Ein neues Verfahren zur Berechnung rotierender Scheiben. Von Prof. Dr. R. Grammel, Stuttgart. GRAMMEL, Ein neues Verfahren zur Berechnung rotierender Scheiben. Für die Ermittelung der Spannungsverteilung in rotierenden Turbinenscheiben von beliebigem Profil sind viele NäherungsverfahrenVgl. etwa A. Stodola, Dampf- und Gasturbinen, 5. Aufl. Berlin 1922, S. 329–339. entwickelt worden, von denen die meisten allerdings in der tatsächlichen Durchführung recht umständlich werden. Das Verfahren, das ich im folgenden mitteile, erstrebt die größte Uebersichtlichkeit und Einfachheit, die sich bei der Lösung der Aufgabe überhaupt erreichen läßt. Das wirkliche Scheibenprofil wird, wie bei dem bekannten Verfahren von DonathM. Donath, Die Berechnung rotierender Scheiben und Ringe, Berlin 1912., durch eine treppenförmige Näherung ersetzt, sodaß die Scheibe aus lauter ringförmigen Teilscheiben von je gleicher Dicke aufgebaut erscheint (Abb. 2). In irgend einer solchen Teilscheibe, für welche aus der Massendichte ρ und der Querkontraktionszahl ν die beiden Stoffzahlen (I)      \left\{{{\alpha=\frac{\varrho}{8}\,(3+v)}\atop{\beta=\frac{\varrho}{8}\,(1+3\,v)}}\right. gebildet worden sind, lassen sich, wie aus der Theorie der Scheiben gleicher Dicke bekannt ist, die radiale und die tangentiale Spannung in der Entfernung x von der Drehachse bei einer Drehschnelle ω darstellen durch die Gleichungen (1)        \left\{{{\sigma_r=A+\frac{B}{x^2}-\alpha\,\omega^2\,x^2}\atop{\sigma_t=A-\frac{B}{x^2}-\beta\,\omega^2\,x^2}}\right. Hiebei sind A und B ein jeder einzelnen Teilscheibe eigentümliches Zahlenpaar, dessen Wert von den Abmessungen der Scheibe und von den Randbedingungen, d.h. von der Einwirkung der benachbarten Teilscheiben abhängt. Ist ferner E der Elastizitätsmodul, so ist die Radialdehnung ε (= Δx : x) gegeben durch (2)        E ε = σt – νσr. Es empfiehlt sich, in (1) die Abkürzungen (II)        \left\{{{s=\sigma_r+\alpha\,\omega^2\,x^2}\atop{t=\sigma_t+\beta\,\omega^2\,x^2}}\right. einzuführen und außerdem (III)       v=\frac{1}{x^2} zu setzen; dann kommt statt (1) (3)       \left\{{{s=A+B\,v}\atop{t=A-B\,v.}}\right. Sind bei einer Teilscheibe beispielsweise am Außenrand x1 die Spannungen σr1 und σt1 bekannt, so kennt man nach (II) auch die Randwerte s1 und t1 daselbst und findet hienach die Werte s und t für alle Punkte dieser Teilscheibe durch die folgende einfache Konstruktion (Abb. 1). Man markiere sich auf einer wagerechten Abszissenachse v die Werte v1 und v2, die gemäß (III) dem Außen- und Innenhalbmesser x1 und x2 der Teilscheibe zugehören, trage über der Abzisse v1 die Ordinaten s1 und t1 auf und ziehe durch die so erhaltenen Punkte zwei Geraden von entgegengesetzter Neigung, die sich auf der Ordinatenachse schneiden; dann stellen diese Geraden innerhalb des Abszissenbereiches von v1 bis v2 die Spannungsgleichungen (3) dar. Textabbildung Bd. 338, S. 217 Abb. 1. In der Tat haben die beiden Geraden (3) den gemeinsamen Punkt mit der Ordinate A auf der Ordinatenachse (v = 0) und außerdem entgegengesetzte Neigungen (+ B bzw. – B). Natürlich könnte die Konstruktion ebenso gut auch vom Innenhalbmesser (v2) zum Außenhalbmesser (v1) fortschreiten. Um von einer Teilscheibe zur nächstfolgenden überzugehen, muß man die Sprünge Δs und Δt ermitteln, die die Größen s und t dabei erleiden. Springt die Scheibendicke y dort um Δy, die Spannung σ1 um Δσr, und greift überdies eine äußere Radialkraft vom Betrage z auf der Längeneinheit des Kreisumfanges daselbst an (etwa infolge der