet sich für p=\frac{k_d}{1,7} . . . . . . . . 22) 5. Zusammenfassung. Die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Abschnitte sind für die Ausrechnung überhaupt und speziell für die Minimalbestimmung des ganzen Körperaggregats wenig geeignet. Der übereinstimmende Aufbau der Formeln 16 und 21 ermöglicht aber deren Verschmelzung für die weitere Berechnung. Wir schreiben deshalb das gemeinsame Gewicht der beiden Halbkugeln G3,4 = c3,4 √P3 . . . . . . 23) c_{3,4}=\frac{376}{10^6}\,\frac{\gamma}{\sqrt{p^3}}\,\left[1,16\,\left(\sqrt{\frac{k_z+0,4\,p}{k_z-1,3\,p}}\right)^3-\left(\sqrt{\frac{k_d-1,7\,p}{k_d}}\right)^3-0,16\right] . 24) Für y ist in dieser Gleichung ein ideeller Mittelwert einzusetzen, wenn Zylinder und Kolben aus verschiedenem Material bestehen. Da das Gewicht von Theil 3 stets wesentlich überwiegt, wird γ nahe an γ1 liegen und kann bei flüchtigem Ueberschlagen der Werte zur größeren Sicherheit diesem gleichgesetzt werden. Die genaue Bestimmung ergibt sich übrigens von selbst bei Ermittlung des Verhältnisses \frac{G_3}{G_4} oder \frac{G_3}{G_{3,4}} welches wir bei ungleichen Baustoffen ohnehin der Preise halber kennen müssen. Für die Bedingungen der Fig. 7 beispielsweise schwankt γ zwischen 7,68 und 7,73; es kann also der Rechnung ohne weiteres γ = 7,7 zugrunde gelegt werden. Textabbildung Bd. 326, S. 562 Fig. 4. Die Bedingungen für das Minimum von c3,4 haben für uns ein besonderes Interesse. Durch Differentiation von 24 erhalten wir 1,34\,A-0,37\,\sqrt{A}+0,026=1-\frac{1,7}{n}\,\frac{p}{k_z} . 25) In dieser Gleichung bedeutet A=\frac{\left(1+0+\frac{p}{k_z}\right)\,\left[1-2,6\,\frac{p}{k_z}-0,52\,\left(\frac{p}{k_z}\right)^2\right]^2}{\left(1-1,3\,\frac{p}{k_z}\right)^5} . 26) n=\frac{k_d}{k_z} . . . . . . 27) Setzen wir die linke Seite von 25 gleich y1, die rechts y2 und tragen wir diese Werte als Funktionen von \frac{p}{k_z} auf, so erhalten wir in den Schnittpunkten der Kurve der y1 und den je nach n verschieden geneigten Geraden y2 die Auflösung der Gleichung 25 (Fig. 4). Die Minimalbedingungen für c3,4 schwanken also mit dem Verhältnis der als zulässig erachteten Zug- und Druckspannungen jedoch in verhältnismäßig engen Grenzen, äußersten Falls zwischen p = 0,23 kz bis 0,28 kz. Man sieht aus dem Vergleich dieses Ergebnisses mit 17 und 22, daß der Einfluß des Theils 4 numerisch gering ist. In Berücksichtigung der Ergebnisse von Abschnitt 1 und 2 bestimmen die Minimalbedingungen von c3,4 gleichzeitig den größtmöglichen Wert von p für das ideelle Minimalgewicht des Aggregats von Zylinder und Kolben. Man erkennt ohne weiteres, daß das günstigste p desto näher an die Werte der Fig. 4 heranrückt je kürzer der Zylinder, je geringer also sein Einfluß ist; lange Zylinder hingegen werden vortheilhafter mit großem Durchmesser und kleiner Pressung ausgeführt, weil an Theil 1 mehr zu sparen ist, als an den Halbkugeln zugelegt werden muß. Unter Umständen läßt sich auch noch durch eine flachere Wölbung das Gewicht von 3 und 4 gegenüber den hierberechneten Werten vermindern. Denn die große Pfeilhöhe der Halbkugel ist für die Arbeitsbedingungen der Maschine völlig nutzlos, verschlingt aber eine Menge Material. Die nähere Betrachtung der Ziffernwerte ergibt übrigens, daß die Veränderung von c3,4 innerhalb des überhaupt geeigneten Gebietes von Pressungen verhältnismäßig gering ist, so daß der Einfluß des