LX. Ueber die Berechnung des dynamischen Effects der Expansions-Dampfmaschinen; von Hrn. Choffel. Aus dem Bulletin de la Société industrielle de Mulhausen, No. 42 u. 43. Choffel, Berechnung des Effects der Expansions-Dampfmaschinen. Bei Berechnung des dynamischen Effects einer Dampfmaschine mit Expansion sezte man bisher voraus, daß die Temperatur des Dampfes von dem Augenblike an, wo er zu wirken anfaͤngt, bis zu demjenigen, wo seine Wirkung aufhoͤrt und er in den Condensator, oder in die Luft uͤbergeht, sich constant bleibe. Man glaubte, daß die Huͤlle (der Mantel) der Cylinder, durch welche der Dampf streicht, hinreiche, um diese Bedingung zu erfuͤllen. Beruͤksichtigt man aber die Geschwindigkeit, mit welcher die Expansion vor sich geht, so wird man sich leicht uͤberzeugen, daß der Dampf, welcher sich in der Huͤlle befindet, nur die Erkaͤltung durch Ausstrahlung verhindert, und daß seine Waͤrme nicht Zeit hat, die Erniedrigung der Temperatur wieder auszugleichen, welche der Dampf durch die Expansion erfaͤhrt. Dieß hat mich bewogen, eine Formel zu suchen, welche geeignet waͤre, den dynamischen Effect der Expansions-Dampfmaschinen mit einem oder mehreren Cylindern zu berechnen, wenn man sowohl die Verduͤnnung des Dampfes, als auch die daraus erfolgende Temperaturverminderung beruͤksichtigt haben will. Die Formel, welche ich erhalten habe, ist fast so einfach, als die bisher angewandte, troz des neuen Elementes, welches in dieselbe eingefuͤhrt ist. Sie gibt aber, wie leicht vorherzusehen war, etwas geringere Resultate, welche folglich von denjenigen der Praxis auch weniger entfernt sind. Diese Formel schien mir vorzuͤglicher als die gewoͤhnliche, weil sie einen Umstand beruͤksichtigt, der in lezterer vernachlaͤssigt ist; ich habe deren Anwendung fuͤr die Mehrzahl der Faͤlle, die sich in der Praxis darbieten, dadurch erleichtert, daß ich sie mit einer kleinen Tabelle begleitete, welche denen, die davon Gebrauch machen, die Anwendung der Logarithmen erspart, so daß, um sich ihrer zu bedienen, ganz einfache arithmetische Operationen genuͤgen. Bezeichnet man mit p den Druk des Dampfes vor der Absperrung in Kilogr. auf einen  Met. Flaͤche, V das Volum des Dampfes vor der Absperrung in Kubikmet.; p₁ den Druk des Dampfes vor der Expansion, welche waͤhrend der Bewegung der Kolben Statt findet; V' das dem Druke p₁ entsprechende Dampfvolum; p' den Druk des Dampfes, welcher mit dem Condensator oder der Atmosphaͤre in Verbindung ist; V₁ das Volum, welches die Kolben in den Cylindern durchlaufen, waͤhrend sie dem widerstehenden Druke p' ausgesezt sind; m das Verhaͤltniß der Volume des Dampfes vor und nach der Expansion = V'₁/V'; E den dynamischen Effect des Dampfes waͤhrend eines Kolbenhubes, so erhaͤlt man: (F) E = pV + p₁V' × 10,86952 (1 – 1/m0,092) – p'V₁. Um den theoretischen Effect einer Dampfmaschine, oder die Zahl der Kilogr. zu erhalten, die sie in einer Secunde auf einen Meter hebt, muͤßte man das zweite Glied der Formel (F) mit der Dauer t eines Kolbenhubes (in Secunden ausgedruͤkt) dividiren. Diese Formel ist auf alle Systeme von Dampfmaschinen