I. Ueber die mathematische Theorie der Haͤngebruͤken, mit Tafeln zur Erleichterung des Baues derselben. Von Davies Gilbert, Esq., V. P. R. S. etc. Aus den Philosophical Transactions of the Royal Society of London for the year 1826. Part III. Im Repertory of Patent-Inventions. April. 1827. S. 298. Mai. 1827. S. 265. Gilbert, uͤber die mathematische Theorie der Haͤngebruͤken, mit Tafeln zur Erleichterung des Baues derselben. Der Plan zu einer Haͤngebruͤke uͤber die Menai-Straits, welcher dem Parliaments-Ausschusse zur Verbesserung der Bruͤken und Straßen in Wales vorgelegt wurde, zog meine Aufmerksamkeit zuerst auf die Haͤngebruͤken und die Ketten-Krumme (Catenary Curve), auf welcher die Theorie derselben beruht. Es schien mir, daß die vorgeschlagene Tiefe der Kruͤmmung nicht hinreichte, um jenen Grad von Staͤrke und Dauerhaftigkeit zu gewaͤhren, den ein National-Werk von dieser Groͤße fordert. Dieß war meine Meinung als Mitglied des obenerwaͤhnten Ausschusses. Da ich aber die volle Verantwortlichkeit einer, durch Vergroͤßerung der Kruͤmmung so sehr vermehrten, Auslage auf mich nehmen wollte, ließ ich einige, in der Eile entworfene, Annaͤherungen in dem Quarterly Journal of Science abdruken, und leitete aus diesen eine Bestaͤtigung meiner gegebenen Meinung ab. Der Zwischenraum zwischen den Stuͤzpuncten und dem Fahrwege der Menai-Bruͤke wurde hiernach um 50 Fuß verlaͤngert, und besizt nun jenes volle Maß von Staͤrke, welches die Erfahrung von Eisen-Werken, die nicht vollkommen in Ruhe sind, fuͤr nothwendig erkannte. Da Haͤngebruͤken nun ziemlich allgemein eingefuͤhrt werden, so schmeichelte ich mir, daß meine Arbeit auch allgemeinen Nuzen haben koͤnnte, und verfertigte daher Tabellen fuͤr die Formeln, aus welchen meine Annaͤherungen abgeleitet wurden; fuͤgte denselben aber auch andere Formeln und Tabellen fuͤr eine Kettenlinie von gleicher Staͤrke bei. Die Kettenlinie ist eine Krumme, die nicht bloß der Gegenstand muͤßiger Speculation ist, sondern auch praktischen Nuzen hat, wo eine weite horizontale Ausdehnung zufaͤllig mit natuͤrlichen Erleichterungs-Mitteln verbunden seyn kann, um eine correspondirende Hoͤhe fuͤr die Anhaͤngepuncte zu erhalten. Sowohl die gewoͤhnlichen Kettenlinien, als die von gleicher Staͤrke, wie Kreise, Parabeln, logarithmische Krummen etc. haben die Eigenschaft, daß jede derselben, bis auf die Groͤße, unter ihnen identisch ist. Und wie der Halbmesser, der Parameter, die Subtangente die respectiven Groͤßen dieser Krummen geben, so wird die Groͤße der Kettenlinien durch die Spannung (in Maßen der Kette ausgedruͤkt) bestimmt, welche an dem Mittelpuncte oder am Scheitel der Krummen Statt hat, wo sie am kleinsten (im Minimum) ist. Wenn folglich diese Spannung bestimmt oder gegeben ist, so koͤnnen alle anderen Beziehungen auf dieselbe Weise ausgedruͤkt werden, wie die Sinus, Cosinus etc. im Kreise. Ich seze die ersten Grundsaͤze der Ketten-Krummen als bekannt voraus: sie werden also hier insofern bemerkt, als sich weitere Eigenschaften derselben daraus ableiten lassen. Es sey bei der gemeinen Kettenlinie a = der Spannung am Scheitel, in Maßen der Kette ausgedruͤkt. x = der Abscisse, dem Sinus-Versus, oder der Tiefe der Kruͤmmung. y = der Ordinate, oder halben Querlaͤnge. z = der Laͤnge der Krummen. Folglich muͤssen, da die Spannung, a, horizontal an dem Scheitel, A, wirkt; da das Gewicht der Kette, z, unter einem rechten Winkel auf die vorige wirkt, und die Haͤngekraft bei, P, in der Richtung der Tangente wirkt, diese Kraͤfte ihrer Richtung und Groͤße nach durch das Incremental-Dreiek, Prp, ausgedruͤkt werden; und, da x : z : : z : a; da x² : y² : : z² : a²; da x² + y² : x² : : a² + z² : : z²; x² + y² = x² aber allgemein; so ist z² : x² : : a² + z² : z² und x = zz /√(a² + z²) Folglich x = √(a² + z²) – a. Gleichung A. N. 1. x = √(a² + z²) – aN. 2. z = √(2ax + x²)N. 3. a = (z² – x²)/2x Ferner; x : y : : z : a ∵ y = ax /z. Substituirt man aus Gleichung A. Nro. 2, so wird y = ax/√(2ax + x²); und Gleich. B. N. 1., y = a × nat. Log. von (a + x + √(2ax + x²))/a = a × nat. Log. von (a + x + z)/a; oder, durch Substituirung des Werthes von a aus Gleichung A, N. 3, und Theilung durch z + x, GleichungB, N. 2, y = a × natuͤrl. Logarithm. (z + x)/(z – x); oder, wenn man zz /√(a² + z²) fuͤr x in y = ax/z substituirt y = a × z/√(a² + z²), und GleichungB, N. 3, y = a × natuͤrl. Logar. (√(a² + z²) + z)/a. x zu finden, wenn a und y gegeben sind. Es sey N = der Zahl, wovon y/a (Gleichung B, N. 1.) der natuͤrliche Logarithmus ist; so wird aN + a + x + √(2ax + x²), und √(2ax + x²) = aN – a – x. Seze man aN – a = M, so wird 2ax + x² = M² – 2 Mx + x², und GleichungC, x² = M²/(2M + 2a). Wenn x bekannt ist, findet sich z aus der Gleichung A, N. 2, und T, da die Spannung bei P offenbar gleich ist √(a² + z²), wird gleich (nach Gleichung A, N. 2) √(a² + 2ax + x²) = a + x Der Haͤngewinkel wird aus der gemeinen Analogie des Incremental-Dreiekes und