Die Lambertschen Grundgesetze für die Lichtmessung. Von Dr. C. Michalke, Charlottenburg. MICHALKE, Die Lambertschen Grundgesetze für die Lichtmessung. Die Lichtmeßkunde ist erst in neuerer Zeit vervollkommnet und die Lichtmessung verfeinert worden. Solange es noch nicht möglich schien, die Arbeitszeit auch im Winter voll auszunutzen, spielte die Lichtzuteilung noch nicht die Rolle wie in der Neuzeit. Es machte früher auch Schwierigkeiten, Licht von gewünschter Fülle beliebig zu erzeugen. Die Bedeutung des Lichtes in gesundheitlicher und wirtschaftlicher Hinsicht ist erst in neuerer Zeit gehörig gewürdigt worden, andererseits zwingt die Verteuerung des Lichts bei Verteilung und Zumessung haushälterisch umzugehen. Als Vater der Lichtmeßkunde ist Lambert anzusehen, der in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts die Grundgesetze aufstellte. Eine einwandfreie, von allen subjektiven Einflüssen freie Lichteinheit zu schaffen, ist auch jetzt noch nicht in vollkommener Weise gelungen. Man muß sich mit Vergleichseinheiten begnügen, die in verschiedenen Ländern verschieden gemacht sind, da sich die Völker über eine allgemein anzuerkennende Einheit noch nicht geeinigt haben. In Deutschland wird als Einheit der Lichtstärke die Hefnerkerze verwendet, d. i. die Leuchtkraft einer Amylacetatflamme von bestimmt festgelegten Abmessungen in horizontaler Richtung. Von dieser Grundeinheit werden weitere Einheiten für Beleuchtung, Helligkeit, Lichtstrom usw. abgeleitet. Ist die Leuchtkraft einer Lichtquelle (Abb. 1) in bestimmter Richtung \frakfamily{I} die Länge der Verbindungslinie der Lichtquelle mit einem Flächenpunkt r und fällt das Licht unter einem Einfallswinkel φ (gegen die Normale N) auf die Fläche ΔF, so ist die Beleuchtung der Fläche E=\frac{\frakfamily{I}\,\cos\,\varphi}{r^2}. Wird \frakfamily{I} in Hefnerkerzen, r in Metern ausgedrückt, erhält man die Beleuchtung in Lux. Die Lichtstrahlung der üblichen Lichtquellen ist nach verschiedenen Richtungen verschieden. Ohne Rücksicht hierauf können bei Wertung der Lichtquellen leicht Mißverständnisse auftreten. Eindeutig wird die Lichtstärke einer Lichtquelle bestimmt, wenn das gesamte nach den veschiedenen Richtungen ausgestrahlte Licht berücksichtigt wird. Man erhält so den Lichtstrom. Der von der Lichtquelle \frakfamily{I} (Abb. 1) auf die Fläche ΔF fallende Lichtstrom ist \varphi=\frakfamily{I}\,ѡ\,cos\,\varphi, wenn eo der Raumwinkel ist, unter dem das Licht auf die Fläche fällt. Da \omega=\frac{\Delta\,F}{r^2} ist, wird \Phi=\frac{\frakfamily{I}\,\Delta\,F\,\cos\,\varphi}{r^2}. Wird ΔF in m2, r in m, \frakfamily{I} in Hefnerkerzen ausgedrückt, so erhält man φ in Lumen. Eine gleichmäßig nach allen Richtungen mit der Lieh stärke \frakfamily{I} strahlende Halbkugel (hemisphärische Leuchtkraft) entwickelt den Lichtstrom 2 π \frakfamily{I}, eine ganze Kugelfläche (sphärische Leuchtkraft) den Lichtstrom 4 π \frakfamily{I}. Hält der Lichtstrom die Zeit T an, so ergibt dies die Lichtabgabe Q = φT (in Lumenstunden). Textabbildung Bd. 338, S. 77 Abb. 1. Fällt ein Lichtstrom φ auf eine Fläche ΔF, so wird die Beleuchtung E=\frac{\frakfamily{I}\,\cos\,\varphi}{r^2} auch bestimmt durch die Gleichung φ E Δ F. Von dem auffallenden Lichtstrom wird ein Bruchteil vesrchluckt, ein anderer μ zurückgeworfen. Es ist μ E Δ F = H Δ F. μ ist die Rückstrahlungszahl, H die Helligkeit der Fläche, wie sie von unserem Auge empfunden wird. Ist die Fläche AF rauh, so daß die Lichtstrahlen an den vielen Unebenheiten von kleinen Abmessungen wiederholt zurückgeworfen werden, wobei sie zum Teil mehr oder weniger tief in den Stoff eindringen, so verlassen die Lichtstrahlen unter den verschiedensten Winkeln die Fläche. Das Licht wird zerstreut zurückgeworfen. Bei vollkommener Streuung wird das von Lambert angegebene sog. Cosinusgesetz befolgt, d.h. ist die Rückstrahlung in senkrechter Richtung (\varphi=0)\,\frakfamily{I}_0, so ist die Strahlung \frakfamily{I}_{\varphi} unter dem Strahlungswinkel \varphi=\frakfamily{I}_0\,cos\,\varphi. Der gesamte von der Fläche ΔF zurückgestrahlte Lichtstrom ist unter Verwendung obiger Formeln \mu\,\varphi=H\,\Delta\,F=2\,\pi\,\frakfamily{I}, wenn \frakfamily{I} die mittlere hemisphärische Leuchtkraft der Fläche ist. Es ist also \frakfamily{I}=\frac{H\,\Delta\,F}{2\,\pi}. In senkrechter Richtung (φ = 0) ist die Strahlung am stärksten, in Richtung parallel zur Ebene Δ F (für φ = 90°) ist die Strahlung Null. Wie leicht nachzuweisen istWissenschaftliche Veröffentlichungen aus dem Siemens-Konzern. I. Band, II. Heft 1921, Seite 56. Rechnen mit zerstreut zurückgeworfenem Licht., ist die Höchststrahlung \frakfamily{I}_0=2\,\frakfamily{I}=\frac{H\,\Delta\,F}{\pi} und die Strahlung in beliebiger Richtung unter dem Winkel φ gegen die Normale \frakfamily{I}_{\varphi}=\frac{H\,\Delta\,F\,\cos\,\varphi}{\pi}. Man kann demnach mit Flächen, die das Licht zerstreut zurückstrahlen, unter Annahme des Lambertschen Cosinusgesetzes so rechnen wie mit Selbsstrahlern, d.h. Körpern, die eigenes Licht aussenden, z.B. glühenden Metallblechen. Zerstreut wird das Licht nicht nur durch Rückwerfung von rauhen Flächen, Streuung des Lichts tritt allgemein bei wiederholter unregelmäßiger Zurückwerfung des Lichts ein, wenn dieses tiefer in Körper eindringt und an undurchsichtigen Teilchen im Innern des Körpers zurückgeworfen wird oder wenn beim Eindringen in undurchsichtige ungeordnet gelagerte Teilchen, die sich umgeben von einem Stoff mit anderem Brechungsexponenten befinden, das Licht wiederholt gebrochen wird, so daß bei seinem Austritt aus dem Körper keine Strahlungsrichtung bevorzugt wird. Je häufiger und unregelmäßiger dieses Zurückwerfen oder Brechen des Lichts stattfindet, um so vollkommener ist die Streuung, um so genauer wird das Lambertsche Cosinusgesetz befolgt. So wird z.B. das Licht in durchscheinenden Platten, etwa Milchglasplatten, Ueberfangplatten zerstreut, indem an den kolloidal kleinsten Teilchen im Innern der Platte das Licht wiederholt zurückgeworfen und gebrochen wird. Für sehr viele Fälle der Lichtberechnung kann man mit den gegebenen Formeln für die Flächenstrahlung hinreichend genaue Werte erhalten. Sind die rückstrahlenden Flächen nicht genügend rauh, sind sie teilweise spiegelnd, so daß die Streuung der Lichtstrahlen nur unvollkommen ist, werden bestimmte Richtungen in der Rückstrahlung bevorzugt. Das Lambertsche Cosinusgesetz gilt für solche