DIE FESTIGKEIT VON ZUSAMMENGESETZTEN VORGESPANNTEN SÄULEN. Von Dr.-Ing. W. Rehfus, Charlottenburg. (Fortsetzung von S. 548 d. Bd.) REHFUS: Die Festigkeit von zusammengesetzten vorgespannten Säulen. III. Größe der Vorspannung. Die nachfolgenden Untersuchungen sollen noch einen Anhalt zur rechnerischen Bestimmung der günstigsten Vorspannung geben, wenn die Größe der vorkommenden Belastungen der Säule bekannt ist, damit dann danach die Säule gespannt werden kann. Textabbildung Bd. 326, S. 567 Fig. 13. Die als Zugkraft gedachte äußere Belastung S der Säule nehme vom Nullpunkt an beginnend zu (vergl. Fig. 13). Sie erreicht zunächt eine Größe S=S_g=\overline{C\,D}, bei der sie das Rohr der Säule entästet und nur die Zugstange allein noch belastet. Wenn jetzt S noch größer wird als Sg, so hebt sich der vorher zwischen Rohr und Mutter eingeklemmte obere Maschinentheil (Fig. 4), an dem S angreift, vom Rohr ab, und das entlastete Rohr ist frei sich selbst überlassen. Die elastische Nachgiebigkeit der Säule ist dann größer als vorher, da sie nicht mehr durch den Festigkeitswinkel γ, sondern durch den kleineren Winkel α bestimmt wird, der von der Elastizität der Zugstange allein abhängt. Dasselbe gilt naturgemäß auch dann, wenn die äußere Belastung, eine Druckkraft ist und größer wird als Rg. In beiden Fällen sind jedoch derartige Zustände unzulässig, und es ist daher durch entsprechende Wahl der Querschnitte und der Vorspannung dafür Sorge zu tragen, daß die größte vorkommende; äußere Belastung S oder R den noch zulässigen Grenzfall S = Sg bezw. R = Rg höchstens erreicht, aber nicht überschreitet. Demnach wird der Gang der Berechnung einer Säule, deren maximale Belastung in der Zug- wie in der Druckrichtung bekannt ist, etwa folgender sein: Man bestimme den Querschnitt der Zugstange derart, daß sie imstande ist, die maximale Zugkraft aufzunehmen, ohne eine größere Beanspruchung zu erleiden, als sie, zwischen Null und einem Höchstwert schwankend, normal sein darf. Ebenso bestimme man den Querschnitt des Rohres entsprechend der maximalen Druckkraft. Wenn jetzt die maximale elastische Längenänderung der Zugstange verschieden ist von der des Rohres, so vergrößere man den Querschnitt desjenigen Theiles, bei dem die Längenänderung größer ist, um so viel, daß die Längenänderung beider Theile die gleiche wird. Textabbildung Bd. 326, S. 567 Fig. 14. Eine nach dieser Regel berechnete Säule muß eine Vorspannung haben, welche sich an Fig. 14. Hand der Fig. 13 auf folgende Weise ergibt: Es besteht die Beziehung \frac{V}{S_g}=\frac{\Delta\,l_S}{\Delta\,l} und ebenso \frac{V}{R_g}=\frac{\Delta_r}{\Delta_l}=\frac{\Delta\,l-\Delta\,l_s}{\Delta\,l}=1-\frac{\Delta\,l_s}{\Delta\,l}=1-\frac{V}{S_g} Hieraus folgt: \frac{V}{S_g}+\frac{V}{R_g}=1 oder =\frac{S_g\,.\,R_g}{S_g+R_g} . . . . 3) Textabbildung Bd. 326, S. 568 Fig. 15. Der Zugkraft Sg entspricht eine Beanspruchung der Zugstange von der Größe: \sigma_{sg}=\frac{S_g}{F_s}=\frac{\Delta\,l}{l_s}\,.\,E_s und analog für das Rohr: \rho_{rg}=\frac{R\,g}{F_r}=\frac{\Delta\,l}{l_r}\,E_r Im vorgespannten Ruhezustand, also während der Belastung V ist die Beanspruchung der Zugstange: \sigma_v=\frac{V}{F_s}=\frac{\Delta\,l_s}{l_s}\,.\,E_s=\sigma_{sg}\,\frac{R_g}{S_g+R_g}=\sigma_{sg}\,\frac{V}{S_g} und die des Rohres: \rho_v=\frac{V}{F_r}=\frac{\Delta\,l_r}{l_r}\,.\,E_r=\sigma_{rg}\,\frac{S_g}{S_g+R_g}=\sigma_{rg}\,\frac{V}{R_g} wobei: \frac{\sigma_v}{\rho_v}=\frac{F_r}{F_s}. Die Beanspruchungen ändern sich proportional mit den Belastungen S bezw. R und deshalb auch mit den entsprechenden elastischen Dehnungen. Die Größe der Beanspruchungen als Funktion der elastischen Dehnungen ist in Fig. 13 durch die Gerade B H1 für er und C E1 für p wiedergegeben, deren Neigungswinkel α1 bezw. β1 von a bezw. β je nach dem gewählten Maßstab verschieden sind. IV. Beanspruchung des Materials bei erhöhter Vorspannung. Wegen der ungenauen Meßmethoden ist es ziemlich schwierig, der Vorspannung gerade die Größe zu geben, welche durch Rechnung als die günstigste festgestellt wurde. Falls die Vorspannung – nicht die errechnete Größe erreicht, so hört bei der größten Belastung der Säule die Verspannung der festgehaltenen Maschinentheile auf, was an einer früheren Stelle bereits als unzulässig erkannt wurde. Das Diagramm für diesen Fall zeigt Fig. 14. Erst wenn V eine Größe besitzt, wie sie sich aus der entwickelten