Zylinders zunächst verstärkt erscheint. Ferner können wir ganz allgemein Folgendes berücksichtigen. G1 ist dem Druck P in der ersten, G34 in der 1½ Potenz proportional. Daraus folgt, daß der Einfluß der Kugelböden auf das Gesamtgewicht mit der Stärke der Presse wächst. Die herrschende Gepflogenheit, schwache Pressen mit geringer, Pressen für große Druckkräfte mit hoher Flüssigkeitspressung auszuführen, ist deshalb nicht bloß wegen der meist maßgebenden Beschränkung des Durchmessers, sondern auch mit Rücksicht auf die günstigste Materialausnutzung richtig. Textabbildung Bd. 326, S. 562 Fig. 5. Zur besseren Veranschaulichung ist der Verlauf der G34 auch in Fig. 3 eingetragen, und zwar additiv nach abwärts von der Linie G2 aus. Für den praktischen Gebrauch eignet sich diese Darstellungsweise aber nicht, weil sie für jede Druckkraft ein besonderes Blatt erfordert. Sehr günstig dagegen ist die Abbildung P-G mit p als Parameter (Fig. 5). Hier ist das ganze Gebiet der Druckkräfte zusammenzufassen, Die Werte G2 liegen auf einer Geraden durch den Ursprung. Die G1 sind ein Textabbildung Bd. 326, S. 563 Fig. 6. Druckkraft, k z = 500 kg/qcm kd = 1000 kg/qcm, Zylinder und Kolben aus Gußeisen. Büschel solcher Strahlen, deren Neigung mit p wächst. Der Bequemlichkeit halber sind sämtliche Werte von G1 additiv über G2 aufgetragen, so daß die Ordinatenwerte sofort die Summe G1 + G2 anzeigen. Dabei ist zu berücksichtigen, daß diese Gewichte für eine Länge des zylindrischen Theils L = 1 m berechnet sind. Die Ablesungen sind daher noch entsprechend zu multiplizieren oder statt an der Ordinate Zugleich an der Ordinate P × L zu bestimmen. Die Kurvenschar G34 ist von der Abszissenachse nach abwärts aufgetragen. Zur Bestimmung der Minimalbedingungen für G1 + G2 + G3,4 im Diagramm selbst ohne Rechnung vergleicht man mittels Zirkels die Abschnitte, welche gleichbezeichnete Strahlen G1 und Parabeln G34 auf den betreffenden Vertikalen bilden. Das geringste Gewicht ergeben jene Pressungen, welche Stücke von annähernd gleicher Länge umschließen (in Fig. 5 stark gezeichnet). Nach diesem System sind für gebräuchliche Verhältnisse die Tab. 1 und 2 entworfen. Es bleibt dem Einzelnen überlassen, für andere Gebiete von P und besondere Werte der Ma terialbeanspruchungen, welche sich durch lokale Bedingungen ergeben, neue Tafeln nach diesem Muster zu entwerfen. Die Berechnung ist durchweg einfach, nur Gleichung 24 erscheint sehr unhandlich. Bei tabellarischer Ausrechnung ist aber auch diese ganz gut zu gebrauchen. Da die hierfür geeignete Methode unter Ausnutzung der Vortheile des Rechenschiebers nicht überall so bekannt und geläufig ist, als sie um ihrer Brauchbarkeit willen verdiente, gebe ich noch die ausführliche Ausrechnung für Tab. 2 als Beispiel wieder. Sämtliche Zahlen lassen sich den wagerechten Reihen nach bequem vom Rechenschieber ablesen. Die Ausrechnungsarbeit schrumpft damit auf ein Minimum zusammen. Es empfiehlt sich, ab und zu eine Zahlenreihe auf Millimeterpapier aufzutragen, um eventuelle Rechenfehler sofort zu entdecken. Textabbildung Bd. 326, S. 564 Fig. 7. Druckkraft Zylinder: Stahlguß, kz = 1400 kg/qcm, Kolben: Gußeisen, kd = 1500 kg/qcm Tabelle 1. c_{34}=\frac{2750}{10^6}\,\frac{1}{\sqrt{p^3}}\,\left[1,16\,\sqrt{\left(\frac{500+0,4\,p}{500-1,3\,p}\right)^3}-\sqrt{\left(\frac{1000-1,7\,p}{1000}\right)^3}-0,16\right] P 75 100 