Fälle nicht mehr streng. Die genauen Werte für die Strahlung \frakfamily{I}_{\varphi} in beliebiger Strahlungsrichtung könnten nur durch Messungen mittels Photometers festgestellt werden. In einzelnen Fällen kann die zerstreute Strahlung und die spiegelnde gesondert behandelt werden. Es sind dies ähnliche Erscheinungen wie sie in der Wechselstromelektrotechnik bei der Rechnungsart mit Vektoren zu berücksichtigen sind. Die Vektorenrechnung hat zur Voraussetzung, daß der Wechselstrom sich wie der Sinus des Phasenwinkels ändert. Sind Oberschwingungen vorhanden, so müssen diese bei genauen Rechnungen in meist umständlicher Weise berücksichtigt werden. In den entwickelten Formeln für Strahlung leuchtender Flächen können für sämtliche Größen die entsprechenden Einheiten eingesetzt werden. Lambert ist in seinen photometrischen Untersuchungen nicht soweit gegangen. Bei den von ihm entwickelten Formeln müssen daher noch Proportionalitätsfaktoren eingeführt werden, wenn man mit den gebräuchlichen Einheiten, Hefnerkerzen, Lux usw. rechnen will. Es sei (Abb. 2) ΔF ein leuchtendes, das Licht zerstreut ausstrahlendes Flächenelement, wobei es für die Folgerungen gleichgültig ist, ob die Fläche eigenes Licht ausstrahlt, wie dies z.B. bei auf Glühgrad erhitztem Metall der Fall ist, oder ob das Licht durch Rückstrahlung des von einer fremden Lichtquelle eingestrahlten Lichts, oder ob es sich um durchscheinendes Licht handelt. Auch in den beiden letzteren Fällen verhält sich die Fläche wie ein Selbststrahler. Von der Fläche ΔF ausgestrahltes Licht treffe die Fläche ΔF2, so ist die Beleuchtung E2 dieser Fläche proportional \frac{H_1\,\Delta\,F_1\,\cos\,\varphi_1\,\cos\,\varphi_2}{r^2}, wenn H1 die Helligkeit der Fläche ΔF1, r die Länge der Verbindungslinie von ΔF1 und AF2, ferner φ1 und φ2 die Winkel dieser Verbindungslinie gegen die Senkrechten N1 und N2 sind. In dieser Form wird die Lambertsche Formel gewöhnlich geschrieben. Will man die Beleuchtung E2 der Fläche ΔF2 in Lux erhalten, wenn für H1 der Wert in gleicher Einheit angegeben ist, so hat man nach den gegebenen Formeln zu setzen, wenn \frakfamily{I}_{\varphi} die Strahlung der Fläche ΔF1 unter einem Winkel φ1 φ1 der von ihr ausgehende Lichtstrom ist: \frakfamily{I}_{\varphi}=\frac{H_1\,\Delta\,F_1\,\cos\,\varphi_1}{\pi} \Phi_1=\frac{\frakfamily{I}_{\varphi}\,\Delta\,F_2\,\cos\,\varphi_2}{r^2}=E_2\,\Delta\,F_2 E_2=\frac{H_1\,\Delta\,F_1\,\cos\,\varphi_1\,\cos\,\varphi_2}{r^2\,\pi} In dieser Gestaltung der Beleuchtungsformel, die sich von der Lambertschen Form durch Einführung des Proportionalitätsfaktors \frac{1}{\pi} unterscheidet, erhält man die Beleuchtung E2 in gleicher Einheit wie die Helligkeit H1  wenn ΔF1 in m2, r in m ausgedrückt wird. Textabbildung Bd. 338, S. 78 Abb. 2. Der auf die Fläche ΔF2 fallende Lichtstrom ist demnach \varphi_1=\frac{H_1\,\Delta\,F_1\,\Delta\,F_2\,\cos\,\varphi_1\,\cos\,\varphi_2}{r^2\,\pi} Daß allgemein die Lambertsche Formel für Flächenstrahler in einer Form gegeben war, in der die jetzt üblichen Lichteinheiten nicht berücksichtigt sind, mag die Ursache sein, daß mit Flächenstrahlern selten gerechnet wird. Zum mindesten in Annäherung lassen sich unter Verwendung der entwickelten