der damit correspondirenden Kraͤfte abgeleitet. Tabelle I. und II. sind nach diesen Lehrsaͤzen abgefaßt, und ihre Anwendung wird sich am besten durch ein Beispiel erklaͤren. Es sey die Laͤnge (Span) einer vorgeschlagenen Haͤngebruͤke 800 Fuß; das hinzukommende Gewicht der Haͤngestangen, des Weges etc. das halbe Gewicht der Ketten; wenn dann die ganze Zaͤhigkeit des Eisens durch den Modulus von 14800 Fuß ausgedruͤkt wird, so muß der Virtual-Modulus fuͤr die ganze Schwere in dem Verhaͤltnisse von 2 + 1 : 2, oder auf 9867 Fuß reducirt werden. Es sey ferner beschlossen, die Ketten an dem Puncte ihrer staͤrksten Spannung, d.i. an den Aufhaͤngepuncten, mit einem Sechstel des Gewichtes, welches sie der Theorie nach zu ertragen vermoͤgen, zu belasten. Es wird demnach, da die halbe Laͤnge 400 Fuß betraͤgt, und y in Tabelle I. zu 100 Maßen angenommen ist, jedes dieser Maße 4 Fuß seyn muͤssen, und das Gewicht, welches durch diese Maße als tragbar an den Aufhaͤngepuncten ausgedruͤkt wird, wird seyn 9867 ÷ 6 × 4 = 411,125. Nun erhellt aus Tabelle I., wo y gleichfoͤrmig hundert ist, daß, wenn T = 412, a = 400 Maße oder 1600 Fuß. X =   12,565    –   –     50,260  – Z = 101,045    –   –   404,180  – < der Haͤnge-Winkel     75° 49'. Da nun a, der Modulus, latus rectum oder der Parameter der Krummen bestimmt ist, findet man in Tabelle II. alle respectiven Groͤßen fuͤr jedes Maß von y. Da aber a in dieser Tabelle zu hundert Maßen angenommen ist, und es in der vorigen 400 war, muß jedes Maß hier 4 Mahl 4, oder 16 Fuß seyn; folglich muß jede Gradation von y auch 16 Fuß seyn, und die ganze halbe Laͤnge wird 400/16 oder 25 Maße. Und da z in der Tafel fuͤr jedes Maß von y gegeben ist, laͤßt das hinzukommende Gewicht sich leicht der strengsten Beibehaltung der Ketten-Krummen anpassen. Bei 21 Maßen von y wird z = 21,1537 20    –  –   – = 20,0335 ––––––––   1,0212 × 16 = 16,3392 Fuß. Waͤhrend also die Ordinate um Ein Maß oder 16 Fuß vom 20. und 21. Maße sich ausdehnt, wird die Laͤnge der Krummen um 16 Fuß und 1/3 beinahe zunehmen, und das hinzukommende Gewicht muß in diesem Maße vermehrt werden. Bei 21 ist die Laͤnge von x = 2,2131 Maßen, oder, multiplicirt mit 16 = 35,4096 die Laͤnge der Aushaͤnge-Stangen bis zur Flaͤche des Scheitels. Aus Tabelle I. erhellt, daß die Spannung (tension) T fuͤr eine gegebene halbe Spannung von 100 Maßen beinahe auf dem Minimum ist, wenn x = 65,85 beinahe ein Drittel der ganzen Spannung ist. In obigem Beispiele 65,85 × 4 = 263,4 Fuß, kommt eine Hoͤhe zum Vorscheine, die man in der Praxis nie erreichen kann, und die auch nicht anwendbar waͤre, wenn man sie erreichen koͤnnte. Wenn die Spannung und die Hoͤhe, (2 y und x) gegeben sind, finden sich die uͤbrigen Groͤßen auf eine aͤhnliche Weise. Bei Kettenlinien von gleicher Staͤrke. a, x, y, z, bleiben wie zuvor; es kommt aber noch eine andere Groͤße Q = der Masse der Kette hinzu. Dann werden die Kraͤfte, wie bei der gewoͤhnlichen Krummen, durch das Incremental-Dreiek Prp ausgedruͤkt. Nun ist aber x : y : : Q : a. Und durch Wiederholung des vorigen Ganges x = Qx/√(a² + Q²) Nach dem Grundsaze von gleicher Staͤrke ist aber: a : √(a² + Q²) : : z : Q. Also z = α × Q/√(a² + Q³), und GleichungD, z = a × natuͤrl. Logarithm. (√(a² + Q²) + Q)/a; und, durch Substituirung von a × Q/√(a² + Q²) fuͤr z in der Gleichung x = Qx/√(a² + Q²) x = α × QQ/(a² + Q²); folglich, GleichungE, x = a/2 × natuͤrl. Logarithm.(a² + Q)/a². Ferner, nach der ersten Analogie, y = az/Q. und, substituirt fuͤr x sein gleichnamiges a × QQ/(a² + Q²), und y = a² × Q/(a² + Q²); so wird demnach GleichungF, y = dem Kreisbogen, dessen Tangente Q bei dem Halbmesser a ist. Q zu finden, wenn a und y gegeben sind. Man multiplicirt a/y mit 57°, 29578 (dem Tab. Logar. 1,7581226), und reducirt die Decimalen eines Grades auf Minuten und Secunden; dann wird die Tangente dieses Bogens multiplicirt mit a das gesuchte Q seyn. Wenn Q gefunden ist, so sind die uͤbrigen Spalte in Tabelle III und IV. nach diesen Lehrsaͤzen eben so berechnet, wie in Tabelle I und II., und ihr Gebrauch erklaͤrt sich durch dasselbe Beispiel, nur mit der Bemerkung, daß a jezt die gleichfoͤrmige Spannung bei jeder gegebenen Groͤße des Eisens durch die ganzen Ketten ausdruͤkt, und daß der Spalt T den ganzen Zug hat, den irgend ein Bau oder eine Stuͤze in der Richtung der Tangente zu erleiden hat. Da y in Tabelle III., wie vorher, 100 Maße, jedes zu 4 Fuß ist, wir a = 411,125 gesucht, und, durch Verhaͤltniß zwischen 420 und 400 x z Q T =   12,2904= 101,0020= 102,0235= 423,6019 –     –     ––     –     –Maße oder–     –     ––     –     –     49,1616  404,0080  408,09401694,4076 Fuß. < . 