VEREINFACHTE BERECHNUNG VON TRAGWERKEN, DIE AUF ZUSAMMENGESETZTE FESTIGKEIT BEANSPRUCHT WERDEN. Von Dipl.-Ing. G. Kaufmann, Berlin. (Schluß von S. 618 d. Bd.) KAUPMANN: Vereinfachte Berechnung von Tragwerken usw. Ich möchte diese Ausführungen nicht schließen, ohne nicht wenigstens kurz die äußeren Momente erörtert zu haben. Während das Biegungsmoment My bei den aus einem Grey-Träger bestehenden Stützen sofort und bei den aus zwei Normalprofilträgern bestehenden Querschnitten nach Festlegung des Abstandes 2e (s. Fig. 3, S. 617) ebenfalls unmittelbar, d.h. ohne Kenntnis des Trägerprofils bestimmt werden kann, ist dies in bezug auf das Moment Mx nicht der Fall. Dies ist vielmehr abhängig von der Höhe h des Stützenquerschnitts. Rechnet man den Hebelarm z für die senkrecht zur X-Achse wirkenden Kräfte von Mitte Stütze bis Mitte Schraube des Anschlußwinkels, so kann man für die im Hochbau vorkommenden Fälle genügend genau setzen z=\frac{h}{2}+6 . . . . . . 7) wobei das Reißmaß des Winkels zu 50 mm und außerdem ein 10 mm starkes Verstärkungsblech angenommen wurde. Ist ferner P1 derjenige Anteil der Gesamtlast P, der das Biegungsmement Mx erzeugt, so ist mithin: Mx = Px • z . . . . . . 8) Textabbildung Bd. 326, S. 648 Fig. 4. Hiermit geht Gleichung 2a über in: \sigma\,.\,W_x=P\,.\,\frac{W_x}{F}+P_1\,.\,z6M_y\,.\,\frac{W_x}{W_y} . . . . . . 2b) Der Wert z läßt sich nun ebenfalls wieder als Funktion von Wx darstellen, dergestalt, dass z = e + f • Wx . . . . . 9) Durch Einsetzen der Werte aus den Gleichungen 3, 5 und 9 in die Gleichung 2b erhält man: σ • Wx = P(a + b • Wx) + P1(e + f • Wx) + My(c + d • Wx) und hieraus: W_x=\frac{P\,.\,a+P_1\,.\,e+M_y\,.\,c}{\sigma-P\,.\,b-P_1\,.\,f-M_y\,.\,d} . . . . . . III) Zur Ermittlung der Koeffizienten e und f dient die Fig. 4, in der als Abszissen die Werte Wx, als Ordinaten die Werte z aufgetragen und alsdann wieder die Ausgleichsgeraden gezogen worden sind. Hierbei ergibt sich genau wie früher für Normalprofil 18–30: 15,4 = e + f • 161, 21,4 = e + f • 652, f=\frac{6}{491}=0,0122, e = 15,4 – 0,0122 • 161 = 13,44 z = 13,44 + 0,0122 Wx . . . . . . . . . . 9a) für Normalprofil 30–50: 21,55 = e + f • 652, 31,5 = e + f • 2750, f=\frac{9,95}{2098}=0,0047, e = 21,55 – 0,0047 • 652 = 18,49 z = 18,49+0,0047 Wx . . . . . . . . 9b) für Grey-Profil 18–40: 15,56 = e + f – 390, 26,6 = e + f • 2892 f=\frac{11,04}{2502}=0,0044, e = 15,56 – 0,0044 • 390 = 13,84, z = 13,84 + 0,0044 Wx. . . . . . . . . . . 9c) für Grey-Profil 40–55: 26,2 = e + f • 2892, 33,64 = e + f • 5308, f=\frac{7,44}{2416}=0,0031, e = 26,2 – 0,0031 • 2892 = 17,23, z = 17,23 + 0,0031 Wx . . . . . . . . 9d) Auch hier sind wieder, um den Genauigkeitsgrad der Gleichungen 9a bis 9d zu untersuchen, die z-Werte aus diesen Gleichungen ermittelt und in den Tab. 9 und 10 den wirklichen z-Werten gegenübergestellt worden. Die sich ergebenden Differenzen sind wiederum unbedeutend. Tabelle 9. N.-P. z nachGleich. 9 z vor-handen N.-P. z nachGleich. 