Formeln Rechnungen durchführen, die die Bedeutung der Strahlung heller Flächen für die Lichtwirkungen zeigen. Schon in den 80er Jahren des vorigen Jahrhunderts haben z.B. Leonard Weber und Cohn in Breslau auf die Bedeutung des zerstreuten Himmelslichts für die Beleuchtung von Arbeitsplätzen in Innenräumen hingewiesen. Es wurde für ausreichende Beleuchtung eines Arbeitsplatzes durch zerstreutes Tageslicht ein bestimmter Raumwinkel gefordert, von dessen Größe und von der Helligkeit des Himmelslichts die Beleuchtung abhängt. Der bei einem bestimmten Raumwinkel von einer endlichen Fläche ausgehende Lichtstrom kann in folgender Weise (Abb. 3) berechnet werden: Es sei eine kreisförmige Scheibe von der Helligkeit H angenommen. Ist von ihr ein Flächenteilchen ΔF senkrecht bestrahlt, so ist der von einem Kreisring mit dem Radius ρ also einer Fläche 2 ρ π d ρ auf das Flächenteilchen ΔF ausgestrahlte Lichtstrom d\,\Phi=\frac{2\,H\,\Delta\,F\,\varrho\,d\,\varrho\,\cos^2\,\varphi}{e_1^2}=H\,\Delta\,F\,\sin\,2\,\varphi\,d\,\varphi Durch Integration von 0 bis ω/2 erhält man φ = H Δ F sin2 ω/2 wobei ω ein dem Raumwinkel entsprechender Winkel ist, unter dem die Fläche ΔF bestrahlt wird. Die Beleughtung der Fläche ΔF ist demnach E=H\,\sin^2\,\frac{\omega}{2} Wie stark mit zunehmendem Winkel ω die Beleuchtung zunimmt, zeigt nachstehende Tabelle, die die Abhängigkeit der Beleuchtung E von sin2 ω/2 gibt. ω sin2 ω/2   20   0,03^   40 0,12   60 0,25   80 0,41 100 0,59 120 0,75 140 0,88 160 0,97 180 1,00 Bei allseitiger Bestrahlung ω = 180° (ΔF in der Mitte einer halben Hohlkugel) ist die Beleuchtung der beleuchteten Fläche gleich der Helligkeit der innereu Halbkugelfläche. Textabbildung Bd. 338, S. 79 Abb. 3. Ist die Helligkeit der leuchtenden Fläche bekannt, so genügt es, den Raumwinkel zu kennen, unter dem der Arbeitsplatz von der Fläche bestrahlt wird. Ist die leuchtende Fläche (Abb. 3) gegen die Verbindungslinie e unter einem Winkel abweichend von 90° geneigt, die Fläche ΔF unter den Winkel Ψ, so ist für die Beleuchtung der Fläche ΔF nur der letztere Winkel von Einfluß. Bei Neigung der strahlenden Fläche ist bei gleichbleibendem Raumwinkel ω die Fläche im gleichen Verhältnis vergrößert, wie die Strahlung in Richtung nach ΔF vermindert wird, so daß nach dem Cosinusgesetz die Lichtstrahlung die gleiche bleibt. Die Beleuchtung der Fläche ΔF ist demnach E\,\Psi=H\,\sin^2\,\frac{\omega}{2}\,\cos\,\Psi. Rechnet man vorteilhafter mit oder Größe der strahlenden Flächen, so ist E=\frac{H\,F}{e^2+r^2}, wenn F = r2 π gesetzt wird. Ist e groß gegen r, so genügt die Formel E=\frac{H\,F}{e^2} oder wenn Ψ die Neigung der Fläche ΔF gegen e ist, E\,\Psi=\frac{H\,F\,\cos\,\Psi}{e^2}. Ist die Fläche F unregelmäßig gestaltet, wie dies bei Beleuchtung von Arbeitsplätzen durch Tageslicht der Fall sein kann, so kann der Raumwinkel unter dem die leuchtende Fläche den Arbeitsplatz bestrahlt, durch einen Raumwinkelmesser, wie er von Leonhard Weber angegeben wurde, bestimmt werden. Dieser enthält eine Linse, durch die das Bild der strahlenden Fläche auf mm Papier geworfen wird. Die Flächengröße des Bildes wird ausgewertet, das einem bestimmten Raumwinkel entspricht. Die Auswertung ist