anwendbar. Wenn man jedoch deren Anwendung auf eine Maschine mit einem Cylinder, oder auf eine Woolf'sche mit zwei Cylindern beschraͤnken will, wuͤrde man erhalten: p₁ = p, V' = V und m = V₂/V (indem V₁ das der groͤßten Expansion entsprechende Volum ist) und die Formel (F) wuͤrde: (F') E = pV + pV × 10,86956 (1 – 1/m0,092) – p' . mV.pV ist der dynamische Effect des Dampfes vor der Expansion;pV × (1 – 1/m0,092) die Wirkung waͤhrend der Expansion;p'V₁ = p'mV der Widerstand desjenigen Dampfes, welcher in Communication mit dem Condensator ist.Wenn man die Temperatur waͤhrend der Expansion als constant angenommen haͤtte, wuͤrde die Formel (F) folgende geworden seyn:E = pV + p₁V'(log. m). 2,30585 – p'V₁;und statt der Formel (F') haͤtte man erhalten:E =pV + pV(log. m) × 2,30585 – p'mV,welches Resultat noch mit t zu dividiren waͤre. A. d. O. Es sey A die Anzahl der Kilogr., welche dem Druke einer Atmosphaͤre auf eine Flaͤche von einem □ Met. entspricht: A = 103345,5 Kilogr. N die Zahl der Atmosphaͤren, welche die Spannung des Dampfes vor der Expansion bezeichnet, n die Zahl von Atmosphaͤren, welche die Spannung des Dampfes im Condensator ausdruͤkt; so erhaͤlt man, um p und p' zu berechnen, p =AN, p' = An. Tabelleder Werthe vonm0,092; vonm = 1, bis m = 20. Werth  von m.  Werthvon m0,092. Werth  von m.  Werthvon m0,092.     1 1,0000000     11 1,2468325     2 1,0658469     12 1,2568536     3 1,1063539     13 1,2661431     4 1,1360293     14 1,2748050     5 1,1595919     15 1,2829224     6 1,1792065     16 1,2905623     7 1,1960476     17 1,2977806     8 1,2108331     18 1,3046231     9 1,2240250     19 1,3111287   10 1,2359476     20 1,3173306 Waͤre m ein Bruch z.B. 5/2 so muͤßte man in der Tabelle den Werth von 50,092, sodann von 20,092 suchen, und den ersten Werth durch den zweiten dividiren: 50,092/20,092 = 1,1595919/1,0658469 = 1,0879535. Anwendungen. 1) Eincylindrische Expansions-Maschine oder Woolf'sche Maschine mit zwei Cylindern. Die Formel (F') kann man fuͤr diesen Fall auf die Form bringen: E = ABL/t [N/m (1 + (1 – 1/m0,092) × 10,8695652) – n]Wuͤrde man die Temperatur waͤhrend der Expansion als constant betrachten, so erhielte man folgende Formel:E = ABL/t {N/m (1 + (log. m) × 2,30585) – n}.Es genuͤgt uͤberhaupt, in allen Faͤllen1 – (1 – 1/m0,092) × 10,86956 zu ersezen durch (log. m) × 2,30585.A. d. O. A = 10334,5 Met. atmosphaͤrischer Druk auf eine Flaͤche von 1 □ Met. B Flaͤche in □ Met., und L Hub in Metern des Kolbens desjenigen Cylinders, in welchem die Expansion vorsichgeht. t Dauer eines Kolbenhubes in Secunden. N und n Anzahl der Atmosphaͤren, welche den Druk des Dampfes im Kessel und im Condensator bezeichnen. M = V₁/V, V Volum des Dampfes vor und V, nach der Expansion. Bei einer Maschine mit einem Cylinder wird also B die Grundflaͤche dieses Cylinders und L der ganze Hub seines Kolbens seyn; bei einer Woolf'schen Maschine mit zwei Cylindern sind diese Werthe dagegen nur vom großen Cylinder entnommen. Es sey B = 0m,10676 □, L = 0m,71, t = 0'',707, N = 2atm·1/4, m = 5/2, n = 0,1, so wird die Formel geben: Textabbildung Bd. 62, S. 348 = 