9 z vor-handen 18    15,4 15,0 30 21,55 21,0 19    15,7 15,5 32 22,16 22,0 20 16,05 16,0 34 22,82 23,0 21 16,42 16,5 36    23,6 24,0 22 16,83 17,0 38 24,42 25,0 23 17,27 17,5 40 25,34 26,0 24 17,78 18,0 42½ 26,66 27,25 25 18,27 18,5 45 28,07 28,5 26 18,82 19,0 47½ 29,66 29,75 27 19,43 19,5 50 31,41 31,0 28 20,04 20,0 29 20,68 20,5 30 21,39 21,0 Zum Schluß möge noch die Anwendung der Gleichung III an einem aus der Praxis entnommenen Beispiel gezeigt werden. Es handele sich um die Stütze S in einem Fabrikgebäude, an welche die Deckenträger entsprechend der Grundrißskizze (Fig. 5) anschließen. Die von den Stützen der oberen Etagen herrührende, zentrisch wirkende Last beträgt 138000 kg, während die Deckenträger I je eine Kraft PI = 11890 kg und der Deckenträger II eine solche PII = 9980 kg übertragen. Demnach stellt sich die Gesamtlast der Stütze bei Vollbelastung auf: P = 138 000 + 2 • 11890 + 9980 = 171760 kg. Der Stützenquerschnitt soll einmal aus einem Grey-Träger, ein zweites Mal aus zwei Normalprofilträgern gemäß Fig. 3 bestehen, wobei 2e = 20 cm gewählt werden möge. Die zulässige Beanspruchung soll bei ungünstigster Laststellung das Maß von 1400 kg/qcm nicht überschreiten. Es werde zunächst die Berechnung für die aus einem Grey-Träger bestehende Stütze durchgeführt. Bei Vollbelastung ist, da die beiden von den Trägern I herrührenden Kräfte gleich sind Mx = 0 und somit auch in Gleichung III P1 = 0. Ferner ist: My = rd. 9980 • 6 = 59 880 kgcm. Dann ist nach Gleichung IIc erforderlich: \begin{array}{rcl}W_x&=&\frac{5,87\,P+2,78\,M_y}{\sigma-0,0031\,P-0,00049\,.\,M_y}\\ &=&\frac{5,87\,.\,171760+2,78\,.\,59880}{1400-0,0031\,.\,171760-0,00049\,.\,59880}\\ &=&\frac{1174700}{838}=1402\mbox{ cm}^3. \end{array} Bei einseitiger Belastung befindet sich nur in der einen Hälfte des Gebäudes Nutzlast. Der Deckenträger I auf der unbelasteten Seite überträgt alsdann auf die Stütze nur das Eigengewicht der Decke p p mit P1' = 6370 kg, während der Auflagerdruck vom Träger II sich auf 7330 kg belauft. Dann ist die Gesamtdruckkraft: P = 138000+ 11890 + 6370 + 7330 = 163590 kg, während die das Moment Mx erzeugende Kraft beträgt: P1 = P1 – P1' = 11890 – 6370 = 5520 kg. Tabelle 10. Grey z nachGleich. 9 z vor-handen Grey z nachGleich. 9 z vor-handen 18 B 15,56 15 40 B 26,19 26 20 B 16,11 16 42½ B 27,18 27,25 22 B 16,79 17 45 B 28,36 28,5 24 B 17,60 18 47½ B 29,6 29,75 25 B 18,08     18,5 50 B 31,01 31 26 B 18,70 19 55 B 33,69 33,5 27 B 19,23     19,5 28 B 19,83 20 29 B 20,48     20,5 30 B 21,23 21 32 B 22,12 22 34 B 22,95 23 36 B 24,22 24 38 B 25,31 25 40 B 26,56 26 Ferner ist My = rd. 7330 • 6 = 43980 kgcm. Mit diesen Werten erhält man aus Gleichung III als erforderlich: \begin{array}{rcl}W_x&=&\frac{5,87\,P+13,84\,P_1+2,78\,M_y}{\sigma-0,0031\,P-0,00044\,P_1\,-0,00049\,M_y}\\ &=&\frac{5,87\,.\,163590+13,84\,.\,5520+2,78\,.\,43980}{1400-0,0031\,.\,163590-0,0044\,.\,5520-0,00049\,.