75°3'17'' Da a, oder der Modulus dieser Krummen, auf 411,125 Maße, jedes zu 4 Fuß steht, oder auf 1644,5 Fuß, und a in Tabelle IV. zu 100 Maßen angenommen ist, so ist jedes Maß 16,445, und alle Groͤßen fuͤr jede Gradation von y sind gegeben. So ist bei 21 Maßen von y z = 21,1564 Q = 21,3142 20  –––––––– z = 20,1347 Q = 20,2710 ––––––––––––––––––   1,0217   1,0432 1,0217 × 16,455 = 16,8019 Fuß, die Zunahme von z 1,0432 × 16,445 = 17,1410 ––––––––––––––––– an Material in Q; folglich 1,0432/1,0217 = 1021 die Menge der Maße an diesem Theile der Kette, die zur Erhaltung gleichfoͤrmiger Starke nothwendig ist, jene am Scheitel als Einheit genommen, und die hinzukommende Maße muß sich verhalten, wie 1 :1,0432. Ferner x, der Sinus-Versus oder die Laͤnge der Haͤngestangen bis zur Ebene des Scheitels wird seyn, bei 21 Maßen von y, x = 2,2214 Maße × 16,445 = 36,531 Fuß 20  –––––––––– = 2,0153   – × 16,445 = 33,112  –. Sezt man in der gewoͤhnlichen Kettenlinie x = 65,85 Maße als die Hoͤhe der Anheftung um ein Maximum von Laͤnge mit aller wirkenden Zaͤhigkeit des Materiales zu erhalten, so wird a = 85 Maß, und a + x = 85 + 65,85 oder 150,85 Maß = der gegebenen wirkenden (virtual) Zaͤhigkeit. Diese, wie oben zu 2/3 von 1/6 von 14800 Fuß genommen, gibt 10,875 Fuß fuͤr jedes Maß, und die ganze Laͤnge (Span) zu 2y = 2175 Fuß. Ketten, die bloß sich selbst zu tragen haben, werden, bei der hoͤchsten Zaͤhigkeit, sich 9 Mahl weiter, oder auf 19575 Fuß ausdehnen. Da bei der Kettenlinie von gleicher Spannung die halbe Laͤnge (semi-span) gleich ist dem Kreisbogen, dessen Tangente Q auf dem Halbmesser a ist, so ist offenbar, daß a × mit dem halben Kreisbogen die Graͤnze der Laͤnge (span) seyn muß. Also, wenn a = 2/3 von 1/6 von 14800 Fuß, oder 1644,44 a × c/2 = 5154 Fuß. Und wenn die Ketten bloß sich selbst tragen bei der aͤußersten Zaͤhigkeit, wird 5154 × 9 = 46385 Fuß, oder 8,785 (englische) Meilen, oder etwas mehr als 8 Meilen und drei Viertel. Dieser Fall ist aber rein hypothetisch bloß um die Graͤnze zu bestimmen, indem Q, die Maße oder das Gewicht der Kette, und folglich auch die Laͤnge unendlich seyn muß. Die Figur kommt dann jener einer Kette, die von einer unendlichen Hoͤhe herabhaͤngt, unendlich nahe; und diese Figur ist mit jener eines Gebaͤudes identisch, welches, insofern Staͤrke und Druk der Materialien allein in Betrachtung kommen, in irgend einer gegebenen Hoͤhe aufgefuͤhrt werden kann. Diese Figur laͤßt sich leicht bestimmen. Es sey a = dem Durchschnitte eines solchen Gebaͤudes ander Basis desselben, y = dem Durchschnitte in jeder Hoͤhe, x = dieser Hoͤhe; so wird, da der Durchschnitt und der auf demselben liegende Druk immer in demselben Verhaͤltnisse zu einander seyn muͤssen, x und y in einem feststehenden Verhaͤltnisse seyn. Es sey nun x/m = y/y; wo m der Modulus des Drukes in dem gegebenen Materiale; wenn aber x = o, y = a, so ist x/m dem natuͤrl. Logarithmus a/y; oder x/A.m dem Tafel Log. a/y. A = 2,3025851. Wenn aber ε und γ die homologen Seiten oder Durchmesser dieser Durchschnitte; dann ist x/2.A.m = Taf. Logar. ε/γ. Am Schlusse will ich eine Verbesserung bemerken, deren man sich in der Praxis oͤfters mit Vortheil bedienen kann, und die sich aus den Eigenschaften der Kettenlinie ableiten laͤßt. Wenn die Meß-Kette uͤber einen unebenen Grund laͤuft, der von Graͤben durchschnitten, oder von Wasser erweicht ist, kann man sie nicht flach liegen lassen, sondern sie muß an beiden Enden so sehr erhoͤht werden, daß sie gerade in ihrer Mitte die Oberflaͤche beruͤhrt. Auf diese Weise wird die Messung durch die Differenz zwischen der ganzen Peripherie und der doppelten Ordinate zu groß. Es sey z = der halben Laͤnge der Kette. x = der Erhoͤhung an jedem Ende, die der Tiefeder Kruͤmmung gleich ist. So wird Gleichung B. No. 2. y = a × natuͤrl. Logar. (z + x)/(z – x); Und Gleichung A. No. 3. a = (z² – x²)/2x; also y = (z² – x²)/2x × nat. Log. (z + x)/(z – x). Wenn aber x im Vergleiche mit z sehr klein ist, so wird, der natuͤrliche Logarithmus von (x + x)/(x – x) = 2x/z; und y = (z² – x²)/2x × 2x/z = z – x²/z; x² /z ist also die Differenz zwischen der halben Kette und der Ordinate. Wenn x in Theilen der ganzen Kette ausgedruͤkt ist, wird 4x² die Verbesserung (Correction) fuͤr den Unterschied) zwischen dem Umfange und der doppelten Ordinate. Wenn x (die Erhoͤhung an jedem Ende) ein Glied der gemeinen Meßkette ist, ist 4x² = 1/25 eines Gliedes, 1/25 von 66/100 Eines Fußes = 0,3168 Eines Zolles, wechselnd wie die Quadrate von x. Wenn man die halbe Kette als gerade Linie betrachtet, und als Hypothenuse eines rechtwinkeligen Dreiekes, so wird der horizontale Abstand z – x² /2z, und gibt nur die Haͤlfte des wahren Unterschiedes, 0,1584 Theile eines Zolles. Wenn die Kette als in einem Kreisbogen liegend betrachtet wird, z = y × y³/6a²; etc. Und y = √(2ax – x²) (wenn x im Vergleiche zu a sehr klein ist), = √2ax. Also a = y²/2x. Und da y auch im Vergleiche zu a sehr klein ist, wird das zweite Glied der Reihe (y³/6a²) die Differenz zwischen der Ordinate und dem Bogen. Substituirt man dann y⁴/4x² fuͤr a², so wird y³/6a² = 2x²/3y; oder, wenn x ausgedruͤkt wird in Theilen der ganzen Kette, = 8/3x² die ganze Correction, = 0,2112 Theilen Eines Zolles, oder 