Fliehkräfte einer Zwischenschaufelung), so muß – auf die Längeneinheit de Umfanges gerechnet – als Ausdruck der Stetigkeit der gesamten Radialkraft gelten (4)        yσr + z – (y + Δy) (σr + Δσr). Textabbildung Bd. 338, S. 218 Abb. 2. (Diese Gleichung macht die nicht ganz streng berechtigte Voraussetzung, daß die etwaige Kraft z als gleichmäßig über den ganzen Querschnitt y + Δy verteilt gedacht werden dürfe; man wird daher in der nächsten Umgebung solcher Sprungstellen, an denen Zwischenkräfte z angreifen, von den zu ermittelnden Spannungen eine große Genauigkeit nicht erwarten dürfen.) Der Sprung Δσt der Tangentialspannung folgt aus der Tatsache, daß die Radialdehnung ε an der Sprungstelle für beide Scheiben gleich groß sein muß; dies ist nach (2) nur dann der Fall, wenn der Ausdruck σt – νσr sprungfrei bleibt, also wenn (5)        Δσt = νΔσr ist. Indem man (4) nach Δσr auflöst und beachtet, daß gemäß (II) die gesuchten Sprünge von s und t mit den Sprüngen von σr und σt übereinstimmen – da die Größen αω2x2 und βω2x2 die Sprungstellen stetig durchsetzen –, so gewinnt man aus (4) und (5) die Sprungwerte (IV)        \left\{{{\Delta\,s=-\frac{\Delta\,y}{y+\Delta\,y}\,\left(\sigma_r-\frac{z}{\Delta\,y}\right)}\atop{\Delta\,t=v\,\Delta\,s.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\right. Textabbildung Bd. 338, S. 218 Die Formeln (I), (II), (III) und (IV) in Verbindung mit einer Konstruktion nach Abb. 1 reichen zur Ermittelung der Spannungen in einer ganz beliebigen Scheibe aus; die Benützung eines Kurvenblattes (das, wie z.B. das DonathscheDas Kurvenblatt von Donath läßt sich wesentlich vereinfachen, wenn man dort einen quadratischen Abszissenmaßstab einführt. Dann gehen die Donathschen S-Kurven in eine Geradenschar über, und die D-Kurven werden zu Hyperbeln mit gemeinsamen Asymptoten. Demgegenüber dürfte der Vorzug des hier mitgeteilten Verfahrens darin liegen, daß überhaupt nur Gerade verwendet werden., für bestimmte Stoffzahlen ρ, ν entworfen sein muß und sich dann nur mit gewissen Umständlichkeiten auf andere Stoffzahlen ρ, ν übertragen läßt) ist nicht nötig. Als Beispiel werde eine mit n = 3000 Uml/min. rotierende Stahlscheibe mit dem in Abb. 2 dargestellten und sogleich durch eine treppenförmige Näherung ersetzten Meridianschnitt gewählt. Die Radialspannung am Umfange, hervorgerufen durch die Schaufelfliehkräfte, sei σr1 = 100 kg/cm2. Mit ν = 0,3 und dem spezifischen Gewichte γ = 7,85 kg/dm3 findet man \alpha\,\omega^2=0,327\,\frac{\mbox{kg}}{\mbox{cm}^4},\ \beta\,\omega^2=0,188\,\frac{\mbox{kg}}{\mbox{cm}^4} und legt sich ein, die Zeichnung Abb. 3 schrittweise begleitendes Rechenschema an, dessen acht erste Spalten ohne weiteres verständlich und teilweise einfach der Profilzeichnung entnommen sind. In den nächsten vier Spalten kommen vorerst nur die großgedruckten Ziffern in Betracht. Da in der Regel der Wert der Tangentialspannung σt1 am Außenrand nicht gegeben ist – statt dessen wird wohl die Radialspannung am Innenrande vorgeschrieben sein –, so beginnt man in bekannter Weise mit einem willkürlichen Anfangswert σt1, der zweckmäßig so gewählt wird, daß die zugehörigen Anfangswerte s1 und t1 einander gleich sind (σt1 = σr1 + αω2x21 – βω2x21. Dies hat nämlich den Vorteil, daß die s- und t-Gerade für die erste Teilscheibe wagerecht verlaufend zusammenfallen, daß also ein schiefer Schnitt vermieden wird, wie er sonst in Anbetracht der Kleinheit des Abszissenbereiches v1 bis v2 der ersten (äußersten) Teilscheibe zu befürchten wäre. Aus den bei v2 