Die Verteilung der Lichtintensität in den Scheinwerferstrahlen. Von Dipl.-Ing. Dr. phil. W. Hort, Berlin-Siemensstadt. HORT: Die Verteilung der Lichtintensität in den Scheinwerferstrahlen. Bei der Beurteilung von Scheinwerfern steht naturgemäß die Frage nach der Reichweite im Vordergrunde. Die Größe der Reichweite setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen, von denen nur einer von den Absichten des Scheinwerferkonstrukteurs abhängig ist. Diese Faktoren sind: Intensität des Scheinwerferstrahls, Zustand der Luft zwischen Scheinwerfer und Objekt, Größe und Farbe des letzteren, Standort und Geschicklichkeit des Beobachters. Nur der erste Faktor kann vom Konstrukteur beeinflußt werden. Die Größe der Intensität ist sowohl der photometrischen Beobachtung wie der Berechnung zugänglich. Für die letztere soll im folgenden ein Verfahren angegeben werden, welches auch die Verteilung der Intensität im Strahl zu ermitteln gestattet. Die Kenntnis der Lichtverteilung ist aber wichtig in allen den Fällen, in welchen mit teilweise abgeblendetem Strahle geleuchtet wird. Die Lichtintensität im Scheinwerferstrahl kann ermittelt werden, wenn das Polardiagramm der Lampe graphisch nach Abb. 1 oder tabellarisch nach Tab. 1 und die Gestalt des Parabolspiegels des Scheinwerfers gegeben sind. Außerdem muß der Durchmesser δ des positiven Kraters der Lampe bekannt sein. Tabelle 1. a° J in HK a° J in HK   0 0 40 52300   5 14700 45 46500 10 22800 50 40800 15 32700 55 35500 20 40000 60 29800 25 49200 65 27100 30 57300 70 10400 35 56200 Die Gestalt des Spiegels wird bestimmt durch die Brennweite f der Meridianparabel und den Durchmesser D der Spiegelöffnung (Abb. 4). Es kann vorausgesetzt werden, daß die Parabel mathematisch genau ist. Textabbildung Bd. 331, S. 1 Abb. 1. Die flächenförmige Ausdehnung der Lichtquelle (des Kraters) ist die Ursache, daß eine achsenparallele Lichtreflexion nicht zustande kommt; vielmehr werden nach Abb. 2 die innerhalb des Kegels BAC enthaltenen Strahlen nach der Reflexion wiederum einen Kegel erfüllen, dessen Spitzenwinkel v man den Streuwinkel nennt. Der reflektierte Lichtkegel trifft eine achsensenkrechte Ebene in einer endlichen Fläche. Die Beleuchtung dieser Fläche wird im allgemeinen um so größer sein, je kleiner v ist. Jeder Punkt A eines Parallelkreises vom Radius r (Abb. 2) sendet einen solchen Streukegel aus; die Gesamtheit aller von den Punkten eines Parallelkreises herrührenden Streukegel überdeckt sich in einer in großer Entfernung L achsensenkrecht zum Scheinwerfer aufgestellten Ebene zu einem Kreise von Durchmesser Lv. Textabbildung Bd. 331, S. 2 Abb. 2. Für das Weitere handelt es sich zunächst um die Berechnung von v aus den Daten der Aufgabe. Als solche sind (neben dem Polardiagramm der Lampe (Tab. 1) gegeben: Brennweite des Spiegels f = 0,65 m Durchmesser des Spiegels D = 1,50 m Kraterdurchmesser der Kohle δ = 0,021 m Wir betrachten in Abb. 2 das Dreieck ABC, dessen Basis BC gleich dem Kraterdurchmesser δ ist. Der Streuwinkel v setzt sich aus zwei Teilen v1 und v2 zusammen, die wir einzeln berechnen. Im Dreieck AMC gilt der Sinussatz: \frac{\delta}{2}:\rho=\mbox{sin}\,\nu_1:\mbox{sin}\,\left(\frac{\pi}{2}+\alpha-\nu_1\right) oder wenn wir v1 = sin v1 wegen der Kleinheit von v1 setzen: \frac{\delta}{2}:\rho=\nu_1:\mbox{cos}\,\alpha+\nu_1\,\mbox{sin}\,\alpha. Hieraus berechnet sich: \nu_1=\frac{\delta}{2}\,\mbox{cos}\,\alpha\,.\,\frac{1}{\rho-\frac{\delta}{2}\,\mbox{sin}\,\alpha}. In entsprechender Weise findet man aus dem Dreieck AMB: \nu_2=\frac{\delta}{2}\,\mbox{cos}\,\alpha\,.