Formel 3 ergibt, ist die Säule imstande, bei niedrigster Beanspruchung des Materials die vorkommenden Belastungen aufzunehmen, ohne daß die von ihr eingespannten Maschinentheile frei werden (vergl. Fig. 15). Um sicher zu sein, daß die Vorspannung nicht kleiner ist, als dieser Grenzfall noch zuläßt, spannt man vortheilhaft die Säule von vornherein schon kräftiger an, als die Berechnung nach der angegebenen Formel 3 ergibt. Um darüber Angaben machen zu können, ist es noch nötig, festzustellen, welchen Einfluß eine Vergrößerung der Vorspannung auf die Beanspruchung von Stange und Rohr hat. Textabbildung Bd. 326, S. 568 Fig. 16. Textabbildung Bd. 326, S. 568 Fig. 17. Nehmen wir an, daß V diejenige Vorspannung ist, welche wir nach der bekannten Formel als den günstigsten und gleichzeitig als den noch zulässigen unteren Grenzwert berechnet haben, und vergrößern wir jetzt V um einen mehrfachen Betrag, so daß sie die Größe m • V annimmt, wobei m eine beliebige Zahl größer als 1 bedeutet, so geht aus der Formel V=\frac{S_g\,.\,R_g}{S_g+R_g} hervor, daß proportional mit V auch die Grenzbelastungen Sg und Rg zunehmen; denn: m\,.\,V=m\,.\,\frac{S_g\,.\,R_g}{S_g+R_g}=\frac{m\,.\,S_g\,.\,m\,.\,R_g}{m\,S_g+m\,.\,R_g} Entsprechend den Grenzbelastungen ändert sich auch die maximale Dehnung der Säule, die jetzt m • ∆ l beträgt. Wir erhalten demnach vorstehendes Diagramm für die vergrößerte Vorspannung (Fig. 14). Textabbildung Bd. 326, S. 569 Fig. 18. Was zunächst die Beanspruchung der Stange anlangt, so hat dieselbe um den bei den verschiedenen Belastungen der Säule gleichen Betrag σrg zugenommen. Während also vorher: bei der Belastung Rg die Beanspruchung σ = 0 war, ist diese jetzt σ = σxg, bei der Belastung Null die Beanspruchung σ = σv war. ist diese jetzt σ = σv + σrg, bei der Belastung Sg die Beanspruchung σ = σsg war, ist diese jetzt σ = σsg + σrg. Im vorgespannten Ruhezustand hat sich die Beanspruchung proportional mit der Vorspannung geändert, also: σv + σrg = m • σv. Hieraus folgt: σrg = σv (m – 1) oder nach Einsetzen des auf S. 568 gefundenen Wertes für σv: \sigma_{rg}=\sigma_{sg}\,\frac{R_g}{S_g+R_g}\,(m-1). Die maximale Beanspruchung der Zugstange, d.h. diejenige bei der Belastung Smax ist daher: σs max = σsg + σrg \sigma_{s\mbox{ max}}=\sigma_{sg}\,\left[1+\frac{R_g}{S_g+R_g}\,(m-1)\right] . . 4) und analog diejenige des Rohres: \rho_{\mbox{max}}=\rho_{rg}\,\left[1+\frac{S_g}{S_g+R_g}\,(m-1)\right] . . 5) Unter der Annahme, daß Sg= Rg, wird z.B. bei einfacher Vorspannung, also m = 1, die maximale Zugbeanspruchung σmax = σsg bei doppelter Vorspannung, also m = 2, die maximale Zugbeanspruchung σmax = 1,5 σsg, bei dreifacher Vorspannung, also m = 3, die maximale Zugbeanspruchung σmax = 2,0 σsg. Textabbildung Bd. 326, S. 569 Fig. 19. Haben wir z.B. bei einfacher Vorspannung eine achtfache Sicherheit angenommen, so wird erst bei fünfzehnfacher Vorspannung die Bruchbeanspruchung des Materials erreicht. Textabbildung Bd. 326, S. 569 Fig. 20. Ein graphisches Bild dieses Zusammenhangs zeigt Fig. 15. Bei der Beurtheilung der zulässigen Schwankungen der Vorspannung ist jedoch zu berücksichtigen, daß außer der Vorspannung auch die äußere Belastung der Säule eventl. größer ausfallen kann, als anfangs angenommen wurde, und daß auch dann die Spannungen im Material die Proportionalitätsgrenze nicht überschreiten dürfen. Bezeichnen wir mit SP bezw. Rp diejenigen Belastungen, bei welchen die Grenze erreicht wird, so können wir sechs Fälle der Vorspannung unterscheiden, die in den Fig. 16–20 dargestellt sind und deren weitere Erklärung sich erübrigt. Als normal dürfte der Fall in Fig. 18 anzusehen sein, bei welchem die Grenzbelastung Sg größer ist als die der Rechnung zugrunde gelegte äußere Belastung Smax, so daß dieser Zustand auch bestehen bleibt, wenn Smax einmal etwas größer werden sollte, auch wenn die Vorspannung nicht die beabsichtigte Größe erhalten hat. Hiernach wird zur Berechnung einer Säule noch folgende Regel zu beachten sein: Ist eine Säule nach der auf S. 567 angegebenenRegel bestimmt, so vergrößere man die gefundene Vorspannung um den etwa 1,5- bis 2-fachen Betrag. Wird dann die Beanspruchung von Stange oder Rohr höher, als normal zulässig, so vergrößere man die Querschnitte von Stange und Rohr im gleichen Verhältnis, bis der am höchsten beanspruchte Theil wieder normal beansprucht wird. (Schluß folgt.)