2/3 der wahren Differenz. Es lassen sich leicht Formeln fuͤr verschiedene Erhoͤhungen der Enden der Kette entwerfen; sie wuͤrden aber fuͤr den praktischen Gebrauch viel zu complicirt. Noch eine andere Bemerkung laͤßt sich, unabhaͤngig von den obigen, uͤber die haͤngenden Bruͤken hier beifuͤgen. Im Falle, daß sie nicht Festigkeit genug haͤtten, um der schaukelnden, wellenfoͤrmigen Bewegung entgegen zu wirken, koͤnnen die Balustraden in jeder erforderlichen Hoͤhe aufgefuͤhrt, und durch Diagonal-Arme festgemacht werden; und wenn noch mehr Befestigung noͤthig ist, koͤnnen solche Arme an den Haͤngestangen selbst angeschraubt werden, nachdem diese bei Vollendung des Werkes in die gehoͤrige Lage gebracht wurden. I. Tabelle. – Gemeine Kettenlinie. y = 100.    a.        N.          x.          z.           T.     Winkel. 2000   1,051271   2,500511   100,041474   2002,500511   87°   8'   11'' 1950   1,052619   2,564593   100,042440   1952,564593   87     3   46 1900   1,054041   2,632163   100,045727   1902,632163   86   59     8 1850   1,055541   2,703298   100,047540   1852,703298   86   54   15 1800   1,057127   2,778421   100,050163   1802,778421   86   49     6 1750   1,058807   2,857914   100,054318   1752,857914   86   43   40 1700   1,060588   2,942018   100,057566   1702,942018   86   37   53 1650   1,062480   3,031204   100,060788   1653,031204   86   31   46 1600   1,064494   3,125974   100,064421   1603,125974   86   25   16 1550   1,066642   3,226852   100,068245   1553,226852   86   18   21 1500   1,068939   3,334558   100,073939   1503,334558   86   10   59 1450   1,071399   3,449618   100,078929   1453,449618   86     3     6 1400   1,074041   3,572907   100,084490   1403,572907   85   54   39 1350   1,076886   3,705344   100,090750   1353,705344   85   45   35 1300   1,079958   3,847958   100,097440   1303,847958   85   35   45 1250   1,083286   4,002035   100,105463   1254,002035   85   25   16 1200   1,086903   4,168981   100,114680   1204,168981   85   13   51 1150   1,090849   4,350543   100,125801   1154,350543   85     1   26 1100   1,095169   4,548545   100,137346   1104,548545   84   47   54 1050   1,099920   4,765440   100,150553   1054,765440   84   33     5 1000   1,103170   5,004084   100,165906   1005,004084   84   16   48   980   1,107428   5,106408   100,173025     985,106408   84     9   49   960   1,109785   5,213007   100,180582     965,213007   84     2   13   940   1,112247   5,324098   100,188974     945,324098   83   54   58   920   1,114822   5,440045   100,196191     925,440045   83   47     4   900   1,117519   5,561266   100,205825     905,561266   83   38   48   880   1,120344   5,687876   100,214837     885,687876   83   30   11   860   1,123309   5,820479   100,225255     865,820479   83   21     9   840   1,126423   5,959364   100,235949     845,959364   83   11   42   820   1,129698   6,105033   100,247321     826,105033   83     1   47   800   1,133148   6,258102   100,260296     806,258102   82   51   23   780   1,136785   6,418938   100,273356     786,418938   82   40   28   760   1,140627   6,588360   100,288153     766,588360   82   28   57   740   1,144691   6,767004   100,304328     746,767004   82   16   50 Der mit N bezeichnete Spalt in der ersten Tabelle, (wo die Zahlen = ey/a) ist als Medium zu allen folgenden Berechnungen gegeben. Man sehe die hieher gehoͤrige Figur auf Tab. I. Fig. 40. I. Tabelle fortgesetzt. – Gemeine Kettenlinie. y = 100.    a.        N.          x.          z.           T.     Winkel. 720   1,148996     6,955577   100,321527   726,955577   82°   4'     3'' 700   1,153564     7,154926   100,339869   707,154926   81   50   33 680   1,158422     7,366193   100,360765   687,366193   81   36   15 660   1,163595     7,590181   100,382517   667,590181   81   21     6 640   1,169118     7,828368   100,407143   647,828368   81     5     1 620   1,175025     8,081923   100,433570   628,081923   80   47   54 600   1,181360     8,352608   100,463404   608,352608   80   29   40 580   1,188169     8,642033   100,495985   588,642033   80   10   11 560   1,195508     8,952299   100,532176   568,952299   79   49   27 540   1,203419     9,283888   100,562366   549,283888   79   27     2 520   1,212043     9,645021   100,617335   529,645021   79     2   56 500   1,221402   10,033315   100,667683   510,033315   78   36   59 480   1,231625   10,454508   100,725490   490,454508   78     8   55 460   1,242830   10,912412   100,789382   470,912412   77   38   28 440   1,255172   11,412622   100,863052   451,412622   77     5   23 420   1,268829   11,961025   100,947150   431,961025   76   29     6 400   1,284025   12,565207   101,044792   412,565207   75   49   22 380   1,301032   13,233994   101,158163   393,233994   75     5   35 360   1,320192   13,978365   101,290757   373,978365   74   17     7 340   1,341941   14,812141   101,447796   354,812141   73   32   10 320   1,366837   