\,\frac{1}{\rho+\frac{\delta}{2}\,\mbox{sin}\,\alpha}. Bildet man die Summe v1 + v2, so ergibt sich: \nu=\nu_1+\nu_2=\frac{\delta}{2}\,\mbox{cos}\,\alpha\,.\,\frac{2\,\rho}{\rho^2-\frac{\delta^2}{4}\,\mbox{sin}^2\,\alpha}. Setzen wir jetzt für das weitere einen Parabolspiegel der Brennweite f = 0,65 m und einen Kraterdurchmesser δ = 0,021 m voraus, so wird das Glied ρ2 gegen \frac{\delta^2}{4} so groß, daß letzteres zu vernachlässigen ist; es bleibt nur übrig \nu=\frac{\delta\,\mbox{cos}\,\alpha}{\rho} . . . . . . (1) Wir gehen nun dazu über, die Flächenbeleuchtung auf einer achsensenkrechten Ebene im Abstande L vom Scheinwerfer zu berechnen. Zu dieser Beleuchtung trägt jede Parallelkreiszone vom Radius r und der Breite ds (Abb. 3) bei. Die Größe dieses Beitrages fassen wir als Differential auf; die Gesamtbeleuchtung entsteht durch Uebereinanderlagerung aller Beleuchtungsdifferentiale und findet sich in Gestalt eines Integrals. Zunächst ermitteln wir das Beleuchtungsdifferential unter Zugrundelegung der Abb. 3. Die Parallelkreiszone 2 πrds wird getroffen von den Strahlen der Lampe, die in der Richtung a die Intensität J besitzen. Die Zone ist von der Lichtquelle um das Maß ρ entfernt; demnach findet sich auf einer Fläche, welche senkrecht zu ρ = MA im Punkt A steht, die Flächenbeleuchtung \frac{J}{\rho^2}. Die ringförmige, auf den Strahlen der Richtung ρ senkrecht stehende Zone der Breite ρ dα (siehe Abb. 3) erhält also die Lichtmenge: \frac{J}{\rho^2}\,.\,2\,\pi\,r\,\rho\,d\alpha. Textabbildung Bd. 331, S. 2 Abb. 3. In Wirklichkeit verteilt sich diese Lichtmenge auf die Spiegelzone 2 π r ds, die demnach die Beleuchtung \frac{J}{\rho^2}\ \frac{2\,\pi\,r\,\rho\,d\alpha}{2\,\pi\,r\,ds} erhält. Diese Beleuchtung der Spiegelzone 2 π r ds wird nun durch Reflexion auf die kreisförmige Fläche \frac{\pi}{4}\,L^2\nu^2 ausgebreitet, vermindert sich demnach im Verhältnis der beleuchteten Flächen, so daß sich das gesuchte Beleuchtungsdifferential findet: d\,\Theta=\frac{J}{\rho^2}\,.\,\frac{2\,\pi\,r\,\rho\,d\alpha}{2\,\pi\,r\,ds}\,.\,\frac{2\,\pi\,r\,ds}{\frac{\pi}{4}\,L^2\nu^2} d\,\Theta=\frac{8\,J\,r\,d\alpha}{\rho\,\nu^2\,L^2} . . . . . (2) Textabbildung Bd. 331, S. 3 Abb. 4. Textabbildung Bd. 331, S. 3 Abb. 5. Durch Integration über alle Parallelkreise von der Spiegelmitte bis zum Rande (von r = 0 bis r = R = 0,75 m) erhält man die Gesamtbeleuchtung in der Entfernung L: \Theta=\int^R_0\,\frac{8\,J\,r\,d\alpha}{\rho\,\nu^2\,L^2} . . . . . (3) Integriert man nicht bis zum Rande, sondern bis r < R, so ergibt sich die Flächenbeleuchtung bei teilweise geöffneter Irisblende (Oeffnungsradius r): \Theta_1=\int^r_0\,\frac{8\,J\,r\,d\alpha}{\rho\,\nu^2\,L^2} . . . . . (4) Multipliziert man in (3) oder (4) mit dem Entfernungsquadrat L2, so findet man die entsprechenden Intensitäten des Scheinwerferstrahles selbst. Zur Auswertung der Integrale haben wir nun noch ds durch r und dr auszudrücken. Nach Abb. 3 hat man als Parabelgleichung: r^2=4\,f\,x Textabbildung Bd. 331, S. 3 Abb. 6. und außerdem im Dreieck AMC \rho^2=r^2+(f-x)^2, womit sich findet: \rho=f+\frac{r^2}{4\,f}. Ferner gilt in demselben Dreieck: \mbox{sin}\,\alpha=\frac{r}{\rho}=\frac{4\,f\,r}{4\,f^2+r^2}. Durch Differentiation findet sich hieraus: d\,\alpha=\frac{4\,f^2-r^2}{4\,f\,\rho^2\,\mbox{cos}\,\alpha}\,d\,r. Textabbildung Bd. 331, S. 4 Abb. 7. Diesen Ansatz hat man in die Integrale (3) oder (4) einzuführen. Beispielsweise ergibt sich für Θ1 \Theta_1=\frac{8}{L^2}\,\int^r_0\,\frac{J\,r\,(4\,f^2-r^2)}{4\,f\,\rho^3\,\nu^2\,\mbox{cos}\alpha}\,dr, oder nach Ersetzung von \frac{r}{\rho} durch sin α: \Theta_1=\frac{2}{f\,L^2}\,\int^r_0\,J\,.