1107,9929 (0,9 × 1,878729 – 0,1) = 1762,6 Kilogr. gehoben auf 1 Met. in 1 Min. E = 1762,6 = 23 1/2 Pferdekraͤfte. E = 1762,6/75 = 23 1/2 Pferdekraͤfte. 2) Maschine von Aitken und Steel. Die Formel (F') laͤßt sich fuͤr diesen Fall unter folgende Form bringen: E = AV/t [N (1 + (1 – 1/m0,092) × 10,8695652) – mn] Es sey z.B. V (das Volum des Dampfes vor der Expansion) = 0,538 Kubikmet., t – 60'', N = 3 1/2 Atm., n = 0,1. Der Dampf fuͤllt nach der Expansion den großen und einen der kleinen Cylinder, deren Verhaͤltniß wie 3 1/2 zu 1 ist, also wird V, = 1 + 3,5 = 4,5, V = 1, m = 4,5 = 9/2. Mit diesen Werthen erhaͤlt man durch Anwendung der Formel einen theoretischen Effect von 98,4 Pferdekraͤften. 3) Maschine von Roentgen. In dieser Maschine veraͤndert sich das Volum des der Expansion unterworfenen Dampfes von einem halben Kolbenhube zum anderen; man muß also, um den durch die Expansion erzielten dynamischen Effect zu berechnen, jeden halben Hub isolirt betrachten. Man wird ferner bemerken, daß der Druk des sich expandirenden Dampfes fortwaͤhrend im Zunehmen begriffen ist. Diese Zunaͤhme befolgt aber eine geometrische Progression, was die Bestimmung des groͤßten Werthes, den dieser Druk annehmen kann, moͤglich macht. (S. das Ende dieser Abhandlung.) Um den dynamischen, durch den Dampf waͤhrend eines halben Hubes erzeugten Effect zu bestimmen, schreibe man die Formel (F) fuͤr einen halben Hub von ungeradem Range: E = 1/2 pbl + p₁ (b + 1/2 B) l (1 – 1/m0,092) × 10,8695652 – 1/2 p'Bl und fuͤr einen halben Hub von geradem Range: E' = 1/2 pbl + p₂ . bl/2 (1 – 1/m0,092) × 10,8695652 – 1/2 p'Bl p und p' bezeichnen die Pressionen im Kessel und im Condensator; b und B die Basis des kleinen und großen Kolbens; l den Kolbenhub. Textabbildung Bd. 62, S. 349 Will man den dynamischen Effect berechnen, der den groͤßten Werthen der Pressionen p₁ und p₂ entspricht, so nehme man: Textabbildung Bd. 62, S. 349 E + E' gibt den ganzen dynamischen Effect waͤhrend eines Kolbenhubes.Wuͤrde man die Temperatur waͤhrend der Expansion als constant betrachten, so erhielte man das Maximum vom Effect, wenn man in den Werthen von p₁ und p₂, k = 1 sezen, und (1 – 1/m0,092) × 10,8695652 wieder durch (log. m) × 2,30585 in den Werthen von E und E' ersezen wuͤrde.A. d. O. Entwiklung der Formel. Wenn p die Spannung und V das Volum des Dampfes vor der Expansion bezeichnet, so ist der durch den Dampf vor seiner Expansion erzeugte dynamische Effect = pV. Bezeichnet Z das Volum des Dampfes in einem beliebigen Augenblike waͤhrend der Expansion, und x die diesem Volum entsprechende Spannung, in der Voraussezung, die Temperatur aͤndere sich nicht, so ist nach Mariotte's Gesez x : p₁ = V' : Z (1). (Die Werthe von p₁, und V' siehe S. 346). Die Temperatur vermindert sich aber waͤhrend der Expansion. Es sey T die urspruͤngliche Temperatur des Dampfes, t seine Temperatur, wenn das Volum V' sich in Z. verwandelt hat; man weiß nun, daß wenn die Temperatur eines in einem unveraͤnderlichen Raume enthaltenen Gases sich aͤndert, auch die Spannung sich aͤndert, und zwar im geraden Verhaͤltnisse des Volums, welches