leicht, wenn ein Bild von einer kreisrunden Fläche in bestimmter Entfernung, also bei bestimmtem Raumwinkel auf das mm Papier geworfen wird. Ist beispielsweise (Abb. 4) die Helligkeit des Himmels 300 Lux, der Raumwinkel unter dem Licht des Himmelsgewölbes auf einen Arbeitsplatz eines Innenraumes fällt (entsprechend dem Winkel an der Spitze des Kegels) ω – 30°, ist die Beleuchtung des Platzes bei senkrechter Bestrahlung E = 300 sin2 15° = 20 Luxl wenn das Tageslicht unter 45° auf die beleuchtete Fläche fällt, ist deren Beleuchtung 20 cos 45° oder rund 14 Lux. Ist ω = 50°, steigt die Beleuchtung bei senkrechter Bestrahlung auf rund 54 Lux, bei Bestrahlung unter 45° auf rund 38 Lux. Aus diesen Rechnungen ergibt sich der starke Einfluß großer Fensteröffnungen, durch die das Licht vom Himmelsgewölbe unmittelbar auf den Arbeitsplatz fallen kann, für die Beleuchtung von Innenräumen. Da das Licht von großen Flächen ausgestrahlt ist, verursacht es weniger Blendung als unmittelbares künstliches Licht. Textabbildung Bd. 338, S. 79 Abb. 4. Dringt kein Licht unmittelbar vom Himmelsgewölbe in einen Innenraum, etwa weil gegenüberliegende Gebäude in großer Nähe die Einstrahlung versperren, so dringt in den Raum nur unmittelbar Licht von den gegenüberliegenden Wänden der Gebäude, die im besten Fall unmittelbar Licht vom Himmelsgewölbe erhalten. Die Beleuchtung im Innenraum hängt von dem Raumwinkel ab, unter dem das Licht von den Wänden des Gebäudes eingestrahlt wird, aber ferner noch von dem Betrage, wieviel von dem auf die Gebäudewand fallenden Licht wieder zurückgestrahlt wird, also von der Rückstrahlungszahl. Die Beleuchtung und demnach auch die Helligkeit im Innenraum hängt also von dem Anstrich des gegenüberliegenden Gebäudes ab. Je mehr der Anstrich rein weiß ist, um so mehr Licht wird von der Gebäudewand abgegeben, um so heller ist der Innenraum. Die Berechnung, die in solchem Fall nur überschlägig ein ungefähres Urteil über die Helligkeit des Innenraumes geben kann, wird ähnlich der obigen durchgeführt. Wird z.B. die Gebäudewand unter einem Winkel von 45° bestrahlt vom Himmelslicht, das bei einer Helligkeit von 300 Lux unter einem Raumwinkel von 50° einfällt, so ist die Beleuchtung der Gebäudewand nach obigen Rechnungen rund 38 Lux. Wird die Hälfte zurückgestrahlt (μ = 0,5), und dringt das Licht wieder unter einem Raumwinkel von 50° auf einen Arbeitsplatz im Innenraum, erhält man bei senkrechter Bestrahlung E = 0,5 • 38 • sin2 25° oder rund E = 3,4 Lux. Ist der Arbeitsplatz 45° gegen die einfallende Strahlung geneigt, ist die Beleuchtung des Arbeitsplatzes nur etwa 2,4 Lux. Man ersieht hieraus, wie wichtig bei Tageslichtbeleuchtungen es ist, daß das Licht möglichst unmittelbar vom Himmelsgewölbe in die Innenräume eines Hauses eindringt. Selbst wenn die den Innenräumen gegenüberliegende Hauswand einen hellweißen Anstrich bekäme, der 0,8 des eingestrahlten Lichts zurückwerfen würde, könnte die Beleuchtung nur unter den obigen Annahmen auf 5,4 und 3,2 Lux gesteigert werden. So Mancher, der sich mit Lichtmessungen in Innenräumen eingehend beschäftigte, hat zu seinem Erstaunen bemerkt, daß die Auswertung der Beleuchtung der einzelnen Plätze einen viel größeren