Ueber Polytropen-Konstruktionen. Von Prof. Dr. techn. Emil Wellner, Brünn. WELLNER, Ueber Polytropen-Konstruktionen. Wie bekannt, versteht man unter Polytropenkurven von der allgemeinen Form pvn = kst . . . . . . . . . 1. Hierin bedeuten p und v die laufenden Koordinaten eines rechtwinkligen Achsensystems und der Exponent n eine Konstante, bei deren Variierung von minus bis plus Unendlich die ganze die pv-Ebene erfüllende Kurvenschar erhalten würde. Diese Kurven haben in der technischen Thermodynamik und ihren Anwendungsgebieten besondere Bedeutung, und hieraus erklären sich auch die vielfachen Versuche, einfache Konstruktionen für ihre grafische Darstellung zu finden. Der komplizierte Bau der Gleichung 1 läßt eine rein geometrische Darstellung für beliebige Exponentenwerte nicht zu, und es nehmen auch alle bekannten Konstruktionen indirekt die Rechnung in irgend einer Form zu Hilfe. Wenn ihnen meist der Vorzug vor der punktweisen analytischen Auswertung der Gleichung 1 gegeben wird, liegt dies in den allgemeinen Vorteilen der grafischen Behandlungsweise, die bei der Verfolgung thermodynamischer Vorgänge besonders offensichtlich zutage treten. Im Folgenden soll eine Kurvendarstellung entwickelt werden, die ihren Ausgangspunkt von der Ebnerschen KonstruktionEbner, Leitfaden der technisch wichtigen Kurven, Teubner 1906. nimmt; sie gestattet auf rein geometrischem Wege die Auffindung von Kurvenpunkten an beliebigen Ordinatenstellen, allerdings mit einer gewissen Beschränkung in der Exponentenwahl, die sich jedoch in beliebig engen Grenzen halten läßt. Hieran anschließend werden dann Konstruktionen für die Darstellung der mechanischen Arbeit in linearer Form und zur Auffindung des mittleren indizierten Druckes besprochen werden. Bevor wir hierzu übergehen, soll in kurzer Weise ein Ueberblick über die bisherigen Kurvenkonstruktionen gegeben werden. Die erste allgemein bekannte Konstruktion stammt von BrauerBrauer, Zeitschrift d. Ver. deutscher Ing. 1885, S. 433, oder Hütte, 22. Aufl. Bd. I, S. 406., der mittels zweier Hilfswinkel α und β, die an die Beziehung 1 + tg α = (1 + tg α)n gebunden sind, in geometrischer Reihe fortschreitende Punkte bestimmt; es ist hierbei bei freier Wahl des einen Winkels der andere jeweils rechnungsmäßig auszuwerten. Es stellt dies sohin eigenlich keine rein grafische Lösung dar und birgt außerdem den in manchen Fällen störenden Umstand in sich, daß man nicht in der Lage ist, Kurvenpunkte an vorausgewählten Ordinaten zu erhalten. Mehrere Methoden, so die von TolleTolle, Zeitschrift d. Ver. deutscher Ing. 1894, S. 1456., HartmannHartmann, Zeitschrift d. Ver. deutscher Ing. 1895, S. 194., WagenerWagener Zeitschrift d. Ver. deutscher Ing. 1896, S. 701. benützen logarithmische Hilfskurven zur Bestimmung des Polytropenverlaufes. Das Wesentliche dieser Konstruktionen beruht in einem grafischen Ausrechnen einzelner Punkte auf logarithmischem Wege, wobei die Hilfskurven als grafische Logarithmentafeln dienen. Die Polytropengleichung 1 liefert – für zwei Punkte 1 und 2 angeschrieben – logarithmiert den Ausdruck ln\,\frac{p_1}{p_2}=n\,ln\,\frac{v_2}{v_1} . . . . . . 