dieses Gas bei der neuen Temperatur eingenommen haben wuͤrde; d.h. wenn das Volum durch Erniedrigung der Temperatur zwei Mal geringer werden sollte, dasselbe sich aber gleich bleibt, so wird die Spannung dafuͤr zwei Mal kleiner; dieß ist eine Folge von Mariotte's Gesez. Bezeichnet man also mit x die Spannung des Dampfes bei T°, wenn die Temperatur auf t° faͤllt, so hat man, wenn y die Spannung bei lezterer Temperatur ausdruͤkt: y : x = 1 + at : 1 + aT (2). Aus (1) und (2) wird Textabbildung Bd. 62, S. 350 Hr. Poisson hat in den Ann. de phys. et chim. Bd. XXIII. S. 339 folgende Formel mitgetheilt, um die Veraͤnderungen der Temperatur, welche den Veraͤnderungen des Volums entsprechen, auszudruͤken: t = (266,67 + T) (d'/d)k–1 – 266,67. T bezeichnet darin die urspruͤngliche Temperatur des Gases; d seine urspruͤngliche Dichtigkeit; d' seine Dichte nach der Expansion oder die Compression desselben; t die Temperatur, welche zu d' gehoͤrt; k das Verhaͤltniß der Waͤrmecapacitaͤt des Gases unter einem constanten Druke zu seiner Capacitaͤt unter einem constanten Volum. Ersezt man in dieser Formel das Verhaͤltniß der Dichtigkeiten d'/d durch das umgekehrte Verhaͤltniß der Volume V/Z, und substituirt fuͤr die unbekannte Groͤße t ihren Werth in Textabbildung Bd. 62, S. 350 so findet man y = p₁ Vk/Zk. Da dieser Werth von y die, irgend einem Volum Z, welches der Dampf durch Expansion einnimmt, entsprechende Tension angibt, so wird der durch eine Expansion dz waͤhrend des Augenblikes dt erzeugte Effect y = p₁V'k dz/Zk seyn. Integrirt man zwischen den Glaͤnzen V' und V₁ (lezteres ist das der groͤßten Expansion entsprechende Volum s. S. 346), so findet man: Textabbildung Bd. 62, S. 350 Also ist der waͤhrend eines Kolbenganges erzeugte dynamische Effect: Textabbildung Bd. 62, S. 351 Zieht man hievon die widerstehende Wirkung p' V, des Dampfes im Condensator ab, so resultirt Textabbildung Bd. 62, S. 351 Um den Werth von k zu bestimmen, gibt Poisson die Gleichung: Textabbildung Bd. 62, S. 351 H bezeichnet darin die Tension bei der Temperatur T. Macht man H nach und nach 2, 4, 6 und 8 Atmosphaͤren gleich, substituirt dem T die entsprechenden Temperaturen, und ersezt 0,76 durch 1 Atmosphaͤre, so wird man Werthe fuͤr k finden, die nur um einige Tausendtheile unter sich abweichen, und deren Mittel 1,092 ist. Nimmt man fuͤr k diesen WerthMan kann sich uͤberdieß auf folgende Art des wahren Werthes von k versichern. Man weiß, daß das Volum eines Grammes Dampf 1696 Kubikcent. betraͤgt, wenn seine Tension dem atmosphaͤrischen Druke gleich ist, berechnet man nun vermittelst der Relation y = p₁ V'k/Zk was das Volum Z wird, wenn durch die Expansion die Tension y dem atmosphaͤrischen Druke gleich wird, so findet man, wenn man die Tension p vor der Expansion nach und nach 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8 Atmosphaͤren gleich annimmt, die Werthe 1692,4 1694, 1695, 1696, 1697, 1700 und 1702,3. Sucht man ferner mittelst der Formelt = (266,67 + T) (V/Z)k–1 – 266,67,die Temperatur t des Dampfes, wenn er sich dergestalt ausdehnt, daß, bei einer urspruͤnglichen