120 150 180 200 220 250 \frac{1000-1,7\,p}{100} \sqrt{\left(\frac{1000-1,7\,p}{100}\right)^3} 0,8720,813 0,8300,755 0,7960,705 0,7450,643 0,6940,578 0,6600,536 0,6260,495 0,5750,435 \frac{500+0,4\,p}{500-1,3\,p}1,16\,\sqrt{\left(\frac{500+0,4\,p}{500-1,3\,p}\right)^3}1,16\,\sqrt{\left(\frac{500+0,4\,p}{500-1,3\,p}\right)^3}-0,16Klammerausdruck [ ]2750 [ ]\frac{1}{\sqrt{p^2}} \frac{530}{402}1,7581,5980,7852160\frac{1}{648} \frac{540}{370}2,0451,8851,1303110\frac{1}{1000} \frac{548}{344}2,3302,1701,4614020\frac{1}{1313} \frac{560}{305}2,8832,7232,0805720\frac{1}{1835} \frac{570}{265}  3,65  3,492,9128020\frac{1}{2415} \frac{580}{240}  4,35  4,193,65410050\frac{1}{2825} \frac{588}{214}  5,29  5,134,63512720\frac{1}{3260} \frac{600}{175}  7,34  7,186,74518500\frac{1}{3950} 106 C34   3,34   3,11   3,06   3,11   3,32   3,56   3,90   4,68 Tabelle 2. G_{34}=c_{34}\,\sqrt{p^3} P 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1000000 1100000 \sqrt{P^3}\,.\,\frac{1}{10^6} 31,6 79,5 164,3   253 353,5   465   585   715   852 1000 1152 G34(75) = G34(180) [3,34] 106 266   548   845 1180 1550 1960 2390 2850 3340 3850 G34(100 – 150)        [3,1]    96 243   500   770 1080 1420 1790 2180 2600 3060 3520 G34(200)             [3,56] 112 284   585   900 1260 1660 2080 2540 3040 3560 4100 G34(220)              [3,9] 123 310   640   960 1380 1820 2280 2790 3320 3900 4500 G34 (250)            [4,68] 148 372   768 1190 1660 2180 2740 3350 4000 4680 5400 Für die Ausführung ist natürlich, wie schon Eingangs erwähnt, auf allzuviel Feinheiten kein Gewicht zu legen. Denn abgesehen von den räumlichen Bedingungen welche noch eingehend berücksichtigt werden müssen, bewirkt auch die meist erforderliche Wandverstärkung über das errechnete Maß eine Verschiebung, und zwar zugunsten etwas höherer Pressungen, weil selbstverständlich bei Zylindern von zugleich großem Durchmesser und geringen Rechnungswandstärken die Zugaben reichlicher gewählt werden müssen als unter den umgekehrten Bedingungen. Leider wird durch diese Faktoren auch die sonst so bequeme Arbeit an Hand der Kurventafeln geschädigt, da den Ablesungen immer noch eine kleine Rechnung zu folgen hat. Es wäre freilich möglich gewesen, dies durch gleichzeitige Einrechnung der Zuschläge zu vermeiden. Diese Lösung erschien jedoch – ganz abgesehen von der unübersichtlichen Komplikation der Kurven – schon aus dem Grunde nicht angebracht, weil der Konstrukteur für die Bestimmung der Zugabe je nach Leistungsfähigkeit der Gießerei und anderen Sonderbedingungen freie Hand behalten muß. Außerdem können sich die Zuschläge nicht stetig ändern, weil man ja doch auf Abrundung der Ziffern (auf 10 oder 5 mm) Bedacht nimmt. Im übrigen ist die angenäherte Berechnung des Mehrgewichts aus der Zugabe sehr leicht durchzuführen. Bezeichnen wir mit s1 die Wandstärke für Theil 1 nach Formel 3, welche auch dem aus der Kurventafel entnommenen Gewicht G1 entspricht, mit s1 die vergrößerte Wandstärke, und schreiben wir: s1 = φ1 s1. . . . . . . 28) G1 = ψ1 G1. . . . . 29) so ergibt sich aus: V1 = K (ra2 – ri 2) = K s1 (2 ri + s1) \psi_1=\varphi_1\,\frac{2\,r_i+s'_1}{2\,r_i+s_1} . . . . . . 30) Bei großem Durchmesser und kleinem y ist also ψ = φ. Andernfalls kann der richtige Wert schnell angegeben werden. Dieselbe Berechnung ist für Halbkugel (3) durchzuführen. V3 = K (ra3 – n3) = K (3 ri2 s1 + 3 ri s12 + s13). Das letzte Glied kann vernachlässigt werden, und wir erhalten: G3' = ψ3G3. . . . . . . . 