2, woraus jeweils eine Unbekannte – n, p2 oder v2 – aus den anderen Größen ermittelt werden kann. Eine derartige Konstruktion, wesentlich jener von Hartmann entsprechend, ist in Abb. 1 wiedergegeben. Auf der Abzissenachse erscheint in beliebigem Maßstabe die natürliche Zahlenreihe aufgetragen und dazu als Ordinaten die einer Tafel entnommenen natürlichen Logarithmen. Soll beispielsweise bei gegebenem Kurvenpunkte I (p1 v1) und angenommenem Exponenten n = Oa Textabbildung Bd. 336, S. 337 Abb. 1. in der gewählten Ordinate durch v2 die Größe des Druckes ermittelt werden, bestimmt man zunächst mittels des beliebigen Richtstrahles α durch Ziehen von c d || b 1 in Od das Volumsverhältnis \frac{v_2}{v_1} und erhält in d e den dazu gehörigen Logarithmus. Durch Multiplikation mit dem Exponenten n (g a || f 1) ergibt sich dann in \overline{hi} der Logarithmus des Druckverhältnisses und schließlich mit l 1 || i K in \overline{ol} der gesuchte Druck p2 und damit der Punkt II der Polytrope. FröhlichFröhlich, Zeitschrift für den gewerblichen Unterricht, 1913, Nr. 31. berechnet mit Hilfe des heute ja allgemein eingebürgerten Rechenschiebers, der mit seinen logarithmischen Teilungen den Ersatz für die Hilfskurven bietet, die einzelnen Polytropenpunkte; ein Verfahren, welches auch grafisch – analog der Fig. 1 – durch Abgreifen der entsprechenden Größen am Rechenschieber rasch zum Ziele führt. Es sei noch erwähnt, daß TolleTolle, a. a. O. auch die Aufgabe löst, zu zwei gegebenen Polytropenpunkten beliebig viele Zwischenpunkte zu konstruieren; er benutzt hierzu zwei Hilfshalbkreise und findet jeweils die neuen Ordinaten als mittlere geometrische Proportionale der beiden gegebenen. Prof. RamischRamisch, Dinglers polytechn. Journal 1921, S. 203. bespricht m einem kürzlich erschienenen Aufsatze dieselbe Lösung als von Prof. Kosch herrührend, und sei dies hiermit dahin richtig gestellt, daß dieser Teil seiner Ausführungen sich mit der schon von Tolle gegebenen Konstruktion decktIch hebe dies auch aus dem Grunde hervor, da ich die Tolle'sche Methode zur Auffindung von Polytropen-Zwischenpunkten bei der im Folgenden besprochenen Konstruktion in etwas anderer Form und in Erweiterung für außerhalb des gegebenen Interwalles gelegene Punkte benutze.. Gegenüber diesen rechnerisch-grafischen Verfahren bringt Ebner eine rein geometrische Konstruktion, die namentlich für ganzzahlige Exponenten äußerst einfach das Auffinden von Kurvenpunkten gestattet. Da die folgenden Betrachtungen, wie schon erwähnt, hieran anschließen, sei das Wesen dieser Methode hier kurz besprochen. Textabbildung Bd. 336, S. 338 Abb. 2. Die Ebnersche Konstruktion zeigt zunächst für ganzzahlige Exponenten die ohne weiteres verständliche Abb. 2. Vom Punkte P0 (p0 v0) ausgehend, findet man durch wiederholte Anwendung der bekannten Mariotte Konstruktion für das angenommene Endvolumen v der Reihe nach die Kurvenpunkte p1 p2 p3 etc. und im Gebiete der negativen Werte von n ebenso p1, p2 etc., wobei die Indizes der p den jeweiligen Exponenten des Kurvenpunktes bedeuten. Von der Richtigkeit der Konstruktion überzeugt man sich leicht durch Anschreiben der betreffenden Proportionen \frac{p_1}{p_0}=\frac{v_0}{v} \frac{p_2}{p_0}=\frac{p_2}{p_1}\,.