XXXVIII. Neue Methode zur Beschreibung der Ellipsen. Von Hrn. M. Smith. Aus dem Mechanics' Magazine. N. 128. 4. Februar. 1826. S. 249. Mit Abbildungen auf Tab. IV. Fig. 17. Smith's, neue Methode zur Beschreibung der Ellipsen. Man braucht nach dieser Methode zur Beschreibung einer Ellipse nichts weiter, als ein Lineal und einen gewoͤhnlichen Zirkel; es ist kein Ellipsen-Zirkel hierzu noͤthig. Diese Methode ist zwar nicht streng geometrisch, kommt aber der Wahrheit so nahe, daß sie, in praktischer Hinsicht, genauere Ellipsen liefert, als die Ellipsen-Zirkel, wenigstens in allen Faͤllen, wo die kuͤrzere Achse nicht weniger als drei Viertel der laͤngeren betraͤgt: eine Excentricitaͤt, die fuͤr die meisten praktischen Faͤlle hinreicht. Ein Vortheil mehr bei dieser Methode ist dieser, daß man bei derselben keiner falschen oder Huͤlfs-Linien bedarf. Die allgemeine Aufgabe zerfaͤllt in zwei Faͤlle: I., wo die laͤngere oder Quer-Achse gegeben, und die kleinere oder Conjugaten-Achse beliebig ist; II., wo beide Achsen gegeben sind. I. Fall. Eine Ellipse beschreiben, deren laͤngere Achse gegeben, und deren kuͤrzere beliebig ist. Aufloͤsung. Man ziehe die Quer- oder laͤngere Achse, AB; bestimme den Mittelpunct derselben, C, und fuͤhre durch denselben unter rechten Winkeln, die unbestimmte Gerade, DE. Man nehme irgend eine Entfernung, Cf, von ungefaͤhr einem Drittel der halben Quer-Achse, AC, und trage sie auf beiden Seiten von, C, auf lezterer und auf der kuͤrzeren Achse auf: man erhaͤlt hierdurch vier Puncte, f, g, h, i, aus welchen man, als Mittelpuncten, die Krumme auf folgende Weise beschreibt. Man seze den einen Schenkel des Zirkels in, f, den anderen in, A, und beschreibe damit, als Halbmesser, den Viertel-Kreis, mn, so genau, als dem Auge nach moͤglich. Ebenso beschreibe man aus, g, mit, gB, den anderen Viertelkreis, pq. Hierauf seze man einen Schenkel des Zirkels in, i, den anderen in, m, den entferntesten Punct des Viertelkreises, mn, (der in die verlaͤngerte Gerade, if, fallen muß), und beschreibe mit, im, als Halbmesser, aus, i, den Viertelkreis, mp. Eben so aus, h, mit, hn, den Viertelkreis, nq; und die Ellipse ist beschrieben. Anmerkung. Sollte die Ellipse auf diese Weise zu excentrisch werden, so darf man nur, Cf- ein Viertel, statt ein Drittel, AB, nehmen. II. Fall. Eine Ellipse beschreiben, deren beide Achsen gegeben sind. Aufloͤsung. Man ziehe beide Achsen so, daß sie sich in ihrem gemeinschaftlichen Mittelpuncte unter rechten Winkeln durchschneiden, und multiplicire die halbe kuͤrzere (Conjugaten) Achse mit 100, und theile das Product durch die halbe laͤngere (Quer-) Achse; man suche den Quotienten in der ersten Columne der unten stehenden Tabelle, nehme die demselben gegenuͤber stehende Zahl in der zweiten Columne, multiplicire sie mit der halben Laͤngen-Achse, und theile sie mit 100. Auf diese Weise erhaͤlt man, Cf, welches von, C, aus in, f, g, h, i, abgesezt werden muß. Man seze nun einen Schenkel des Zirkels in, f, den anderen auf, A, und beschreibe mit, fA, als Halbmesser aus, f, als Mittelpunct, den Viertelkreis, mn; eben so aus, g, als Mittelpunct, den Viertelkreis, pq. Dann seze man einen Schenkel des Zirkels in, i, und beschreibe mit, iD, als Halbmesser, aus, i, als Mittelpunct, den Viertelkreis, mp, (der mit den beiden bereits gezeichneten Viertelkreisen zusammenstoßen wird), und wiederhole dieß auf dem anderen Ende der kuͤrzeren Achse, und die Ellipse ist beschrieben. Anmerkung. Wenn die halbe Laͤngenachse = 100, so druͤken die Zahlen in der ersten Columne der Tabelle die Laͤngen der halben kuͤrzeren Achse aus, und die in der zweiten die Entfernung der vier