Tension von z.B. 5 Atmosphaͤren, seine Spannung nach der Expansion nur mehr 1 Atmosphaͤre ist, so findet man 100°, wie es seyn muß. A. d. O. und substituirt ihn in der Formel, so wird: E = pV + p₁V' × 10,8695652 (1 – 1/m0,092) – p'V₁. Bisher wurde nur ein gewisses Dampfvolum und seine Expansion unabhaͤngig von den Cylindern betrachtet; man kann hieraus schon schließen, daß die Formel allgemein ist; um aber keinem Zweifel Raum zu lassen, werde ich sie nun fuͤr mehrere Systeme von Dampfcylindern entwikeln. 1) Woolf'sche Maschine mit zwei Cylindern. Es seyen B und b die Basen des großen und kleinen Cylinders; l die Laͤnge der Hube dieser Kolben, welche wir fuͤrs Erste als gleich annehmen; p der Druk vor der Absperrung. Der dynamische Effect, welcher vom Dampfe vor der Expansion erzeugt wird, ist wieder pV. Es sey y der veraͤnderliche Druk waͤhrend der Expansion, so wird man wieder haben y = p (Vk/Zk) (1) (hier V' = V u. p₁ = p). Wir wollen annehmen, die Kolben seyen am Abwaͤrtssteigen und in einer Entfernung x von ihrer hoͤchsten Lage; durchlaufen sie nun im naͤchsten Zeitelemente eine Laͤnge dx, so ist der vom Dampfe erzeugte dynamische Effect: 1) auf die obere Flaͤche des großen Kolbens Bydx; 2) auf die untere Flaͤche des kleinen Kolbens bydx. Da dieser leztere Werth einen Widerstand der Bewegung ausdruͤkt, so muß man ihn vom ersten abziehen, und erhaͤlt sonach (B – b) ydx (2) fuͤr den Gesammteffect des Dampfes in einem Zeitelement waͤhrend seiner Expansion. Wenn die Kolben in einer beliebigen Entfernung x von ihrer obersten Stellung angelangt sind, so ist das vom ausgedehnten Dampfe eingenommene Volum Z = b (l – x) + Bx. Subtrahirt man fuͤr Z seinen Werth in (1), so ergibt sich Textabbildung Bd. 62, S. 352 Dieß in (2) substituirt und das Resultat zwischen den Glaͤnzen y = p und y = p (Vk/V₁k) integrirt, gibt: Textabbildung Bd. 62, S. 352 wie vorher. Waͤren die beiden Kolbenhube nicht von gleicher Laͤnge, so wuͤrde man als dynamischen Effect waͤhrend eines Zeitelementes erhalten (B – b) ydx, und das Volum waͤre durch die Gleichung gegeben Z = b (l – x) + Bx', worin x' die vom großen Kolben durchlaufene Streke andeutet, wenn der kleine Kolben den Raum x durchstreicht. Offenbar ist aber x' : x = l' : l also x' = (l'/l) x und folglich Z = b (l – x) + B (l'/l) x = b (l – x) + B' x, wenn man B l'/l = B' sezt. Macht man nun die Substitution und integrirt wieder zwischen y = p und y = p (Vk/V₁k) so findet man nochmals das naͤmliche ResultatWenn man das Differential des dynamischen Effects unter der Form Bydx – bydx gelassen, und jedes der beiden Glieder fuͤr sich integrirt haͤtte, nachdem man den Werth von dx substituirte, so wuͤrde man erhalten haben:Textabbildung Bd. 62, S. 353Also ist in den Woolf'schen Maschinen der mittlere Dampfdruk waͤhrend der ExpansionTextabbildung Bd. 62, S. 353in der Maschine mit einem Cylinder dagegenTextabbildung Bd. 62, S. 353Betrachten wir die Temperatur waͤhrend der Expansion als unveraͤnderlich, so erhalten wir fuͤr den ersten Fall p/(k – 1) · b/(B – b) (log. m) × 2,302585 und im zweiten Falle p/(k – 1) (log. m) × 2,302585.A. d. O.. Da die zuerst gegebene Entwiklung sich offenbar auf eine Maschine mit einem Cylinder bezieht, so sieht man aus der Identitaͤt der Resultate, daß der dynamische Effect, welchen dasselbe Dampfvolum erzeugen kann, indem es von einem bestimmten Druke zu einem anderen gegebenen uͤbergeht, immer derselbe ist, die Expansion mag in einem einzigen oder in zwei getrennten Cylindern, wie bei der Woolf'schen Maschine vor sich gehen. 