\,\frac{p_1}{p_0}=\left(\frac{v_0}{v}\right)^2 etc. Textabbildung Bd. 336, S. 338 Abb. 3. Nimmt man außer dem Anfangspunkte P0 (p0 v0) den Enddruck p – statt des Endvolumens – als gegeben an und führt die analoge Konstruktion, wie Abb. 3 zeigt, durch, kommt man zu Kurvenpunkten entsprechend gebrochenen Exponenten n. Durch die Bezeichnung der v wird wieder der jeweilige Exponentenwert zum Ausdruck gebracht. Die Proportionen lauten hier \frac{v_0}{v_1}=\frac{p}{p_0} \frac{v_0}{v_{1/2}}=\frac{v_0}{v_1}\,.\,\frac{v_1}{v_{1/2}}=\left(\frac{p}{p_0}\right)^2 oder \frac{p}{p_0}=\left(\frac{v_0}{v_{1/2}}\right)^{1/2} Textabbildung Bd. 336, S. 338 Abb. 4. In Abb. 4 sind die beiden vorangegangenen Abbildungen vereinigt und die entsprechenden Exponentenwerte an den einzelnen Schnittpunkten eingetragen. Bezeichnet man die Vertikalen und Horizontalen mit α–2, α–1, α0, α1 α2 . . . und β–1 β0 β1 β2 . . . ., erhält man im Schnitt von α1 und βk einen Kurvenpunkt mit dem Exponenten n=\frac{k}{i} in Bezug auf P0 als Anfangspunkt. Soweit reicht die Ebner'sche Konstruktion, die wie man aus der Abb. 4 entnimmt, für gebrochene Exponenten den Nachteil hat, daß man bei komplizierten Werten, z.B. n=\frac{3}{10} , sehr viele Hilfslinien ziehen muß, wodurch naturgemäß eine mehr minder große Ungenauigkeit unterläuft, und daß man schließlich den gesuchten Punkt im allgemeinen an einer ganz anderen Stelle erhält, als es der betreffenden Aufgabe nach gewünscht wäre. Textabbildung Bd. 336, S. 338 Abb. 5. Diesen Uebelstand suchen die folgenden Erwägungen zu vermeiden; betrachtet man Abb. 2 nochmals, so wäre es erwünscht, auf der Endordinate v die Intervalle p0 - p1, bzw. p1 - p2 etc. gemäß gebrochenen Exponenten zu unterteilen. In dieser Beziehung wäre zunächst das Folgende zu bedenken: Es sei in Abb. 5 nochmals die Konstruktion der Abb. 2 durchgeführt und auf der Ordinate v ein Punkt pn zwischen p0 und p1 angenommen, der der Beziehung \frac{p_0}{p_n}=\left(\frac{v}{v_0}\right)^n . . . . . . . . . . 3 entspräche, also einer Polytrope mit 0 < n < 1 angehören würde. Zieht man die Horizontale pn 1 bis zum Schnitt mit der Diagonale O p0 und durch 1 die Vertikale 1 – αn, so ergeben die Schnittpukte 2. 3 . . dieser mit den weiteren Diagonalen durch Horizontalprojektion auf die Ordinate v die Punkte px, py . . etc. Da nun \frac{p_n}{p_0}=\frac{p_x}{p_1} oder \frac{p_n}{p_x}=\frac{p_0}{p_1}=\frac{v}{v_0} . . . . . . . 4 ist, folgt in Verbindung mit Gl. 3 \frac{p_0}{p_x}=\left(\frac{v}{v_0}\right)^{n+1} Punkt px gehört also einer Polytrope mit dem Exponenten (n + 1) an; ebenso py einer Polytrope mit (n + 2) und so fort. Man erhielte übrigens px nach Gl. 4 auch aus der in der Abb. 5 gestrichelt angedeuteten Mariotte-Konstruktion von pn aus, was ja nichts anderes als die Umkehrung der Konstruktion einer Doerfel'schen Karakteristik vorstelltDoerfel, Technische Blätter 1880, S. 202 und Zeitschrift d. Ver. deutscher Ing. 1889, S. 1065.. Wenn wir also das Verhältnis \frac{v}{\alpha_n} kennen, finden sich die Punkte der entsprechenden Polytropen pn, px, py mittels der Hilfspunkte 1, 2, 3 in äußerst einfacher Weise. Es wäre sohin die Aufgabe darauf reduziert das Intervall v0 – v s o zu teilen, daß man die dem gewünschten Exponenten n entsprechenden Punkte αn finde. Die durchzuführende Konstruktion hat ihren mathemathischen Ausdruck in der Gleichung \frac{p_n}{p_0}=\left(\frac{v_0}{\gamma}\right)^n=\frac{\alpha_n}{v} oder \alpha_n=v\,\left(\frac{v_0}{v}\right)^n . . . . . . 