Lichtstrom ergab, als die Lichtquellen besaßen, die das Licht für den Raum spendeten. Es macht dies zunächst den Eindruck, als ob dies dem Grundsatz von der Erhaltung der Arbeit widerspreche. Die Messungen beruhen jedoch auf keinem Irrtum. In einem Innenraum ist es tatsächlich heller, als es sich rechnerisch nur unter Berücksichtigung des Lichtstroms der vorhandenen Lichtquellen ergibt. Das Lambertsche Grundgesetz der Strahlung von Flächen, die zerstreutes Licht aussenden, gilt auch in der Abänderung, wie es oben entwickelt wurde, unter der Voraussetzung, daß das von der beleuchteten Fläche zurückgestrahlte Licht in der Formel unberücksichtigt bleibt. In den oben gewählten Beispielen der Einstrahlung von Licht aus Außenflächen durch die Fenster in die Innenräume kann das wieder nach außen gestrahlte Licht praktisch in der Rechnung unberücksichtigt bleiben. Zimmer, die nur vom Tageslicht von außen erhellt werden, erscheinen von außen dunkel, falls die Fensteröffnungen nicht ungewöhnlich groß, die Wände nicht ausnahmsweise hell sind. Es sind für die Innenräume eines Hauses zum Teil die gleichen Erwägungen maßgebend, die bei einem Hohlkörper mit kleiner Oeffnung zur Auffassung eines vollkommen schwarzen Körpers führen. Die Rückstrahlungsvorgänge an den Wänden des Innenraumes gehen fast vollständig innerhalb dieses Raumes vor sich, während nur verhältnismäßig wenig Licht wieder nach außen dringt. Für die Vorgänge im Innenraum selbst muß jedoch das von den Wänden zurückgestrahlte Licht berücksichtigt werden. Textabbildung Bd. 338, S. 80 Abb. 5. Wird (Abb. 2) die Fläche ΔF2 von der leuchtenden Fläche ΔF1, beleuchtet, so wirft die Fläche ΔF2 wieder Licht zurück, von dem ein Teil die Fläche ΔF1 trifft und deren Helligkeit vergrößert. Die verstärkte Helligkeit wirkt wieder zurück auf die Fläche ΔF2. Durch die Wechselwirkung tritt eine Verstärkung der Beleuchtung ein, die von den Rückstrahlungszahlen μ1 u. μ2 der beiden Flächen abhängt. Für eine Halbkugel vom Radius r (Abb. 5) deren Innenfläche das Licht zerstreut zurückwirft, kann die Verstärkung in folgender Weise berechnet werden. Der Einfachheit wegen sei eine Lichtquelle \frakfamily{I} im Mittelpunkt der Halbkugel angenommen. Die unmittelbare Beleuchtung der Halbkugel im Innern ist E=\frac{\frakfamily{I}}{r^2}. Die Helligkeit der Innenfläche ist H-\frac{\mu\,\frakfamily{I}}{r^2}, wenn μ die Rückstrahlungszahl der Fläche ist. Ein Flächenteilchen d f erhält außer der unmittelbaren BeleuchtungBeleuchtunng durch \frakfamily{I} noch eine Zusatzbeleuchtung von allen Teilen der Halbkugel. Von der Fläche df erhält sie die Zusatzbeleuchtung d\,E=\frac{H\,d\,f\,\cos^2\,\varphi}{\varrho^2\,\pi}=\frac{\mu\,\frakfamily{I}\,d\,f}{4\,r^4\,\pi} demnach von der ganzen Halbkugel 2 r2 π die Zusatzbeleuchtung E'=\frac{\mu}{2}\,\frac{\frakfamily{I}}{r^2}. Diese erzeugt wieder eine weitere Zusatzbeleuchtung E''=\left(\frac{\mu}{2}\right)^2\,\frac{\frakfamily{I}}{r^2} usw. fort. Es stellt sich somit eine Gesamtbeleuchtung ein: E_h=\frac{\frakfamily{I}}{r^2}\,\left(1+\frac{\mu}{2}+\left(\frac{\mu}{2}\right)^2+\left(\frac{\mu}{2}\right)^3+....