\,\frac{1}{\rho^2}\,.\,(4\,f^2-r^2)\,\frac{1}{\nu^2}\,\mbox{tg}\,\alpha\,dr. Die unter dem Integralzeichen stehenden Faktoren werden nun in Abhängigkeit von α tafelmäßig und graphisch dargestellt. Da auch r in Abhängigkeit von α ermittelt werden kann, erhält man schließlich alle Faktoren des Integranden in der für die Auswertung des Integrals erforderlichen Abhängigkeit von r. Textabbildung Bd. 331, S. 4 Abb. 8. J als Funktion von α wird aus Tab. 1 entnommen; r und ρ mißt man am besten aus der maßstäblich gezeichneten Abb. 4 ab. So ergeben sich sofort und mit einfacher Rechnung die Reihen 1 bis 12 der Tab. 2 und schließlich in Reihe 13 der Wert des Integranden selbst. Um günstige Maßstab Verhältnisse zu bekommen, ändern wir die Werte des Integranden so ab, daß vor dem Integral statt \frac{2}{0,65\,L^2} der Wert \frac{8}{L^2} zu stehen kommt. Die so errechneten Zahlen stehen in Reihe 14. Die Berechnung der Tabelle wurde mit dem Rechenschieber ausgeführt; nur Reihe 13 und 14 wurden auf einer Brunsviga-Maschine berechnet. Zur Nachprüfung sind alle Faktoren des Integranden graphisch aufgetragen, und zwar J in Abb. 5, die übrigen Faktoren in Abb. 6 (Kurven a, b, c, d). Aus dem stetigen Verlauf ersieht man, daß keine groben Rechenfehler unterlaufen sind. In Abb. 6 wird auch der Integrand aus Reihe 14 selbst aufgetragen (ohne den Faktor 106). Bezeichnen wir ihn mit i, so wird das zu bestimmende Integral, welches die Intensität des Scheinwerfers liefert (aus (4) durch Fortlassung von L2 hervorgehend): \Theta_{1\,\mbox{schwf}}=8\times 10^6\,\int^r_0\,i\,dr. Wählen wir jetzt die Größe des einzelnen Integrationsschrittes dr = 0,1 m, so müssen die Integrandenwerte i auf den zehnten Teil verkleinert werden. Dies ist in Abb. 7 geschehen. Die schrittweise Integration, bestehend in fortgesetzter Summierung der Ordinaten der Kurve 0,1 i, liefert die Kurve ϑ, deren Endordinate = 53,0, mit 8 × 106 multipliziert, die Intensität des Scheinwerferstrahles in seiner Mitte bei völlig geöffneter Irisblende = 424 Mill. HK ergibt. Will man die Verteilung der Intensität im Strahle außerhalb der Achse kennen lernen, so hat man nach Abb. 8 die Ordinaten der Kurve ϑ (mit 8 × 106 multipliziert) in Abhängigkeit von v/2 beiderseits einer Symmetrielinie aufzutragen. Die kleinsten Streuungen finden sich, wie Ansatz (1) lehrt, bei den Randstrahlen und bilden in großer Entfernung das Mittelfeld des Scheinwerferstrahles. Innerhalb dieses Feldes herrscht überall konstante Intensität; vom Rande des Mittel- (oder Kern-) feldes nach dem Rande des Strahles, der durch das Licht größter Streuung (aus der Spiegelmitte herrührend) bestimmt wird, nimmt die Intensität rasch ab. Textabbildung Bd. 331, S. 4 Abb. 9. Um die mittlere Intensität des Scheinwerferstrahles zu finden, hat man die mit 8 × 106 multiplizierten Ordinaten der Kurve ϑ in Abhängigkeit von v2 nach Abb. 9 aufzutragen. Von dem so erhaltenen Kurvenzug ist die mittlere Höhe zu nehmen, welche 170 Mill. HK als mittlere Intensität des Scheinwerferstrahles liefert. Tabelle 2. Textabbildung Bd. 331, S. 5 Die obigen Ueberlegungen setzen voraus, daß die Streukegel als Kreiskegel betrachtet werden können. Läßt man diese Voraussetzung fallen, so werden die geometrischen Betrachtungen etwas verwickelter und würden das Ergebnis liefern, daß die Ecken bei der Schaulinie 8 sich abrunden, so daß die Linie ein parabelartiges Ansehen erhält. Unerörtert soll hier bleiben, welchen Einfluß ungleichmäßige Verteilung der Intensität in den Streukegeln und ungleichmäßige Verteilung der spezifischen Intensität auf der Kraterfläche haben würden.