15,752501   101,635337   335,752501   72   22   16 300   1,395612   16,821529   101,862069   316,821529   71   14   44 280   1,429239   18,047685   102,139232   298,047685   69   57   31 260   1,469049   19,468993   102,483745   279,468993   68   29   13 240   1,516896   21,126437   102,893226   261,126437   66   47   38 220   1,575420   23,118850   103,473548   243,118850   64   48   38 200   1,648721   25,525175   104,219022   225,525175   62   28   34 180   1,743908   28,559946   105,343499   208,559946   59   39   43 160   1,868245   32,280531   106,638654   192,280531   56   19     0 140   2,042722   37,258541   108,722538   177,258541   52   10     2 120   2,300975   44,134402   111,982596   164,134402   46   58   48 100   2,718281   54,308027   117,520071   154,308027   40   23   42   95   2,865180   57,674415   119,517684   152,674415   38   28   45   90   3,037731   61,511583   121,884206   151,511583   36   26   34   85   3,240907   65,852160   124,624934   150,852160   34   17   44   80   3,490342   71,073875   128,153485   151,073875   31   58   28   75   3,793667   77,147407   132,377616   152,147407   29   32     4   70   4,172733   84,433445   137,657866   154,433443   26   57   10 II. Tabelle. – Gemeine Kettenlinie. a = 100.       N.     y.            x.            z.           T.     Winkel. 1,010050     1     0,004999     1,000000   100,004999   89°  25'  39'' 1,020201     2     0,020000     2,000100   100,020000   88   51   15 1,030454     3     0,045001     3,000398   100,045001   88   16   53 1,040810     4     0,080007     4,000992   100,080007   87   42   31 1,051271     5     0,125025     5,002074   100,125025   87     8   11 1,061836     6     0,180050     6,003540   100,180050   86   33   51 1,072508     7     0,245098     7,005701   100,245098   85   59   33 1,083287     8     0,320170     8,008520   100,320170   85   25   16 1,094174     9     0,405271     9,012128   100,405271   84   51     1 1,105170   10     0,500408   10,016591   100,500408   84   16   48 1,116278   11     0,605609   11,022190   100,605609   83   42   36 1,127496   12     0,720855   12,028744   100,720855   83     8   37 1,138828   13     0,846186   13,036613   100,846186   82   34   20 1,150273   14     0,981591   14,045708   100,981591   82     0   14 1,161834   15     1,127107   15,056292   101,127107   81   26   15 1,173510   16     1,282710   16,068289   101,282710   80   52   17 1,185304   17     1,448471   17,081928   101,448471   80   18   22 1,197217   18     1,624373   18,097326   101,624373   79   44   31 1,209249   19     1,810427   19,114472   101,810427   79   10   43 1,221402   20     2,006663   20,133536   102,006663   78   36   59 1,233678   21     2,213114   21,154685   102,213114   78     3   19 1,246076   22     2,429763   22,177836   102,429763   77   29   43 1,258600   23     2,656680   23,203319   102,656680   76   56   11 1,271249   24     2,893847   24,231042   102,893847   76   22   45 1,284025   25     3,141302   25,261197   103,141302   75   49   22 1,296929   26     3,399061   26,293838   103,396061   75   16     5 1,309964   27     3,667187   27,329212   103,667187   74   42   53 1,323129   28     3,945662   28,367237   103,945662   74     9   46 1,336427   29     4,234542   29,408157   104,234542   73   36   44 1,349858   30     4,533833   30,451966   104,533833   73     3   48 1,363424   31     4,843577   31,498822   104,843577   72   30   58 1,377127   32     5,163822   32,548877   105,163822   71   58   13 1,390968   33     5,494589   33,602210   105,494589   71   25   35 1,404947   34     5,835881   34,658818   105,835881   70   53     3 1,419067   35     6,187768   35,718931   106,187768   70   20   36 1,433329   36     6,550276   36,782623   106,550276   69   48   18 1,447734   37     6,923431   37,849968   106,923431   69   16     6 1,462284   38     7,307284   38,921115   107,307284   68   44     0 1,476980   39     7,701863   39,996336   107,701863   68   12     1 1,491824   40     8,107217   41,075182   108,107217   67   40   10 1,506817   41     8,523379   42,158320   108,523379   67     8   25 1,521961   42     8,950402   43,245697   108,950402   66   36   48 1,537257   43     9,388315   44,337384   109,388315   66     5   19 1,552706   44     9,837146   45,433453   109,837146   65   33   57 1,568312   45   10,297011   46,534188   110,297011   65     2   43 1,584073   46   10,767851   47,639448   110,767851   64   31   46 1,599994   47   11,249817   48,749582   111,249817   64     0   39 1,616074   48   11,742877   49,864522   111,742877   63   29   49 1,632315   49   12,247092   50,984407   112,247092   63   59     7 1,648721   50   12,762587   52,109512   112,762587   62   28   34 II. Tabelle fortgesetzt. – Gemeine Kettenlinie. a = 100.       N.     y.            x.            z.           T.     Winkel. 