\right) E_h=\frac{\frakfamily{I}}{r^2}\,\frac{1}{1-\mu/2} \frac{1}{1-\mu/2} ist demnach die Verstärkungszahl für die Beleuchtung im Innern der Halbkugel. Textabbildung Bd. 338, S. 80 Abb. 6. Will man die Verstärkungszahl für das Innere einer ganzen Kugel ermitteln (Ulbrichtsches Kugelphotometer), sind in obiger Ausführung die einzelnen Zusatzbeleuchtungen nicht auf die Halbkugel 2 r2 π, sondern auf die ganze innere Oberfläche 4 r2 π der Hohlkugel zu beziehen. Man erhält so für das Innere der ganzen Kugel einschließlich der Zusatzbeleuchtungen einen Wert E_g=\frac{\frakfamily{I}}{r^2}\cdot \frac{1}{1-\mu}. Die Verstärkungszahl für die ganze Kugel ist demnach \frac{1}{1-\mu}. In der Schauliniendarstellung (Abb. 6) sind die Verstärkungszahlen für die verschiedenen Rückstrahlungszahlen gezeichnet. Der Grenzfall μ = 1 hat nur theoretischen Wert, da es praktisch keine Flächen gibt, die sämtliches auffallende Licht zerstreut ohne Verluste zurückwerfen. Die untere Linie I gibt die Verstärkungszahl für die Halbkugel, die höchstens bis zum Wert 2 steigt, d.h., für μ = 1 würde die Beleuchtung doppelt so hoch sein, als sie sich rechnerisch ergibt, wenn nur die unmittelbare Bestrahlung durch die Lichtquelle \frakfamily{I} (Abb. 5) berücksichtigt wird. Entsprechend der oberen Schaulinie II steigt bei der ganzen Kugel die Schaulinie für die Verstärkungszahl steiler aufwärts. Sie erreicht für μ = 1 den Wert ∞. Für eine Rückstrahlungszahl μ 0,8, die bei rein weißen Wänden bei ausgewählten Anstrichen erreicht werden kann, ist die Rückstrahlungszahl für die Halbkugel 1,67, d.h. die Beleuchtung wird um 67 v. H. verstärkt. Bei der Strahlung von einer ganzen Kugel wird für μ = 0,8 die Beleuchtung verfünffacht. Die Verstärkungszahl hat praktische Bedeutung für die Beleuchtung in Zimmern, Sind nur die Seitenwände und die Decke hellweiß, während der Fußboden so dunkel gehalten ist, daß eine Rückstrahlung praktisch nicht in Betracht kommt, so hat man annähernd etwa den Fall der Beleuchtung einer Halbkugel (Schaulinie I Abb. 6), ist auch der Fußboden so hellweiß gestrichen, wie es Wände und Decke sind, hat man den Fall einer ganzen Kugel (Schaulinie II). Die Innenräume besitzen zwar keine Halbkugelflächen, sondern ebene Flächen, für die praktische Beurteilung der Lichtverstärkung- ist dies jedoch nicht von großer Bedeutung. Für Flächenteile, die nicht senkrecht zur Strahlungsrichtung stehen, gelten für die Berechnung der Beleuchtung die Projektionen der gegen die Strahlungsrichtung geneigten Flächen auf eine zur Strahlungsrichtung zenkrechte Fläche. Man kann sich daher alle Flächenteile des Innenraumes auf die Kugelfläche projiziert denken, so daß die obigen für die Kugel oder die Halbkugel entwickelten Formeln in genügender Annäherung auch für anders gestaltete Flächen, also auch für die ebenen Flächen von Zimmern gelten. Berücksichtigt man, daß für eine Kugelkalotte von unendlich kleiner Höhe, also eine kleine Fläche, die sich immer tangential an die Halbkugel anlehnt, die Verstärkungzahl 0 ist, so erkennt man, daß die Verstärkungszahl mit zunehmender Höhe der Kalotte zunimmt und bei der Vollkugel den Höchstwert erreicht. Auf die Verhältnisse in einem Zimmer mit ebenen Wänden übertragen heißt das, die Verstärkungszahl nimmt abgesehen von der Rückstrahlungszahl