31) \psi_3=\varphi_1\,\frac{r_i+s_1'}{r_i+s_1} . . . . . . . 32) ψ3 fällt etwas größer aus als ψ1 Anderseits gilt für den Kolben, wo die Zugabe nach innen, also am kleinern Radius erfolgt, bei sinngemäßer Bezeichnung: ψ4 < ψ2 < φ2 Man wird sich hier die nähere Bestimmung von ψ2 und ψ4 ohne weiteres ersparen und mit geeigneter Sicherheit die Gewichtsvermehrung eventl. mittels des Faktors φ2 bestimmen. Schließlich ist es aber für praktische Bedürfnisse völlig ausreichend, für das ganze Aggregat G1 + G2 + G3,4 einen einzigen Zuschlagskoeffizienten zu verwenden; man geht, je nachdem G1 oder G3 überwiegt, von ψ1 oder ψ3 aus und verändert diesen Wert schätzungsweise um ein Geringes nach Maßgabe der übrigen Verhältnisse. Da die rechnungsmäßigen Wandstärken aus besonderen Kurventafeln – die Fig. 8 und 9 beziehen sich auf die Verhältnisse der Fig. 6 – abgelesen werden können, ist die Aufstellung der wirklich ausführbaren Gewichte mit ein paar Einstellungen des Rechenschiebers zu erledigen. Textabbildung Bd. 326, S. 566 Fig. 8. Kolbendurchmesser Zylinderwandstärken, kz = 500 kg/qcm Textabbildung Bd. 326, S. 566 Fig. 9. Kolbendurchmesser ––––––––– Druckkräfte ––––––––– Kolbenstärken kd = 1000 kg/qcm Zuschläge für alle Abweichungen von der einfachen, der Rechnung zugrunde gelegten Form, Angüsse, Verstärkungen, Wülste müssen an Hand der Konstruktionszeichnung in jedem Fall einzeln ermittelt oder geschätzt werden. Ebenso der Zuschlag für Bearbeitung, sofern des Rohgewicht benötigt wird. Es kann hierbei auch noch folgendes berücksichtigt werden. Wir haben in Gleichung 4 den Spielraum zwischen Kolben und Zylinder mit 0,05 ri in Rechnung gestellt. Nun wird man denselben aber nicht unbeschränkt mit dem Durchmesser verändern können, so daß große Zylinder etwas leichter, Zylinder unter 200 mm etwas schwerer ausfallen als die Tafeln anzeigen. Schließlich ist noch eine kleine Ergänzungsrechnung erforderlich, wenn Zylinder und Kolben aus verschiedenem Material gewählt werden, da es im allgemeinen zuletzt auf ein Minimum des Preises, der hier dem Gewicht nicht mehr unmittelbar proportional ist, und überhaupt auf die Kenntnis der Preise für verschiedene Ausführungsarien ankommt. Hierfür müssen wir die Gewichte G3 und G4 einzeln kennen, die in den Tafeln nur als Summe erscheinen. Es ist zu diesem Zweck für die Bedingungen der betr. Tafel der Bruchtheil \frac{G_3}{G_{34}} aus \frac{C_3}{C_{34}} zu berechnen und das angenähert geradlinige Gesetz, nach dem er sich etwas mit p ändert, auf den Tafeln selbst zu vermerken. Zusammenfassend wiederholen wir, daß für Zylinder und Kolben jeweils eine günstigste Flüssigkeitspressung existiert. Je länger der Zylinder und je geringer die Druckkraft, desto niedriger liegt dieser Wert. Die aus den Tafeln entnommenen Gewichte sind entsprechend der Vergrößerung der rechnungsmäßigen Wandstärke zu erhöhen und Zuschläge für Bearbeitung und Angüsse anzusetzen. Im übrigen sind bei mäßig langen Zylindern und innerhalb mäßig weiter Grenzen für die Atmosphärenzahl die Veränderungen des Gewichts nicht allzu scharf ausgeprägt, so daß eventl. die gleichzeitige Variation des Gewichts anderer Theile unter Berücksichtigung der vorgeschriebenen Konstruktionsbedingungen (siehe den letzten Abschnitt) beachtet werden muß. (Schluß folgt.)