Central-Puncte von dem Mittelpuncte der Ellipse. Wenn aber die halbe laͤngere Achse = 1, so werden alle Zahlen in der Tabelle Decimalbruͤche. Die Ursache, warum die Zahlen in der ersten Columne mit 75 anfangen, ist diese, weil die Aufloͤsung nur eine Annaͤherung gibt, die nicht mehr genau ist, wenn die kuͤrzere Achse weniger, als drei Viertel der laͤngeren betraͤgt. Wenn die beiden Achsen geometrisch, statt numerisch, gegeben sind, kann obige Zeichnung weit leichter verfertigt werden, und ohne Rechnung, indem man die halbe Laͤngenachse zum parallelen Abstande von 10 zu 10 auf der gleichtheiligen Linie am Sector macht, dann die halbe kuͤrzere Achse auf demselben Abstande anbringt, wo man dann die Laͤnge erhaͤlt, welche, wenn man sie in der Tabelle sucht, die correspondirende Entfernung, Cf, gibt, die man auf demselben Maßstabe zu nehmen hat. Tabelle zur Beschreibung von Ellipsen.  Halbekuͤrzere Achse.    Entfernung       desMittelpunktes.  Halbekuͤrzere Achse.    Entfernung       desMittelpunktes.    75        42   88        20    76        40   89        19    77        39   90        17    78        37   91        15    79        35   92        14    80        34   93        12    81        32   94        10    82        30   95          9    83        29   96          7    84        27   97          5    85        25   98          4    86        24   99          2    87        22 100          0 Zusaz zu der neuen Methode Ellipsen zu beschreiben.Mechanics' Magazine. N. 130. 18. Februar 1826. S. 280. Mit Abbildungen auf Tab. IV. Fig. 17. Hr. Smith fand, seit seiner lezten Mittheilung im Mechanics' Magazine. S. 249, eine Verbesserung in der Loͤsung der zweiten Aufgabe, naͤmlich: Eine Ellipse zu beschreiben, deren Conjugaten- und Quer-Achse gegeben ist. Man zeichne die beiden Achsen unter rechten Winkeln auf einander, so, daß sie sich in ihrem Mittelpuncte durchschneiden, und multiplicire den Unterschied zwischen den beiden halben Achsen mit 1,707, so erhaͤlt man die Entfernung, Cf, welche aus, C, auf, f, g, h, i, aufgetragen werden muß. Man seze nun einen Schenkel des Zirkels, in f, in der Quer-Achse, und den anderen in, A, das naͤchste Ende derselben Quer-Achse, und beschreibe damit den Viertelkreis, mn; eben so aus, g, den Viertelkreis, pq. Dann seze man einen Schenkel des Zirkels in, i, der Conjugaten-Achse, und der anderen in, D, das entfernteste Ende dieser Achse, und beschreibe mit, iD, als Halbmesser, den Viertelkreis, mp, welcher mit den bereits gezeichneten Viertelkreisen, mn, pq, zusammenstoßen muß. Man wiederhole dieselbe Operation an dem anderen Ende der Conjugate, und die Ellipse ist fertig. Durch diese Verbesserung wird die oben gegebene Tabelle gaͤnzlich uͤberfluͤßig. Der Multiplicator 1,707 druͤkt die Seite eines Vierekes + der halben Diagonale desselben aus; oder ist 1 + 1/2√2. Wenn die beiden Achsen der Ellipse geometrisch, statt arithmetisch, gegeben sind, kann man, Cf, auf folgende Weise finden. Man nehme mit dem Zirkel den Unterschied zwischen den beiden halben Achsen, AC, CD, und trage sie aus, C, gegen, f, und h, auf, wodurch man die beiden Puncte, x, und y, erhaͤlt, welche in der Figur nicht gezeichnet sind. Man seze zu, Cx, die halbe Diagonale, xy, und man wird an, Cy, die Entfernung, Cf, haben. Auch diese Methode ist nur dort anwendbar, wo die Conjugate nicht weniger, als drei Viertel der Querachse betraͤgt: bei groͤßerer Excentricitaͤt taugt sie nicht. Die gefaͤlligste Form liegt indessen innerhalb jener Graͤnze, und ist wahrscheinlich dann gegeben, wenn die Achsen sich wie 5:4 verhalten, wo dann, Cf, ungefaͤhr Ein Drittel der Laͤngen- oder Quer-Achse, AB, ist.