um so mehr bei dunklem Fußboden zu, je höher die Wände gegenüber derem gegenseitigen Abstand sind. Beeinträchtigt wird die Licht Verstärkung in Zimmern durch die Möbel, Bilder, Teppiche u. dgl. Auch im Freien macht sich der Einfluß der Lichtverstärkung geltend. Im Winter wird durch den gefallenen Schnee die Helligkeit vermehrt. Es findet in der entwickelten Weise eine wechselseitige Rückstrahlung von Schneefeld und Wolkenschicht statt. Bei weiten bis zum Horizont reichenden Schneefeldern hat man die gleichen Verhältnisse wie bei einer ganzen Hohlkugel. Das geringe Sternenlicht reicht daher des Nachts aus, um bei gefallenem Schnee eine meist noch ausreichende Beleuchtung zu erhalten. In Volkskreisen ist daher vielfach die Ansicht verbreitet, daß der frisch gefallene Schnee, der eine hohe Rückstrahlungszahl hat, eigenes Licht ausstrahle. Der Einfluß der Schneeflächen auf das Tageslicht macht sich auf große Entfernung bemerkbar. So erschien bei den Tageslichtmessungen von Leonhard Weber in Breslau (Ende der 80er Jahre des vorigen Jahrh.) die Beleuchtung durch das Himmelslicht stärker als gewöhnlich, als in der Stadt zwar kein Schnne mehr lag, aber in dem Hügellande in etwa 20 km Entfernung noch reichlich reiner Schnee auf den Feldern sich befand. Auch wenn keine Wolken am Himmel stehen, wird das Licht durch die wiederholte Rückwerfung an den Luftmolekeln verstàrkt. Die Verstärkung der Beleuchtung nur durch wiederholte Zurückwerfung des Lichts von den bestrahlten Flächen ohne Verstärkung der Lichtquelle wird erklärlich, wenn man sich vergegenwärtigt, daß die einzelnen Zurückwerfungen des Lichts Vorgänge sind, die zeitlich nacheinander auftreten. Die Zusatzbeleuchtung (Bild 5) tritt tatsächlich später auf, als die unmittelbare Bestrahlung. Letztere und die Rückstrahlung, die sich übereinander lagern und so die Beleuchtung verstärken, gehen mit Lichtgeschwindigkeit vor sich, folgen also so schnell aufeinander, daß sie für das Auge als gleichzeitig angesehen werden können. Zusammenfassung. Die Lambertschen Grundgesetze der Lichtstrahlung werden für gerichtete Strahlung zusammengestellt, bei denen für die einzelnen Größen festgelegte Lichteinheiten gelten. Es wird gezeigt, daß sich das Lambertsche Gesetz der zerstreuten Flächenstrahlung gleichfalls in eine Form bringen läßt, in der die einzelnen Größen gebräuchliche Einheiten bedeuten. Es läßt sich in dieser Gestaltung mit den für die zerstreute Flächenstrahlung aufgestellten Formeln so rechnen, wie mit der gerichteten Strahlung. An Beispielen wird gezeigt, wie derartige Formeln von Wert sind für Berechnung der Helligkeit von Innenräumen durch zerstreutes Tageslicht. Es wird darauf hingewiesen, daß das Lambertsche Cosinusgesetz für die Bestrahlung einer Fläche durch eine andere nicht die Rückstrahlung der bestrahlten Fläche berücksichtigt. Die durch die Rückstrahlung entstehende Lichtversträrkung wird berechnet für den Fall, daß die Rückstrahlung nur von den Wänden oder allseitig auch von dem Fußboden erfolgt. Für die Licht Verstärkung, die ohne Verstärkung der Lichtquelle auftritt, wird eine Erklärung ergeben, wonach solche Lichtverstärkung nicht dem Gesetz von der Erhaltung der Arbeit widerspricht.