abzulesenden Ordinaten s2 und t2 berechnet man vermöge (II), also mit Hilfe der fünften und sechsten Spalte, die Spannungen σr2 und σt2 zur Abzisse v2 und dann vermöge (IV), also mit Hilfe der achten Spalte, die Sprünge Δs und Δt und trägt diese vier Werte in die zweite Zeile der neunten bis zwölften Spalte ein. Nachdem die Sprünge auch in der Figur markiert sind, wird die Konstruktion nach dem in Abb. 1 geschilderten Verfahren fortgesetzt, und zwar zweckmäßig auf Millimeterpapier, sodann die dritte Zeile der neunten bis zwölften Spalte berechnet, usw. Schließlich erscheint so in der letzten Zeile der neunten Spalte der Endwert σr0. Textabbildung Bd. 338, S. 219 Abb. 3. Dieser wird jedoch i. a. noch nicht mit der vorgeschriebenen Innenspannung übereinstimmen. Man überlagert daher in bekannter Weise dem in der neunten bis zwölften Spalte dargestellten ersten Spannungszustand (herrührend von den Eigenfliehkräften der Scheibe sowie von der radialen Randspannung σr1 und der willkürlichen tangentialen Randspannung σt1) einen zweiten Spannungszustand, der in der nichtrotierenden Scheibe nur von einer beliebigen Tangentialspannung σ't1 am Außenrand allein hervorgerufen wird. Man nimmt also ω = 0, mithin s ≡ σr und t ≡ σt, und wiederholt das Verfahren mit der radialen Randspannung Null und mit σ't1 (im vorliegenden Falle ist σ't1 = 50 kg/cm2 gewählt); so erhält man die kleingedruckten Zahlen in der neunten bis zwölften Spalte nebst der zugehörigen Konstruktion (s', t') und dem Endwert σ'r0. Ist vorgegeschrieben die Innenspannung σ'r0 (als – negative – Schrumpfungsspannung oder auch einfach, wie im vorliegenden Beispiel, gleich Null), so muß man sich offensichtlich über den ersten Spannungszustand das (V)        x=\frac{\sigma_{r0}^{\ast}-\sigma_{r0}}{\sigma'_{r0}} fache des zweiten Spannungszustandes überlagert denken. Hienach berechne man schließlich noch in der dreizehnten und vierzehnten Spalte die wahren (mittleren) Spannungen an den Sprungstellen für den vereinigten ersten und %-fachen zweiten Spannungszustand, d.h. man bilde (VI)        \left\{{{\sigma_r^\ast=\left(\sigma_r+\frac{\Delta\,s}{2}\right)+x\,\left(\sigma'_r+\frac{\Delta\,s'}{2}\right)}\atop{\sigma_t^\ast=\left(\sigma_t+\frac{\Delta\,t}{2}\right)+x\,\left(\sigma'_t+\frac{\Delta\,t'}{2}\right)}}\right. (die gestrichenen Größen gehören dem zweiten Spannungszustande an). Etwas besser wäre es natürlich, anstatt der Mittelwerte der Spannungen an den Sprungstellen die Spannungen für die Mittelabszissen der einzelnen Teilscheiben zu berechnen, da dort die Spannung der wirklichen Scheibe am genauesten mit der Spannung der entsprechenden Teilscheibe übereinstimmen wird; die zugehörigen Werte von s und t kann man hiezu der Figur unmittelbar entnehmen, es müßte aber die dritte bis sechste Spalte für die Mittelabszissen neu berechnet werden, was sich in der Regel kaum lohnt, da die Spannungswerte (VI) praktisch schon genau genug sein dürften. Das Ergebnis ist (unter Fortlassung der Sternchen) in Abb. 2 über dem Profil aufgetragen. Wenn das Verhältnis x1/x0 zwischen Außen- und Innenhalbmesser groß ist, so wird die durch (III) vorgeschriebene Umwandlung insofern unbequem, als, je nach dem gewählten v-Maßstabe, entweder v1 sehr klein oder v0 unzugänglich groß ausfallen kann. Man umgeht diese Schwierigkeit dadurch, daß man den Bereich von v1 bis v0 in zwei Bereiche, etwa von v1 bis v' und von v' bis v0 teilt und für jeden der beiden Teilbereiche mit je einem geeigneten v-Maßstabe die Konstruktion besonders durchführt.