5 was mit der abkürzenden Bezeichnung a=\frac{v_0}{v} die Form αn = v . an . . . . . . 6 als Konstruktionsbedingung ergibt. Hierin hätte der Exponent n Werte zwischen Null und der Einheit anzunehmen. Textabbildung Bd. 336, S. 339 Abb. 6. Eine rein geometrische Konstruktion gestattet dies für alle Exponenten Werte n, die Brüche darstellen, deren Nenner eine Potenz von zwei ist. Hierzu sind auf der Abzissenachse der Abb. 6 die beiden Volumina v0 und v aufgetragen und über letzterem als Durchmesser ein Halbkreis geschlagenVergl. Tolle, a. a. O.. Zieht man die Vertikale v0 A und überträgt Punkt Avon O aus mittels eines Kreisbogens auf die Abzissenachse, erhält man auf derselben einen Abschnitt αn (in der Abb. mit ½ bezeichnet), welcher, wie man sich aus den rechtwinkligen Dreiecken O v0 A und O A v leicht überzeugt, der Bedingung αn2 v . v0 v2 a oder αn = v . a' . . . . . . . . 7 entspricht. Der Vergleich mit Gleichung 6 zeigt, daß wir in dem Punkte ½ daher den Teilpunkt gemäß dem Polytropen-Exponenten n = ½ gefunden haben. Durch Wiederholung dieser Konstruktion in den Kreisschnittpunkten B, C, D. etc. erhalten wir analog Punkte αn entsprechend n = ¼, ⅛, 1/16 etc., also allgemein n=\frac{1}{m}, wobei m jeweils eine Potenz von zwei darstellt. Die Unterteilung des Intervalles v bis v0 möge nun derart vorgenommen werden, daß die einzelnen Zwischenpunkte αn einer Exponenten-Reihe 0,\ \frac{1}{m},\ \frac{2}{m},\ \frac{3}{m}\ .\ .\ .\ .\ \frac{m-1}{m},\ 1 entsprechen würden; es heißt dies soviel, daß diese Volumina jeweils nach Gleichung 7 die Form \alpha_{n_1}=v\,.\,a^{\frac{1}{m}} \alpha_{n_2}=v\,.\,a^{\frac{2}{m}}=\alpha_{n_1}\,.\,a^{\frac{1}{m}} hätten, sonach also einer geometrischen Progression mit dem Quotienten a^{\frac{1}{m}} angehören würden. Eine solche Reihe läßt sich am einfachsten unter Zuhilfenahme eines Proportionalwinkels, der der Bedingung cos\,\beta=a^{\frac{1}{m}} . . . . . . . . 8 genügt, bestimmen; man gelangt dann jeweils von einem Abschnitte αn zum nächstfolgenden durch eine Kreisbogen-Projektion vom Ursprünge aus. Die Richtung des Strahles β ergibt sich, wie aus Gleichung 8 folgt, durch Ziehen der Vertikalen durch den Teilpunkt \frac{2}{m} bis zum Schnitte mit dem Halbkreise über v und Verbindung dieses Punktes mit dem Ursprünge. In der Abbildung ist beispielsweise das Intervall v bis v0 entsprechend der Annahme m = 8 unterteilt; man geht hierzu von Punkt A über ½, B nach ¼, zieht die Vertikale bis zum Schnittpunkte C und erhält damit den Winkel β, von dem aus man durch Eintragen der Kreisbögen und Vertikalen durch die Punkte C, a, b, c, d etc. zu den einzelnen Teilpunkten auf der Abzissenachse gelangt. (Schluß folgt.)