1,665290     51   13,289300     53,239600   113,289300   61°  58'    9'' 1,682027     52   13,827388     54,375311   113,827388   61   27   53 1,698932     53   14,376853     55,516346   114,376853   60   57   45 1,716006     54   14,937727     56,662872   114,937727   60   27   46 1,733252     55   15,510107     57,815092   115,510107   59   57   56 1,750672     56   16,094061     58,973138   116,094061   59   28   14 1,768266     57   16,689588     60,137011   116,689588   58   58   42 1,786037     58   17,296790     61,306900   117,296790   58   29   19 1,803988     59   17,915770     62,483020   117,915770   58     0     5 1,822118     60   18,546493     63,665306   118,546493   57   31     1 1,840431     61   19,189099     64,854000   119,189099   57     2     5 1,858927     62   19,843586     66,049113   119,843586   56   33   20 1,877610     63   20,510098     67,250901   120,510098   56     4   43 1,896480     64   21,138653     68,459366   121,188633   55   36   16 1,915540     65   21,879500     69,674600   121,879300   55     7   59 1,934792     66   22,582171     70,897028   122,582171   54   39   52 1,954237     67   23,297283     72,126416   123,297283   54   11   54 1,973877     68   24,024709     75,362990   124,024709   53   44     6 1,993715     69   24,764560     74,606930   124,764560   53   16   28 2,013752     70   25,516873     75,858326   125,516873   52   48   59 2,033990     71   26,281725     77,117274   126,281725   52   21   41 2,054433     72   27,059265     78,384034   127,059265   51   54   33 2,075080     73   27,849426     79,658573   127,849426   51   27   34 2,095935     74   28,652451     80,941048   128,652451   51     0   46 2,117000     75   29,468327     82,231672   129,468327   50   34     8 2,138276     76   30,297123     83,530476   130,297123   50     7   40 2,159766     77   31,138956     84,837643   131,138956   49   41   22 2,181472     78   31,993903     86,153296   131,993903   49   15   14 2,203396     79   32,892044     87,477555   132,862044   48   49   16 2,225540     80   33,743457     88,810542   133,743457   48   23   29 2,247907     81   34,638263     90,152436   134,638263   47   57   52 2,270500     82   35,546581     91,503418   135,546581   47   32   25 2,293318     83   36,468371     92,863428   136,468371   47     7     8 2,316366     84   37,403837     94,232762   137,403837   46   42     2 2,339646     85   38,353056     95,611543   138,353056   46   17     6 2,363160     86   39,316110     96,999880   139,316110   45   52   20 2,386910     87   40,293084     98,397915   140,293084   45   27   45 2,410900     88   41,284143     99,805856   141,284143   45     3   20 2,435129     89   42,289243   101,223656   142,289243   44   39     5 2,459602     90   43,308592   102,651607   143,308592   44   15     1 2,484322     91   44,342313   104,089886   144,342313   43   51     7 2,509290     92   45,390455   105,538544   145,390455   43   27   23 2,533983     93   46,430931   106,967368   146,430931   43     4   18 2,559981     94   47,530444   108,497655   147,530444   42   40   26 2,585709     95   48,622506   109,948393   148,622506   42   17   13 2,611696     96   49,729447   111,440152   149,729447   41   54   10 2,637944     97   50,851184   112,943315   150,851184   41   31   18 2,664455     98   51,988313   114,457186   151,988313   41     8   36 2,691234     99   53,140537   115,982862   153,140537   40   46     4 2,718281   100   54,308027   117,520072   154,308027   40   23   42 III. Tabelle. – Kettenlinie von gleicher Staͤrke. y = 100.    a.              x.            z.           ζ.           T.     Winkel. 1000       5,008288   100,166600   100,334300   1005,020800   84°   6'   13''   980       5,110881   100,173640   100,348276     985,124220   84     9   12   960       5,217781   100,181250   100,363200     965,232000   84     1   54   940       5,329126   100,188850   100,378652     945,344276   83   54   16   920       5,445471   100,197071   100,395276     925,461672   83   46   19   900       5,566977   100,202654   100,413000     905,584230   83   38     1   880       5,694003   100,215533   100,432288     885,712432   83   29   20   860       5,827073   100,225792   100,452730     865,846882   83   20   15   840       5,996506   100,237329   100,475340     845,987772   83   10   44   820       6,112609   100,247806   100,497724     826,135404   83     0   45   800       6,266274   100,261054   100,523680     806,290880   82   50   16   780       6,427811   100,274596   100,551048     786,454344   82   39   15   760       6,598152   100,289657   100,580680     766,626896   82   27   40   740       6,777369   100,305695   100,613064     746,808518   82   15   25   720       6,966790   100,322732   100,647648     727,000675   82     2   32   700       7,167238   100,342923   100,685480     707,204050   81   48   53   680       7,379542   100,362168   100,726972     687,419752   81   34   26   660       7,604848   100,384645   100,772166     667,647826   