\,43980}\\ &=&\frac{1158900}{847}=1368\mbox{ cm}^3. \end{array} Textabbildung Bd. 326, S. 649 Fig. 5. Maßgebend für die Profilbestimmung ist also die Vollbelastung. Gewählt wird ein Grey-Profil 29 mit F = 141,1 qcm, Wx = 1508 cm3, Wy = 443 cm8. Dann ergibt sich die Beanspruchung bei Vollbelastung: \begin{array}{rcl}\sigma &=&\frac{171760}{141,1}+\frac{59880}{443}\\ &=&1218+135=1353\mbox{ kg/qcm.}\end{array} Bei einseitiger Belastung ist: Mx = 5520 • 20,5 = 113160 kgcm und \begin{array}{rcl}\sigma&=&\frac{163590}{141,1}+\frac{113160}{1508}+\frac{43980}{443}\\=1158+75+99=1332\mbox{ kg/qcm.} \end{array} Für den aus zwei Normalprofilträgern bestehenden Stützenquerschnitt ist bei Vollbelastung ebenfalls Mx = 0 und P1 = 0. Dagegen ist My = 9980 (e + 5),     = 9980 • 15 = 149700 kgcm. Dann ergibt sich aus Gleichung II b als erforderlich: \begin{array}{rcl}W_x&=&\frac{7,79\,P+1,09\,M_y}{\sigma-0,0029\,P-0,0006\,M_y}\\ &=&\frac{7,79\,.\,1/2\,.\,171760+1,09\,.\,1/2\,.\,149700}{1400-0,0029\,.\,1/2\,171760-0,0006\,.\,1/2\,.\,149700}\\ &=&\frac{750590}{1106}-679\mbox{ cm^3.} \end{array} Bei einseitiger Belastung ist genau wie vorher P  = 163590 kg, P1 = 5520 kg. Ferner ist: My = 7330 • 15 = 109 950 kgcm. Dann wird nach Gleichung III erforderlich: \begin{array}{rcl}W_x&=&\frac{7,79\,P+18,49\,P_1+1,09\,M_y}{\sigma-0,0029\,P-0,0047\,P_1-0,0006\,M_y}\\ &=&\frac{7,79\,1/2\,.\,163590+18,49\,.\,1/2\,5520+1,09\,.\,1/2\,.\,109950}{1400-0,0029\,.\,1/2\,.\,163590-0,0047\,.\,1/2\,.\,5520-0,0006\,.\,1/2\,.\,100950}&=&\frac{748138}{1117}=670\mbox{ cm^3.} \end{array} Auch hier ist die Vollbelastung maßgebend für die Profilbestimmung. Da das erforderliche Widerstandsmoment das W des Normalprofils 30 nur unwesentlich überschreitet, sollen zwei Normalprofile 30 gewählt werden mit: F = 138 qcm, Wx = 1304 cm3, Wy = 904 cm3 (vgl. Tab. 5 S. 617). Dann ergibt sich die Beanspruchung bei Vollbelastung: \begin{array}{rcl}\sigma &=&\frac{171760}{138}+\frac{149700}{904}\\ &=&1244+166=1410\mbox{ kg/qcm.} \end{array} Bei einseitiger Belastung ist: Mx = 5520 • 21 = 115920 kgcm und \begin{array}{rcl}\sigma&=&\frac{163590}{138}+\frac{115920}{1304}+\frac{109950}{904}\\ &=&1184+89+122=1395\mbox{ kg/qcm.} \end{array} Wie man sieht, ergeben die entwickelten Gleichungen Resultate, die mit der genau durchgeführten Berechnung in einer für die Praxis durchaus ausreichenden Weise übereinstimmen. Um den Gebrauch der maßgebenden Gleichung III zu erleichtern, sind in der folgenden Tab. 11 die verschiedenen für die einzelnen Trägerprofile geltenden Koeffizienten nochmals übersichtlich zusammengestellt worden. Tabelle 11. Koeffi-Zient Normalprofil18–30 Normalprofil30–50 Grey-Profil18–40 Grey-Profil40–55 a 4,86 7,79 5,87 9,32 e 13,44 18,49 13,84 17,23 c 1,1 1,09 2,78 2,27 b 0,0075 0,0029 0,0031 0,00175 f 0,0122 0,0047 0,0044 0,0031 d 0,0022 0,0006 0,00049 0,00077 Erforderlich W_x=\frac{P\,.\,a+P_1\,.\,e+M_y\,.\,e}{\sigma-P\,.\,b-P_1\,.\,f-M_y\,.\,d} Hierin ist P die Gesamtbelastung der Stütze, P1 derjenige Anteil von P, der ein Moment Mx erzeugt, σ = zulässige Beanspruchung.