2) Maschine mit drei Cylindern von Aitken und Steel. Dynamischer Effect vor der Expansion: pV. Differential des dynamischen Effects waͤhrend der Expansion: Bydx. Derjenige der zwei kleinen Kolben, welcher den sich expandirenden Dampf enthaͤlt, ist ohne Effect, weil er in beiderlei Richtung gleich stark gedruͤkt wird. Da der Dampf waͤhrend der Expansion einen der kleinen Cylinder bestaͤndig fuͤllt, so erhaͤlt man Z = bl + Bx; dieß in y = p (Vk/Zk) substituirt: Textabbildung Bd. 62, S. 353 Das Integral von Bydx zwischen den Graͤnzen y = p und p Vk/(V + V')k (wo V' das Volum des großen und V eines jeden der kleinen Cylinder) wird hiemit Textabbildung Bd. 62, S. 354 Der Werth des Widerstandes, welchen der Condensatordampf auf den großen und einen der kleinen Kolben ausuͤbt, wird also p'V + p'V = p' (V + V'). Bezeichnet man mit V₁ das Volum V + V', welches dem Maximum der Expansion entspricht, so erhaͤlt man wieder die schon gefundene Formel. 3) Maschine mit zwei Cylindern nach Roentgen. Hier muͤssen wir aus schon oben angegebenen Gruͤnden den dynamischen Effect fuͤr jeden halben Hub besonders berechnen. 1ster halber Hub. Wir nehmen an, der kleine Cylinder sey mit Dampf von der Tension p gefuͤllt, und der Kolben am hoͤchsten Punkt angelangt. Der große Cylinder enthaͤlt also noch keinen Dampf, und sein Kolben ist in der Mitte seines Laufes. Im Augenblik, wo der kleine Kolben anfaͤngt abwaͤrts zu gehen, entsteht eine Verbindung zwischen dem kleinen und großen Cylinder, und der Dampf des kleinen Cylinders geht zum Theil in die obere Haͤlfte des großen Cylinders uͤber, so daß der Druk des Dampfes vor der durch die Bewegung der Cylinder entstehenden Expansion, folgender ist: Textabbildung Bd. 62, S. 354 wenn man b + ½ B = b₁ sezt. Die Wirkung des Kesseldampfes auf die obere Flaͤche des kleinen Kolbens wird 1/2 pbl; und der Widerstand des Condensatordampfes auf den großen Kolben 1/2 p'Bl. Der Differentialeffect der Expansion wird also Bydx – bydx = (B – b) ydx (1). Wenn jeder Kolben eine Distanz x von der Stellung, die er im Anfange des halben Hubes einnahm, durchlaufen hat, so ist das Volum des ausgedehnten Dampfes Z = b (l – x) + B (½ l + x). Wird dieses Z in dem Werthe von y substituirt, das Resultat in Bezug auf x und y differentiirt, und der hiedurch erhaltene Werth von dx in (1) gesezt, so erhaͤlt man nach dem Integriren zwischen den Glaͤnzen Textabbildung Bd. 62, S. 354 (b₂, statt B + ½ b gesezt) fuͤr den dynamischen Effect der Expansion waͤhrend des ersten halben Hubes Textabbildung Bd. 62, S. 355 also in Bezug auf die Expansion wieder denselben Werth wie in den vorigen Beispielen. Man sieht, daß b₁/b₂ = 1/m oder daß b₂/b₁ = b₂l/b₁l die Expansion bezeichnet. 