81   19     7   640       7,844443   100,409125   100,821568     647,892736   81     2   51   620       8,099715   100,436355   100,876232     628,152876   80   45   31   600       8,370382   100,465969   100,936080     608,430840   80   27     2   580       8,663690   100,498855   101,002534     588,728710   80     7   17   560       8,976381   100,535447   101,076360     569,048704   79   46     7   540       9,312582   100,576282   101,158740     549,393354   79   23   23   520       9,675126   100,621836   101,250968     529,365704   78   58   53   500     10,067350   100,679481   101,362400     510,169400   78   32   27   480     10,552010   100,780247   101,472192     490,668864   78     3   48   460     10,956213   100,796941   101,605490     471,087748   77   32   39   440     11,462781   100,872044   101,757920     451,613404   76   58   41   420     12,018908   100,958305   101,933328     432,192558   76   21   29   400     12,630692   101,056700   102,136560     412,832200   75   40   33   380     13,312576   101,174410   102,373976     393,548520   74   55   19   360     14,071210   101,311236   102,653784     374,349852   74     5     4   340     14,922900   101,473699   102,986884     355,255222   73     8   53   320     15,886128   101,668413   103,387488     336,287040   72     5   42   300     16,984763   101,904940   103,875990     317,474760   70   54     5   280     18,250135   102,196102   104,480264     298,858028   69   32   14   260     19,729226   102,564124   105,241136     280,497074   67   57   47   240     21,465587   103,025715   106,219200     262,454784   66     7   36   220     23,555838   103,632647   107,507994     244,863168   63   57   23   200     26,116574   104,447443   109,260480     227,898480   61   21     7   180     29,336487   105,580330   111,739482     211,862484   58   10     8   160     33,525185   107,228464   115,437376     197,296208   54   11   24   140     39,241137   109,779803   121,380952     185,292618   49     4   28   120     47,626016   114,104417   132,093348     178,461912   42   15   12   100     61,562643   122,619114   155,740770     185,081570   32   42   15     95     66,748734   126,148321   166,629316     191,808059   29   41   19     90     73,141390   130,727676   181,797084     202,855068   26   20   16     85     81,313401   136,905055   204,267512     221,246959   22   35   35     80     92,332784   145,717467   240,765568     253,708616   18   22   48     75   108,536763   159,466590   309,878850     318,825817   13   36   20     70   136,763450   184,926359   488,855143     493,841432     8     8   56 IV. Tabelle. – Kettenlinie von gleicher Staͤrke. a = 100.   y.           x.           z.           ζ.          T.     Winkel.   1     0,004999     0,999990     1,00001   100,00500   89° 25'   37''   2     0,020003     2,000088     2,00022   100,020006   88   51   14   3     0,045005     3,000431     3,00088   100,045016   88   16   52   4     0,080021     4,001021     4,00208   100,080054   87   42   29   5     0,125046     5,002067     5,00415   100,125125   87     8     6   6     0,180107     6,003541     6,00714   100,180270   86   33   44   7     0,245198     7,005697     7,01143   100,245499   85   59   21   8     0,323389     8,008498     8,01706   100,320852   85   24   58   9     0,405548     9,012161     9,02436   100,406373   84   50   46 10     0,500828   10,016660   10,03343   100,502080   84   16   13 11     0,606218   11,022229   11,04456   100,608062   83   41   50 12     0,721234   12,028425   12,05789   100,723845   83     7   28 13     0,847386   13,036754   13,07372   100,850992   82   33     5 14     0,983205   14,045921   14,09215   100,988063   81   58   42 15     1,129248   15,056560   15,11351   101,135644   81   24   20 16     1,285490   16,068670   16,13791   101,293792   80   49   57 17     1,452011   17,082468   17,16567   101,462608   80   15   34 18     1,628815   18,097959   18,19691   101,642158   79   41   12 19     1,815961   19,115360   19,23197   101,832558   79     6   49 20     2,013470   20,134658   20,27097   102,033880   78   32   23 21     2,221395   21,156371   21,31424   102,246255   77   58     4 22     2,439770   22,179619   22,36191   102,469780   77   23   41 23     2,668651   23,205504   23,41433   102,704585   76   49   19 24     2,908061   24,233742   24,47164   102,950768   76   14   56 25     3,158106   25,264601   25,53424   103,208504   75   40   33 26     3,418774   26,297360   26,60212   103,477887   75     6   11 27     3,690164   27,334158   27,67581   103,759100   74   31   48 28     3,972311   28,373174   28,75540   104,052264   73   57   25 29     4,265294   29,415243   29,84128   104,357567   73   23     3 30     4,569158   30,460378   30,93360   104,675156   72   48   40 31     4,883983   31,508739   32,03269   105,005213   72   14   17 32     5,209839   32,560521   33,13891   105,347935   71   39   