2ter halber Hub. Es sey der kleine Kolben in Mitte seines niedersteigenden Laufes; der große Kolben im tiefsten Theil des seinigen. Der Druk des Dampfes, welcher die untere Haͤlfte des kleinen Cylinders fuͤllt, ist p₂ = b₁k/b₂k. Dieser Dampf tritt unter den großen Kolben, und zwingt ihn zum Aufsteigen, waͤhrend der kleine Kolben fortfaͤhrt nach Unten zu gehen. Also wird man waͤhrend dieses halben Laufes nochmals haben: ½ pbl, ½ p'Bl und (B – b) ydx. Der Werth von Z wird aber: Z = b (½ l – x) + Bx. Bei gleichem Verfahren wie oben, findet man fuͤr den Werth des zwischen den Glaͤnzen y = p₂ und y = p₂ bk/Bk genommenen Integrals Textabbildung Bd. 62, S. 355 welcher Ausdruk wieder gleich dem Druke p₂ ist (der vor der Expansion, die durch die Bewegung der Kolben im betrachteten halben Hube entsteht, Statt findet) multiplicirt mit dem Volum 1/2 bl des sich expandirenden Dampfes etc. 3ter halber Hub. Der kleine Kolben sey in der tiefsten Lage; der große Kolben in der Mitte. Der kleine Cylinder ist nun voll Dampf von der Spannung p; im Augenblik wo der kleine Kolben aufzusteigen beginnt, mischt sich dieser Dampf mit demjenigen, welcher sich in der unteren Haͤlfte des großen Cylinders befindet, und dessen Tension p₂ bk/Bk ist; die Tension der Mischung ist folglich Textabbildung Bd. 62, S. 355 Differentialeffect (B – b) ydx; Z = b (l – x) + B (½l + x). Verfaͤhrt man wie oben und integrirt zwischen y = p₃ und y = p₃ b₁k/b₂k so erhaͤlt man wieder Textabbildung Bd. 62, S. 355 Sezt man diese Rechnungen so fort, so koͤmmt man immer zu analogen Resultaten; man erhaͤlt so fuͤr den ersten halben Hub, wenn er von ungeradem Range ist: Textabbildung Bd. 62, S. 356 und fuͤr den folgenden halben Hub: Textabbildung Bd. 62, S. 356 Um diese Formeln anwenden zu koͤnnen, braucht man nur die Pressionen pn und pn+1 zu bestimmen. Betrachtet man die auf einander folgenden Pressionen p₁, p₂, p₃ mit ungeradem Index, so findet man fuͤr den Ausdruk einer beliebigen unter ihnen, eine Summe von Gliedern, die eine geometrische Progression formiren, deren erstes Glied p₁, das Verhaͤltniß (½b/b₂)k und die Zahl der Glieder der Zahl der halben Hube von ungerader Ordnung gleich ist. Sezt man also der Kuͤrze wegen (½b/b₂)k = q, so findet man pn = p₁ + p₁q + p₁q² + ... + p₁qⁿ⁻¹. Auf aͤhnliche Weise findet man fuͤr die geraden halben Hube pn+1 = p₂ + p₂q + p₂q² + p₂q³ + ... + p₂qⁿ⁻¹ wo das erste Glied p₂ = p₁ (b₁/b₂)k seyn wuͤrde. Hienach wird also: Textabbildung Bd. 62, S. 356 Da die auf einander folgenden Pressionen immer abnehmen, so findet man ihre Graͤnze, wenn man die Zahl der halben Hube unendlich groß sezt; dann wird Textabbildung Bd. 62, S. 356 Substituirt man diese Werthe in E und E', so erhaͤlt man das Maximum des dynamischen Effects, welchen der Dampf bei jedem halben Laufe erzeugen kann. In dem Falle, wo man die Temperatur waͤhrend der Expansion als constant betrachtete, erhielte man Textabbildung Bd. 62, S. 356 Textabbildung Bd. 62, S. 357 Die zwei lezten Ausbruͤte geben das Maximum der Werthe, welche die Pressionen erreichen koͤnnen.