55 33     5,546782   33,615738   34,25243   105,703501   71     5   32 34     5,894915   34,674639   35,37366   106,072131   70   31     9 35     6,254281   35,737235   36,50280   106,454005   69   56   47 36     6,624997   36,803792   37,64030   106,849383   69   22   24 37     7,007106   37,874291   38,78626   107,258446   68   48     2 38     7,400749   38,948988   39,94126   107,681495   68   13   39 39     7,805967   40,027947   41,10545   108,118722   67   39   16 40     8,222888   41,111407   42,27931   108,570433   67     4   54 41     8,651589   42,199404   43,46308   109,036870   66   30   31 42     9,092196   43,292198   44,65724   109,518354   65   56     8 43     9,544771   44,389841   45,86509   110,015128   65   21   46 44   10,009478   45,492556   47,07804   110,527566   64   47   23 45   10,486371   46,600436   48,30547   111,042096   64   13     0 46   10,975622   47,713735   49,54487   111,600602   63   38   38 47   11,477312   48,832499   50,79655   112,161892   63     4   15 48   11,991595   49,957023   52,06108   112,740211   62   29   52 49   12,518572   51,088569   53,34078   113,335897   61   55   32 50   13,058418   52,223810   54,63024   113,949396   61   21     7 IV. Tabelle fortgesetzt. – Kettenlinie von gleicher Staͤrke. a = 100.   y.           x.           z.           ζ.          T.     Winkel.   51   13,611226     53,566417     55,93584   114,581052   60°  46'  44'   52   14,177189     54,515494     57,25618   115,231377   60   12   22   53   14,756401     55,676950     58,59167   115,900748   59   37   59   54   15,349077     56,833577     59,94296   116,589191   59     3   36   55   15,955345     58,002974     61,31049   117,298661   58   29   14   56   16,575346     59,179619     62,69495   118,028208   57   54   51   57   17,209276     60,363609     64,09682   118,778802   57   20   29   58   17,857313     61,555215     65,51678   119,551032   56   46     6   59   18,519676     62,754711     66,95554   120,345521   56   11   43   60   19,196491     63,962210     68,41362   121,162801   55   37   21   61   19,888020     65,178046     69,89186   122,003580   55     2   58   62   20,594400     66,402358     71,39084   122,868440   54   28   35   63   21,315910     67,635500     72,91145   123,758155   53   54   13   64   22,052701     68,877606     74,45432   124,673361   53   19   50   65   22,805074     70,129059     76,02042   125,614906   52   45   27   66   23,573186     71,389994     77,61043   126,583487   52   11     5   67   24,357371     72,660825     79,22540   127,580036   51   36   42   68   25,157787     73,941697     80,86608   128,605306   51     2   19   69   25,974778     75,233031     82,53360   129,660301   50   27   57   70   26,808551     76,535188     84,22878   130,745895   49   53   34   71   27,659459     77,848058     85,95285   131,863168   49   19   11   72   28,527710     79,172384     87,70674   133,013056   48   44   49   73   29,413697     80,508436     89,49175   134,196771   48   10   26   74   30,317647     81,856432     91,30890   135,415343   47   36     4   75   31,239989     83,216866     93,15964   136,670112   47     1   41   76   32,180961     84,589966     95,04510   137,962209   46   27   18   77   33,140961     85,975963     96,96618   139,293095   45   52   56   78   34,120421     87,375961     98,92611   140,664048   45   18   33   79   35,119618     88,789594   100,92453   142,076604   44   44   10   80   36,139051     90,214639   102,96381   143,532386   44     9   48   81   37,179043     91,660396   105,04542   145,032900   43   35   25   82   38,240111     93,118455   107,17133   146,579992   43     1     2   83   39,322622     94,592159   109,34320   148,175357   42   26   40   84   40,427139     96,082135   111,56319   149,821051   41   52   17   85   41,554052     97,588753   113,82816   151,518952   41   17   54   86   42,703981     99,112699   116,15555   153,271369   40   43   32   87   43,877350   100,654374   118,53239   155,080397   40     9     9   88   45,074822   102,214506   120,96637   156,948608   39   34   46   89   46,296874   103,793554   123,45986   158,878369   39     0   24   90   47,544231   105,392291   126,01578   160,872559   38   26     1   91   48,817411   107,011233   128,63685   162,933851   37   51   39   92   50,117199   108,651210   131,32634   165,065469   37   17   16   93   51,444175   110,312786   134,08729   167,270444   36   42   53   94   52,799201   111,996881   136,92343   169,552431   36     8   31   95   54,182891   113,704104   139,83816   171,914846   35   34     8   96   55,596244   115,435462   142,83573   174,361831   34   59   45   97   57,039914   117,191641   145,92002   176,897299   34   25   23   98   58,514946   118,973717   149,09580   179,525931   33   51     0   99   60,032087   120,782488   152,36759   182,252247   33   16   37 100   61,562647   122,619117   155,74077   185,081573   32   42   15